Sayfalara Git
Sayfa 284: Konuya Başlarken
İndirim Kampanyası – Gelir Maksimizasyonu
İndirim Kampanyası Problemi
Bir şirket günlük en fazla 200 adet, bir müşteriye ise en fazla bir adet satış yapabildiği ürünün fiyatını 50 TL olarak belirlemiştir. Şirketin ürün fiyatına yaptığı her 5 TL'lik artış sonrasında müşteri sayısında 10 kişilik bir azalma oluyor. Şirket, üründen elde edeceği günlük gelirin en fazla olması için ürün fiyatını kaç lira olarak belirlemelidir?
2. Tablo Doldurma
| Artış Sayısı (n) | Ürün Fiyatı (TL) | Müşteri Sayısı | Günlük Gelir (TL) |
|---|---|---|---|
| 0 | 50 | 200 | 10.000 |
| 1 | 55 | 190 | 10.450 |
| 2 | 60 | 180 | 10.800 |
| 3 | 65 | 170 | 11.050 |
| 4 | 70 | 160 | 11.200 |
| 5 | 75 | 150 | 11.250 |
| 6 | 80 | 140 | 11.200 |
| 7 | 85 | 130 | 11.050 |
| 8 | 90 | 120 | 10.800 |
| 9 | 95 | 110 | 10.450 |
| 10 | 100 | 100 | 10.000 |
Maksimum gelir: 11.250 TL (5 artış, fiyat 75 TL, müşteri 150)
3. Grafik Çizimi
1. ve 4. Sorular
1. Gelir maksimizasyonu nasıl hesaplanır?
- Gelir = Fiyat × Müşteri Sayısı
- Fiyat = 50 + 5n, Müşteri = 200 - 10n
- Gelir = (50 + 5n)(200 - 10n) = -50n² + 500n + 10000
- Tepe noktası: n = 5 → Fiyat = 75 TL, Müşteri = 150
4. İlişki doğrusal mı?
- Hayır, gelir ile artış sayısı arasındaki ilişki parabolik (ikinci dereceden).
- Doğrusal değil, çünkü gelir önce artar sonra azalır.
- Fonksiyon temsili: Karesel (ikinci dereceden) fonksiyon.
Sayfa 286-288: 16. Uygulama
Su Seviyesi ve Karesel Fonksiyon – Eşitsizlikler
1a-b) Tablo Doldurma ve Sıfırlar
\( f(x) = -x^2 + 20x - 96 \)
| Tablo 1 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 2 | 4 | 6 | 7 | 7,8 | 7,9 | 7,95 | 7,99 |
| f(x) | -60 | -32 | -12 | -5 | -0,84 | -0,419 | -0,2025 | -0,0401 |
| Tablo 2 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 9 | 10 | 11 | 11,2 | 11,8 | 11,85 | 11,9 | 11,99 |
| f(x) | 3 | 4 | 3 | 2,56 | 0,76 | 0,5775 | 0,39 | 0,04 |
1c-d) Tamkare ve Grafik
Tamkareye Tamamlama:
- \( f(x) = -(x^2 - 20x + 96) \)
- \( f(x) = -[(x-10)^2 - 4] \)
- \( f(x) = -(x-10)^2 + 4 \)
- \( -(x-10)^2 + 4 = 0 \)
- \( x = 12 \)
- \( x = 8 \)
- Tepe: \( (10, 4) \)
1d-e) Denklem/Eşitsizlik ve İşaret Tablosu
| Denklem/Eşitsizlik | Çözüm Aralığı |
|---|---|
| f(x) = 0 | {8, 12} |
| f(x) < 0 | (-∞, 8) ∪ (12, ∞) |
| f(x) ≤ 0 | (-∞, 8] ∪ [12, ∞) |
| f(x) > 0 | (8, 12) |
| f(x) ≥ 0 | [8, 12] |
Çarpanlara Ayrılmış Hali:
- \( f(x) = - (x-8)(x-12) \)
| x | (-∞, 8) | 8 | (8, 12) | 12 | (12, ∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| -(x-8) | + | 0 | − | − | − |
| (x-12) | − | − | − | 0 | + |
| f(x) | + | 0 | − | 0 | + |
2. Soru – Problem Bağlamı
a) Su seviyesi yol ile aynı hizada (f(x) = 0):
Yağış miktarı 8 cm veya 12 cm olduğunda su seviyesi yol ile aynı hizadadır.
b) Su seviyesi yol seviyesinin altında (f(x) < 0):
Yağış miktarı 8 cm'den az veya 12 cm'den fazla olduğunda yol sular altında değildir.
c) Su seviyesi yol seviyesinin üstünde (f(x) > 0):
Yağış miktarı 8 cm ile 12 cm arasında olduğunda yol sular altında kalır.
ç) f(x) ≤ 0 anlamı:
Yağış miktarı 8 cm'den az veya eşit, 12 cm'den fazla veya eşit olduğunda yol su altında değildir.
d) f(x) ≥ 0 anlamı:
Yağış miktarı 8 cm ile 12 cm arasında (uçlar dâhil) olduğunda yol su altındadır veya aynı hizadadır.
3-8. Strateji ve Çözüm
3-4. Strateji ve Çözüm:
- f(x) = 0 → x = 8 veya x = 12
- İşaret tablosu ile aralıklar belirlenir.
- Çözüm: Yağış 8-12 cm arasında ise yol su altında, dışında ise güvende.
5. Doğrulama:
- Grafikten kontrol: 8 ve 12'de sıfır, arası pozitif, dışı negatif.
- Tablo değerleri ile doğrulama.
6-7. Diğer Yöntemler ve Kullanım:
- Deneme-yanılma, tamkare, çarpanlara ayırma.
- Benzer problemlerde (kar-zarar, maliyet) kullanılabilir.
8. Değerlendirme:
- Sözel: Yolun su altında kalma durumu.
- Cebirsel: f(x) = - (x-8)(x-12)
- Grafiksel: Parabol ve işaret tablosu.
Sayfa 289-292: 17. Uygulama
Futbol Topu – Karesel Fonksiyon ile Maksimum Yükseklik
Futbol Topu Problemi
Düz bir futbol sahasının zemininde bulunan top, bir futbolcu tarafından atılıyor. Topun yatayda aldığı mesafe \( x \) (metre) ve yerden yüksekliği \( h(x) \) (metre) olmak üzere topun izlediği yol \( h(x) = -x^2 + 4x \) fonksiyonu ile modellenmiştir.
1a-b) Sıfırlar ve Grafik
\( h(x) = -x^2 + 4x \)
a) Sıfırlar (Tamkareye Tamamlama):
- \( h(x) = -(x^2 - 4x) = -[(x-2)^2 - 4] = -(x-2)^2 + 4 \)
- \( h(x) = 0 \) → \( -(x-2)^2 + 4 = 0 \) → \( (x-2)^2 = 4 \)
- \( x-2 = \pm 2 \) → \( x = 0 \) veya \( x = 4 \)
- Sıfırlar: \( x = 0 \) ve \( x = 4 \)
2a-b) Uzaklık ve Maksimum
a) x eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık:
- Sıfırlar: \( x = 0 \) ve \( x = 4 \)
- Uzaklık = \( 4 - 0 = \mathbf{4\ metre} \)
b) Maksimum noktası ve değeri:
- Tepe noktası: \( x = 2 \)
- Maksimum değer: \( h(2) = -4 + 8 = \mathbf{4\ metre} \)
- Maksimum nokta: \( \mathbf{(2, 4)} \)
3a-e) Genel Formül Türetme
a) Tamkare formuna dönüştürme:
- \( f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 + (c - \frac{b^2}{4a}) \)
b) r ve k değerleri:
- \( r = \frac{b}{2a} \), \( k = c - \frac{b^2}{4a} \)
c-d) \( f(x) = k \) eşitliğini sağlayan x:
- \( x = -r = -\frac{b}{2a} \)
e) Maksimum-minimum noktası:
- Tepe: \( \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right) \)
- Maksimum (a<0) veya Minimum (a>0)
4. Tablo Doldurma
| Fonksiyon | Tamkare Formu | Tepe Noktası | Maks/Min Değer | a,b,c |
|---|---|---|---|---|
| g(x) = x² + 4x + 5 | (x+2)² + 1 | (-2, 1) | Min=1 | a=1,b=4,c=5 |
| m(x) = 2x² - 4x - 30 | 2(x-1)² - 32 | (1, -32) | Min=-32 | a=2,b=-4,c=-30 |
| n(x) = x² - 6x | (x-3)² - 9 | (3, -9) | Min=-9 | a=1,b=-6,c=0 |
5-11. Strateji ve Sonuç
5a-c) Nitel özellikler:
- a) Maksimum yükseklik → Tepe noktasının y değeri (4 m)
- b) Yatay mesafe → Tepe noktasının x değeri (2 m)
- c) Toplam mesafe → Sıfırlar arası uzaklık (4 m)
6-7. Strateji ve Çözüm:
- Tepe noktası: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-2} = 2 \)
- Maksimum yükseklik: \( h(2) = 4 \) m
- Yatay mesafe: 2 m
- Toplam mesafe (sıfırlar arası): 4 m
8-9. Doğrulama ve diğer yöntemler:
- Grafik kontrolü
- Tamkareye tamamlama
- Tablo değerleri
10-11. Çıkarımlar:
- Bu yöntemler tüm karesel fonksiyon problemlerinde kullanılabilir.
- Sözel, cebirsel ve grafiksel argümanlarla doğrulanabilir.
Sayfa 192-196: 18. Uygulama
Su Borusu – Karesel Fonksiyon ile Modelleme
Su Borusu Problemi
Zeytin ve selvi ağaçları arasındaki mesafe 20 metredir. Su borusunun izleyeceği yol \( f(x) = 2x^2 - 4x - 6 \) ile modellenmiştir.
1. Soru: Sıfırlar ve Grafik
a) Tamkareye Tamamlama ile Sıfırlar:
- \( f(x) = 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)
- \( 2(x^2 - 2x - 3) = 0 \) → \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
- \( (x-3)(x+1) = 0 \) → \( x = 3 \) ve \( x = -1 \)
b) Grafik Çizimi:
2. Soru
a) Sıfırlar arası uzaklık:
- Sıfırlar: x = -1 ve x = 3
- Uzaklık = 3 - (-1) = 4 birim
b) Minimum nokta ve değeri:
- Tepe noktası: (1, -8)
- Minimum değer: -8 (x=1'de)
3. Soru: Eşitsizlik Tablosu
a)
r = -b/2a = -(-4/4) = -1 minimum noktası. f(x) = 2 - 4 - 6 = 8 Minimum değeridir.
c)
| Eşitsizlik | Çözüm Aralığı |
|---|---|
| \( f(x) < 0 \) | \( (-1, 3) \) |
| \( f(x) \leq 0 \) | \( [-1, 3] \) |
| \( f(x) > 0 \) | \( (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \) |
| \( f(x) \geq 0 \) | \( (-\infty, -1] \cup [3, \infty) \) |
4. Soru: Problem Bağlamı
a) Başlangıç ve bitiş noktaları:
- Zemin çizgisi üzerinde başlangıç: x = -1
- Zemin çizgisi üzerine çıkış: x = 3
- Bunlar fonksiyonun sıfırlarıdır (f(x) = 0).
b) Aradaki bölge (f(x) < 0):
- Boru zemin altında (-1, 3) aralığında hareket eder.
- Bu aralıkta \( f(x) < 0 \) eşitsizliği geçerlidir.
c) Dışındaki bölge (f(x) > 0):
- Boru zemin üzerinde hareket eder.
- \( (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \) aralığında \( f(x) > 0 \).
Ç) f(x) ≤ 0 anlamı:
- Boru zemin altında veya zeminde (başlangıç/bitiş noktaları) bulunur.
d) f(x) ≥ 0 anlamı:
- Boru zemin üzerinde veya zeminde (başlangıç/bitiş noktaları) bulunur.
5-10. Sorular: Strateji, Çözüm ve Değerlendirme
5. Strateji Oluşturma:
- Zeytin ağacı x = -1 noktasına, selvi ağacı x = 3 noktasına konumlandırılır.
- Zeytin ağacından itibaren kazıya başlama noktası: x = -1 (başlangıç sıfırı)
- Selvi ağacından sonra zemin çizgisine çıkış noktası: x = 3
- Tepe noktası (1, -8) borunun en derin olduğu noktadır.
6. Problemin Çözümü:
- Kazı başlangıcı: Zeytin ağacından 1 metre önce (x = -1)
- Zemin çizgisine çıkış: Selvi ağacından 17 metre sonra (x = 3, selvi x=20'de)
- En derin nokta: Zeytin ağacından 11 metre sonra (x = 1, derinlik 8 metre)
7. Farklı Yöntemlerle Doğrulama:
- Yöntem 1 (Tamkare): f(x) = 2(x-1)² - 8 → tepe (1,-8)
- Yöntem 2 (Diskriminant): Δ = 16+48 = 64 → x = (4±8)/4 = -1, 3
- Yöntem 3 (Grafik): Parabol x eksenini -1 ve 3'te keser.
8. Farklı Çözüm Stratejileri:
- Cebirsel: Denklem çözme, tamkare, diskriminant
- Grafiksel: Parabol çizimi, kesim noktaları
- Sayısal: Tablo oluşturma, değer verme
- Yazılım: GeoGebra ile modelleme
9. Başka Problemlerde Kullanım:
- Köprü, roket, top atışı gibi parabolik hareketler
- Maliyet-kar, arz-talep gibi ekonomik modeller
- Mühendislikte optimizasyon problemleri
10. Çıkarımların Değerlendirilmesi:
- Sözel: Parabolik hareketlerde tepe ve sıfır noktaları kritiktir.
- Cebirsel: f(x) = a(x-r₁)(x-r₂) formu sıfırları verir.
- Grafiksel: Parabolün x eksenini kestiği noktalar çözüm kümesidir.
• Sıfırlar: x = -1 ve x = 3
• Tepe: (1, -8)
• Negatif aralık: (-1, 3)
• Pozitif aralık: (-∞, -1) ∪ (3, ∞)
Sayfa 298: 18. Sıra Sizde
Karatavuk ve Martı – Karesel Fonksiyon ile Modelleme
Karabatak ve Martı Problemi
Bir karabatak kuşu deniz yüzeyinden 20 metre yükseklikteki bir kayalıktan dalış yaparak bir balığı avlamıştır. Karabatağın izlediği yol \( f(x) = -x^2 + 4x + 20 \) şeklinde modellenmiştir.
Bir martı ise karabatağı yakalamak için \( g(x) = 2x + 8 \) doğrusu boyunca uçmaktadır.
Çözüm
Verilenler:
- Karabatak: \( f(x) = 3x^2 - 18x + 24 \)
- Martı: \( g(x) = -x^2 + 6x + 16 \)
- Deniz yüzeyi: \( y = 0 \)
a) Balığın avlandığı derinlik:
- Tepe noktası: \( x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-18}{2 \cdot 3} = \dfrac{18}{6} = 3 \)
- \( f(3) = 3 \cdot 3^2 - 18 \cdot 3 + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 \)
- Balık 3 metre derinlikte avlanmıştır.
b) C noktasının apsisi:
- Kesişim: f(x) = g(x)
- \( 3x^2 - 18x + 24 = -x^2 + 6x + 16 \)
- \( 4x^2 - 24x + 8 = 0 \) → \( 4(x^2 - 6x + 2) = 0 \)
- \( x^2 - 6x + 2 = 0 \)
- Kökler: \( x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7} \)
- Pozitif kök: \( x = 3 + \sqrt{7} \approx 5.65 \)
a) Balık 3 metre derinlikte avlanmıştır.
b) C noktasının apsisi: \( 3 + \sqrt{7} \)
Sayfa 298-299: 19. Uygulama
Kargo Tarifesi – Karesel Fonksiyon ile Modelleme
Kargo Tarifesi Problemi
Bir kargo şirketi "kargo lira" birimini kullanmaktadır (1 kargo lira = 100 TL). 1 kg'a kadar ücretsiz, 1 kg üzeri için A ve B tarifeleri:
- A tarifesi: Paket kütlesinin karesinin bir eksiği
- B tarifesi: Paket kütlesinin dört katının dört eksiği
1-2. Sorular: Fonksiyonlar ve Sıfırlar
1. Cebirsel temsiller:
2. Sıfırlar ve anlamları:
- A tarifesi: \( x^2 - 1 = 0 \) → \( x = 1 \) (1 kg'da ücretsiz)
- B tarifesi: \( 4x - 4 = 0 \) → \( x = 1 \) (1 kg'da ücretsiz)
- Her iki tarife de 1 kg'da ücret almaz.
3-4. Sorular: Karşılaştırma ve İşaret Tablosu
3. f = g, f < g, f > g:
- \( f(x) = g(x) \) → \( x^2 - 1 = 4x - 4 \) → \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) → \( (x-1)(x-3) = 0 \) → \( x = 1, x = 3 \)
- \( x > 1 \) için (x=2): f(2)=3, g(2)=4 → f < g (A daha ucuz)
- \( 1 < x < 3 \) aralığında A daha ucuz, \( x > 3 \) aralığında B daha ucuz.
4. İşaret tablosu:
| Aralık | \( (-\infty, 1) \) | \( (1, 3) \) | \( (3, \infty) \) |
|---|---|---|---|
| f(x) - g(x) | pozitif | negatif | pozitif |
| Tercih | para ödenmez | A daha ucuz | B daha ucuz |
5-6. Sorular: Strateji ve Çözüm
5. Strateji:
- Kütle 1 kg'dan küçük → ücretsiz
- 1 kg < x < 3 kg → A tarifesi
- x = 1 veya x = 3 → eşit ücret
- x > 3 kg → B tarifesi
6. Çözüm:
7-10. Sorular: Grafik, Karşılaştırma ve Değerlendirme
- 7. Grafik doğrulama: Grafikte kesişim noktaları x=1 ve x=3'tür.
- 8. Yöntem karşılaştırması: Grafiksel yöntem daha görsel, cebirsel yöntem daha kesindir.
- 9. Çıkarımlar: İki fonksiyonun karşılaştırılması, optimum seçim problemlerinde kullanılabilir.
- 10. Değerlendirme: Sözel, cebirsel ve grafiksel temsiller tutarlıdır.
Sayfa 303: Araştırma Ödevi
PDF ve DOCX dokümanlarını inceleyin ve indirin
Araştırma Ödevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 303: 19. Sıra Sizde
Yılan Balığı Problemi – Fonksiyon Karşılaştırma
Yılan Balığı Problemi
Bafa Gölü ve Gediz Nehri'nde bulunan yılan balığı sayısı:
- Bafa Gölü: \( f(x) = 2x^2 + 5x \)
- Gediz Nehri: \( g(x) = x^2 + 11x - 8 \)
Gediz Nehri'ndeki balık sayısının Bafa Gölü'nden fazla olması için x kaç olmalıdır?
1. Çözüm Stratejileri
1. Grup (Cebirsel Temsil Stratejisi):
- \( g(x) > f(x) \) eşitsizliğini \( g(x) - f(x) > 0 \) şeklinde düzenlemek
- Oluşan ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulmak
- İşaret tablosu yaparak pozitif olduğu aralıktaki \( x \) değerlerini belirlemek
2. Grup (Grafik Temsili Stratejisi):
- \( f(x) = 2x^2 + 5x \) ve \( g(x) = x^2 + 11x - 8 \) parabollerini aynı koordinat düzleminde çizmek
- \( g(x) \) parabolünün \( f(x) \) parabolünün üstünde kaldığı aralığı tespit etmek
- Kesişim noktalarını belirlemek
3. Grup (Matematik Yazılımı Stratejisi):
- Yazılıma (GeoGebra) \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarını tanımlamak
- \( \text{Kesiştir}(f, g) \) komutuyla kesişim noktalarını bulmak
- \( g(x) > f(x) \) eşitsizliğini yazarak çözüm kümesini görselleştirmek
2. Çözüm (1. Grup - Cebirsel Temsil)
Cebirsel Çözüm Adımları:
- \( g(x) > f(x) \) → \( x^2 + 11x - 8 > 2x^2 + 5x \)
- \( 0 > x^2 - 6x + 8 \) → \( x^2 - 6x + 8 < 0 \)
- \( (x-2)(x-4) = 0 \) → \( x_1 = 2, \quad x_2 = 4 \)
İşaret Tablosu:
| Aralık | \( (-\infty, 2) \) | \( (2, 4) \) | \( (4, \infty) \) |
|---|---|---|---|
| \( x^2 - 6x + 8 \) | pozitif | negatif | pozitif |
Çözüm Kümesi:
- Eşitsizlik \( x^2 - 6x + 8 < 0 \) olduğundan çözüm aralığı: \( 2 < x < 4 \)
- Balık sayısı \( x \) pozitif bir tam sayı olduğundan aralıktaki tek tam sayı: \( x = 3 \)
3. Grup: Matematik Yazılımı Yöntemi
Strateji:
- Yazılıma (GeoGebra) f(x) ve g(x)'i gir
- Kesişim noktalarını bul (x = 2 ve x = 4)
- Eşitsizlik çözümünü yazılım ile görselleştir
Adımlar:
- 1. adım: f(x) = 2x² + 5x yaz
- 2. adım: g(x) = x² + 11x - 8 yaz
- 3. adım: Kesiştir aracı ile kesişim noktaları: (2,18) ve (4,52)
- 4. adım: g(x) > f(x) eşitsizliğini gir → 2 < x < 4
Çözüm:
Yöntem Karşılaştırması
| Yöntem | Avantaj | Dezavantaj | Kullanışlılık |
|---|---|---|---|
| Cebirsel | Kesin, hızlı | Soyut, grafik görememe | ★★★★☆ |
| Grafik | Görsel, anlaşılır | Çizim hataları olabilir | ★★★★★ |
| Yazılım | Hassas, interaktif | Teknoloji gerektirir | ★★★★☆ |
Sayfa 304: Performans Görevi
PDF ve DOCX dokümanlarını inceleyin ve indirin
Performans Görevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 305: Alıştırmalar
Karesel Fonksiyon ile Optimizasyon Problemleri
Soru 1: Otomotiv Fabrikası
B sınıfı: \( b(x) = 12x - 24 \), C sınıfı: \( c(x) = -6x^2 + 72x - 120 \)
a) C aracından maksimum gelir için günlük üretim:
- Tepe noktası: \( x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{72}{2(-6)} = \dfrac{72}{12} = 6 \)
- Cevap: 6 adet
b) Gelirlerin eşit olduğu üretim miktarı:
- \( 12x - 24 = -6x^2 + 72x - 120 \)
- \( 6x^2 - 60x + 96 = 0 \) → \( x^2 - 10x + 16 = 0 \)
- \( (x-2)(x-8) = 0 \) → \( x = 2 \) veya \( x = 8 \)
- Cevap: 2 veya 8 adet
c) B gelirinin C'den fazla olması (aynı sayıda üretim):
- \( 12x - 24 > -6x^2 + 72x - 120 \)
- \( 6x^2 - 60x + 96 > 0 \) → \( x^2 - 10x + 16 > 0 \)
- \( (x-2)(x-8) > 0 \) → \( x < 2 \) veya \( x > 8 \)
- Pozitif tam sayı ve en az: \( x > 8 \) → 9 adet
Soru 2: Mozaik Kaplama
Maliyet: 4 TL/cm², Satış: 12 TL/cm, kare kaplama.
- Kenar uzunluğu \( x \) cm olsun.
- Alan = \( x^2 \) cm², Maliyet = \( 4x^2 \) TL
- Satış fiyatı = \( 12x \) TL
- Kâr = \( K(x) = 12x - 4x^2 \)
- Tepe noktası: \( x = -\dfrac{12}{2(-4)} = \dfrac{12}{8} = 1.5 \) cm
- Maksimum kâr: \( K(1.5) = 12(1.5) - 4(1.5)^2 = 18 - 9 = 9 \) TL
Soru 3: Boncuk Dükkânı
A boncuğu: maliyet ile ters orantılı, B boncuğu: maliyetten 2 TL fazla.
a) f ve g fonksiyonları:
- A boncuğu: \( f(x) = \dfrac{8}{x} \) (2 TL'de 4 TL kâr → k = 8)
- B boncuğu: \( g(x) = x + 2 \)
b) Eşit kâr için maliyet:
- \( \dfrac{8}{x} = x + 2 \) → \( 8 = x^2 + 2x \) → \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
- \( (x+4)(x-2) = 0 \) → \( x = 2 \) (pozitif)
- Cevap: 2 TL
c) B boncuğunun daha kârlı olduğu aralık:
- \( x + 2 > \dfrac{8}{x} \) → \( x^2 + 2x - 8 > 0 \)
- \( (x+4)(x-2) > 0 \) → \( x > 2 \)
- Cevap: x > 2 TL