Sayfalara Git
Sayfa 197: Konuya Başlarken
Fıskiye Suyunun Hareketi – Parabolik Model
Fıskiye Suyu Hareketi
Yanda bir fıskiyeden yere doğru eğrisel hareket ile fışkıran suyun görseli verilmiştir. Suyun hareketi \( y = f(x) = -x^2 + 4 \) şeklinde tanımlanan f fonksiyonu ile dik koordinat sistemi üzerinde modellenmiştir.
Fıskiye Suyunun Parabolik Hareketi
\( f(x) = -x^2 + 4 \) parabolü, tepe noktası (0,4) ve x eksenini (-2,0) ve (2,0)'da keser.
1. Soru
Verilen fonksiyondan faydalanarak x değerlerine karşılık gelen y değerlerini bulunuz.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = -x² + 4 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 |
Hesaplamalar: f(-2) = -4+4=0, f(-1) = -1+4=3, f(0) = 0+4=4, f(1) = -1+4=3, f(2) = -4+4=0
2. Soru
Suyun yüksekliğinin hangi noktada en yüksek değeri aldığını ve bu değerin ne olduğunu bulunuz.
- Tepe noktası: \( x = 0 \) noktasında
- Maksimum değer: \( f(0) = 4 \)
- Parabol aşağı doğru açıldığı için (\( a = -1 < 0 \)) maksimum değer tepe noktasındadır.
3. Soru
Dik koordinat sistemi üzerindeki A ve B noktaları arasındaki mesafenin nasıl bulunabileceğini tartışınız.
- A ve B noktaları: Parabolün x eksenini kestiği noktalar (-2, 0) ve (2, 0)
- Fonksiyon için anlamı: Bu noktalar suyun yere değdiği noktalardır (f(x) = 0).
- Mesafe: |AB| = 2 - (-2) = 4 birim
- Pisagor veya uzaklık formülü ile de bulunabilir.
Sayfa 198-199: 4. Uygulama
f(x) = x² Karesel Referans Fonksiyonu
1. Tablo Doldurma
| x | ... | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | ... | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | ... |
2. Grafik Çizimi
3. Nitel Özellikler
a) Tanım Kümesi:
\( \mathbb{R} \) (tüm gerçek sayılar) $$\text{Tanım Kümesi} = \mathbb{R} \quad \text{veya} \quad (-\infty, \infty)$$
b) Görüntü Kümesi:
\( [0, \infty) \)
c) İşareti:
\( x \neq 0 \) için pozitif, \( x = 0 \) için sıfır
d) Sıfırı:
\( x = 0 \) (tek sıfır)
e) Artan/Azalan Aralıklar:
Azalan: \( (-\infty, 0] \)
Artan: \( [0, \infty) \)
f) Maksimum/Minimum:
Minimum: 0 (x=0'da)
Maksimum: Yok (sınırsız artar)
g) Bire bir mi?
Hayır (f(2) = f(-2) = 4)
h) Örten mi?
Hayır (negatif değerler almaz)
i) Tek/Çift ve Simetri:
- Çift fonksiyon: \( f(-x) = f(x) \)
- Simetri doğrusu: \( x = 0 \) (y ekseni)
Sayfa 199-201: 5. Uygulama
Karesel Referans Fonksiyonundan Türetilen Fonksiyonlar
Tablo 1: r = 0, k = 0 iken a Sürgüsü
| Fonksiyon | a Değeri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a = -1 | h(x) = -x² | -1 ile çarpma | x eksenine göre yansıma |
| m(x) | a = 2 | m(x) = 2x² | 2 ile çarpma | 2 kat dikey daralma |
| n(x) | a = 4 | n(x) = 4x² | 4 ile çarpma | 4 kat dikey daralma |
| s(x) | a = -3 | s(x) = -3x² | -3 ile çarpma | x eksenine göre yansıma + 3 kat daralma |
Tablo 2: k = 0 iken a ve r Sürgüsü
| Fonksiyon | a ve r Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a = 1/2, r = 2 | h(x) = ½(x+2)² | (x+2)², ½ ile çarpma | Sola 2 birim, ½ kat dikey genişleme |
| m(x) | a = 1, r = -1 | m(x) = (x-1)² | (x-1)² | Sağa 1 birim öteleme |
| n(x) | a = 2, r = 3 | n(x) = 2(x+3)² | 2·(x+3)² | Sola 3 birim, 2 kat daralma |
| s(x) | a = -2, r = -2 | s(x) = -2(x-2)² | -2·(x-2)² | Sağa 2 birim, x eksenine yansıma + 2 kat daralma |
Tablo 3: r = 0 iken a ve k Sürgüsü
| Fonksiyon | a ve k Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a = 1, k = 2 | h(x) = x² + 2 | +2 ekleme | Yukarı 2 birim öteleme |
| m(x) | a = 1, k = -1 | m(x) = x² - 1 | -1 ekleme | Aşağı 1 birim öteleme |
| n(x) | a = 4, k = 3 | n(x) = 4x² + 3 | 4·x² + 3 | 4 kat daralma + yukarı 3 birim |
| s(x) | a = -2, k = -2 | s(x) = -2x² | -2·x² - 2 | x eksenine göre yansıma, 2 kat dikey uzama ve y ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme |
Tablo 4: a, r ve k Sürgüsü
| Fonksiyon | a, r, k Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1, r=1, k=3 | h(x) = (x+1)² + 3 | (x+1)² + 3 | Sola 1, yukarı 3 |
| m(x) | a=1, r=-2, k=-1 | m(x) = (x-2)² - 1 | (x-2)² - 1 | Sağa 2, aşağı 1 |
| n(x) | a=2, r=3, k=-4 | n(x) = 2(x+3)² - 4 | 2·(x+3)² - 4 | Sola 3, aşağı 4, 2 kat daralma |
| s(x) | a=-1, r=-1, k=1 | s(x) = -(x-1)² + 1 | -(x-1)² + 1 | Sağa 1, yukarı 1, x eksenine yansıma |
2. Soru: Dönüşüm Tablosu
f: R → R, f(x) = x² karesel referans fonksiyonuna uygulanan dönüşümler.
| f Fonksiyonunun Grafiğine Uygulanan Dönüşüm | Cebirsel Temsili | Grafik Temsili |
|---|---|---|
| 4 kat dikey daralma | g(x) = 4·x² |
|
| x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme | g(x) = -(x+2)² |
|
| x ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme | g(x) = (x-3)² + 2 |
|
| 2 kat dikey genişleme, x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim öteleme | g(x) = -2(x-2)² + 1 |
|
- Dikey daralma/genişleme: a > 1 daralma, 0 < a < 1 genişleme
- x eksenine yansıma: a negatif (a < 0)
- Yatay öteleme: (x - r) → sağa r, (x + r) → sola r
- Dikey öteleme: + k → yukarı k, - k → aşağı k
Sayfa 203: 5. Uygulama (Soru 3)
Karesel Fonksiyonların Nitel Özellikleri – Varsayımlar
Karesel Fonksiyon
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = a(x+r)^2 + k \) şeklinde tanımlanan fonksiyonların cebirsel temsiline karesel fonksiyon denir. Karesel fonksiyonların grafiği parabol belirtir.
f: R → R, f(x) = x² şeklinde tanımlı f karesel referans fonksiyonunun nitel özelliklerinden hareketle aşağıda cebirsel temsili verilen karesel fonksiyonun nitel özellikleri ile ilgili varsayımlarınızı örnekteki gibi ifade ediniz.
Karesel Fonksiyonun Nitel Özellikleri
| Nitel Özellik | a > 0 Varsayımı | a < 0 Varsayımı |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | a > 0 için tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir. | a < 0 için tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir. |
| Görüntü Kümesi | \( [k, \infty) \) (k'dan başlayarak sonsuza) | \( (-\infty, k] \) (eksi sonsuzdan k'ya kadar) |
| İşareti | Her zaman pozitif (a > 0, k > 0 ise) \( x = -r \)'de sıfır (k = 0 ise) |
Her zaman negatif (a < 0, k < 0 ise) \( x = -r \)'de sıfır (k = 0 ise) |
| Artanlığı-Azalanlığı |
Azalan: \( (-\infty, -r] \) Artan: \( [-r, \infty) \) |
Artan: \( (-\infty, -r] \) Azalan: \( [-r, \infty) \) |
| Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri |
Minimum: \( (-r, k) \) noktasında Değer: \( f(-r) = k \) Maksimum yoktur (sınırsız artar) |
Maksimum: \( (-r, k) \) noktasında Değer: \( f(-r) = k \) Minimum yoktur (sınırsız azalır) |
Örnek: f(x) = 2(x-3)² + 1 (a > 0, r = -3, k = 1)
- Tepe noktası: (-r, k)
- a > 0 → kollar yukarı (min), a < 0 → kollar aşağı (max)
- Simetri ekseni: x = -r
Sayfa 204-205: 5. Uygulama (Soru 4)
Karesel Fonksiyonlar – Nitel Özellik İncelemesi
m(x) = -2(x + 2)²
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \) (tüm gerçek sayılar)
- Görüntü Kümesi: \( (-\infty, 0] \)
b) Artan-Azalan Aralıklar ve Maksimum-Minimum
- Artan: \( (-\infty, -2] \)
- Azalan: \( [-2, \infty) \)
- Maksimum: \( (-2, 0) \), değeri \( 0 \)
- Minimum: Yok (sınırsız azalır)
n(x) = 3(x - 1)² + 1
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \) (tüm gerçek sayılar)
- Görüntü Kümesi: \( [1, \infty) \)
b) Artan-Azalan Aralıklar ve Maksimum-Minimum
- Azalan: \( (-\infty, 1] \)
- Artan: \( [1, \infty) \)
- Minimum: \( (1, 1) \), değeri \( 1 \)
- Maksimum: Yok (sınırsız artar)
Sayfa 206-207: 5. Uygulama (Soru 5)
Karesel Fonksiyonlar – Tablo Doldurma
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri
| Fonksiyon | İnceleme Türü | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|
k(x) = 2x²
|
Grafik | ℝ | [0, ∞) |
| Cebirsel | ℝ (2·x² her x için tanımlı) | [0, ∞) (2x² ≥ 0) | |
r(x) = -2(x-1)²
|
Grafik | ℝ | (-∞, 0] |
| Cebirsel | ℝ (her x için tanımlı) | (-∞, 0] (-2(x-1)² ≤ 0) | |
| n(x) = 3(x-1)² + 1
|
Grafik | ℝ | [1, ∞) |
| Cebirsel | ℝ (her x için tanımlı) | [1, ∞) (3(x-1)²+1 ≥ 1) |
b) Artan-Azalan ve Maksimum-Minimum
| Fonksiyon | İnceleme Türü | Artan-Azalan Aralıklar | Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri |
|---|---|---|---|
| k(x) = 2x² | Grafik | Azalan: (-∞, 0] Artan: [0, ∞) |
Min: (0, 0), değer 0 Maks: Yok |
| Cebirsel | Azalan: (-∞, 0] Artan: [0, ∞) |
Min: (0, 0), değer 0 Maks: Yok |
|
| r(x) = -2(x-1)² | Grafik | Artan: (-∞, 1] Azalan: [1, ∞) |
Max: (1, 0), değer 0 Min: Yok |
| Cebirsel | Artan: (-∞, 1] Azalan: [1, ∞) |
Max: (1, 0), değer 0 Min: Yok |
|
| n(x) = 3(x-1)² + 1 | Grafik | Azalan: (-∞, 1] Artan: [1, ∞) |
Min: (1, 1), değer 1 Maks: Yok |
| Cebirsel | Azalan: (-∞, 1] Artan: [1, ∞) |
Min: (1, 1), değer 1 Maks: Yok |
6. Soru
4 ve 5. maddelerdeki n fonksiyonunun çizimini yaptığınız grafik ile kullandığınız matematik yazılımından elde ettiğiniz nitel özelliklerini karşılaştırınız.
- Elde edilen sonuçlar tutarlıdır.
- Grafikten ve cebirsel analizden aynı sonuçlar elde edilir.
- Fark varsa, grafik çizim hassasiyetinden veya yazılım ayarlarından kaynaklanabilir.
- Örnek: n(x) = 3(x-1)² + 1'in tepe noktası (1,1), min=1, artan/azalan aralıkları tutarlıdır.
Sayfa 208: 5. Uygulama (Soru 7)
Karesel Fonksiyonlar – Önerme Oluşturma
Önerme Oluşturma
f: R → R, f(x) = x² karesel referans fonksiyonundan türetilmiş \( g(x) = a \cdot (x + r)^2 + k \) (a, r, k ∈ R, a ≠ 0) karesel fonksiyonların nitel özellikleri hakkındaki önermenizi a > 0, r > 0, k > 0 ve a < 0, r > 0, k > 0 için ayrı ayrı oluşturunuz.
Nitel Özellikler – Önerme Tablosu
| Nitel Özellik | a > 0, r > 0, k > 0 | a < 0, r > 0, k > 0 |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | Tüm gerçek sayılar (R) | Tüm gerçek sayılar (R) |
| Görüntü Kümesi | \( [k, \infty) \) (k'dan başlayarak sonsuza) | \( (-\infty, k] \) (eksi sonsuzdan k'ya kadar) |
| Artanlığı-Azalanlığı |
Azalan: \( (-\infty, -r] \) Artan: \( [-r, \infty) \) |
Artan: \( (-\infty, -r] \) Azalan: \( [-r, \infty) \) |
| Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri |
Minimum: \( (-r, k) \) Değer: \( f(-r) = k \) Maksimum yoktur |
Maksimum: \( (-r, k) \) Değer: \( f(-r) = k \) Minimum yoktur |
a > 0 (örnek: a=2, r=3, k=1)
a < 0 (örnek: a=-2, r=3, k=1)
- Tepe noktası (-r, k)'dır.
- a > 0 ise kollar yukarı, min = k (x = -r'de), görüntü [k, ∞).
- a < 0 ise kollar aşağı, max = k (x = -r'de), görüntü (-∞, k].
- Simetri ekseni: x = -r
Sayfa 208-209: 5. Uygulama (Soru 8)
Futbol Topu Hareketi – Karesel Fonksiyon ile Modelleme
Futbol Topu Hareketi
Bir futbolcunun kaleye çektiği şutta topun havadaki hareketini gösteren görsel verilmiştir. Futbol topunun bu hareketi, topun yerden yüksekliğinin (m) zamana bağlı (sn.) değişimini ifade eden \[ f(t) = -\frac{1}{2}(t - 4)^2 + 8 \] şeklinde tanımlanan karesel fonksiyon ile modellenmiştir.
Çözüm
Dönüşümler:
- Referans fonksiyon: \( f(x) = x^2 \)
- 1. Adım: \( x \) ekseninde 4 birim sağa öteleme → \( (t-4)^2 \)
- 2. Adım: \( y \) ekseninde 1/2 kat genişleme → \( \frac{1}{2}(t-4)^2 \)
- 3. Adım: \( x \) eksenine göre yansıma (a negatif) → \( -\frac{1}{2}(t-4)^2 \)
- 4. Adım: \( y \) ekseninde 8 birim yukarı öteleme → \( -\frac{1}{2}(t-4)^2 + 8 \)
Tepe Noktası ve Maksimum Yükseklik:
- Fonksiyonun tepe noktası: (4, 8)
- a = -1/2 < 0 olduğu için kollar aşağı, tepe noktası maksimum noktadır.
- Maksimum yükseklik: 8 metre
- Bu yüksekliğe ulaştığı zaman: t = 4 saniye
Sayfa 209: 5. Uygulama (Soru 9-10)
Nitel Özellikler – Grafik ile Doğrulama ve Cebirsel İspat
9. Soru: Nitel Özellikler – Grafik ile Doğrulama ve Cebirsel İspat
g(x) = a(x+r)² + k (a > 0, r > 0, k > 0) fonksiyonu için.
| Nitel Özellik | Grafik ile Doğrulama | Cebirsel İspat |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | Grafik tüm gerçek sayılarda tanımlıdır (parabol sonsuza gider). | \( g(x) = a(x+r)^2 + k \), \( \forall x \in \mathbb{R} \) için tanımlıdır. → \( D_g = \mathbb{R} \) |
| Görüntü Kümesi | Kollar yukarı, tepe (-r, k) → en küçük değer k'dir. | \( (x+r)^2 \ge 0 \) → \( a(x+r)^2 \ge 0 \) → \( g(x) \ge k \) → \( G_g = [k, \infty) \) |
| İşareti | k > 0 olduğu için tüm grafik pozitif bölgededir. | \( g(x) \ge k > 0 \) → \( g(x) > 0 \) (her zaman pozitif) |
| Artanlığı-Azalanlığı | Tepe noktası (-r, k), solunda azalan, sağında artan. | \( x_1 < x_2 \le -r \) için azalan, \( -r \le x_1 < x_2 \) için artan. |
| Maksimum-Minimum Noktaları ve Değerleri |
Tepe noktası (-r, k) minimumdur. Maksimum yok. | \( g(x) \ge k \) ve \( g(-r) = k \) → Min: (-r, k), Maks: yok |
10. Soru: Yöntem Karşılaştırması
Örnek: g(x) = x² + 2 için Bire Birlik ve Artan-Azalanlık
| Nitel Özellik | Grafik ile Doğrulama | Cebirsel İspat |
|---|---|---|
| Bire Birlik | Parabol y eksenine göre simetrik, f(-1) = f(1) = 3 → bire bir değil. | \( f(x_1) = f(x_2) \) → \( x_1^2 + 2 = x_2^2 + 2 \) → \( x_1^2 = x_2^2 \) → \( x_1 = \pm x_2 \) → bire bir değil. |
| Artan-Azalan | Tepe (0,2), solunda azalan, sağında artan. | \( x_1 < x_2 \le 0 \) için azalan, \( 0 \le x_1 < x_2 \) için artan. |
Yöntem Değerlendirmesi:
- Grafik ile Doğrulama: Görsel ve sezgisel, anlaşılması kolay, ancak yaklaşık değerler verebilir.
- Cebirsel İspat: Kesin ve genel geçer, tüm durumlar için geçerlidir, ancak daha soyut ve zaman alıcı olabilir.
- Kullanışlılık: Öğrenme aşamasında grafik, ispat ve ileri düzeyde cebirsel yöntem daha etkilidir.
Sayfa 211: 5. Sıra Sizde
Genel Ağ Hızı – Parabolik Model
Telekomünikasyon Şirketi
Bir telekomünikasyon şirketi müşterilerine sınırsız genel ağ hizmeti vermektedir. Bu hizmeti, müşterilerin kullandığı kotaya bağlı olarak 25 Mbps ile 100 Mbps arasında değişen hızlarda sunmaktadır.
Genel ağ hızı (Mbps) – Gün grafiği parabol şeklindedir.
Genel Ağ Hızı - Zaman Grafiği
Çözüm
a) En yüksek hızın alındığı gün:
- Tepe noktası: 15. gün
b) Hızın arttığı ve azaldığı aralıklar:
- Artan: 0 ile 15. gün arası (hız yükseliyor)
- Azalan: 15 ile 25. gün arası (hız düşüyor)
c) En yüksek hız:
- 100 Mbps (15. günde)
d) Cebirsel İfade:
- Tepe noktası: T(15, 100) → r = -15, k = 100
- \( f(x) = a(x - 15)^2 + 100 \)
- Bilinen nokta: (0, 25) → \( 25 = a(0 - 15)^2 + 100 \)
- \( 225a = -75 \) → \( a = -\dfrac{1}{3} \)
- \( f(x) = -\dfrac{1}{3}(x - 15)^2 + 100 \)
e) 64 Mbps hızının alındığı günler:
- \( -\dfrac{1}{3}(x - 15)^2 + 100 = 64 \)
- \( -\dfrac{1}{3}(x - 15)^2 = -36 \)
- \( (x - 15)^2 = 108 \)
- \( x - 15 = \pm \sqrt{108} = \pm 6\sqrt{3} \)
- \( x_1 = 15 - 6\sqrt{3} \approx 15 - 10,4 = \mathbf{4,6} \) (≈ 5. gün)
- \( x_2 = 15 + 6\sqrt{3} \approx 15 + 10,4 = \mathbf{25,4} \) (≈ 25. gün)
d) \( f(x) = -\dfrac{1}{3}(x - 15)^2 + 100 \)
e) 64 Mbps: yaklaşık 5. ve 25. günler
Sayfa 212: Performans Ödevi
PDF ve DOCX dokümanlarını inceleyin ve indirin
Performans Ödevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 213-215: 6. Uygulama
Kafe Geliri – Karesel Fonksiyon ile Maksimizasyon
1. Tamkareye Tamamlama
| Fonksiyon | Tamkare Formu | Sıfırlar | İşaret Tablosu |
|---|---|---|---|
| f(x) = x² + 4x | f(x) = (x+2)² - 4 | x = 0, x = -4 | + (-∞, -4) 0 (-4, 0) + (0, ∞) |
g(x) = x² - 6x.png)
|
g(x) = (x-3)² - 9 | x = 0, x = 6 | + (-∞, 0) 0 (0, 6) + (6, ∞) |
h(x) = -x² + 2x - 1
.png)
|
h(x) = -(x-1)² | x = 1 (çift katlı) | - (-∞, 1) 0 (1) - (1, ∞) |
m(x) = x² - 4x + 5
.png)
|
m(x) = (x-2)² + 1 | Yok (diskriminant < 0) | + tüm reel sayılar |
2-3. Artan/Azalan ve Maksimum/Minimum
| Fonksiyon | Azalan | Artan | Minimum | Maksimum | Min Değer |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² + 4x | (-∞, -2] | [-2, ∞) | x = -2 | Yok | -4 |
| g(x) = x² - 6x | (-∞, 3] | [3, ∞) | x = 3 | Yok | -9 |
| h(x) = -x² + 2x - 1 | [1, ∞) | (-∞, 1] | Yok | x = 1 | 0 |
| m(x) = x² - 4x + 5 | (-∞, 2] | [2, ∞) | x = 2 | Yok | 1 |
4. Problem: Kafe Geliri
Kahve fiyatı 120 TL, günlük müşteri 200 kişi. Her 10 TL artışta 20 kişi azalıyor.
a) Müşteri sayısı ve fiyat:
- Müşteri sayısı: \( M(x) = 200 - 20x \)
- Yeni fiyat: \( F(x) = 120 + 10x \)
- \( x \): her 10 TL'lik fiyat artışı (x ≥ 0 için)
b) Gelir fonksiyonu:
- \( g(x) = (200 - 20x)(120 + 10x) \)
- \( g(x) = 24000 + 2000x - 2400x - 200x^2 \)
- \( g(x) = -200x^2 - 400x + 24000 \)
c) Tamkare formu:
- \( g(x) = -200(x^2 + 2x) + 24000 \)
- \( g(x) = -200(x^2 + 2x + 1 - 1) + 24000 \)
- \( g(x) = -200[(x+1)^2 - 1] + 24000 \)
- \( g(x) = -200(x+1)^2 + 200 + 24000 \)
- \( g(x) = -200(x+1)^2 + 24200 \)
c) Maksimum Gelir Sağlayan Fiyat:
- Gelir fonksiyonu: \( g(x) = -200(x+1)^2 + 24200 \)
- \( a = -200 < 0 \) olduğu için parabol kolları aşağı doğrudur.
- Tepe noktasında maksimum değer alınır: \( x = -1 \)
- \( x = -1 \): 10 TL'lik fiyat indirimi anlamına gelir.
- Yeni fiyat = 120 + 10(-1) = 120 - 10 = 110 TL
d) Maksimum Gelir:
- Maksimum gelir = \( k = \mathbf{24200\ TL} \)
- veya \( g(-1) = -200(0)^2 + 24200 = 24200 \)
Sağlaması:
- Yeni fiyat: 110 TL
- Yeni müşteri sayısı: 200 + 20 = 220 kişi
- Toplam gelir: 110 × 220 = 24.200 TL
- Mevcut durum: 120 × 200 = 24.000 TL
- Artış: 24.200 - 24.000 = 200 TL (maksimum gelir sağlandı)
ç) Maksimum gelir için fiyat: 110 TL
d) Maksimum günlük gelir: 24.200 TL
5. Yöntemlerin Değerlendirilmesi (Tartışma Sorusu)
Tamkareye tamamlama, grafik temsili ve çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
1. Tamkareye Tamamlama:
- Kullanışlılık: Tepe noktası (maksimum-minimum), simetri eksenini doğrudan verir. Dönüşümlerle grafik çizimi kolaylaşır.
- Sınırları: Cebirsel işlemler bazen karmaşık olabilir, hata yapmaya açıktır (özellikle a ≠ 1 ise).
2. Grafik Temsili:
- Kullanışlılık: Fonksiyonun karakterini (kolların yönü, artan-azalan aralıklar, eksenleri kestiği yerler) tek bakışta gösterir. Nitel özellikler için en iyi görsel araçtır.
- Sınırları: Tam değerler (özellikle irrasyonel kökler) grafikten zor okunur. Kabataslak çizim nicel kesinlik sağlamaz.
3. Çarpanlara Ayırma (Kökleri Bulma):
- Kullanışlılık: Sıfırları (x eksenini kestiği noktalar) ve işaret tablosunu bulmak için en hızlı yöntemdir. Tepe noktası = (x₁ + x₂)/2 ile pratiktir.
- Sınırları: Her karesel fonksiyon çarpanlarına ayrılamaz. Reel kökü olmayan fonksiyonlarda bu yöntem maksimum-minimum bulmak için doğrudan kullanılamaz.
Sayfa 216: 6. Sıra Sizde
Karesel Fonksiyonlarda Dönüşüm, Sıfır, İşaret, Artan-Azalan, Maksimum-Minimum
1. f(x) = x² - 2x + 1
a) Dönüşümlerle Grafik:
- \( f(x) = (x-1)^2 \) (tamkare formu)
- Referans: \( f(x) = x^2 \) → x ekseninde sağa 1 birim ötelenmiş
| Özellik | Değer / Aralık |
|---|---|
| b) Sıfırlar | x = 1 (çift katlı) |
| İşaret Tablosu | + (tüm reel sayılar), x=1'de sıfır |
| c) Artan | [1, ∞) |
| Azalan | (-∞, 1] |
| d) Minimum | x = 1, değer = 0 |
| Maksimum | Yok |
.png)
2. g(x) = -x² - 4x
a) Dönüşümlerle Grafik:
- \( g(x) = -(x^2 + 4x) = -(x+2)^2 + 4 \)
- Referans: \( f(x) = x^2 \) → x ekseninde sola 2, y ekseninde yukarı 4, x eksenine göre yansıma
| Özellik | Değer / Aralık |
|---|---|
| b) Sıfırlar | x = 0, x = -4 |
| İşaret Tablosu | + (-4, 0), - (-∞, -4) ∪ (0, ∞) |
| c) Artan | (-∞, -2] |
| Azalan | [-2, ∞) |
| d) Maksimum | x = -2, değer = 4 |
| Minimum | Yok |
.png)
3. h(x) = x² + 6x + 10
a) Dönüşümlerle Grafik:
- \( h(x) = (x+3)^2 + 1 \)
- Referans: \( f(x) = x^2 \) → x ekseninde sola 3, y ekseninde yukarı 1
| Özellik | Değer / Aralık |
|---|---|
| b) Sıfırlar | Yok (diskriminant < 0) |
| İşaret Tablosu | + (tüm reel sayılar) |
| c) Artan | [-3, ∞) |
| Azalan | (-∞, -3] |
| d) Minimum | x = -3, değer = 1 |
| Maksimum | Yok |
.png)
Sayfa 217-218: 7. Sıra Sizde
Karesel Fonksiyonda Kısıtlı Tanım Aralığında Görüntü Kümesi
7. Sıra Sizde
\( f(x) = x^2 - 2x \) şeklinde tanımlı f fonksiyonunun aşağıda verilen tanım aralıklarında cebirsel ve grafik temsillerinden faydalanarak görüntü kümelerini bulunuz.
Çözüm
a) \( x \ge 0 \)
- Tepe noktası: \( x = 1 \), \( f(1) = -1 \)
- x ≥ 0 için fonksiyon [0,1] azalan, [1,∞) artan
- Minimum: -1, Maksimum: ∞ (sınırsız)
- Görüntü kümesi: \( [-1, \infty) \)
b) \( -4 \le x < -1 \)
- Bu aralıkta fonksiyon azalandır (tepe noktası x=1 sağında)
- \( f(-4) = 16 + 8 = 24 \), \( f(-1) = 1 + 2 = 3 \)
- f(-1) dahil değil (x < -1), f(-4) dahil
- Görüntü kümesi: \( (3, 24] \)
c) \( -2 \le x \le 3 \)
- Tepe noktası x=1 aralık içinde → minimum -1
- Uç noktalar: f(-2) = 4+4=8, f(3) = 9-6=3
- Maksimum: 8 (x=-2'de)
- Görüntü kümesi: \( [-1, 8] \)
a) \( x \ge 0 \) → \( [-1, \infty) \)
b) \( -4 \le x < -1 \) → \( (3, 24] \)
c) \( -2 \le x \le 3 \) → \( [-1, 8] \)
Sayfa 220: 8. Sıra Sizde
Karesel Fonksiyonda Bire Birlik, Örtenlik ve Tek/Çiftlik
8. Sıra Sizde
\( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x) = x^2 - 2x + 2 \) şeklinde tanımlı g fonksiyonu veriliyor.
Çözüm
a) Bire Birlik İncelemesi:
- \( g(x) = (x-1)^2 + 1 \) (tamkare formu)
- Parabol kolları yukarı, tepe noktası (1,1)
- Örneğin: \( g(0) = 2 \) ve \( g(2) = 2 \) → farklı x değerleri aynı y değerini verir.
- Bire bir değildir.
b) Örtenlik İncelemesi:
- \( g(x) = (x-1)^2 + 1 \) → en küçük değer 1'dir.
- Fonksiyon 1'den küçük değerler alamaz.
- Örneğin \( y = 0 \) için çözüm yoktur.
- Örten değildir.
c) Tek/Çift Fonksiyon İncelemesi:
- \( g(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 2 = x^2 + 2x + 2 \)
- \( g(x) = x^2 - 2x + 2 \)
- \( g(-x) \neq g(x) \) → çift değil
- \( g(-x) \neq -g(x) \) → tek değil
- Ne tek ne çifttir.
a) Bire bir değil
b) Örten değil
c) Ne tek ne çift
Sayfa 220: Performans Ödevi
Karesel Fonksiyonlar – PDF ve DOCX dokümanları
Performans Ödevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 221-222: 7. Uygulama
Karesel Fonksiyonlarda Önerme İspatı – Grafik ve Cebirsel Yaklaşım
7. Uygulama: Karesel Fonksiyonların Nitel Özellikleri
\( k \ge 0 \) olmak üzere \( g(x) = x^2 + k \) fonksiyonunun ispat ve doğrulama çalışması.
✅ \( k \ge 0 \) olmak üzere \( g(x) = x^2 + k \) fonksiyonunun azalan olduğu aralık \( (-\infty, 0] \)'dir.
Grafiksel Doğrulama:
- \( x \) değerleri soldan sağa (\( -\infty \)'dan 0'a) doğru arttıkça grafik aşağı doğru iner.
- \( y \) değerleri azalır.
- Tepe noktası (0, k) minimum noktadır.
Cebirsel İspat:
- Her \( x_1, x_2 \in (-\infty, 0] \) için \( x_1 < x_2 \le 0 \) olsun.
- \( x_1^2 > x_2^2 \) (negatif sayılarda kare büyür).
- \( x_1^2 + k > x_2^2 + k \) → \( g(x_1) > g(x_2) \)
- \( x_1 < x_2 \) iken \( g(x_1) > g(x_2) \) → azalandır.
✅ \( k \ge 0 \) olmak üzere \( g(x) = x^2 + k \) fonksiyonunun artan olduğu aralık \( [0, \infty) \)'dir.
Grafiksel Doğrulama:
- \( x \) değerleri soldan sağa (0'dan \( +\infty \)'a) doğru arttıkça grafik yukarı doğru yükselir.
- \( y \) değerleri artar.
Cebirsel İspat:
- Her \( x_1, x_2 \in [0, \infty) \) için \( 0 \le x_1 < x_2 \) olsun.
- \( x_1^2 < x_2^2 \) (pozitif sayılarda kare büyür).
- \( x_1^2 + k < x_2^2 + k \) → \( g(x_1) < g(x_2) \)
- \( x_1 < x_2 \) iken \( g(x_1) < g(x_2) \) → artandır.
✅ \( k \ge 0 \) olmak üzere \( g(x) = x^2 + k \) fonksiyonunun maksimum değeri yoktur.
Grafiksel Doğrulama:
- Parabol kolları yukarı açılır.
- \( x \to \pm\infty \) için \( g(x) \to +\infty \)
- Üstte bir sınır yoktur.
Cebirsel İspat (Çelişki Yoluyla):
- Varsayalım ki maksimum değer \( M \) olsun.
- \( x = \sqrt{|M - k| + 1} \) seçilirse:
- \( g(x) = x^2 + k = |M - k| + 1 + k \ge M + 1 > M \)
- Bu çelişki, maksimum değerin olmadığını gösterir.
2. Yöntemlerin Karşılaştırılması ve Tartışılması
- Grafiksel Doğrulama: Görsel, sezgisel, hızlı analiz sağlar. Ancak tek başına matematiksel ispat sayılmaz.
- Cebirsel İspat: Kesin, genellenebilir, tüm reel sayılar için geçerlidir. Soyut düşünme gerektirir.
- Sonuç: İki yöntem birlikte kullanılmalıdır. Grafik hipotez kurar, cebir ise kesinleştirir.
Azalan: \( (-\infty, 0] \) | Artan: \( [0, \infty) \) | Minimum: \( k \) | Maksimum: Yok
Sayfa 223: Alıştırmalar
Karesel Fonksiyonlar – Katsayı Sıralama, Füze, Kâr ve Arsa Problemleri
1. Soru
\( f(x) = x^2 \), \( g(x) = -x^2 \), \( h(x) = ax^2 \), \( k(x) = bx^2 \), \( m(x) = cx^2 \), \( t(x) = dx^2 \) grafikleri verilmiştir.
a) Katsayıları küçükten büyüğe sıralayınız:
- Kolları yukarı bakanlar: \( f(x)=x^2 \), \( k(x)=bx^2 \), \( h(x)=ax^2 \) (pozitif katsayılar)
- Kolları aşağı bakanlar: \( g(x)=-x^2 \), \( m(x)=cx^2 \), \( t(x)=dx^2 \) (negatif katsayılar)
- Kural: Kollar \( y \) eksenine yaklaştıkça katsayının mutlak değeri artar.
- Negatifler: \( d < -1 < c < 0 \)
- Pozitifler: \( 0 < a < 1 < b \)
- Sıralama: \( d < -1 < c < 0 < a < 1 < b \) → \( \mathbf{d < c < a < b} \)
b) Katsayıların en geniş değer aralıkları:
- \( a \in (0, 1) \) (f(x)=x²'den daha geniş, pozitif)
- \( b \in (1, \infty) \) (f(x)=x²'den daha dar, pozitif)
- \( c \in (-1, 0) \) (negatif, f(x)=x²'den daha geniş)
- \( d \in (-\infty, -1) \) (negatif, f(x)=x²'den daha dar)
2. Soru
\( f(t) = -0,1(t - 5)^2 + 2,5 \) füze yüksekliği modeli.
a) Grafik:
- Tepe noktası: \( T(5, 2,5) \)
- y-kesimi: \( f(0) = 0 \) (orijinden başlar)
- Kökler: \( t = 0 \) ve \( t = 10 \)
- b) Maksimum yükseklik: \( \mathbf{2,5} \) km
- c) Yere düşme süresi: \( \mathbf{10} \) saniye
3. Soru
\( g(x) = -2x^2 + 50x \) (gelir), \( m(x) = 10x + 100 \) (maliyet).
- Kâr fonksiyonu: \( k(x) = -2x^2 + 50x - (10x + 100) = -2x^2 + 40x - 100 \)
- Tepe noktası: \( x = -\frac{40}{2(-2)} = 10 \)
- a) Maksimum kâr için üretim: \( \mathbf{10} \) adet
- b) Maksimum kâr: \( k(10) = -2(100) + 400 - 100 = \mathbf{100} \) TL
4. Soru
Dikdörtgen arsa, çevre 400 m, bir kenar x.
- a) Alan fonksiyonu: \( a(x) = x(200 - x) = -x^2 + 200x \)
- b) Maksimum alan için kenarlar: \( x = 100 \) m, diğer kenar \( 100 \) m (kare)
- c) Maksimum alan: \( \mathbf{10000} \) m²