Sayfalara Git
Sayfa 15: Konuya Başlarken
Yelkenli direğinin halatlarla sabitlenmesi – Benzerlik ve Trigonometri
Yelkenlilerde Direk Güçlendirmesi
Yelkenlilerde direk uzunsa halatlarla güverteye sabitlenerek güçlendirilir.
Yanda [AC] yelkenli direğinin güverte tabanına sabitlenmesi amacıyla birbirine paralel konumlandırılmış [CD] ve [BE] halatlarından oluşan görsel verilmiştir. Görseldeki direk güverte tabanına dik; A, B, C noktaları direk üzerinde ve doğrusal; A, E, D noktaları güverte tabanı üzerinde ve doğrusaldır. (Halatların kalınlığını dikkate almayınız.)
Yelkenli Direk ve Halatlar
Yelkenli
[AC] direk, [CD] ve [BE] paralel halatlar, A, B, C doğrusal, A, E, D doğrusal
Tartışma Soruları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Halatların uzunlukları ile direk uzunluğu bilindiğinde kısa halatın direk ile bağlantı noktası olan B'nin güverteye uzaklığının ([BA]'nun) hangi yöntemlerle bulunabileceğini tartışınız.
- Benzerlik (Temel Orantı Teoremi): [BE] // [CD] olduğu için ABE ve ACD üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı kullanılarak BA bulunabilir: \( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{|BE|}{|CD|} \)
- Trigonometri: A noktasındaki ortak açı kullanılarak sinüs, kosinüs veya tanjant değerleriyle BA hesaplanabilir.
- Pisagor Teoremi: ABE ve ACD dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı kullanılabilir.
Uzun halatın uzunluğunun direğin boyuna oranı ile kısa halatın uzunluğunun [BA]'na oranı arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
ABE ve ACD benzer üçgenler olduğu için:
Yani uzun halatın direğin boyuna oranı, kısa halatın BA'ya oranına eşittir. Bu oran, A noktasındaki açının sinüsüne veya kosinüsüne bağlıdır.
Sayfa 15: 1. Uygulama
Bir Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları
Uygulama Adımları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıfta üç farklı gruba ayrılınız. 1, 2 ve 3. adımları grubunuz ile uygulayınız. 4. adımda diğer grupların yaptığı sunumları dikkate alarak 1 ve 3. adımdaki diğer gruplara ait alanları uygun şekilde doldurunuz.
1. Grup Çizim Alanı
3-4-5 üçgeni ile benzer ve kenar uzunlukları tam sayı olan üç farklı üçgen çiziniz.
2. Grup Çizim Alanı
Üçgenin bir dar açısına göre kenar uzunluklarının oranları ile ilişkisini ifade eden varsayımlar oluşturunuz.
"Benzer üçgenlerde birbirine eş olan dar açıların karşısındaki kenarların uzunlukları oranı değişmez."
- Bir dik üçgende α açısı sabit kaldığında, α'nın karşısındaki kenarın hipotenüse oranı sabittir.
- α açısının komşu kenarının hipotenüse oranı da sabittir.
- α açısının karşısındaki kenarın komşu kenara oranı sabittir.
- Bu oranlar üçgenin boyutundan bağımsızdır, sadece açıya bağlıdır.
3. Grup Çizim Alanı
Çizdiğiniz her bir dik üçgenin en küçük dar açısının ölçüsünü α olarak isimlendiriniz.
3. Adım: Oranlar Tablosu
Çizdiğiniz üçgenden faydalanarak size ayrılan sütunu doldurunuz.
| Oran | 1. Grup (3-4-5) | 2. Grup (5-12-13) | 3. Grup (8-15-17) |
|---|---|---|---|
| Karşı dik kenar / Hipotenüs | 3/5 = 0,6 | 5/13 ≈ 0,3846 | 8/17 ≈ 0,4706 |
| Komşu dik kenar / Hipotenüs | 4/5 = 0,8 | 12/13 ≈ 0,9231 | 15/17 ≈ 0,8824 |
| Karşı dik kenar / Komşu dik kenar | 3/4 = 0,75 | 5/12 ≈ 0,4167 | 8/15 ≈ 0,5333 |
| Komşu dik kenar / Karşı dik kenar | 4/3 ≈ 1,333 | 12/5 = 2,4 | 15/8 = 1,875 |
7a) Tablo 1: Sinüs ve Kosinüs Değerleri
Tablo 1'de verilen sinüs ve kosinüs değerlerini üçgenlerin dar açılarına göre yazınız.
| Üçgen | Dar Açıların Sinüs Değerleri | Dar Açıların Kosinüs Değerleri |
|---|---|---|
| ABC |
sin B = 4/5 (α açısı için) sin C = 3/5 (β açısı için) |
cos B = 3/5 (α açısı için) cos C = 4/5 (β açısı için) |
| DEF |
sin E = 5/13 (α açısı için) sin F = 12/13 (β açısı için) |
cos E = 12/13 (α açısı için) cos F = 5/13 (β açısı için) |
| KLN |
sin K = 8/17 (α açısı için) sin L = 15/17 (β açısı için) |
cos K = 15/17 (α açısı için) cos L = 8/17 (β açısı için) |
7b) Tablo 2: Tanjant ve Kotanjant Değerleri
Tablo 2'de verilen tanjant ve kotanjant değerlerini üçgenlerin dar açılarına göre yazınız.
| Üçgen | Dar Açıların Tanjant Değerleri | Dar Açıların Kotanjant Değerleri |
|---|---|---|
| ABC |
tan B = 4/3 (α açısı için) tan C = 3/4 (β açısı için) |
cot B = 3/4 (α açısı için) cot C = 4/3 (β açısı için) |
| DEF |
tan E = 5/12 (α açısı için) tan F = 12/5 (β açısı için) |
cot E = 12/5 (α açısı için) cot F = 5/12 (β açısı için) |
| KLN |
tan K = 8/15 (α açısı için) tan L = 15/8 (β açısı için) |
cot K = 15/8 (α açısı için) cot L = 8/15 (β açısı için) |
9. Soru: Problem Çözümü
Spor merkezine dik üçgen şeklinde iki adet toplanma alanı yapılıyor. Her iki toplanma alanının dar açılarından birinin ölçüsü α'dır. Toplanma alanlarından bir tanesinin dik kenar uzunlukları 3 ve 6 metre, diğer toplanma alanının dik kenar uzunlukları 8 ve x metredir.
Çözüm:
Her iki üçgenin α açısı aynı olduğu için üçgenler benzerdir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.
Cevap: x = 16 metre
Sayfa 18: 1. Sıra Sizde
Zipline Parkuru – Trigonometri ile Uzaklık Hesaplama
1. Sıra Sizde
Yandaki görselde yere dik duran iki direk arasında bir ip ile oluşturulan zipline parkurundaki bir kişinin anlık görüntüsü verilmiştir. Uzun ve kısa direğin ip ile yaptığı açı ölçüleri sırasıyla 75° ve 85°'dir.
Zipline Parkuru Görseli
Zipline Parkuru Görseli
Uzun direk yüksekliği 50 m, kısa direk yüksekliği 33 m, kişi yerden 32 m yüksekte, açılar 75° ve 85°
Çözüm
Verilenler:
- Uzun direk yüksekliği (AC) = 50 m
- Kısa direk yüksekliği (BD) = 33 m
- Kişinin yerden yüksekliği = 32 m
- Uzun direkteki açı (α) = 75°
- Kısa direkteki açı (β) = 85°
- tan 75° ≈ 3,7 ve tan 85° ≈ 11,4
Modelleme:
Kişinin bulunduğu noktadan zemine dik çizelim. Kişi yerden 32 m yüksektedir.
- Uzun direğin tepesinden kişiye olan düşey mesafe: 50 - 32 = 18 m
- Kısa direğin tepesinden kişiye olan düşey mesafe: 33 - 32 = 1 m
Hesaplama:
-
Uzun direkten kişiye olan yatay mesafe (x₁):
tan 75° = karşı / komşu = 18 / x₁
x₁ = 18 / tan 75° = 18 / 3,7 ≈ 4,86 m -
Kısa direkten kişiye olan yatay mesafe (x₂):
tan 85° = karşı / komşu = 1 / x₂
x₂ = 1 / tan 85° = 1 / 11,4 ≈ 0,088 m -
İki direk arasındaki toplam yatay uzaklık:
x = x₁ + x₂ = 4,86 + 0,088 = ≈ 4,95 m
Sayfa 19-20: 2. Uygulama
Trigonometrik Özdeşlikler – Grup Çalışması
Uygulama Adımları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıfta üç farklı gruba ayrılınız. 1, 2 ve 3. adımları grubunuz ile uygulayınız. 4. adımda diğer grupların yaptığı sunumları dikkate alarak tabloyu tamamlayınız.
1. Grup Çizim Alanı
3-4-5 dik üçgeni çiziniz. En küçük dar açı α, diğer dar açı β olsun.
2. Grup Çizim Alanı
5-12-13 dik üçgeni çiziniz. En küçük dar açı α, diğer dar açı β olsun.
3. Grup Çizim Alanı
ABC dik üçgeni çiziniz. \( m(\angle A) = 90^\circ \), \( m(\angle B) < m(\angle C) \).
3. Adım: Trigonometrik Oranlar Tablosu
Çizdiğiniz üçgenlerden hareketle tabloyu doldurunuz.
| Oran | 1. Grup (3-4-5) | 2. Grup (5-12-13) | 3. Grup (ABC) |
|---|---|---|---|
| sin α | 3/5 | 5/13 | b/a |
| sin β | 4/5 | 12/13 | c/a |
| cos α | 4/5 | 12/13 | c/a |
| cos β | 3/5 | 5/13 | b/a |
| tan α | 3/4 | 5/12 | b/c |
| tan β | 4/3 | 12/5 | c/b |
| cot α | 4/3 | 12/5 | c/b |
| cot β | 3/4 | 5/12 | b/c |
5. Genellemeler (Özdeşlikler)
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\)
Örnek (3-4-5): (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)
\(\tan \beta \cdot \cot \beta = 1\)
Örnek (3-4-5): (3/4) × (4/3) = 1
\(\sin \alpha = \cos \beta\) ve \(\sin \beta = \cos \alpha\)
\(\tan \alpha = \cot \beta\) ve \(\tan \beta = \cot \alpha\)
Örnek (3-4-5): sin α = 3/5 = cos β, tan α = 3/4 = cot β
7. Problem: İş Merdiveni
Verilenler:
- Merdiven her bir kenarı: 2,5 m
- Merdivenin zeminle yaptığı açı: 50°
- sin 40° ≈ 0,6 (kullanılacak)
Çözüm:
- Merdiven bir ikizkenar üçgen oluşturur.
- Tepe açısı = 180° - 50° - 50° = 80°
- Yarı açı: 80°/2 = 40°
- Yarım üçgende: sin 40° = (x/2) / 2,5
- x/2 = 2,5 × sin 40° = 2,5 × 0,6 = 1,5
- x = 2 × 1,5 = 3 metre
Sayfa 21: 2. Sıra Sizde
Kareler ve Trigonometrik Özdeşlikler
2. Sıra Sizde
Mavi, yeşil, turuncu kareler aralarında boşluk kalmayacak ve birbiri üzerine taşmayacak şekilde görseldeki gibi yerleştirilmiştir.
\(0^\circ < x < 90^\circ\) olmak üzere derece cinsinden açı ölçüsü \(x\) olan mavi karenin bir kenarının uzunluğu \(\tan x\), yeşil karenin bir kenarının uzunluğu \(\cot x\) olarak veriliyor.
Mavi ve yeşil karelerin alanları toplamı 14 birimkare olduğuna göre turuncu karenin alanının kaç birimkare olduğunu bulunuz.
Karelerin Yerleşimi
Mavi kare kenarı: tan x, Yeşil kare kenarı: cot x, Turuncu kare alanı: ?
Çözüm
Verilenler:
- Mavi karenin kenar uzunluğu = tan x
- Yeşil karenin kenar uzunluğu = cot x
- Mavi + Yeşil alanlar toplamı = 14 birimkare
Alanlar:
- Mavi karenin alanı = (tan x)² = tan² x
- Yeşil karenin alanı = (cot x)² = cot² x
- Mavi + Yeşil = tan² x + cot² x = 14
Trigonometrik Özdeşlik Kullanımı:
tan x · cot x = 1 olduğunu biliyoruz.
(tan x - cot x)² = tan² x - 2·tan x·cot x + cot² x = tan² x + cot² x - 2
(tan x + cot x)² = 14 - 2 = 12
tan x + cot x = 4 (pozitif, çünkü x dar açı)
Turuncu Karenin Alanı:
Görselde turuncu karenin bir kenarı tan x + cot x uzunluğundadır.
Turuncu karenin alanı = (tan x - cot x)² = 4² = 12
Sayfa 22-23: 3. Uygulama
Ölçüleri 30°, 45° ve 60° Olan Açıların Trigonometrik Oranları
Uygulama Adımları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıfta iki gruba ayrılınız. 1. grup eşkenar üçgen kullanarak 30° ve 60°'lik açıların trigonometrik oranlarını, 2. grup ikizkenar dik üçgen kullanarak 45°'lik açının trigonometrik oranlarını bulacaktır.
1. Grup Uygulaması (30° ve 60°)
| Uygulama Adımları | Sonuçlar |
|---|---|
| 1. Bir kenarının uzunluğu 2 cm olan ABC eşkenar üçgeni çiziniz. | ABC eşkenar üçgeni çizildi. |AB| = |BC| = |CA| = 2 cm |
| 2. BC kenarının orta noktasını H olarak isimlendirin. AH'yi çizin. | |BH| = |HC| = 1 cm, AH ⊥ BC |
| 3. BHA üçgeninde \(\widehat{ABH}\) ve \(\widehat{BAH}\) açılarının ölçüleri | m(∠ABH) = 60°, m(∠BAH) = 30° |
| 4. BHA üçgeninin kenar uzunlukları | |AB| = 2 cm, |BH| = 1 cm, |AH| = √3 cm |
| 5. ∠BAH = 30° için trigonometrik oranlar | sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3, cot 30° = √3 |
| 6. ∠ABH = 60° için trigonometrik oranlar | sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3, cot 60° = 1/√3 |
| Açı Ölçüsü | Sinüs Değeri | Kosinüs Değeri | Tanjant Değeri | Kotanjant Değeri |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 = √3/3 | √3 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 = √3/3 |
2. Grup Uygulaması (45°)
| Uygulama Adımları | Sonuçlar |
|---|---|
| 1. Dik kenar uzunlukları 3 cm olan ABC ikizkenar dik üçgeni çiziniz. | |AB| = |AC| = 3 cm, ∠A = 90° |
| 2. ∠ABC ve ∠ACB açılarının ölçüleri | m(∠ABC) = 45°, m(∠ACB) = 45° |
| 3. Hipotenüs uzunluğu | |BC| = 3√2 cm |
| 4. ∠BCA = 45° için trigonometrik oranlar | sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tan 45° = 1, cot 45° = 1 |
| Açı Ölçüsü | Sinüs Değeri | Kosinüs Değeri | Tanjant Değeri | Kotanjant Değeri |
|---|---|---|---|---|
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
Özet: Özel Açıların Trigonometrik Oranları
| Açı | Sinüs | Kosinüs | Tanjant | Kotanjant |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
Sayfa 24-25: 4. Uygulama
Trigonometrik Oranların Birbiri Türünden İfadesi
BAC Dik Üçgeni
BAC Dik Üçgeni
Hipotenüs uzunluğu 1 birim, m(∠A) = 90°, m(∠ABC) = x
1. Soru: Varsayımlar
Hipotenüs uzunluğu 1 birim olan bir dik üçgende dik kenar uzunluklarının trigonometrik oranlarla ilişkisi hakkında varsayımlarda bulununuz.
- Hipotenüs 1 birim olduğu için, bir dik kenarın uzunluğu açının sinüs veya kosinüs değerine eşittir.
- Dik kenar uzunlukları, x açısının sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden ifade edilebilir.
- Bu durumda tanjant ve kotanjant, sinüs ve kosinüsün oranı olarak yazılabilir.
- Pisagor bağıntısı: sin²x + cos²x = 1 özdeşliği sağlanır.
2. Soru: Dik Kenar Uzunlukları
a) Dik kenar uzunluklarını x türünden ifade ediniz.
|AC| = sin x (x açısının karşısındaki kenar)
|AB| = cos x (x açısının komşusundaki kenar)
b) tan x ve cot x'i sin x ve cos x türünden ifade ediniz.
tan x = sin x / cos x
cot x = cos x / sin x
c) Genellemeleriniz:
- Hipotenüsü 1 olan dik üçgende, bir dar açının sinüsü karşı dik kenara, kosinüsü komşu dik kenara eşittir.
- Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır; kotanjant ise kosinüsün sinüse oranıdır.
- sin²x + cos²x = 1 Pisagor bağıntısı sağlanır.
3. Soru: Tablo Doldurma
Verilen sinüs ve kosinüs değerlerine göre tanjant ve kotanjant değerlerini bulunuz.
| Açı Ölçüsü | Sinüs Değeri | Kosinüs Değeri | Tanjant Değeri | Kotanjant Değeri |
|---|---|---|---|---|
| α | 1/2 | √3/2 | (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3 | (√3/2)/(1/2) = √3 |
| β | 4/5 | 3/5 | (4/5)/(3/5) = 4/3 | (3/5)/(4/5) = 3/4 |
| θ | b/a | c/a | (b/a)/(c/a) = b/c | (c/a)/(b/a) = c/b |
4. Soru: Önerme
Hipotenüs uzunluğu 1 birim olan bir dik üçgende dik kenar uzunluklarının trigonometrik oranlarla ilişkisine dair önermelerinizi oluşturunuz.
- Hipotenüsü 1 birim olan bir dik üçgende, bir dar açının sinüsü o açının karşısındaki dik kenarın uzunluğuna eşittir.
- Hipotenüsü 1 birim olan bir dik üçgende, bir dar açının kosinüsü o açının komşusundaki dik kenarın uzunluğuna eşittir.
- Bir dar açının tanjantı, sinüsün kosinüse oranıdır: tan x = sin x / cos x
- Bir dar açının kotanjantı, kosinüsün sinüse oranıdır: cot x = cos x / sin x
- sin²x + cos²x = 1 Pisagor özdeşliği daima geçerlidir.
5. Soru: Eğim Problemi
Şekil 1: Yolun eğim açısı α, yükseklik farkı h, yatay uzaklık d
| Tablo 1: Bazı Açı Ölçülerinin Sinüs ve Kosinüs Değerleri | ||
|---|---|---|
| Derece | Sin | Cos |
| 15 | 0,2588 | 0,9659 |
| 16 | 0,2756 | 0,9613 |
| 17 | 0,2924 | 0,9563 |
a) Eğim yüzdesi formülünü trigonometrik oran ile ifade ediniz.
Eğim (%) = (h / d) · 100
Şekil 1'de tan α = h / d olduğu için:
Eğim (%) = tan α · 100
b) Eğim açısı 17° olan yol için eğim yüzdesini bulunuz.
- Tablo 1'den tan 17° = sin 17° / cos 17° = 0,2924 / 0,9563
- tan 17° ≈ 0,3057
- Eğim (%) = 0,3057 · 100 = 30,57%
Sayfa 25-27: 5. Uygulama
Birim Çember ve Geniş Açıların Trigonometrik Oranları
Birim Çember
1-3. Sorular: Tartışma ve Birim Çember
1. Geniş açıların trigonometrik oranlarını nasıl bulabiliriz?
Geniş açıların trigonometrik oranları, birim çember üzerinde gösterilerek bulunur. Açının bitiş kolunun çemberi kestiği noktanın koordinatları kullanılır. x koordinatı kosinüs, y koordinatı sinüs değerini verir. Ayrıca referans açı (dar açı) ile ilişkilendirilerek de bulunabilir.
2-3. Birim çember çizimi ve açıların gösterimi
Birim çember üzerinde dar açı (30°) ve geniş açı (120°) gösterilmiştir. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları (cos θ, sin θ) şeklindedir.
4. Soru: Dar Açılar için Tablo Doldurma
30°, 45° ve 60° açılarının birim çember üzerindeki koordinatları.
| Açı | Nokta | Kosinüs | Sinüs |
|---|---|---|---|
| 30° | B(√3/2, 1/2) | √3/2 | 1/2 |
| 45° | L(√2/2, √2/2) | √2/2 | √2/2 |
| 60° | N(1/2, √3/2) | 1/2 | √3/2 |
5. Soru: Koordinat ve Trigonometrik Oran İlişkisi
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları ile sinüs ve kosinüs değerleri arasındaki ilişki:
- x = cos θ (noktanın x koordinatı kosinüs değerine eşittir)
- y = sin θ (noktanın y koordinatı sinüs değerine eşittir)
- tan θ = y / x (x ≠ 0 olmak koşuluyla)
- Pisagor bağıntısı: x² + y² = 1 (sin²θ + cos²θ = 1)
6. Soru: Geniş Açılar için Tablo Doldurma
120°, 135° ve 150° açılarının birim çember üzerindeki koordinatları.
| Açı | Nokta | Kosinüs | Sinüs |
|---|---|---|---|
| 120° | (-1/2, √3/2) | -1/2 | √3/2 |
| 135° | (-√2/2, √2/2) | -√2/2 | √2/2 |
| 150° | (-√3/2, 1/2) | -√3/2 | 1/2 |
7. Soru: Geniş Açılar İçin İlişki
- II. bölgede (90° < θ < 180°): cos θ negatif, sin θ pozitiftir.
- sin(180° - θ) = sin θ
- cos(180° - θ) = -cos θ
- tan(180° - θ) = -tan θ
- Örnek: sin 120° = sin 60° = √3/2, cos 120° = -cos 60° = -1/2
8. Soru: İş (Fizik) Problemi
Bir kutu yatay bir zemin üzerinde yer değiştirme doğrultusuyla 120°'lik açı yapacak şekilde, 60 N büyüklüğünde kuvvet uygulanarak 4 metre hareket ettiriliyor. Uygulanan kuvvetin yaptığı işi bulunuz ve sistemin enerji durumunu yazınız.
Verilenler:
- F = 60 N
- d = 4 m
- θ = 120°
Çözüm:
- W = F · d · cos θ
- cos 120° = -1/2
- W = 60 · 4 · (-1/2) = -120 Joule
Sayfa 27: 4. Sıra Sizde
Benzer Dik Üçgenler ve Trigonometrik Oranlar
4. Sıra Sizde
Birbirine benzer ACD ve BCA dik üçgenleri ile oluşturulmuş ABCD dörtgeni verilmiştir.
ACD ∼ BCA, m(CAD)=m(ABC)=90°, m(ACD)=m(BCA)=x
a) Kenar Uzunlukları
AB, AC ve AD kenarlarının uzunluklarını x açı ölçüsünün trigonometrik oranları cinsinden yazınız.
Çözüm:
- ACD dik üçgeninde (hipotenüs CD = 1):
sin x = AD / CD = AD / 1 → |AD| = sin x
cos x = AC / CD = AC / 1 → |AC| = cos x - BCA dik üçgeninde (hipotenüs AC = cos x):
sin x = AB / AC = AB / cos x → |AB| = sin x · cos x
cos x = BC / AC = BC / cos x → |BC| = cos² x
b) İfade Değeri
|AD|² + |BC| ifadesini x açı ölçüsünün trigonometrik oranları cinsinden yazarak değerini bulunuz.
Çözüm:
- |AD|² = (sin x)² = sin² x
- |BC| = cos² x
- |AD|² + |BC| = sin² x + cos² x
c) Tan x · Cot x
tan(∠ACD) · cot(∠ACD) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
- tan x = sin x / cos x
- cot x = cos x / sin x
- tan x · cot x = (sin x / cos x) · (cos x / sin x) = 1
Sayfa 29: 5. Sıra Sizde
Birim Çemberde Yönlü Açılar
5. Sıra Sizde
Birim çemberde ortak köşesi orijin, ortak kolları [OL] olan dört farklı açının her birinin diğer kollarının birim çemberi kestiği noktalar K, R, M ve N'dir. Bu açıların yönlerini tabloda uygun sütuna yazınız, birim çemberde gösteriniz.
Tablo: Yönlü Açılar
| Açı Ölçüsü | Açının Yönü | Çemberi Kestiği Nokta | Birim Çemberde Gösterimi |
|---|---|---|---|
| 70° | Pozitif (Saat yönünün tersi) | K |
|
| 130° | Pozitif (Saat yönünün tersi) | R |
|
| -40° | Negatif (Saat yönü) | M |
|
| -150° | Negatif (Saat yönü) | N |
|
Birim Çemberde Tüm Noktaların Gösterimi
Pozitif açılar: saat yönünün tersi, Negatif açılar: saat yönü
Sayfa 29: Performans Görevi
Trigonometrik Oranlar Kullanmayı Gerektiren Problemler
Performans Görevi
Trigonometrik oranlar kullanmayı gerektiren problemler oluşturunuz ve çözümlerini rapor halinde sununuz.
Performans Görevi Dokümanı Ön İzlemesi
Sayfa 30: Araştırma Ödevi
Göklerin Fethi: Uluğ Bey ve Trigonometrinin Altın Çağı
Araştırma Ödevi
Türk-İslam bilim tarihinde trigonometrinin gelişimine katkı sağlayan bilim insanlarını araştırınız. Uluğ Bey ve Semerkant Rasathanesi'nin trigonometriye katkılarını inceleyen PDF ve sunum dosyalarını aşağıdan inceleyebilir ve indirebilirsiniz.
PDF Dokümanı
PowerPoint Sunumu (PPTX)
Sayfa 31: Alıştırmalar
Trigonometrik Oranlar ile Problem Çözümleri
Soru 1
14 adet eş dikdörtgen şeklinde parke kullanılarak oluşturulmuş bir zemin görseli verilmiştir. K noktasındaki kedi doğrusal şekilde önce A'ya, ardından B'ye yürümüştür. KAB açısının sinüs değerini bulunuz.
Her parke: x (kısa kenar) × 3x (uzun kenar)
Çözüm:
1. Parkelerin Boyut Oranını Belirleyelim:
- Parkenin kısa kenar uzunluğu = x
- |KA| = 4x (3 adet yatay parke + 1 boşluk = 4x)
- |AB| = 6x (dikey doğrultuda 3 adet üst yatay parke + 3 adet alt dikey parke = 6x)
2. Hipotenüs Uzunluğunu Bulalım (|KB|):
- Pisagor teoremi: |KB|² = |KA|² + |AB|²
- |KB|² = (4x)² + (6x)² = 16x² + 36x² = 52x²
- |KB| = √52x² = 2√13 x
3. KAB Açısının Sinüs Değeri:
- sin(KAB) = karşı kenar / hipotenüs = |AB| / |KB|
- sin(KAB) = 6x / (2√13 x) = 3/√13
- Paydayı √13 ile genişletirsek: sin(KAB) = 3√13 / 13
Soru 2
Su kaydırağının uzunluğu 6 metre. Kaydırak zeminle 30°, merdiven zeminle 45° açı yapacak şekilde konumlandırılmıştır. Bakım sırasında merdiven 60° açı yapacak şekilde duvara dayandığında, 2. durumda merdivenin üst ucu duvarın tepesine denk geldiğine göre duvarın yüksekliğini bulunuz.
Çözüm:
- 1. durumda merdivenin uzunluğunu bulalım (kaydırak ile aynı yükseklikte):
- Kaydırak yüksekliği = 6 · sin 30° = 6 · 1/2 = 3 m
- Merdivenin uzunluğu = 3 / sin 45° = 3 / (√2/2) = 3√2 m
- 2. durumda merdiven 60° ile duvara dayanıyor:
- Duvar yüksekliği = 3√2 · sin 60° = 3√2 · √3/2 = 3√6/2 ≈ 3,67 m
Soru 3
Zemine dik olan bir direğin tepesindeki kameranın görüş açısı 24° ve HAK açısı 69°'dir. |AH| = 35 metre olduğuna göre |AB|'yi bulunuz. (tan 69° ≈ 2,6)
Çözüm:
1. Verilenleri Belirleyelim:
- |AH| = 35 metre
- m(∠HAK) = 69°
- m(∠AKB) = 24°
- KH ⊥ HB (direk zemine dik)
- tan 69° ≈ 2,6
2. Direğin Yüksekliğini (|KH|) Bulalım:
- KHA dik üçgeninde: tan 69° = |KH| / |AH|
- 2,6 = |KH| / 35 → |KH| = 35 · 2,6 = 91 metre
3. Diğer Açıları Bulalım:
- m(∠HKA) = 90° - 69° = 21°
- m(∠HKB) = 21° + 24° = 45°
4. |AB| Uzunluğunu Hesaplayalım:
- KHB dik üçgeninde ∠HKB = 45° olduğu için ikizkenar dik üçgendir.
- |HB| = |KH| = 91 metre
- |AB| = |HB| - |AH| = 91 - 35 = 56 metre
Soru 4
A ve B blokları düz zemine dik, aralarındaki mesafe blokların boyuna eşit. |EF| = 16 m, |FG| = 10 m. |CG|'yi bulunuz. (tan 64° ≈ 2, tan 22° ≈ 0,4)
Çözüm:
1. Verilenleri Belirleyelim ve Blokların Boyunu Bulalım:
- A ve B blokları özdeş → aynı yükseklik (h) ve genişlik (10 m)
- |EF| = 16 m, |FG| = 10 m
- tan 64° ≈ 2, tan 22° ≈ 0,4
- ADE dik üçgeninde: tan 64° = h / |DE| → 2 = h / |DE| → |DE| = h/2
2. İki Blok Arasındaki Mesafeyi Kullanalım:
- |DF| = |DE| + |EF| = h/2 + 16
- İki blok arası mesafe = blokların boyu: |DF| = h
- h = h/2 + 16 → h/2 = 16 → h = 32 metre
- |DE| = 32/2 = 16 metre
3. B Blokunun Oluşturduğu Gölgeyi (|CF|) Bulalım:
- B blokunun gölge üçgeninde: tan 22° = h / |CF|
- 0,4 = 32 / |CF| → |CF| = 32 / 0,4 = 80 metre
4. Toplam Uzunluk |CG|'yi Hesaplayalım:
- |CG| = |CF| + |FG| = 80 + 10 = 90 metre