9. sınıf matematik - 5.tema: 5.1. Algoritma Temelli Yaklaşımlarla Problem Çözme - Maarif Modeli Müfredatı. Nicelikler ve değişimler

Sayfalara Git

Tema İçeriğine Dön

5.1. ALGORİTMA TEMELLİ YAKLAŞIMLARLA PROBLEM ÇÖZME

Sayfa 99: Konuya Başlarken

Königsberg Köprüleri Problemi ve Algoritma

Sayfa 99

Königsberg Köprüleri Problemi

İsviçreli matematikçi Euler (Öyler), Pregel (Pregil) Nehri üzerinde yedi köprünün yer aldığı Königsberg (Könisberk) şehrinde 1736'da bir yürüyüş rotası problemi üzerine çalışmıştır. Bu bağlamda Pregel Nehri ve civarını gösteren güncel uydu görüntüsü Görsel 1'de verilmiştir.

Euler şehrin köprülerini, yürüyüş yollarını ve A noktasının üzerinde olduğu adayı modellemiştir (Görsel 2). Her köprüden yalnızca bir kez geçmek şartıyla başlangıç noktasına dönmenin mümkün olup olmadığını araştırmıştır.

Görsel 1: Pregel Nehri ve Königsberg şehri (Güncel uydu görüntüsü)

Görsel 2: Euler'in modellemesi (A, B, C, D noktaları ve 7 köprü)

1. Soru

Rota Oluşturulabilir mi?

Görsel 2'de verilen $A, B, C$ ve $D$ noktalarından birini başlangıç noktası olarak belirleyiniz. Başladığınız noktaya dönmek için yedi köprüyü kullanarak her köprüden yalnızca bir kez geçmek şartıyla bir rota oluşturulabilir mi? Açıklayınız.

Cevap:

Hayır, oluşturulamaz. Euler bu problemi çözerken her noktaya gelen köprü sayısını incelemiştir. $A$ noktasına 5 köprü, $B$ noktasına 3 köprü, $C$ noktasına 3 köprü ve $D$ noktasına 3 köprü bağlanmaktadır. Tek bir çizgi ile (kalemi kaldırmadan) tüm köprüleri geçip başlangıç noktasına dönmek için tüm noktaların derecesinin (gelen köprü sayısı) çift olması gerekir. Ancak burada $A$ noktasının derecesi 5 (tek) olduğu için bu mümkün değildir.

2. Soru

Başlangıç Noktasının Etkisi

Seçtiğiniz başlangıç noktasının rotanız üzerindeki etkisini değerlendiriniz.

Cevap:

Başlangıç noktası seçimi, rotanın mümkün olup olmadığını değiştirmez. Tek dereceli nokta ($A$) olduğu sürece hiçbir başlangıç noktası ile tüm köprüler tekrar edilmeden geçilip başlangıca dönülemez. Eğer tüm noktaların derecesi çift olsaydı, herhangi bir noktadan başlanıp yine o noktada bitebilirdi.

3. Soru

Köprü Sayılarının Etkisi

Görsel 2'de bazı noktaların daha fazla köprüyle bağlantılı olduğu görülmektedir. Bu durumun başladığınız noktaya dönebilmek için izleyeceğiniz rotayı nasıl etkilediğini açıklayınız.

Cevap:

Bir noktaya gelen köprü sayısı (derece) tek ise, o nokta rotanın başlangıcı veya bitişi olmak zorundadır. Eğer başlangıca dönülmesi isteniyorsa tüm noktaların derecesi çift olmalıdır. Bu problemde $A$ noktasına 5 köprü bağlandığı için (tek derece), bu nokta ya başlangıç ya da bitiş noktası olabilir. Ancak hem başlangıca dönme şartı hem de $A$'nın tek dereceli olması çelişki oluşturur. Bu nedenle rota mümkün değildir.

4. Soru

Euler'in Yöntemi ve Algoritma

Euler bu soruyu çözerken nasıl bir yol izlemiş olabilir? Euler'in çalışmasından hareketle algoritma kelimesinin kökeninin ne olabileceğini tartışınız.

Cevap:

Euler problemi soyutlayarak (modelleyerek) çözmüştür. Şehri ve köprüleri bir çizge (graf) olarak temsil etmiş, noktaların derecelerini hesaplayarak sonuca ulaşmıştır. Bu yaklaşım, bir problemi çözmek için izlenen adımların sistematik hali olan algoritma kavramının temelini oluşturur. "Algoritma" kelimesi, 9. yüzyılda yaşamış olan Harezmî (El-Harezmi) adlı matematikçinin isminin Latince'ye uyarlanmış halidir. Euler'in bu sistematik yaklaşımı, günümüzdeki algoritma ve bilgisayar biliminin öncüsü sayılır.

Temel Çıkarım

Königsberg Köprüleri Problemi, çizge teorisi ve algoritma kavramlarının temelini oluşturur. Euler'in sistematik yaklaşımı, bir problemi çözmek için izlenen adımların önemini vurgular. Bir rotanın mümkün olup olmadığını belirlemek için noktaların derecelerini incelemek yeterlidir: Tüm noktaların derecesi çift ise rota mümkündür.

5.1. ALGORİTMA TEMELLİ YAKLAŞIMLARLA PROBLEM ÇÖZME

Sayfa 100: 1. Uygulama

Para Üstü Hesaplama - Algoritma ve Akış Şeması

Sayfa 100

Problem

Bir kitapçıda satılan bir kitabın fiyatı 68 TL'dir. Kitabı satın alan müşteri kasiyere 200 TL vermiştir. Yazar kasada bulunan kâğıt ve madenî paralar: 1 TL, 5 TL, 10 TL, 20 TL, 50 TL, 100 TL ve 200 TL'dir.

Para üstü hesaplama sürecini inceleyelim.

1. Temel Matematiksel İşlemler ve Karar Adımları

Kitap satın alımı ve para üstü hesaplama sürecindeki temel matematiksel işlemleri ve karar adımlarını belirleyiniz.

Temel Matematiksel İşlemler:

Çıkarma: Para üstü = Verilen para - Ürün fiyatı
Bölme: Kalan para üstünü banknotlara bölme
Mod Alma: Kalan para üstünü güncelleme

Karar Adımları:

Verilen para, ürün fiyatından büyük mü? (Para üstü pozitif mi?)
Hangi banknot/madeni para kullanılacak? (En büyükten başlayarak)
Kalan para üstü sıfır olana kadar devam et.

2. Liste / Tablo Temsili

Para üstü hesaplamasını yaparken müşteriye verilecek kâğıt ve madenî paraların sayısını liste veya tablo temsili yardımıyla belirleyiniz.

Para Üstü: 200 - 68 = 132 TL

Banknot / Madeni Para	Değer (TL)	Adet	Toplam (TL)
200 TL	200	0	0
100 TL	100	1	100
50 TL	50	0	0
20 TL	20	1	20
10 TL	10	1	10
5 TL	5	0	0
1 TL	1	2	2
Toplam Para Üstü			132 TL

Müşteriye verilecek para: 1 adet 100 TL, 1 adet 20 TL, 1 adet 10 TL, 2 adet 1 TL

3. Sıralı İşlem Adımları

Liste veya tablodaki bilgileri sıralı işlem adımlarına dönüştürünüz.

1 Adım 1: Müşterinin verdiği 200 TL'yi al.

2 Adım 2: Kitap fiyatını (68 TL) hesapla.

3 Adım 3: Para üstünü hesapla: 200 - 68 = 132 TL.

4 Adım 4: 132 TL'den en büyük banknotu (100 TL) seç ve düş: 132 - 100 = 32 TL.

5 Adım 5: 32 TL'den en büyük banknotu (20 TL) seç ve düş: 32 - 20 = 12 TL.

6 Adım 6: 12 TL'den en büyük banknotu (10 TL) seç ve düş: 12 - 10 = 2 TL.

7 Adım 7: 2 TL'den en büyük madeni parayı (1 TL) seç ve düş: 2 - 1 = 1 TL.

8 Adım 8: 1 TL'den en büyük madeni parayı (1 TL) seç ve düş: 1 - 1 = 0 TL.

9 Adım 9: Para üstü tamamlandı. Müşteriye verilecek para: 1×100 TL, 1×20 TL, 1×10 TL, 2×1 TL.

4. Akış Şeması

Belirlediğiniz işlem adımlarını para üstü verme sürecini gösterecek şekilde akış şeması üzerinde gösteriniz.

Başla

↓

Müşteriden 200 TL al

↓

Para üstü = 200 - 68 = 132 TL

↓

Karar: Kalan para üstü > 0 mı?

↓ (Evet)

En büyük banknotu seç (100 TL)

↓

Kalan = 132 - 100 = 32 TL

↓

En büyük banknotu seç (20 TL)

↓

Kalan = 32 - 20 = 12 TL

↓

En büyük banknotu seç (10 TL)

↓

Kalan = 12 - 10 = 2 TL

↓

En büyük madeni parayı seç (1 TL)

↓

Kalan = 2 - 1 = 1 TL

↓

En büyük madeni parayı seç (1 TL)

↓

Kalan = 1 - 1 = 0 TL → Para üstü hazır

↓

Bitir

5. 100 TL Banknot Olmadığı Durum

Kasada 100 TL'lik banknot bulunmadığı durumda 2, 3 ve 4. soruda yer alan basamakları yeniden oluşturunuz.

100 TL yoksa: Para üstü 132 TL'den en büyük mevcut banknot 50 TL'dir.

Banknot / Madeni Para	Değer (TL)	Adet	Toplam (TL)
50 TL	50	2	100
20 TL	20	1	20
10 TL	10	1	10
1 TL	1	2	2
Toplam Para Üstü			132 TL

1132 - 50 = 82 TL (50 TL seç)

282 - 50 = 32 TL (50 TL seç)

332 - 20 = 12 TL (20 TL seç)

412 - 10 = 2 TL (10 TL seç)

52 - 1 = 1 TL (1 TL seç)

61 - 1 = 0 TL (1 TL seç) → Tamamlandı.

6-9. Genel Değerlendirme

6. Genel Şema:

Her bir kâğıt paranın kasada olup olmama durumunu dikkate alan genel şema:

En büyük banknottan başla (200 TL)
Eğer banknot kasada varsa ve para üstü bu banknottan büyük veya eşitse kullan
Yoksa veya para üstü küçükse bir sonraki banknota geç
Para üstü 0 olana kadar devam et

7. Kontrol:

132 TL para üstü için: 100+20+10+1+1 = 132 TL. Doğrulama başarılı.

8. Yöntemlerin Avantajları:

Liste: Basit, hızlı, kolay anlaşılır.
Tablo: Düzenli, sütunlar halinde karşılaştırma imkanı.
Akış Şeması: Adımları görselleştirir, algoritma mantığını gösterir.

9. En Sistematik ve Etkili Yöntem:

Akış şeması en sistematik ve etkili yöntemdir. Çünkü karar adımlarını, döngüleri ve koşulları görsel olarak gösterir. Algoritma geliştirme ve programlamaya en uygun yöntemdir.

5.1. ALGORİTMA TEMELLİ YAKLAŞIMLARLA PROBLEM ÇÖZME

Sayfa 101-102: 2. Uygulama

Doğrusal Fonksiyonun Sıfırını Algoritmik Yaklaşımla Bulma

Sayfa 101-102

Problem

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + 6$ şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyon veriliyor.

Doğrusal fonksiyonun sıfırını algoritmik yaklaşımla bulalım.

1. Adımlar ve İşlemler

$f$ doğrusal fonksiyonunun sıfırını bulmak için gereken adımları ve işlemleri belirleyiniz.

Adımlar:

Adım 1: Fonksiyonu sıfıra eşitle: $f(x) = 0$
Adım 2: Denklemi yaz: $3x + 6 = 0$
Adım 3: Sabit terimi karşıya at: $3x = -6$
Adım 4: Her iki tarafı katsayıya böl: $x = -2$
Adım 5: Sonucu kontrol et: $f(-2) = 3(-2) + 6 = 0$

Kullanılan İşlemler: Eşitlik, denklem çözme, bölme, kontrol.

2. Cebirsel ve Grafik Temsiller

$f$ doğrusal fonksiyonunun sıfırını cebirsel ve grafik temsilleri yardımıyla belirleyiniz.

Cebirsel Temsil:

$f(x) = 3x + 6 = 0$
$3x = -6$
$x = -2$

Fonksiyonun sıfırı: $x = -2$

Grafik Temsil:

$f(x) = 3x + 6$ doğrusunun $x$-eksenini kestiği nokta: $(-2, 0)$

$x$-ekseni kesim noktası: $(-2, 0)$
$y$-ekseni kesim noktası: $(0, 6)$

Grafikte $x$-eksenini kestiği nokta sıfırdır.

$f(x) = 3x + 6$ grafiği ve sıfır noktası $(-2, 0)$

3. Sıralı İşlem Adımları

Her bir temsildeki bilgileri sıralı işlem adımlarına dönüştürünüz.

Cebirsel Temsil İşlem Adımları:

1 $f(x) = 3x + 6$'yı yaz.

2 $f(x) = 0$ eşitle.

3 $3x + 6 = 0$ denklemini yaz.

4 $3x = -6$ işlemini yap.

5 $x = -2$ bul.

6 Kontrol et: $f(-2) = 0$

Grafik Temsil İşlem Adımları:

1 Koordinat düzlemini çiz.

2 $y$-kesim noktasını bul: $(0, 6)$

3 $x$-kesim noktasını bul: $(-2, 0)$

4 İki noktayı birleştirerek doğruyu çiz.

5 Doğrunun $x$-eksenini kestiği nokta = Sıfır

4. Akış Şeması

Belirlediğiniz işlem adımlarını aşağıdaki şemada gösteriniz.

Cebirsel Temsil Akış Şeması

Başla

↓

$f(x) = 3x + 6$

↓

$f(x) = 0$ eşitle

↓

$3x + 6 = 0$

↓

$3x = -6$

↓

$x = -2$

↓

Sonuç: x = -2

Grafik Temsil Akış Şeması

Başla

↓

Koordinat düzlemini çiz

↓

$y$-kesim: $(0, 6)$

↓

$x$-kesim: $(-2, 0)$

↓

Noktaları birleştir

↓

$x$-ekseni kesim: (-2, 0)

5. Genel Fonksiyon için Çözüm

$\forall a, b \in \mathbb{R}$, $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = ax + b$ şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun sıfırını bulmak için 2, 3 ve 4. soruda yer alan basamakları yeniden oluşturunuz.

Genel Çözüm Adımları:

1 $g(x) = ax + b$'yi yaz.

2 $g(x) = 0$ eşitle: $ax + b = 0$

3 $ax = -b$ (sabit terimi karşıya at)

4 $x = -\dfrac{b}{a}$ (her iki tarafı $a$'ya böl) ($a \neq 0$)

5 Kontrol: $g\left(-\dfrac{b}{a}\right) = a\left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = 0$

Özel Durum: $a = 0$ ise $g(x) = b$ sabit fonksiyondur. $b = 0$ ise tüm reel sayılar sıfırdır, $b \neq 0$ ise sıfırı yoktur.

6. Genel Akış Şeması

Her $a$ ve $b$ değeri için $g$ doğrusal fonksiyonunun sıfırını bulmanın genel bir şemasını oluşturunuz.

Başla

↓

$a$ ve $b$ değerlerini al

↓

Karar: $a = 0$ mı?

↓ (Evet)

Karar: $b = 0$ mı?

Evet: Tüm reel sayılar

Hayır: Sıfır yok

↓ (Hayır, $a \neq 0$)

$x = -\dfrac{b}{a}$

↓

Sonuç: $x = -\dfrac{b}{a}$

7. Kontrol

Şemanızın adımlarının her $a$ ve $b$ değeri için $g$ doğrusal fonksiyonunun sıfırını buldurup buldurmadığını kontrol ediniz.

$a$	$b$	$g(x)$	Beklenen Sıfır	Bulunan Sıfır	Kontrol
3	6	$3x+6$	$-2$	$-2$	✓
2	4	$2x+4$	$-2$	$-2$	✓
5	10	$5x+10$	$-2$	$-2$	✓
1	-3	$x-3$	$3$	$3$	✓
0	5	$5$	Yok	Yok	✓
0	0	$0$	Tüm reel	Tüm reel	✓

Şema tüm durumlar için doğru sonuç vermektedir.

8-9. Yöntem Değerlendirmesi

8. Yöntemlerin Avantajları:

Cebirsel Yöntem: Kesin sonuç verir, hızlıdır, genellenebilir.
Grafik Yöntem: Görseldir, kavramayı kolaylaştırır, fonksiyonun davranışını gösterir.

9. En Sistematik ve Etkili Yöntem:

Cebirsel yöntem daha sistematik ve etkilidir. Çünkü her $a$ ve $b$ değeri için tek bir formül ($x = -b/a$) ile sonuç bulunur. Grafik yöntem ise anlaşılması kolay olsa da her durumda çizim gerektirir ve yaklaşık sonuç verebilir. Algoritma geliştirme için cebirsel yöntem daha uygundur.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 107: 1. Sıra Sizde

Vücut Kitle İndeksi (VKİ) Hesaplama Algoritması

Sayfa 107-108

Vücut Kitle İndeksi (VKİ) Kategorileri

VKİ Aralığı	Sağlık Durumu Kategorisi
VKİ ≤ 18,5	Düşük kilolu
18,5 < VKİ ≤ 25	Normal kilolu
25 < VKİ ≤ 30	Fazla kilolu
VKİ > 30	Obezite

VKİ = kilo (kg) / boy² (m²)

a) Akış Şeması Tamamlama

Şemada boş bırakılan alanları gerekli sembol, metin ve matematiksel ifadelerle tamamlayınız.

Başla

Kilo, Boy

Giriş

VKİ = Kilo / Boy²

İşlem

VKİ ≤ 18,5

Karar

Evet

"Düşük kilolu"

Hayır

18,5 < VKİ ve VKİ ≤ 25

Karar

Evet

"Normal kilolu"

Hayır

25 < VKİ ve VKİ ≤ 30

Karar

Evet

"Fazla kilolu"

Hayır

"Obezite"

Dur

Doldurulan boşluklar: Karar sembolleri (eşkenar dörtgen), "VKİ = Kilo / Boy²" işlem kutusu, kategori çıktıları ve "Dur" sonlandırma sembolü.

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Kilo ve boy değerlerini oku
VKİ = kilo / boy² hesapla
Eğer VKİ ≤ 18,5 ise "Düşük kilolu" yaz
Değilse eğer 18,5 < VKİ ≤ 25 ise "Normal kilolu" yaz
Değilse eğer 25 < VKİ ≤ 30 ise "Fazla kilolu" yaz
Değilse "Obezite" yaz
Bitir

Sözde Kod

1:  BAŞLA
				2:  OKU kilo, boy
				3:  VKİ = kilo / (boy * boy)
				4:  EĞER VKİ ≤ 18,5 İSE
				5:      YAZ "Düşük kilolu"
				6:  DEĞİLSE EĞER 18,5 < VKİ VE VKİ ≤ 25 İSE
				7:      YAZ "Normal kilolu"
				8:  DEĞİLSE EĞER 25 < VKİ VE VKİ ≤ 30 İSE
				9:      YAZ "Fazla kilolu"
				10: DEĞİLSE
				11:     YAZ "Obezite"
				12: BİTİR

c) Algoritmayı Test Etme

Verilen boy ve kilo değerlerini kullanarak algoritmayı test ediniz.

Boy (m)	Kilo (kg)	VKİ (kg/m²)	Kategori
1,67	60	60 / (1,67)² = 60 / 2,7889 ≈ 21,51	Normal kilolu
1,93	80	80 / (1,93)² = 80 / 3,7249 ≈ 21,48	Normal kilolu
1,75	120	120 / (1,75)² = 120 / 3,0625 ≈ 39,18	Obezite

Test Sonuçları: 60 kg / 1.67 m → VKİ ≈ 21.51 → Normal kilolu
80 kg / 1.93 m → VKİ ≈ 21.48 → Normal kilolu
120 kg / 1.75 m → VKİ ≈ 39.18 → Obezite

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 110: 2. Sıra Sizde

Bölünebilme Algoritmaları – Doğal Sayılarda 2 ve 4'e Tam Bölünme Kontrolü

Sayfa 110

2. Sıra Sizde

Aşağıda istenen algoritmaların işleyişlerini algoritmik doğal dil yardımıyla ifade ediniz.

a) Bir doğal sayının 2'ye tam bölünüp bölünmediğini bulan algoritma
b) Bir doğal sayının 4'e tam bölünüp bölünmediğini bulan algoritma

a) 2'ye Tam Bölünebilme Algoritması

Bir doğal sayının 2'ye tam bölünüp bölünmediğini bulan algoritmanın algoritmik doğal dil ifadesi:

1 Başla

2 Kullanıcıdan bir doğal sayı (n) al

3 Eğer n mod 2 = 0 ise (sayı 2'ye tam bölünüyor mu?)

3.1 Evet ise "n sayısı 2'ye tam bölünür" yaz

3.2 Hayır ise "n sayısı 2'ye tam bölünmez" yaz

4 Bitir

Bilgi: Bir sayının 2'ye tam bölünebilmesi için son rakamı çift (0, 2, 4, 6, 8) olmalıdır. Bu durumda n mod 2 = 0 kontrolü ile sonuç bulunur.

Sözde Kod

1:  BAŞLA
				2:  OKU n
				3:  EĞER n mod 2 = 0 İSE
				4:      YAZ n, " sayısı 2'ye tam bölünür"
				5:  DEĞİLSE
				6:      YAZ n, " sayısı 2'ye tam bölünmez"
				7:  BİTİR

b) 4'e Tam Bölünebilme Algoritması

Bir doğal sayının 4'e tam bölünüp bölünmediğini bulan algoritmanın algoritmik doğal dil ifadesi:

1 Başla

2 Kullanıcıdan bir doğal sayı (n) al

3 Eğer n mod 4 = 0 ise (sayı 4'e tam bölünüyor mu?)

3.1 Evet ise "n sayısı 4'e tam bölünür" yaz

3.2 Hayır ise "n sayısı 4'e tam bölünmez" yaz

4 Bitir

Bilgi: Bir sayının 4'e tam bölünebilmesi için son iki rakamının oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır. Alternatif olarak n mod 4 = 0 kontrolü yapılabilir.

Sözde Kod

1:  BAŞLA
				2:  OKU n
				3:  EĞER n mod 4 = 0 İSE
				4:      YAZ n, " sayısı 4'e tam bölünür"
				5:  DEĞİLSE
				6:      YAZ n, " sayısı 4'e tam bölünmez"
				7:  BİTİR

Algoritmaların Karşılaştırması

Özellik	2'ye Bölünebilme	4'e Bölünebilme
Kontrol Koşulu	`n mod 2 = 0`	`n mod 4 = 0`
Alternatif Kural	Son rakam çift (0,2,4,6,8)	Son iki rakam 4'ün katı
Örnek (12)	12 mod 2 = 0 → Bölünür	12 mod 4 = 0 → Bölünür
Örnek (14)	14 mod 2 = 0 → Bölünür	14 mod 4 = 2 → Bölünmez

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 110: Araştırma Görevi

PDF dokümanını inceleyin ve indirin

Sayfa 110

Aşağıdaki panelden araştırma görevi PDF dosyasını doğrudan inceleyebilir, tam ekran açabilir veya bilgisayarınıza/telefonunuza indirebilirsiniz.

Yeni Sekmede Aç PDF Dosyasını İndir

Araştırma Görevi Dokümanı Ön İzlemesi

Eğer tarayıcınız PDF ön izlemesini desteklemiyorsa, dokümanı doğrudan açmak için buraya tıklayınız.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 114-115: 3. Uygulama

Kütlesi Farklı Parayı Bulma Problemi – Böl ve Fethet Algoritması

Sayfa 114-115

3. Uygulama: Kütlesi Farklı Parayı Bulma Problemi

Aynı ebatlara sahip n tane bozuk para içinden kütlesi farklı olan 1 tanesini en az tartımla bulma problemi.

1. Soru: Varsayımlar ve Tablo

Aynı ebatlara sahip n tane bozuk para içinden kütlesi farklı olan 1 tanesi en az kaç tartımla kesin olarak bulunabilir? Varsayımlarınızı oluşturunuz.

n	2	3	4	8	9	16	27	32	64	81
En Az Tartım Sayısı	1	1	2	2	2	3	3	3	4	4
Açıklama	1'e karşı 1	1'e karşı 1, kalan	2'ye karşı 2	3'e karşı 3	3'e karşı 3	5-5-6	9-9-9	10-11-11	21-21-22	27-27-27

Varsayım: En az tartım sayısı, n sayısının 3'lük kuvvetlerine göre belirlenir. Her tartımda paraları 3 gruba ayırarak (mümkün olduğunca eşit) bir tartımla 3 kat daha az paraya indirgenir.

2. Soru: Tablo Tamamlama ve Genelleme

n sayısının alabileceği farklı tam sayı değerleri için varsayımlarınızı doğrulayınız. Ardından tartım sayısıyla ilgili genellemeler oluşturunuz.

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	16	27	32	64	81
En Az Tartım	1	1	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	4	4

Genelleme: En az tartım sayısı t, 3^t-1 < n ≤ 3^t aralığında olacak şekilde belirlenir. Yani t = ⌈log₃(n)⌉ (n'in 3 tabanında logaritmasının üst tam değeri).

3. Soru: Önermeler

Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak bir önerme şeklinde ifade ediniz.

Önerme 1: n tane paranın içinden kütlesi farklı 1 parayı bulmak için en az tartım sayısı, n sayısının 3 tabanındaki logaritmasının üst tam değeridir.
Önerme 2: Her tartımda paralar 3 eşit gruba ayrılarak (mümkün olduğunca) bir tartımla parça sayısı 3 kat azaltılabilir.
Önerme 3: n ≤ 3^t ise t tartım yeterlidir; n > 3^t-1 ise t-1 tartım yeterli değildir.

4. Soru: Algoritmik Doğal Dil

Elde ettiğiniz önermelerin birini seçerek algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dille ifade ediniz.

1 Başla

2 Para sayısını (n) ve aranan parayı içeren grubu belirle

3 Eğer n ≤ 3 ise, 1 tartım ile sonuca ulaş (1'e karşı 1 tart, kalanı değerlendir)

4 Paraları mümkün olduğunca eşit 3 gruba ayır (A, B, C)

5 A ve B gruplarını tart, eşitse hatalı para C grubundadır, değilse farklı olan gruptadır

6 Hatalı parayı içeren grupla işlemi tekrarla (adım 3'e dön)

7 Sonuca ulaşıldığında bitir

5. Soru: Algoritmayı Farklı n Değerleri İçin Uygulama

n	2	5	10	20	50	100	200	500	1000	2187
En Az Tartım	1	2	3	3	4	5	5	6	7	7
3^t-1 < n ≤ 3^t	1< n ≤3	3< n ≤9	9< n ≤27	9< n ≤27	27< n ≤81	81< n ≤243	81< n ≤243	243< n ≤729	729< n ≤2187	729< n ≤2187

Sonuç: Algoritma her durumda t = ⌈log₃(n)⌉ tartım ile sonuca ulaşmaktadır.

6. Soru: Paranın Hafif veya Ağır Olmasının Etkisi

Elde ettiğiniz algoritmanın kullanışlılığı, kütlesi farklı olan paranın hafif ya da ağır olmasından etkilenmez. Çünkü algoritma, her tartımda eşit grupları karşılaştırarak farklı olan grubu tespit eder. Farklı olan paranın hafif mi yoksa ağır mı olduğu, sadece hangi grubun diğerinden hafif/ağır olduğuna bakılarak belirlenir. Ancak problemde sadece farklı olan parayı bulmak istendiği için, hafif/ağır olması sonucu etkilemez.

7. Soru: Performans Stratejileri

Önerilen Stratejiler:

Paraları her zaman mümkün olduğunca eşit 3 gruba ayır
Tartım sayısını minimize etmek için 3'lü gruplama kullan
Önceden bilinen bilgileri (hafif/ağır olma durumu) kullan
Büyük n değerleri için iteratif yerine rekürsif yaklaşım tercih et

Alternatif Algoritma Yaklaşımları:

İkili Arama (Binary Search): 2'li gruplama (daha fazla tartım gerekir)
Doğrusal Arama: Tek tek tartma (en kötü durum n-1 tartım)
Karma Yöntem: Önce 3'lü, sonra 2'li gruplama

8. Soru: 1024 Vida Kalite Kontrolü

1024 vida içindeki 1 hatalı vidayı tespit etmek için en az kaç tartım yapılması gerekir?

Çözüm: 1024 sayısı için t = ⌈log₃(1024)⌉ hesaplanır.

3⁶ = 729 < 1024 ≤ 2187 = 3⁷
t = ⌈log₃(1024)⌉ = 7 tartım

7 tartımda 1024 vida içinden hatalı olan kesin olarak bulunabilir.

9. Soru: 2187 İlaç Kapsülü Kalite Kontrolü

2187 ilaç kapsülü içindeki 1 hatalı kapsülü tespit etmek için en az kaç tartım yapılması gerekir?

Çözüm: 2187 = 3⁷ olduğu için:

3⁷ = 2187
t = ⌈log₃(2187)⌉ = 7 tartım

7 tartımda 2187 kapsül içinden hatalı olan (etken maddesi eksik veya fazla) kesin olarak tespit edilebilir.

Not: 2187 = 3⁷ olduğu için 7 tartım yeterlidir. Her tartımda 3'e bölerek 7. tartımda tek bir kapsüle ulaşılır.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 115-116: 4. Uygulama

Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama

Sayfa 115-116

4. Uygulama: Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama

n kişilik bir grupta gruptaki her bir kişinin diğer kişilerle bir kez tokalaşması durumunda toplam tokalaşma sayısı tespit edilmek istenmektedir.

Kişi Sayısı	2	3	4	5	6	...	n
Toplam Tokalaşma Sayısı	1	3	6	10	15	...	n(n-1)/2

1. Soru: Cebirsel Temsil

Kişi sayısı n olduğunda toplam tokalaşma sayısının cebirsel temsilini elde ediniz.

Çözüm: n kişilik bir grupta her kişi diğer n-1 kişi ile tokalaşır. Ancak her tokalaşma iki kişi arasında gerçekleştiği için toplam sayı ikiye bölünür.

T(n) = n(n-1) / 2

Bu formül, 1'den n-1'e kadar olan sayıların toplamına eşittir: 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = n(n-1)/2

2. Soru: Sıralı İşlem Adımları

Tablo veya cebirsel temsil ile elde ettiğiniz bilgileri sıralı işlem adımlarına dönüştürünüz.

1 Başla

2 Gruptaki kişi sayısını (n) oku

3 Tokalaşma sayısını hesapla: T = n × (n - 1) / 2

4 Hesaplanan tokalaşma sayısını (T) ekrana yaz

5 Bitir

3. Soru: Algoritmanın İfade Edilmesi

Belirlediğiniz işlem adımları ile toplam tokalaşma sayısını bulan algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil, akış şeması ve sözde kodla ifade ediniz.

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Kişi sayısını (n) gir
Tokalaşma sayısını hesapla: T = n × (n - 1) / 2
Sonucu (T) ekrana yaz
Bitir

Akış Şeması

Başla

n (kişi sayısı)

T = n × (n - 1) / 2

Dur

Giriş İşlem Çıkış

Sözde Kod

1:  BAŞLA
						2:  OKU n
						3:  T = n * (n - 1) / 2
						4:  YAZ T
						5:  BİTİR

4. Soru: Algoritmayı Uygulama

Hazırladığınız algoritmayı kullanarak 5, 6 ve 7 kişilik gruplar için toplam tokalaşma sayısını hesaplayınız.

Kişi Sayısı (n)	Formül: T = n(n-1)/2	Toplam Tokalaşma
5	5 × 4 / 2	10
6	6 × 5 / 2	15
7	7 × 6 / 2	21

5. Soru: Performans Analizi

Elde ettiğiniz algoritmanın performansı, kişi sayısı artarsa nasıl etkilenir? Tokalaşacak kişi sayısı n olacak şekilde algoritmanızı yeniden oluşturunuz.

Performans Değerlendirmesi: Algoritma O(1) zaman karmaşıklığına sahiptir. Yani kişi sayısı (n) arttıkça hesaplama süresi sabit kalır. Çünkü sadece tek bir aritmetik işlem yapılmaktadır.

Güncellenmiş Algoritma (n kişi için):
1. n değerini oku
2. T = n × (n - 1) / 2 hesapla
3. T'yi ekrana yaz

6. Soru: Algoritmanın Doğrulanması

Algoritmanızın her durumda doğru yanıt verip vermediğini kontrol ediniz.

n	1	2	3	4	5	10	20	50	100
T = n(n-1)/2	0	1	3	6	10	45	190	1225	4950
Doğrulama	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓

Sonuç: Algoritma tüm n değerleri için doğru sonuç vermektedir.

7. Soru: Yöntemlerin Avantajları

Bu problemi çözmek için kullanılabilecek her bir yöntemin (tablo, şema) avantajlarını belirleyiniz.

Tablo Yöntemi

Görsel olarak anlaşılırdır
Örüntüyü fark etmeyi kolaylaştırır
Küçük veri kümeleri için pratiktir
Matematiksel formülü keşfetmeye yardımcı olur

Akış Şeması

Adım adım işlem akışını gösterir
Algoritmanın mantığını görselleştirir
Programlama öncesi tasarım için uygundur
Karar noktalarını ve döngüleri gösterir

Sözde Kod / Formül

En sistematik ve kesin yöntemdir
Doğrudan programlamaya aktarılabilir
Büyük veriler için hızlı hesaplama sağlar
Genelleme yapmayı kolaylaştırır

8. Soru: En Sistematik ve Etkili Yöntem

Bu yöntemlerden hangisinin daha sistematik ve etkili olduğunu değerlendiriniz.

Değerlendirme:

En sistematik yöntem: Cebirsel formül (T = n(n-1)/2) çünkü her n değeri için tek bir işlemle sonucu verir ve matematiksel olarak kesindir.
En etkili yöntem: Sözde kod / Algoritma çünkü bilgisayarda uygulanabilir, büyük veriler için ölçeklenebilir ve tekrarlanabilirdir.
Sonuç: Tablo ve akış şeması öğrenme ve anlama aşamasında faydalıdır. Ancak pratik uygulama ve hesaplama için formül ve sözde kod daha sistematik ve etkilidir.

Öneri: Öğrenme sürecinde önce tablo ve akış şeması, ardından formül ve sözde kod kullanılmalıdır.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 117-119: 5. Uygulama

Königsberg Şehrindeki Yürüyüş Rotası Problemi – Çizgeler Yardımıyla Çözümleme

Sayfa 117-119

1. Soru: Tablo Doldurma

Verilen çizgeler için tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.

Sözel Temsili	Tüm Düğümlerin Tek/Çift Sayıda Ayrıta Sahip Olma Durumu	Başladığı Düğüme Dönme Durumu
A düğümünden yola çıkan kişi, a ayrıtını kullanarak B düğümüne ulaşır ve b ayrıtını kullanarak başladığı düğüme dönebilir.	A ve B düğümlerine bağlı ikişer ayrıt vardır. Tüm düğümler çift sayıda ayrıta sahiptir.	✓
A'dan B'ye, B'den C'ye uzanan tek bir yol vardır. Başlangıç noktasına dönüş yoktur.	A:1 (tek), B:2 (çift), C:1 (tek). Tek sayıda ayrıta sahip düğümler var.	✗
A'dan B'ye, B'den C'ye, C'den A'ya dönen bir üçgen çizge. Tüm düğümler birbirine bağlı.	A:2 (çift), B:2 (çift), C:2 (çift). Tüm düğümler çift sayıda ayrıta sahiptir.	✓
A'dan B'ye, B'den C'ye, C'den A'ya dönen üçgen çizgeye ek olarak A'dan C'ye doğrudan bir yol daha var.	A:3 (tek), B:2 (çift), C:3 (tek). Tek sayıda ayrıta sahip düğümler var.	✗

Kural: Bir çizgede başlangıç noktasına dönmek için tüm düğümler çift sayıda ayrıta sahip olmalıdır (Euler Çevresi).

2. Soru: Çizge Çizim Alanı

Tablodaki diğer çizge örneklerini bir başlangıç noktası belirleyerek, kaleminizi hiç kaldırmadan ve her ayrıttan bir kez geçmek şartıyla çiziniz.

Çizim Alanı 1

A → B → A (2 ayrıt, başlangıca dönüş mümkün)

Çizim Alanı 2

A → B → C → A (3 ayrıt, üçgen çevresi)

3. Soru: Tek/Çift Ayrıt İlişkisi

Her bir düğümün sahip olduğu ayrıt sayısının tek ya da çift olmasının çizgenin kalem hiç kaldırılmadan çizilebilme durumu ile ilişkisini açıklayınız.

Euler Yolu ve Euler Çevresi Teoremi:

Euler Çevresi (Başlangıca Dönüş): Çizgedeki tüm düğümlerin derecesi (ayrıt sayısı) çift ise, kalem kaldırılmadan ve her ayrıttan bir kez geçilerek başlangıç noktasına dönülebilir.
Euler Yolu (Başlangıca Dönüş Yok): Çizgede tam olarak 2 düğümün derecesi tek ise, kalem kaldırılmadan ve her ayrıttan bir kez geçilerek çizim yapılabilir ancak başlangıç noktasına dönülemez.
Çizilemez Durum: Çizgede 4 veya daha fazla düğümün derecesi tek ise, kalem kaldırılmadan ve her ayrıttan bir kez geçilerek çizim yapılamaz.

Özet: Tek dereceli düğüm sayısı 0 ise Euler Çevresi, 2 ise Euler Yolu vardır. Diğer durumlarda çizim mümkün değildir.

4. Soru: Königsberg Köprü Problemi

a) Tek/Çift Ayrıt Sayısının Rota Planlarına Etkisi

Königsberg şehrinde 4 kara parçası (A, B, C, D) ve 7 köprü bulunmaktadır. Çizge modelinde:

A düğümü: 3 ayrıt (tek)
B düğümü: 3 ayrıt (tek)
C düğümü: 3 ayrıt (tek)
D düğümü: 3 ayrıt (tek)

4 düğümün tamamı tek derecelidir. Bu nedenle ne Euler Çevresi ne de Euler Yolu bulunmaktadır. Yani her köprüden yalnızca bir kez geçerek başlangıç noktasına dönmek mümkün değildir.

b) Algoritma Girdileri ve Beklenen Çıktılar

Girdiler (Input):

Düğüm sayısı (n)
Her düğümün derecesi (ayrıt sayısı)
Düğümler arası ayrıtların listesi

Beklenen Çıktılar (Output):

Euler Çevresi var mı? (Tüm düğümler çift dereceli ise)
Euler Yolu var mı? (Tam olarak 2 düğüm tek dereceli ise)
Çizim mümkün değil (4 veya daha fazla düğüm tek dereceli ise)
Mümkünse başlangıç ve bitiş düğümleri

c) Algoritmik Doğal Dil ve Akış Şeması

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Düğüm sayısını (n) oku
Her düğümün derecesini (ayrıt sayısını) oku
Tek dereceli düğüm sayısını (tekSayac) hesapla
Eğer tekSayac = 0 ise "Euler Çevresi var" yaz
Değilse eğer tekSayac = 2 ise "Euler Yolu var" yaz
Değilse "Çizim mümkün değil" yaz
Bitir

Akış Şeması

Başla

Düğüm derecelerini oku

tekSayac = 0

tekSayac = ?

= 0 Euler Çevresi

= 2 Euler Yolu

≥ 4 Çizilemez

Dur

5. Soru: Farklı Durumlar İçin Test

Elde ettiğiniz algoritmayı farklı durumlar için test ediniz.

Durum	Düğüm Dereceleri	Tek Dereceli Sayısı	Algoritma Sonucu
Orijinal Königsberg	A:3, B:3, C:3, D:3	4	Çizilemez
1 Köprü Kullanım Dışı (A-B kaldırıldı)	A:2, B:2, C:3, D:3	2	Euler Yolu
2 Köprü Eklendi (C-D arasına 2 yeni)	A:3, B:3, C:5, D:5	4	Çizilemez
Yeni Köprü Eklendi (A-C)	A:4, B:3, C:4, D:3	2	Euler Yolu
2 Yeni Köprü (A-C ve B-D)	A:4, B:4, C:4, D:4	0	Euler Çevresi

Sonuç: Algoritma tüm durumlarda doğru sonuç vermektedir. Tek dereceli düğüm sayısı 0 ise Euler Çevresi, 2 ise Euler Yolu, 4 veya daha fazla ise çizim mümkün değildir.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 119-121: 6. Uygulama

Temiz Çevre Optimizasyon Problemi – Gezgin Satıcı Problemi (TSP)

Sayfa 119-121

Çöp Depoları Arası Mesafeler Tablosu

Çöp Depoları	A-B	B-C	C-A	C-D	D-A	B-D
Mesafe (birim)	133	96	100	103	70	200

Çöp arabası A'dan başlayıp B, C ve D'yi birer kez ziyaret ederek A'ya dönecektir.

1. Soru: Toplam Mesafeyi En Aza İndirme

Tablodaki verileri kullanarak toplam mesafeyi en aza indirmeye çalışınız.

Rota	Mesafe Hesaplaması	Toplam Mesafe	Durum
A → B → C → D → A	133 + 96 + 103 + 70	402	Deneme
A → B → D → C → A	133 + 200 + 103 + 100	536	Deneme
A → C → B → D → A	100 + 96 + 200 + 70	466	Deneme
A → C → D → B → A	100 + 103 + 200 + 133	536	Deneme
A → D → B → C → A	70 + 200 + 96 + 100	466	Deneme
A → D → C → B → A	70 + 103 + 96 + 133	402	Deneme
A → B → C → D → A	133 + 96 + 103 + 70	402	✓ En İyi

En İyi Rota: A → B → C → D → A (Toplam: 402 birim) veya A → D → C → B → A (402 birim)

2. Soru: Çizge Oluşturma

Tablodaki verileri kullanarak bir çizge oluşturunuz.

Çizge Çizim Alanı

A-B: 133 B-C: 96 C-A: 100 C-D: 103 D-A: 70 B-D: 200

Kırmızı ile işaretlenen en kısa mesafeler: D-A (70), B-C (96), C-A (100), C-D (103)

3. Soru: Girdi ve Çıktı Tanımlama

Toplam mesafeyi en aza indiren algoritmanın çalışması için gereken girdi verilerini ve beklenen çıktıları tanımlayınız.

Girdiler (Input)

Düğüm sayısı (n)
Düğümler arası mesafe matrisi
Başlangıç düğümü (A)
Ziyaret edilecek düğümlerin listesi

Çıktılar (Output)

En kısa rota (düğüm sırası)
Toplam mesafe (en kısa)
Ziyaret edilen tüm düğümler
Başlangıç noktasına dönüş kontrolü

4. Soru: Algoritmanın İfade Edilmesi

Toplam mesafeyi en aza indiren algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil, akış şeması ve sözde kodla ifade ediniz.

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Düğüm sayısını (n) ve mesafe matrisini oku
Başlangıç düğümünü A olarak belirle
Ziyaret edilmemiş tüm düğümler için:
Her bir olası rotayı dene
Toplam mesafeyi hesapla
En kısa mesafeli rotayı seç
Rota ve toplam mesafeyi yaz
Bitir

Akış Şeması

Başla

n, mesafe matrisi

Tüm rotaları dene

En kısa rotayı bul

Rota ve mesafe

Dur

Sözde Kod

1:  BAŞLA
				2:  OKU n, matris
				3:  baslangic = A
				4:  enKisa = sonsuz
				5:  HER rota İÇİN:
				6:      toplam = HESAPLA(mesafe)
				7:      EĞER toplam < enKisa İSE
				8:          enKisa = toplam
				9:          enIyiRota = rota
				10: YAZ enIyiRota, enKisa
				11: BİTİR

5. Soru: En Kısa Rota

Oluşturduğunuz çizge üzerinde çöp arabasının katettiği toplam mesafeyi en aza indiren rotayı bulunuz.

A → B → C → D → A Toplam Mesafe: 402 birim

A→B: 133 B→C: 96 C→D: 103 D→A: 70

A → D → C → B → A Toplam Mesafe: 402 birim

A→D: 70 D→C: 103 C→B: 96 B→A: 133

En İyi Rota: A → B → C → D → A (402 birim) veya A → D → C → B → A (402 birim)

6. Soru: Rotaları Karşılaştırma

Toplam mesafeyi en aza indiren rotanızı arkadaşlarınızın rotaları ile karşılaştırıp en iyi rotayı belirleyiniz.

Öğrenci	Rota	Toplam Mesafe	Değerlendirme
Öğrenci 1	A → B → C → D → A	402	En İyi
Öğrenci 2	A → C → B → D → A	466	İyi
Öğrenci 3	A → B → D → C → A	536	Kötü
Öğrenci 4	A → D → C → B → A	402	En İyi
En İyi Rota		402 birim	✓

7. Soru: Performans Analizi

Çöp deposu sayısı artarsa elde ettiğiniz algoritmanın performansının nasıl etkileneceğini açıklayınız.

Performans Değerlendirmesi:

Algoritma Türü: Bu algoritma Brute Force (Kaba Kuvvet) yöntemidir. Tüm olası rotaları dener ve en kısasını seçer.
Zaman Karmaşıklığı: O(n!) (faktöriyel) – n düğüm için (n-1)! olası rota vardır.
Performans Etkisi: Çöp deposu sayısı (n) arttıkça hesaplama süresi çok hızlı artar.
- n=5 için 24 rota
- n=10 için 362.880 rota
- n=20 için 1.2 × 10¹⁷ rota
Sonuç: Brute Force yöntemi küçük n değerleri için uygundur. Büyük n değerlerinde performans çok düşer.

8. Soru: Performans Artırma Stratejileri

Çöp deposu sayısı artarsa algoritmanın performansını artırmak için hangi stratejileri önerirsiniz?

Önerilen Stratejiler

Dal ve Sınır (Branch and Bound): En kısa yoldan daha uzun olan rotaları eler
Dinamik Programlama (Held-Karp): O(n²·2ⁿ) karmaşıklık
Sezgisel Yöntemler: En Yakın Komşu, Genetik Algoritma
Metasezgisel Yöntemler: Benzetilmiş Tavlama, Karınca Kolonisi

Alternatif Algoritmalar

En Yakın Komşu Algoritması: Her adımda en yakın noktaya git
En Küçük Ağaç Algoritması: Minimum spanning tree kullan
Genetik Algoritma: Popülasyon tabanlı optimizasyon
Karınca Kolonisi: Doğadan ilham alan yaklaşım

9. Soru: Tablo vs Çizge

Bu problemin çözümünde kullanılan tablo ve çizgeden hangisinin daha verimli olduğunu açıklayınız.

Tablo Yöntemi

✓ Veriler sayısal olarak net görülür
✓ Hesaplamalar kolaydır
✓ Küçük veri kümeleri için pratiktir
✗ Görsel ilişkiyi görmek zordur
✗ Rotaları karşılaştırmak zahmetlidir

Çizge Yöntemi

✓ Görsel olarak ilişkiler net görülür
✓ Rotaların takibi kolaydır
✓ En kısa yol sezgisel olarak bulunabilir
✓ Büyük veriler için daha anlaşılırdır
✓ Algoritma geliştirmeye uygundur

Sonuç: Büyük veri kümeleri ve karmaşık ilişkiler için çizge yöntemi daha verimlidir. Küçük veri kümelerinde ise tablo yöntemi yeterlidir.

10. Soru: Benzerlik Gösteren Gerçek Yaşam Durumları

Bu problemin benzerlik gösterdiği gerçek yaşam durumlarını açıklayınız.

Lojistik ve Dağıtım

Kargo şirketlerinin en kısa yol rotaları
Yemek dağıtımı optimizasyonu
Araç filo yönetimi

Bilgisayar Bilimleri

PCB devre tasarımı
Veri ağlarında yönlendirme
DNA dizilim analizi

Endüstriyel Uygulamalar

Üretim hatlarında makine sıralaması
Robotik navigasyon
Tur rotası planlama

Not: Bu problem, ünlü Gezgin Satıcı Problemi (Traveling Salesman Problem - TSP) olarak bilinir ve optimizasyon alanında en çok çalışılan problemlerden biridir.

ÇİZGELER VE BAĞLANTILAR

Sayfa 121: 3. Sıra Sizde

Veri Merkezi Bağlantı Problemi – Çapraz Bağlantısız Çizge Oluşturma

Sayfa 121

3. Sıra Sizde

Bir veri merkezindeki üç farklı sunucu (A, B, C) ve üç farklı veri deposu (Ç, D, E) ile A ve Ç arasındaki ilişkiyi gösteren çizge şekilde gösterilmiştir. Her bir sunucu, her bir veri deposundan yüksek hızda ve güvenilir şekilde veri alışverişi yapabilmelidir.

Veri merkezinin tasarım kuralları gereği sunucular ve depolar arasında çapraz (kesişme) bağlantı olmadan en iyi veri akışını sağlayacak çizgeyi oluşturunuz.

Çizge Çizim Alanı

Sunucular (A, B, C) ve veri depoları (Ç, D, E) arasında çapraz bağlantı olmadan en iyi veri akışını sağlayacak çizgeyi aşağıdaki alana çiziniz.

Çizge Çizim Alanı

veri merkezi bağlantı

ÇİZGELER VE BAĞLANTILAR

Sayfa 122: Araştırma Ödevi

PDF dokümanını inceleyin ve indirin

Sayfa 122

Aşağıdaki panelden araştırma ödevi PDF dosyasını doğrudan inceleyebilir, tam ekran açabilir veya bilgisayarınıza/telefonunuza indirebilirsiniz.

Yeni Sekmede Aç PDF Dosyasını İndir

Araştırma Ödevi Dokümanı Ön İzlemesi

Eğer tarayıcınız PDF ön izlemesini desteklemiyorsa, dokümanı doğrudan açmak için buraya tıklayınız.

SİBER GÜVENLİK VE VERİ KODLAMA

Sayfa 123-124: 7. Uygulama

ASCII Karakter Kümesi ve İkili (Binary) Kodlama

Sayfa 123-124

ASCII Karakter Kümesi (Özet)

Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII
@	64	A	65	B	66	C	67
D	68	E	69	F	70	G	71
H	72	I	73	J	74	K	75
L	76	M	77	N	78	O	79
P	80	Q	81	R	82	S	83
T	84	U	85	V	86	W	87
X	88	Y	89	Z	90	[	91
\	92	]	93	^	94	_	95
`	96	a	97	b	98	c	99
d	100	e	101	f	102	g	103
h	104	i	105	j	106	k	107
l	108	m	109	n	110	o	111
p	112	q	113	r	114	s	115
t	116	u	117	v	118	w	119
x	120	y	121	z	122	{	123
\|	124	}	125	~	126

ASCII: American Standard Code for Information Interchange (Amerikan Bilgi Değişimi İçin Standart Kod)

1. Soru: Şifre Belirleme

En az bir büyük harf, bir küçük harf ve bir özel karakter içeren, ASCII dışı karakter içermeyen ve en az 8 karakterden oluşan bir şifre belirleyiniz.

Örnek Şifreler

Ab#9Xy$3 → Ab#9Xy$3
Secret@1 → Secret@1
PassWord! → PassWord!
MyP@ss#1 → MyP@ss#1

Şifre Koşulları Kontrolü

Koşul	Ab#9Xy$3	Secret@1	PassWord!
En az 1 büyük harf	✓	✓	✓
En az 1 küçük harf	✓	✓	✓
En az 1 özel karakter	✓	✓	✓
En az 8 karakter	✓	✓	✓
ASCII dışı karakter yok	✓	✓	✓

2. Soru: Şifrenin Bilgisayar Sistemindeki Karşılığı

Belirlediğiniz şifrenin bilgisayar sistemindeki karşılığını (ASCII ve Binary) bulunuz.

Örnek Şifre: Ab#9Xy$3

Karakter	A	b	#	9	X	y	$	3
ASCII	65	98	35	57	88	121	36	51
Binary (8-bit)	01000001	01100010	00100011	00111001	01011000	01111001	00100100	00110011

Binary Karşılık: 01000001 01100010 00100011 00111001 01011000 01111001 00100100 00110011

Diğer Örnek: Secret@1

Karakter	S	e	c	r	e	t	@	1
ASCII	83	101	99	114	101	116	64	49
Binary (8-bit)	01010011	01100101	01100011	01110010	01100101	01110100	01000000	00110001

Binary Karşılık: 01010011 01100101 01100011 01110010 01100101 01110100 01000000 00110001

Karşılaştırma: Farklı şifrelerin ASCII ve Binary değerleri karşılaştırıldığında, aynı karakterler aynı değerlere sahiptir (örneğin 'A' her zaman 65'tir). Farklı karakterler ise farklı değerlere sahiptir. Bu sayede bilgisayar, karakterleri ayırt edebilir.

3. Soru: Algoritmik Doğal Dil

Onluk sistemdeki bir sayıyı bilgisayar sistemindeki (binary) bir sayıya çeviren algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil yardımıyla açıklayınız.

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Kullanıcıdan onluk sistemde bir sayı (n) al
Sonuç değişkenini boş bir dizi olarak tanımla
n > 0 olduğu sürece:
n'nin 2'ye bölümünden kalanı (n mod 2) bul
Kalanı sonuç dizisinin başına ekle
n = n / 2 (tam bölme) işlemini yap
Elde edilen binary sayıyı ekrana yaz
Bitir

Örnek: 65 → Binary

65 ÷ 2 = 32 kalan 1 → 1
32 ÷ 2 = 16 kalan 0 → 01
16 ÷ 2 = 8 kalan 0 → 001
8 ÷ 2 = 4 kalan 0 → 0001
4 ÷ 2 = 2 kalan 0 → 00001
2 ÷ 2 = 1 kalan 0 → 000001
1 ÷ 2 = 0 kalan 1 → 1000001

Örnek: 92 → Binary

92 ÷ 2 = 46 kalan 0 → 0
46 ÷ 2 = 23 kalan 0 → 00
23 ÷ 2 = 11 kalan 1 → 100
11 ÷ 2 = 5 kalan 1 → 1100
5 ÷ 2 = 2 kalan 1 → 11100
2 ÷ 2 = 1 kalan 0 → 011100
1 ÷ 2 = 0 kalan 1 → 1011100

Not: ASCII değerleri 0-127 aralığında olduğu için 7-bit yeterlidir, ancak bilgisayarlarda genellikle 8-bit (1 byte) olarak saklanır.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 125: Performans Görevi

Sıralama ve Arama Algoritmaları – Sözde Kod, Akış Şeması ve Analiz

Sayfa 125

Performans Görevi

Bu görevde sizden belirli sıralama ve arama algoritmalarını analiz etmeniz, bu algoritmalar için akış şemaları oluşturmanız, seçtiğiniz algoritmanın işleyişini sözde kod ve akış şemasıyla ifade etmeniz, çalışmanızı sınıf arkadaşlarınıza sunmanız beklenmektedir.

Aşağıdaki panelden performans görevi PDF dosyasını doğrudan inceleyebilir, tam ekran açabilir veya bilgisayarınıza/telefonunuza indirebilirsiniz.

Yeni Sekmede Aç PDF Dosyasını İndir

Performans Görevi Dokümanı Ön İzlemesi

Eğer tarayıcınız PDF ön izlemesini desteklemiyorsa, dokümanı doğrudan açmak için buraya tıklayınız.

ALGORİTMA VE PROGRAMLAMA

Sayfa 126: Alıştırmalar

İkili Arama Algoritması – Anadolu Parsı Takibi

Sayfa 126

Anadolu Parsı Takibi

Anadolu parsı Türkiye’nin en büyük kedi türü olan, postu sarımsı, üzeri siyah benekli, çevik, yırtıcı, etçil, memeli bir hayvandır. Bir hayvan bilimci olan Zehra, araştırma ekibiyle birlikte nesli tükenmekte olan Anadolu parsının takibini yapmaktadır. Zehra, haritada gösterilen 163 000 km²lik beyaz renkli bölgenin tamamında araştırmasını yürütmektedir.

Zehra, parsın izini sürmek için ikili arama algoritmasını kullanmayı planlamaktadır. Her adımda araziyi iki eşit parçaya bölüp sadece bir tarafında parsın olup olmadığını kontrol edecektir. Parsın varlığının tespit edildiği taraf daha sonra yeniden ikiye bölünecek ve arama alanı 1 km²den az olduğunda parsın tespit edildiği varsayılacaktır. Zehra, her gün sadece bir alanı kontrol edecektir.

Algoritmik doğal dille ifade edilen ikili arama algoritmasının işleyişini akış şeması ve sözde kodla ifade ediniz.

Algoritmik Doğal Dil

1 Başla.

2 Alanın ikiye bölünmesi: Kullanıcıdan bölgenin alanını al.

3 İlk yarının kontrol edilmesi: İlk yarıyı kontrol et, pars buradaya bu bölgeyi detaylı incele; değilse diğer yarıya geç.

4 İncelenen alanın büyüklüğünün kontrolü: İncelenen alan 1 km²den küçükse parsın tespit edildiğini varsay, değilse 2. adıma dön.

5 Bitir.

Akış Şeması

Algoritmik doğal dille gösterilen ikili arama algoritmasının işleyişini akış şemasıyla ifade ediniz.

Başla

Alan (163000 km²)

Giriş

Alan = Alan / 2

İşlem

Pars bu yarıda mı?

Karar

Evet

"Pars bulundu"

Hayır

Diğer yarıya geç

Alan < 1 km² ?

Karar

Evet

"Pars tespit edildi"

Dur

Hayır (2. adıma dön)

Bilgi: 163 000 km²'lik alan ikili arama ile kaç günde taranır?
163000 km² → 1 km²'ye inmek için: ⌈log₂(163000)⌉ = ⌈17.31⌉ = 18 gün

Sözde Kod

Algoritmik doğal dille gösterilen ikili arama algoritmasının işleyişini sözde kodla ifade ediniz.

1:  BAŞLA
				2:  // Kullanıcıdan bölgenin alanını al
				3:  OKU alan
				4:  
				5:  DÖNGÜ
				6:      // Alanı ikiye böl
				7:      alan = alan / 2
				8:      
				9:      // Parsın bu yarıda olup olmadığını kontrol et
				10:     EĞER "Pars bu yarıda" İSE
				11:         YAZ "Pars bulundu, detaylı incele"
				12:     DEĞİLSE
				13:         YAZ "Diğer yarıya geç"
				14:     // Kontrol edilen alan 1 km²'den küçük mü?
				15:     EĞER alan < 1 İSE
				16:         YAZ "Pars tespit edildi"
				17:         DÖNGÜDEN ÇIK
				18: BİTİR

Alternatif Sözde Kod (Daha Açıklayıcı)

1:  BAŞLA
				2:  alan = 163000  // Başlangıç alanı (km²)
				3:  gün = 0
				4:  
				5:  DÖNGÜ alan >= 1
				6:      alan = alan / 2    // Alanı ikiye böl
				7:      gün = gün + 1
				8:      
				9:      EĞER "Pars bu yarıda" İSE
				10:         YAZ "Pars bulundu, detaylı incele"
				11:     DEĞİLSE
				12:         YAZ "Diğer yarıya geç"
				13:     
				14:     EĞER alan < 1 İSE
				15:         YAZ "Pars tespit edildi"
				16:         YAZ "Toplam gün sayısı: ", gün
				17: BİTİR

Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII
@	64	A	65	B	66	C	67
D	68	E	69	F	70	G	71
H	72	I	73	J	74	K	75
L	76	M	77	N	78	O	79
P	80	Q	81	R	82	S	83
T	84	U	85	V	86	W	87
X	88	Y	89	Z	90	[	91
\	92	]	93	^	94	_	95
`	96	a	97	b	98	c	99
d	100	e	101	f	102	g	103
h	104	i	105	j	106	k	107
l	108	m	109	n	110	o	111
p	112	q	113	r	114	s	115
t	116	u	117	v	118	w	119
x	120	y	121	z	122	{	123
\|	124	}	125	~	126

Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII
@	64	A	65	B	66	C	67
D	68	E	69	F	70	G	71
H	72	I	73	J	74	K	75
L	76	M	77	N	78	O	79
P	80	Q	81	R	82	S	83
T	84	U	85	V	86	W	87
X	88	Y	89	Z	90	[	91
\	92	]	93	^	94	_	95
`	96	a	97	b	98	c	99
d	100	e	101	f	102	g	103
h	104	i	105	j	106	k	107
l	108	m	109	n	110	o	111
p	112	q	113	r	114	s	115
t	116	u	117	v	118	w	119
x	120	y	121	z	122	{	123
\|	124	}	125	~	126

Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII	Karakter	ASCII
@	64	A	65	B	66	C	67
D	68	E	69	F	70	G	71
H	72	I	73	J	74	K	75
L	76	M	77	N	78	O	79
P	80	Q	81	R	82	S	83
T	84	U	85	V	86	W	87
X	88	Y	89	Z	90	[	91
\	92	]	93	^	94	_	95
`	96	a	97	b	98	c	99
d	100	e	101	f	102	g	103
h	104	i	105	j	106	k	107
l	108	m	109	n	110	o	111
p	112	q	113	r	114	s	115
t	116	u	117	v	118	w	119
x	120	y	121	z	122	{	123
\|	124	}	125	~	126