Sayfalara Git
Ön Değerlendirme
7.2. Bayes Teoremi
7.2. Bayes Teoremi
Bayes Teoremi ile Tanışma
Bayes Teoremi, mevcut bilgiye dayalı olasılık değerlerinin yeni veriler ışığında nasıl güncelleneceğini gösteren önemli bir olasılık teoremidir. Günlük hayatta karşılaştığımız birçok belirsiz durumda, elimizdeki ön bilgileri kullanarak daha doğru tahminler yapmamıza olanak tanır.
1. Durum: Demir Eksikliği Anemisi
İnsan vücudunda bulunan demir miktarının belirlenmesi için kan testi yapılır. Kan testine göre kandaki demir oranı 37 ug/dL altında kalan hastaya "demir eksikliği anemisi" teşhisi konur. Bu test demir eksikliği anemisi hastası olanların %90'ında, hasta olmayanların %15'inde pozitif sonuç vermektedir.
Buna göre kanındaki demir değeri 35 ug/dL ile normal düzeyin altında kalan bir birey için "kesinlikle demir eksikliği anemisi hastası" teşhisi konulabilir mi?
Değerlendirme:
- Testin pozitif çıkma olasılığı hastalar için %90, sağlıklılar için %15'tir.
- 35 ug/dL değeri 37 ug/dL'nin altında olduğu için kişi risk grubundadır.
- Ancak testin yanılma payı (%15) ve toplumdaki hastalık yaygınlığı (prevalans) dikkate alınmalıdır.
- Kesinlikle hasta teşhisi konulamaz. Bayes Teoremi ile kesinlik derecesi hesaplanmalıdır.
2. Durum: Hava Durumu Tahmini
Yaşadığı ilin hava durumu tahminini inceleyen bir kişi saat 16.00 - 17.00 arasında yağmur yağma olasılığının %80 olduğunu öğrenmiştir. Ancak hava durumu tahmini yapan kurum tahminlerinde %20 oranında hata olabileceğini açıklamıştır.
Bu yeni bilgi ile olasılık durumu güncellendiğinde belirtilen saatlerde yağmur yağma olasılık değeri değişir mi?
Değerlendirme:
- İlk olasılık: P(Yağmur) = %80
- Kurumun hata oranı: %20 → tahminin doğruluk oranı %80
- Bayes Teoremi ile güncellenmiş olasılık hesaplanabilir.
- Evet, olasılık değeri değişir. Yeni bilgi (hata oranı) ile birlikte kesinlik derecesi yeniden hesaplanır.
Tartışma Sorusu
Yukarıdaki iki paragrafta belirsizlik içeren gerçek yaşam durumları için mevcut bilgiye dayalı olasılık değerleri verilmiştir. Bu olasılık değerleri edinilen yeni veriler ile değişiklik göstermeli midir?
Değerlendirme:
- Demir testi örneği: Yeni veri (test sonucu) ile hastalık olasılığı güncellenmelidir.
- Hava durumu örneği: Yeni veri (hata oranı) ile yağmur olasılığı güncellenmelidir.
- Sonuç: Bayes Teoremi, mevcut bilgiyi yeni verilerle birleştirerek olasılıkları güncellememizi sağlar.
- Bu yaklaşım, tıp, hava tahmini, yapay zeka ve birçok alanda kullanılır.
Bayes Teoremi
\( P(A|B) \): B olayı gerçekleştiğinde A olayının olasılığı (güncellenmiş olasılık)
\( P(B|A) \): A olayı gerçekleştiğinde B olayının olasılığı (veri/duyarlılık)
\( P(A) \): A olayının önceki olasılığı (ön bilgi)
\( P(B) \): B olayının toplam olasılığı
4. Uygulama
Sayfa 404-405 – Bayes Teoremi ile Olasılık Güncelleme
Problem Durumu: Alzaymır Hastalığı
Alzaymır; hafıza kaybına ve düşünme yeteneğinin azalmasına yol açan, unutkanlık belirtisi ile öne çıkan,
ilerleyen aşamalarda kişinin günlük basit aktivitelerini ve işlerini bile yapamamasına neden olan bir beyin hastalığıdır.
65 yaş üzeri bireylerde bu hastalığın görülme oranı %10'dur.
Alzaymır belirtileri, bir grup araştırmacı tarafından bulunan kan testi ile mevcut diğer yöntemler kadar güvenilir bir şekilde tespit edilebilmektedir.
Bu kan testine göre hasta olan bir bireyin testi %80 oranında, sağlıklı bir bireyin testi ise %10 oranında pozitif sonuç vermektedir.
Buna göre 65 yaş üzerinde bireylerin bulunduğu 400 kişilik bir huzurevinde
1. Soru
Bir bireyin alzaymır teşhisi alma olasılık değerini bulunuz.
- 65 yaş üzeri bireylerde hastalık görülme oranı: %10 = 0,10
- P(Hasta) = 0,10
- P(Sağlıklı) = 1 - 0,10 = 0,90
2. Soru
Test sonucu pozitif olan bir bireyin gerçekten alzaymır olma olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(Hasta) = 0,10
- P(Sağlıklı) = 0,90
- P(Pozitif | Hasta) = 0,80
- P(Pozitif | Sağlıklı) = 0,10
1. Adım: P(Pozitif) değerini bulalım:
- P(Pozitif) = P(Pozitif ∩ Hasta) + P(Pozitif ∩ Sağlıklı)
- P(Pozitif) = P(Pozitif | Hasta)·P(Hasta) + P(Pozitif | Sağlıklı)·P(Sağlıklı)
- P(Pozitif) = 0,80·0,10 + 0,10·0,90 = 0,08 + 0,09 = 0,17
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(Hasta | Pozitif):
- P(Hasta | Pozitif) = \( \dfrac{P(Pozitif | Hasta) \cdot P(Hasta)}{P(Pozitif)} \)
- P(Hasta | Pozitif) = \( \dfrac{0,80 \cdot 0,10}{0,17} = \dfrac{0,08}{0,17} \approx \mathbf{0,4706} \)
3. Soru - Görselleştirmeler
Verilen problem durumu için aşağıdaki adımları uygulayınız:
1. Adım: Görselleştirmeler
Grup A: Ağaç Şeması
Grup B: İki Yönlü Sıklık Tablosu (400 kişi)
| Hasta | Sağlıklı | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Test Pozitif | 32 | 36 | 68 |
| Test Negatif | 8 | 324 | 332 |
| Toplam | 40 | 360 | 400 |
- Hasta: 400 × 0,10 = 40 kişi
- Sağlıklı: 400 × 0,90 = 360 kişi
- Hasta + Pozitif: 40 × 0,80 = 32 kişi
- Sağlıklı + Pozitif: 360 × 0,10 = 36 kişi
Grup C: Alan Modeli
3. Adım: Test Duyarlılığının Değişimi
Yapılan çalışmalar sonucunda testin hasta olan bireylerdeki pozitiflik oranı %80'den %90'a yükselirse olasılık değerinde nasıl bir değişim gözlenir? Sınıf arkadaşlarınızla nezaket kuralları çerçevesinde tartıştıktan sonra yargıda bulununuz.
Değerlendirme:
Eski Durum (%80 duyarlılık):
- P(Pozitif) = 0,80·0,10 + 0,10·0,90 = 0,17
- P(Hasta | Pozitif) = 0,08 / 0,17 ≈ 0,4706
Yeni Durum (%90 duyarlılık):
- P(Pozitif) = 0,90·0,10 + 0,10·0,90 = 0,09 + 0,09 = 0,18
- P(Hasta | Pozitif) = 0,09 / 0,18 = 0,50
Sonuç:
- Duyarlılık %80'den %90'a çıktığında P(Hasta | Pozitif) değeri artar.
- Değişim: 0,4706 → 0,5000 (yaklaşık %6,25 artış)
- Yargı: Testin duyarlılığı arttıkça, pozitif test sonucu olan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı da artar.
6. Sıra Sizde
Sayfa 406-407 – Yangın Sensörü ve Olasılık Güncelleme
Problem Durumu
Geri dönüşüm fabrikasının kâğıt toplama bölümünde çıkabilecek yangını erken saptamak için bir sistem kurulmuş,
iş yerinde uygun bir bölüme alev sensörü yerleştirilmiştir.
Sensör durumu algıladığında iş yeri sahibinin telefonuna mesaj göndermektedir.
Alev sensörünün bir yıl içinde gönderdiği on mesajdan dördünün doğru olduğu tespit edilmiştir.
Sadece alev sensörünün yangın belirlemede verimli olmadığını düşünen işletme sahibi sisteme gaz sensörü de eklemiş ve
sistemin yangını tespit etme olasılık değerini \( \frac{9}{10} \) oranında artırmıştır.
a) Sadece alev sensörü ile yangının tespit edilme olasılık değerini bulunuz.
- Alev sensörü gönderilen 10 mesajdan 4'ü doğru → 4/10 = 0,40
- P(Alev) = \( \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \)
b) Sisteme gaz sensörü eklendikten sonra yangının tespit edilme olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(Alev) = \( \frac{2}{5} \)
- Sistem yangını tespit etme olasılığı \( \frac{9}{10} \) oranında artırılmış.
Hesaplama:
- Artış miktarı = P(Alev) × \( \frac{9}{10} \)
- Artış miktarı = \( \frac{2}{5} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{50} = \frac{9}{25} \)
- Yeni olasılık = P(Alev) + Artış = \( \frac{2}{5} + \frac{9}{25} = \frac{10}{25} + \frac{9}{25} = \frac{19}{25} \)
c) Sistem Karşılaştırması
Alev sensörü ve gaz sensörünün birlikte kullanıldığı sistemle aynı maliyete sahip tek bir X sensörü geliştirilir ve bu sensörün yangını tespit etme olasılık değeri %80 olursa hangi sistemin kullanılması daha uygundur? Sınıf arkadaşlarınızla nezaket kuralları çerçevesinde tartıştıktan sonra yargıda bulununuz.
| Sistem | Tespit Olasılığı |
|---|---|
| Alev + Gaz Sensörü | %76 |
| Tek X Sensörü | %80 |
Değerlendirme:
- Alev + Gaz Sistemi: %76 tespit oranı
- X Sensörü: %80 tespit oranı
- X sensörü %80 > %76 olduğu için X sensörü daha uygundur.
- Aynı maliyetle daha yüksek tespit oranı sağlandığı için X sensörü tercih edilmelidir.
Performans Görevi
Sayfa 407 – Bayes Teoremi ile İlgili Performans Görevi
Performans Görevi Hakkında
Bayes Teoremi konusu ile ilgili hazırlanmış performans görevi dokümanlarını aşağıdan inceleyebilir ve indirebilirsiniz. PDF ve DOCX formatlarında sunulan dosyalar, ödev içeriğini ve değerlendirme kriterlerini içermektedir.
Performans Görevi Dokümanı (PDF Önizleme)
PDF Dosyası
Performans görevi PDF formatındaDOCX Dosyası
Performans görevi Word formatındaAlıştırmalar
Sayfa 408 – Bayes Teoremi ile 3 alıştırma sorusu
Bayes Teoremi Alıştırmaları
Aşağıdaki sorular, Bayes Teoremi kullanılarak koşullu olasılık hesaplamalarını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
1. Alıştırma
Beslenme biçimleri, metabolik rahatsızlıklar, yetersiz sıvı alımı ya da sıvı kaybı, bazı ilaçlar gibi pek çok etmen böbrek taşına neden olabilir. Türkiye'de bireylerde böbrek taşı görülme sıklığı yaklaşık %15'tir. Böbrekte taşı olduğunu teşhis etmek için idrar tahlilinde lökositin pozitif olup olmadığına bakılır. Bunun için yapılan idrar tahlili hasta bireylerde \( \frac{4}{5} \) oranında pozitif sonuç verirken hasta olmayan bireylerde de \( \frac{2}{17} \) oranında pozitif sonuç vermektedir.
Böbrek taşı şüphesi ile idrar tahlili yapılan Enes'in testi pozitif çıktığına göre böbreğinde taşı olması olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(Hasta) = 0,15 = \( \frac{3}{20} \)
- P(Sağlıklı) = 0,85 = \( \frac{17}{20} \)
- P(Pozitif | Hasta) = \( \frac{4}{5} \)
- P(Pozitif | Sağlıklı) = \( \frac{2}{17} \)
1. Adım: P(Pozitif) değerini bulalım:
- P(Pozitif) = P(Pozitif | Hasta)·P(Hasta) + P(Pozitif | Sağlıklı)·P(Sağlıklı)
- P(Pozitif) = \( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{20} + \frac{2}{17} \cdot \frac{17}{20} \)
- P(Pozitif) = \( \frac{12}{100} + \frac{2}{20} = \frac{12}{100} + \frac{10}{100} = \frac{22}{100} = \frac{11}{50} \)
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(Hasta | Pozitif):
- P(Hasta | Pozitif) = \( \dfrac{P(Pozitif | Hasta) \cdot P(Hasta)}{P(Pozitif)} \)
- P(Hasta | Pozitif) = \( \dfrac{\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{20}}{\frac{11}{50}} = \dfrac{\frac{12}{100}}{\frac{11}{50}} = \dfrac{12}{100} \cdot \dfrac{50}{11} = \dfrac{6}{11} \)
2. Alıştırma
Bir araştırmaya göre Türkiye'de her yıl 11 milyondan fazla evin yıllık kullanımına eş değer miktarda su israf edilmektedir. Su ayak izi testi ile evsel su tüketim miktarı hesaplanabilir.
Bir şehirdeki 1000 hanelik bir mahallede su ayak izi testi uygulanmış, hanelerin %70'inin suyu verimli kullanırken %30'unun ise suyu israf ettiği tespit edilmiştir. Verimli su kullananların %80'i, israf edenlerin %20'si A marka, kalan hanelerde B marka su saati kullanılmıştır.
Buna göre mahalleden seçilen bir hanenin su saatinin B marka olduğu bilindiğine göre suyu verimli kullanma olasılık değerini hesaplayınız.
Verilenler:
- P(Verimli) = 0,70 = \( \frac{7}{10} \)
- P(İsraf) = 0,30 = \( \frac{3}{10} \)
- P(B | Verimli) = 1 - 0,80 = 0,20 = \( \frac{1}{5} \)
- P(B | İsraf) = 1 - 0,20 = 0,80 = \( \frac{4}{5} \)
1. Adım: P(B) değerini bulalım:
- P(B) = P(B | Verimli)·P(Verimli) + P(B | İsraf)·P(İsraf)
- P(B) = \( \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{10} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{10} \)
- P(B) = \( \frac{7}{50} + \frac{12}{50} = \frac{19}{50} \)
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(Verimli | B):
- P(Verimli | B) = \( \dfrac{P(B | Verimli) \cdot P(Verimli)}{P(B)} \)
- P(Verimli | B) = \( \dfrac{\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{10}}{\frac{19}{50}} = \dfrac{\frac{7}{50}}{\frac{19}{50}} = \dfrac{7}{19} \)
3. Alıştırma
Aflatoksin, özellikle kuru gıdalarda görülen küf mantarlarının oluşturduğu toksit bir maddedir. Yol açabileceği sağlık sorunları nedeniyle aflatoksinli ürünler sağlıklı ürünlerden ayıklanmalıdır.
Yurtdışına satış yapan bir firmanın ürünlerinin %8'inde aflatoksinle rastlanmıştır. Bu firma, toksinli incirleri sağlıklı incirlerden ayıklamak için bir cihaz geliştirmiştir. Cihaz gördüğü aflatoksinli incirleri \( \frac{3}{4} \) oranında tespit etmekte ancak sağlıklı ürünlerin \( \frac{5}{23} \)'ünü de aflatoksinli sanıp onları da ayıklamaktadır.
Buna göre seçilen bir ürünün cihaz tarafından aflatoksinli olduğu tespit edilmiş olmasına rağmen sağlıklı bir ürün olma olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(Toksinli) = 0,08 = \( \frac{2}{25} \)
- P(Sağlıklı) = 0,92 = \( \frac{23}{25} \)
- P(Pozitif | Toksinli) = \( \frac{3}{4} \)
- P(Pozitif | Sağlıklı) = \( \frac{5}{23} \)
1. Adım: P(Pozitif) değerini bulalım:
- P(Pozitif) = P(Pozitif | Toksinli)·P(Toksinli) + P(Pozitif | Sağlıklı)·P(Sağlıklı)
- P(Pozitif) = \( \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{25} + \frac{5}{23} \cdot \frac{23}{25} \)
- P(Pozitif) = \( \frac{6}{100} + \frac{5}{25} = \frac{6}{100} + \frac{20}{100} = \frac{26}{100} = \frac{13}{50} \)
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(Sağlıklı | Pozitif):
- P(Sağlıklı | Pozitif) = \( \dfrac{P(Pozitif | Sağlıklı) \cdot P(Sağlıklı)}{P(Pozitif)} \)
- P(Sağlıklı | Pozitif) = \( \dfrac{\frac{5}{23} \cdot \frac{23}{25}}{\frac{13}{50}} = \dfrac{\frac{5}{25}}{\frac{13}{50}} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{50}{13} = \dfrac{10}{13} \)
Alıştırmalar
Sayfa 409 – Bayes Teoremi ile 2 alıştırma sorusu
Bayes Teoremi Alıştırmaları
Aşağıdaki sorular, Bayes Teoremi kullanılarak koşullu olasılık hesaplamalarını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
4. Alıştırma
Beyaz eşya üreten bir firma ürünlerinin kalitesini ölçmek için fabrika çıkışında ürünlerine bir dayanıklılık testi uygulamaktadır. Bu test sonucunda hatalı ürün %96 oranında tespit edilebilmekte ancak hatalı olmayan ürünlerin de %2'si hatalı gibi işlem görmektedir. Bu fabrikanın hatalı ürün üretme olasılığı %5'tir.
a) Hatalı olduğu bilindiğine göre test sırasında tespit edilmemesi olasılık değerini bulunuz.
- P(Hatalı) = 0,05 = \( \frac{1}{20} \)
- P(Tespit | Hatalı) = 0,96 = \( \frac{24}{25} \)
- P(Tespit Edilmeme | Hatalı) = 1 - 0,96 = 0,04
b) Test sonucunda hatalı ürün olarak tespit edilmesine rağmen hatalı olmama olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(Hatalı) = 0,05
- P(Sağlam) = 0,95
- P(Pozitif | Hatalı) = 0,96
- P(Pozitif | Sağlam) = 0,02
1. Adım: P(Pozitif) değerini bulalım:
- P(Pozitif) = P(Pozitif | Hatalı)·P(Hatalı) + P(Pozitif | Sağlam)·P(Sağlam)
- P(Pozitif) = 0,96·0,05 + 0,02·0,95 = 0,048 + 0,019 = 0,067
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(Sağlam | Pozitif):
- P(Sağlam | Pozitif) = \( \dfrac{P(Pozitif | Sağlam) \cdot P(Sağlam)}{P(Pozitif)} \)
- P(Sağlam | Pozitif) = \( \dfrac{0,02 \cdot 0,95}{0,067} = \dfrac{0,019}{0,067} \approx \mathbf{0,2836} \)
5. Alıştırma
Manyetik rezonans görüntüleme (MRI), beyin tümörü teşhisinde faydalanılan en iyi görüntüleme yöntemidir. Bu test beyninde tümör bulunan bir kişide tümörü %90 oranında tespit edebilmekte ancak sağlıklı bireylerin \( \frac{1}{99} \)'unda da beyin tümörü teşhisi koyabilmektedir. Yapılan araştırmalara göre ise Türkiye'de beyin tümörünün görülme sıklığı %1'dir.
Buna göre Türkiye'de teşhis konulan herhangi bir bireyin gerçekte beyin tümörü olma olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(Tümör) = 0,01 = \( \frac{1}{100} \)
- P(Sağlıklı) = 0,99 = \( \frac{99}{100} \)
- P(Pozitif | Tümör) = 0,90 = \( \frac{9}{10} \)
- P(Pozitif | Sağlıklı) = \( \frac{1}{99} \)
1. Adım: P(Pozitif) değerini bulalım:
- P(Pozitif) = P(Pozitif | Tümör)·P(Tümör) + P(Pozitif | Sağlıklı)·P(Sağlıklı)
- P(Pozitif) = \( \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{100} + \frac{1}{99} \cdot \frac{99}{100} \)
- P(Pozitif) = \( \frac{9}{1000} + \frac{1}{100} = \frac{9}{1000} + \frac{10}{1000} = \frac{19}{1000} \)
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(Tümör | Pozitif):
- P(Tümör | Pozitif) = \( \dfrac{P(Pozitif | Tümör) \cdot P(Tümör)}{P(Pozitif)} \)
- P(Tümör | Pozitif) = \( \dfrac{\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{100}}{\frac{19}{1000}} = \dfrac{\frac{9}{1000}}{\frac{19}{1000}} = \dfrac{9}{19} \)