Sayfalara Git
Sayfa 243: Konuya Başlarken
Yolculuk Süresi – Hız ve Mesafe İlişkisi (Rasyonel Fonksiyon)
Yolculuk ve Ulaşım Araçları
Sabit bir mesafeyi katetmek için yürümenin haricinde ihtiyaca göre bisiklet, araba, tren, uçak, gemi gibi çeşitli araçlar kullanılır.
A ve B Noktaları Arası Mesafe
A ve B arasındaki mesafe \( d \) km, araçların ortalama hızları farklıdır.
Araçların Ortalama Hızları
| Araç Cinsi | Otobüs | Tren | Uçak |
|---|---|---|---|
| Ortalama Hız (km/sa) | 100 | 200 | 800 |
Sorular
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Araç tercihleri ile yolculuk süreleri arasındaki ilişki hakkındaki görüşlerinizi tartışınız.
- Hız arttıkça süre azalır (ters orantı).
- Uçak en hızlı, otobüs en yavaş.
- Aynı mesafe için hız-süre ilişkisi \( t = d/v \) ile ifade edilir.
Herhangi bir araç için yolculuk süresini cebirsel olarak ifade ediniz.
- t: süre (saat), d: mesafe (km), v: hız (km/sa)
3. Soru
Otobüsün hızı ve yolculuk süresi arasındaki ilişki (d = 1600 km sabit).
Hız ve Yolculuk Süresi Arasındaki İlişki:
- Mesafe sabit (1600 km) → \( t = \dfrac{1600}{v} \)
- Otobüs hızı: \( 0 < v \leq 100 \) km/sa
- Ters orantı (rasyonel fonksiyon) → hiperbol
Grafik Temsili:
- Yatay eksen: Hız (v), Dikey eksen: Süre (t)
- Hiperbol eğrisi şeklinde azalan grafik
Örnek Noktalar (d = 1600 km):
| Hız (v) km/sa | 100 | 80 | 50 | 40 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Süre (t) saat | 16 | 20 | 32 | 40 | 80 |
Değerlendirme:
Sayfa 244-247: 10. Uygulama
f(x) = 1/x Rasyonel Referans Fonksiyonu
1. Tablo Doldurma
| x | ... | -10 | -2 | -1 | -1/2 | -1/3 | -1/10 | 0 | 1/10 | 1/3 | 1/2 | 1 | 2 | 10 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 1/x | ... | -1/10 | -1/2 | -1 | -2 | -3 | -10 | Tanımsız | 10 | 3 | 2 | 1 | 1/2 | 1/10 | ... |
2. Grafik
3. Sorular (a-ç)
a) x → 0⁺ iken:
f(x) → +∞, y eksenine yaklaşır (düşey asimptot)
b) x → 0⁻ iken:
f(x) → -∞, y eksenine yaklaşır (düşey asimptot)
c) x → +∞ iken:
f(x) → 0⁺, x eksenine yaklaşır (yatay asimptot)
ç) x → -∞ iken:
f(x) → 0⁻, x eksenine yaklaşır (yatay asimptot)
4. Sorular (a-e)
a) Tanım Kümesi:
\( \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty,0) \cup (0,\infty) \)
b) Görüntü Kümesi:
\( \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty,0) \cup (0,\infty) \)
c) Sıfırı:
Yok (1/x = 0 çözümü yok)
ç) İşareti:
x>0 → pozitif, x<0 → negatif
d) Artan/Azalan:
Her iki aralıkta da azalan (\( (-\infty,0) \) ve \( (0,\infty) \))
5. Tablo Doldurma
| Tanım Aralığı | Cebirsel İşlem | Görüntü Aralığı |
|---|---|---|
| (-4, -2) | -4 < x < -2 → -1/2 < 1/x < -1/4 | (-1/2, -1/4) |
| (2, 5) | 2 < x < 5 → 1/5 < 1/x < 1/2 | (1/5, 1/2) |
| (-5, -1] | -5 < x ≤ -1 → -1 ≤ 1/x < -1/5 | [-1, -1/5) |
| [-3, 0) | -3 ≤ x < 0 → 1/x ≤ -1/3 | (-∞, -1/3] |
| (4, ∞) | x > 4 → 0 < 1/x < 1/4 | (0, 1/4) |
| (-∞, -2) | x < -2 → -1/2 < 1/x < 0 | (-1/2, 0) |
6. Sorular (f-ğ)
f) Azalanlık:
Her iki aralıkta da azalandır.
g) Ters Orantı:
x·y = 1 → ters orantı
ğ) Gerçek Yaşam:
Süre-hız, basınç-hacim, kişi başı maliyet
7. Sorular (h-j)
h) Bire Bir:
Evet, yatay doğru testi tek noktada keser
ı) Tek/Çift:
Tek fonksiyon (orijine göre simetrik)
i) Örtenlik:
R\{0} → R\{0} için örtendir
j) Maksimum/Minimum:
Yok (sınırsız artar/azalır)
Sayfa 248: 11. Sıra Sizde
f(x) = 1/x Rasyonel Fonksiyonu – Bire Birlik, Örtenlik, Tam Sayı Değerleri
11. Sıra Sizde
\( f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \setminus \{0\}, \quad f(x) = \dfrac{1}{x} \) şeklinde tanımlı f fonksiyonu veriliyor.
a) Grafik
b) Bire Birlik ve Örtenlik
Bire Birlik:
- \( f(x_1) = f(x_2) \) → \( \dfrac{1}{x_1} = \dfrac{1}{x_2} \)
- \( x_1 = x_2 \) → Bire birdir.
- Yatay doğru testi: her y değeri için tek bir x değeri.
Örtenlik:
- Değer kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- Her \( y \neq 0 \) için \( x = \dfrac{1}{y} \) vardır.
- Örtendir.
- \( y = 0 \) değer kümesinde olmadığı için sorun yok.
c) Tam Sayı Değerlerinin Toplamı
\( x \in \left[-\frac{1}{6}, 3\right] \setminus \{0\} \) aralığında f(x)'in alabileceği tam sayı değerleri.
- Aralık: \( x \in [-\frac{1}{6}, 0) \cup (0, 3] \)
- \( x \in (0, 3] \) → \( f(x) = \frac{1}{x} \ge \frac{1}{3} \) → tam sayı değerleri: 1, 2, 3
- \( x \in [-\frac{1}{6}, 0) \) → \( f(x) = \frac{1}{x} \le -6 \) → tam sayı değerleri: -6, -7, -8, ... (sonsuz)
- Ancak \( x \in [-\frac{1}{6}, 0) \) için \( f(x) \in (-\infty, -6] \) olduğundan sonsuz tam sayı değeri vardır.
- Soru muhtemelen \( x \in (0, 3] \) için veya \( x \in [-\frac{1}{6}, 3] \) için farklı yorumlanabilir.
Sayfa 248-257: 11. Uygulama
g(x) = a·f(x±r)±k Rasyonel Fonksiyon Dönüşümleri
Tablo 1: a Sürgüsündeki Değişim (r=0, k=0)
| Fonksiyon İsmi | a Değeri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a = -1 | \( h(x) = -\frac{1}{x} \) | -1 ile çarpma | x eksenine göre yansıma |
| m(x) | a = 2 | \( m(x) = \frac{2}{x} \) | 2 ile çarpma | 2 kat dikey daralma |
| n(x) | a = 4 | \( n(x) = \frac{4}{x} \) | 4 ile çarpma | 4 kat dikey daralma |
| s(x) | a = -3 | \( s(x) = -\frac{3}{x} \) | -3 ile çarpma | x eksenine yansıma + 3 kat daralma |
Tablo 2: a ve r Sürgülerindeki Değişim (k=0)
| Fonksiyon İsmi | a, r Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1, r=2 | \( h(x) = \frac{1}{x+2} \) | x'e 2 ekleme | x ekseninde negatif yönde 2 birim öteleme |
| m(x) | a=1, r=-1 | \( m(x) = \frac{1}{x-1} \) | x'ten 1 çıkarma | x ekseninde pozitif yönde 1 birim öteleme |
| n(x) | a=4, r=3 | \( n(x) = \frac{4}{x+3} \) | x'e 3 ekleme + 4 ile çarpma | x ekseninde negatif 3 + 4 kat dikey daralma |
| s(x) | a=-2, r=-2 | \( s(x) = -\frac{2}{x-2} \) | x'ten 2 çıkarma + -2 ile çarpma | x ekseninde pozitif 2 + x'e yansıma + 2 kat daralma |
Tablo 3: a ve k Sürgülerindeki Değişim (r=0)
| Fonksiyon İsmi | a, k Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1, k=2 | \( h(x) = \frac{1}{x} + 2 \) | +2 ekleme | y ekseninde pozitif 2 birim öteleme |
| m(x) | a=1, k=-1 | \( m(x) = \frac{1}{x} - 1 \) | -1 ekleme | y ekseninde negatif 1 birim öteleme |
| n(x) | a=4, k=3 | \( n(x) = \frac{4}{x} + 3 \) | 4 ile çarpma + 3 ekleme | 4 kat dikey daralma + y ekseninde pozitif 3 |
| s(x) | a=-2, k=-2 | \( s(x) = -\frac{2}{x} - 2 \) | -2 ile çarpma - 2 | x'e yansıma + 2 kat daralma + y ekseninde negatif 2 |
Tablo 4: a, r, k Sürgülerindeki Değişim
| Fonksiyon İsmi | a, r, k Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Dönüşüm |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1, r=2, k=3 | \( h(x) = \frac{1}{x+2} + 3 \) | x'e 2 ekle + 3 ekle | x: negatif 2, y: pozitif 3 öteleme |
| m(x) | a=1, r=-2, k=-1 | \( m(x) = \frac{1}{x-2} - 1 \) | Bağımsız değişkenin 2 eksiğinin aldığı değerden 1 çıkarma | x: pozitif 2, y: negatif 1 öteleme |
| n(x) | a=1, r=3, k=-2 | \( n(x) = \frac{1}{x+3} - 2 \) | x'e 3 ekle - 2 | x: negatif 3, y: negatif 2 öteleme |
| s(x) | a=-2, r=-4, k=3 | \( s(x) = -\frac{2}{x-4} + 3 \) | -2 ile çarp + 3 | x: pozitif 4, y: pozitif 3 + yansıma + 2 kat |
2. Dönüşüm ve Cebirsel Temsil
| Uygulanan Dönüşüm | Cebirsel Temsil | Grafik Temsil |
|---|---|---|
| 4 kat dikey daralma | \( g(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} \) | Hiperbol (daralma) |
| x: negatif 3, y: pozitif 2 öteleme | \( g(x) = \frac{1}{x+3} + 2 \) |
|
| x'e yansıma + y: pozitif 3 öteleme | \( g(x) = -\frac{1}{x} + 3 \) | 
|
| 2 kat dikey daralma + x'e yansıma + x: pozitif 2, y: pozitif 1 öteleme | \( g(x) = -\frac{2}{x-2} + 1 \) | 
|
3. Nitel Özellikler Varsayımları
| Nitel Özellik | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | \( \mathbb{R} \setminus \{-r\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{-r\} \) |
| Görüntü Kümesi | \( \mathbb{R} \setminus \{k\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{k\} \) |
| İşareti | x > -r pozitif, x < -r negatif | x > -r negatif, x < -r pozitif |
| Artanlık-Azalanlık | Her iki aralıkta da azalan | Her iki aralıkta da artan |
4. Soru: Tanım-Görüntü, İşaret, Artan-Azalan
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri
1. m(x) = -2/(x-3)
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) (Paydayı sıfır yapan x=3 değeri dışlanır)
- Görüntü Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) (Pay sıfır olamaz → m(x) ≠ 0)
2. n(x) = 3/(x-2) + 1
- Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) (Paydayı sıfır yapan x=2 değeri dışlanır)
- Görüntü Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) (3/(x-2) ≠ 0 olduğundan n(x) ≠ 1)
b) İşareti ve Artan-Azalan Olduğu Aralıklar
1. m(x) = -2/(x-3)
- İşareti: (-∞, 3) aralığında pozitif, (3, ∞) aralığında negatif
- Artan/Azalan: Her iki aralıkta da artan (a=-2 < 0 olduğu için)
| x | -∞ | 3 | ∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| m(x) | + | ‖ | − |
2. n(x) = 3/(x-2) + 1
- İşareti: (-∞, -1) pozitif, (-1, 2) negatif, (2, ∞) pozitif
- Sıfırı: x = -1
- Artan/Azalan: Her iki aralıkta da azalan (a=3 > 0 olduğu için)
| x | -∞ | -1 | 2 | ∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n(x) | + | 0 | − | ‖ | + |
5. Soru: Artan-Azalan, Maks-Min, Tanım-Görüntü
a) Artan-Azalan Aralıklar ve Maksimum-Minimum
1. k(x) = 2/x
- Artan/Azalan: Her iki aralıkta da azalan (a=2 > 0)
- Maksimum/Minimum: Yok
2. r(x) = -3/(x-2)
- Artan/Azalan: Her iki aralıkta da artan (a=-3 < 0)
- Maksimum/Minimum: Yok
3. n(x) = 3/(x-2) + 1
- Artan/Azalan: Her iki aralıkta da azalan (a=3 > 0)
- Maksimum/Minimum: Yok
b) Tanım ve Görüntü Kümeleri
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| k(x) = 2/x | \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) |
| r(x) = -3/(x-2) | \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) |
| n(x) = 3/(x-2) + 1 | \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) |
• Tanım kümesi: paydayı sıfır yapan değer dışlanır.
• Görüntü kümesi: yatay asimptot (k) değeri dışlanır.
• a > 0 → azalan, a < 0 → artan.
• Maksimum/minimum yoktur (asimptotlara yaklaşır).
7. Soru: Nitel Özellikler Tablosu (a > 0 ve a < 0)
\( g(x) = a \cdot \frac{1}{x+r} + k \) (\( r > 0, k > 0 \))
| Nitel Özellikler | a > 0, r > 0, k > 0 | a < 0, r > 0, k > 0 |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi |
\( \mathbb{R} \setminus \{-r\} \) |
\( \mathbb{R} \setminus \{-r\} \) |
| Görüntü Kümesi | \( \mathbb{R} \setminus \{k\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{k\} \) |
| İşareti |
Kök: \( x = -r - \frac{a}{k} \) (-∞, kök): + (kök, -r): − (-r, ∞): + |
Kök: \( x = -r - \frac{a}{k} \) (-∞, -r): + (-r, kök): + (kök, ∞): − |
| Artanlığı-Azalanlığı | Her iki aralıkta azalan | Her iki aralıkta artan |
| Maksimum-Minimum Noktaları | Yok | Yok |
8. Soru: \( f(V) = \frac{500}{V} \) (Gerçek Yaşam Bağlamı)
500 km'lik yolun hız-süre ilişkisi
| Nitel Özellik | Matematiksel | Problem Bağlamı |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | \( V \in (0, \infty) \) | Hız (\( V \)) sıfırdan büyük pozitif gerçek sayılar (\( V > 0 \)) |
| Görüntü Kümesi | \( f(V) \in (0, \infty) \) | Süre (\( f(V) \)) daima pozitif (saat cinsinden) |
| Artanlığı-Azalanlığı | Azalan (hız arttıkça süre azalır) | |
| Maksimum-Minimum | Yok (hız → 0: süre → ∞, hız → ∞: süre → 0) | |
9. Soru: Grafik ile Doğrulama vs Cebirsel İspat
\( g(x) = a \cdot \frac{1}{x+r} + k \) (\( a > 0, r > 0, k > 0 \))
| Nitel Özellikler | Grafik ile Doğrulama | Cebirsel İspat |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | Grafikte \( x = -r \) hariç tüm reel sayılarda tanımlı | \( x+r = 0 \implies x = -r \) payda sıfır → tanımsız |
| Görüntü Kümesi | \( y = k \) yatay asimptotu hariç tüm y değerleri | \( y = k \) için \( x = \frac{a}{0} \) çözüm yok |
| İşareti | Kök \( x = -r - \frac{a}{k} \); solunda +, kök ile -r arası −, sağında + | \( g(x) = 0 \implies x = -r - \frac{a}{k} \); inceleme ile işaret bulunur |
| Artanlığı-Azalanlığı | Soldan sağa grafik aşağı iner (azalan) | \( x_1 < x_2 \implies \frac{1}{x_1+r} > \frac{1}{x_2+r} \implies g(x_1) > g(x_2) \) |
| Maksimum-Minimum | Tepe veya çukur noktası yok | \( g'(x) = -\frac{a}{(x+r)^2} < 0 \), türev sıfır yok |
10. Soru: \( g(x) = \frac{2}{x+3} - 1 \)
1. Maksimum ve Minimum Noktaları:
- \( g'(x) = -\frac{2}{(x+3)^2} \)
- \( \forall x \neq -3 \) için \( g'(x) < 0 \) → türev sıfır yok
- Sonuç: Maksimum ve minimum noktası yoktur.
2. Artan ve Azalan Olduğu Aralıklar:
- \( g'(x) < 0 \) olduğu için azalan
- \( (-\infty, -3) \) ve \( (-3, \infty) \) aralıklarında azalandır.
3. Yöntemlerin Değerlendirmesi:
Grafik ile Doğrulama:
- Olumlu: Görsel, hızlı anlama, asimptotları gösterir.
- Olumsuz: Yaklaşık değerler, kesin kanıt sağlamaz.
Cebirsel İspat:
- Olumlu: Kesin, genel geçer, tanımsızlıkları gösterir.
- Olumsuz: Görsel algı sağlamaz, soyut kalabilir.
Sayfa 258-259: 12. Sıra Sizde
Rasyonel Fonksiyon – Sıfır, Bire Birlik, Örtenlik, Tek/Çift
12. Sıra Sizde
\( g: \mathbb{R} - \{-1\} \to \mathbb{R} - \{0\} \), \( g(x) = \dfrac{4}{x+1} \) şeklinde tanımlı g fonksiyonu veriliyor.
Çözüm
a) Sıfırı (varsa):
- \( g(x) = 0 \) → \( \dfrac{4}{x+1} = 0 \)
- Pay 4 olduğu için hiçbir x değerinde 0 olamaz.
- Sıfırı yoktur.
b) Örtenlik:
- Değer kümesi: \( \mathbb{R} - \{0\} \)
- \( g(x) = y \) → \( \dfrac{4}{x+1} = y \) → \( x = \dfrac{4}{y} - 1 \)
- Her \( y \neq 0 \) için bir \( x \) bulunur.
- Örtendir.
c) Bire birlik:
- \( g(x_1) = g(x_2) \) → \( \dfrac{4}{x_1+1} = \dfrac{4}{x_2+1} \)
- \( x_1+1 = x_2+1 \) → \( x_1 = x_2 \)
- Bire birdir.
ç) Tek/Çift Fonksiyon:
- \( g(-x) = \dfrac{4}{-x+1} = \dfrac{4}{1-x} \)
- \( -g(x) = -\dfrac{4}{x+1} = \dfrac{-4}{x+1} \)
- \( g(-x) \neq g(x) \) ve \( g(-x) \neq -g(x) \)
- Ne tek ne çifttir.
Sayfa 261: 13. Sıra Sizde
Rasyonel Fonksiyonların Nitel Özellikleri
Fonksiyonların Nitel Özellikleri
| Nitel Özellikler | \( f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\} \) \( f(x) = \frac{4}{x} \) |
\( g: [0, 5] \to \mathbb{R} \) \( g(x) = \frac{2}{x+1} + 3 \) |
\( h: [-8, -3] \to \left[ \frac{7}{6}, 2 \right] \) \( h(x) = -\frac{1}{x+2} + 1 \) |
|---|---|---|---|
| Bire Birliği | Evet | Evet | Evet |
| Örtenliği | Evet | Hayır Görüntü: [3.4, 3.67] |
Evet Tanımlandığı aralıkta |
| Artanlığı-Azalanlığı | \( (-\infty, 0) \) azalan \( (0, \infty) \) azalan |
Azalan | Artan |
| Maksimum-Minimum Değerleri | Yok (asemptot) | Min: g(5) ≈ 3.33 Maks: g(0) = 5 |
Min: h(-8) = 7/6 Maks: h(-3) = 2 |
| Sıfırları | Yok | g(x)=0 → x = -5/3 (aralık dışı) | h(x)=0 → x = -3 (tanımsız) |
| İşareti | x>0: pozitif x<0: negatif |
Her zaman pozitif | Her zaman pozitif |
Sayfa 262: Performans Görevi
PDF ve DOCX dokümanlarını inceleyin ve indirin
Performans Görevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 263: Alıştırmalar
Rasyonel Fonksiyon Uygulamaları ve Nitel Özellikler
1. Alıştırma
Güç fonksiyonu: P = W/t, W = 300 J.
a) Grafik:
- b) Artan-Azalan: \( p(t) = 300/t \), t > 0 için azalan'dır.
- c) Bire birlik: Evet, her t değerine tek bir P değeri.
- ç) 2 ≤ t ≤ 100 için: Maksimum: P(2) = 150 W, Minimum: P(100) = 3 W
2. Alıştırma
Yardım etkinliği maliyeti: 2000 TL.
- a) k(x) = 2000/x → hiperbolik azalan
- b) t(x) = 2000/x + 20 → 20 TL ekstra
- c) 3 kişi ücretsiz → d(x) = 2000/(x-3), x > 3
3. Alıştırma
\( f(x) = \frac{3}{x+4} - 2 \) fonksiyonunun nitel özellikleri.
| Tanım ve Değer Kümesi | Bire Bir | Örten | Maks/Min | Sıfırlar | Artan/Azalan |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \mathbb{R} - \{-4\} \to \mathbb{R} \) | ✓ | ✗ | Yok | x = -2.5 | Azalan |
| \( \mathbb{R} - \{-4\} \to \mathbb{R} - \{-2\} \) | ✓ | ✓ | Yok | x = -2.5 | Azalan |
| \( [-3, \infty) \to (-2, 1] \) | ✓ | ✓ | Maksimum: $1$ ($x=-3$ için) Minimum: Yoktur ($-2$'ye yaklaşır) |
Yok | Azalan |
| \( [-7, -5] \to [-6, -3] \) | ✓ | ✓ | Maksimum: $-3$ ($x=-5$ için) Minimum: $-6$ ($x=-7$ için) |
Yok | Azalan |