Sayfalara Git
2.3. Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler İçeren Problemler.
Konuya Başlarken: Su Deposu Problemi
Süreç Analizi ve Eşitsizlik Uygulamaları
Problem Durumu: Silindir şeklindeki bir su deposunda başlangıçta $120\text{ litre}$ su bulunmaktadır. Deponun tabanındaki çatlak sebebiyle birim zamanda sızan su miktarı sabittir.
"Belirli bir sürenin sonunda depoda kalan su miktarının kaç litre olduğu nasıl bulunabilir?"
Geçen süre dakika cinsinden fonksiyondaki bağımsız değişken olan $t$ yerine yazılarak hesaplanır.
Örnek ($t = 50\text{ dk}$ için):
$f(50) = 120 - 0,8 \cdot 50 = 80\text{ litre}$
"Depodaki suyun tamamının kaç dakika sonra tükeneceği nasıl bulunabilir?"
Suyun tükenmesi depoda kalan su miktarının sıfır olması demektir. Fonksiyon $0$'a eşitlenerek $t$ süresi çekilir:
$0,8t = 120 \implies t = \frac{120}{0,8} = \mathbf{150\text{ dk}}$
"Depoda kalan suyun kaçıncı dakikalar arasında 40 ile 80 litre arasında olduğunu hesaplamak için ne yapılır?"
Fonksiyon ifadesi $40 < f(t) < 80$ eşitsizlik aralığına yerleştirilerek çözülür:
$-80 < -0,8t < -40$
$40 < 0,8t < 80$
$\mathbf{50 < t < 100\text{ dakika arası}}$
Teknoloji Uygulaması: Dinamik Denklem ve Eşitsizlik Analizi
Sayfa 137 - 138: Matematik Yazılımı Yardımıyla Birinci Dereceden Fonksiyonlarda İşaret İncelemesi
Matematik yazılımında $\forall a,b \in \mathbb{R}$ için tanımlanan adımların görsel eşleşmeleri:
Görsel 1 Analizi (Adım 1-4)
- $f(x) = ax + b$ ve $g(x) = 0$ girilmiştir.
- Sürgüler $a = 1.4$ ve $b = 4.2$ olarak ayarlıdır.
- Kesişim noktası $A = (-3, 0)$ olarak bulunmuştur.
- $ax + b = g(x)$ girdisiyle $x = -3$ dikey doğrusu ($denk1$) elde edilmiştir.
Görsel 2 Analizi (Adım 5)
- Giriş bölümüne $f(x) < g(x)$ eşitsizliği yazılmıştır.
- Yazılım, $1.4x + 4.2 < 0$ şartını sağlayan bölgeyi yarı şeffaf yeşil renkle boyamıştır.
- Çözüm kümesi grafiksel olarak $x \in (-\infty, -3)$ aralığıdır.
Görsel 3 Analizi (Adım 6)
- Giriş bölümüne $f(x) \ge g(x)$ eşitsizliği yazılmıştır.
- Yazılım, $1.4x + 4.2 \ge 0$ şartını sağlayan bölgeyi sağ tarafa doğru boyamıştır.
- Çözüm kümesi grafiksel olarak $x \in [-3, +\infty)$ aralığıdır.
$g(x) = 0$ olduğundan $ax + b = g(x)$ ifadesi doğrudan $ax + b = 0$ denklemine dönüşür. Bu denklemin kökü $x = -\frac{b}{a}$'dır. Bu değer aynı zamanda $f(x) = ax + b$ doğrusunun $x$ eksenini kestiği noktanın apsisidir. Dolayısıyla, **denklemin kökü ile fonksiyonun sıfırı (ekseni kestiği nokta) tamamen aynı değerdir**.
Görsel 2'de görüldüğü üzere $a = 1.4 > 0$ (artan fonksiyon) iken, fonksiyon kökten önceki ($x < -3$) değerlerde negatif bölgededir ($f(x) < 0$).
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{a}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | 0 | $+$ |
Açıklama: $f(x) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi, tabloda $(-)$ işaretli olan $(-\infty, -\frac{b}{a})$ aralığıdır.
Görsel 3'te görüldüğü üzere $a > 0$ iken kökten büyük değerlerde fonksiyon pozitif işaretlidir ($f(x) \ge 0$).
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{a}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-$ | 0 | $+$ |
Açıklama: $f(x) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi, tabloda $(+)$ işaretli ve kökü de kapsayan $[-\frac{b}{a}, +\infty)$ aralığıdır.
- Cebirsel Strateji: Fonksiyonun başkatsayısı olan $a$'nın işaretine bakılır. Tabloya en sağdan $a$'nın işaretiyle başlanır, köke gelindiğinde işaret değiştirilir. Bu sayede sıfırdan küçük veya büyük bölgeler cebirsel olarak netleşir.
- Grafiksel Strateji: Doğrunun $x$ ekseninin altında kalan kısımları $f(x) < 0$ (negatif işaretli) bölgesini, $x$ ekseninin üstünde kalan kısımları ise $f(x) > 0$ (pozitif işaretli) bölgesini oluşturur. Kök ise sınır noktasıdır.
Denklem ve Eşitsizlik Çözüm Stratejileri
Sayfa 141 - 142: Depo Su Miktarı Doğrusal Fonksiyon Modellemeleri
A Deposu: $f(x) = 38,4 - 1,2x$
B Deposu: $g(x) = 30,4 - 0,8x$
"Başlangıç miktarları ve tükenme zamanları"
Başlangıç Miktarları ($x = 0$):- A Deposu: $f(0) = \mathbf{38,4\text{ litre}}$
- B Deposu: $g(0) = \mathbf{30,4\text{ litre}}$
- A Deposu: $38,4 - 1,2x = 0 \implies x = \mathbf{32\text{ saat}}$
- B Deposu: $30,4 - 0,8x = 0 \implies x = \mathbf{38\text{ saat}}$
"Su miktarlarının eşitlenme anı"
Eşitlenme Zamanı ($f(x) = g(x)$):$8 = 0,4x \implies x = \mathbf{20\text{ saat}}$
$f(20) = 38,4 - 1,2(20) = \mathbf{14,4\text{ litre}}$ su kalır.
"A'nın B'den daha az olduğu aralık"
Eşitlik İncelemesi ($f(x) < g(x)$):$8 < 0,4x \implies x > 20\text{ saat}$
A deposu 32. saatte tamamen bittiği için bu durum $(20, 32]$ saat aralığında gerçekleşir.
image_f845ec.png
1. Grafik ve Cebirsel İlişki (Soru 2, 3, 4, 5, 6)
Yazılımdaki (GeoGebra) eksenleri kesim noktaları, cebirsel çözümdeki başlangıç değerlerini ($y$ eksenini kesim) ve tükenme sürelerini ($x$ eksenini kesim) doğrulamaktadır. Grafik araçları kullanılarak denklemler sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kökler ile eksen kesişimleri birebir örtüşür.
2. Doğrusal Fonksiyonlarda Genelleme (Soru 7, 8)
Genelleme: $f(x) = ax + b$ doğrusal modelinde başlangıç değeri daima $b$ sabitidir. Maddenin tükenme/bitme noktası ise fonksiyonun sıfırı olan $x = -\frac{b}{a}$ değeridir. Bu kural tüm doğrusal azalan/artan süreç problemleri için sabittir.
3. Kesişim Noktalarının Eşitsizlik Çözümündeki Rolü (Soru 9, 10, 11, 12, 13, 14)
İki doğrunun kesim noktası ($x = 20$), iki depodaki su miktarının eşit olduğu kritik sınırdır. Bu sınırın sol tarafında ($x < 20$) grafiği üstte olan fonksiyon (A deposu) daha büyük değerlere sahipken; sınırın sağ tarafında ($x > 20$) alt tarafa geçerek daha az su içerdiğini grafiksel ve cebirsel olarak gösterir. Ortak çözüm sistemleri eşitsizlik sınırlarını belirlemede en güvenli stratejidir.
Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemlerin Çözümü
Sayfa 143: Uyluk Kemiği Uzunluğundan Boy Tahmini Modeli (Arkeolojik Veri Analizi)
1. Problem: Modelleme Denklemleri
Uyluk kemiği uzunluğu $x$, kişinin boyunun yaklaşık değeri $y$ olmak üzere metindeki verilere göre kurulan doğrusal fonksiyonlar:
y = 2.2x + 69
y = 2.3x + 61.4
2. Problem: Tablodaki Boş Değerlerin Hesaplanması
Hesaplama adımları kullanılarak doldurulan güncel veri tablosu (Sonradan bulunan değerler renkli ve kalın belirtilmiştir):
| Değişkenler | Erkek | Kadın | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Uyluk Kemiğinin Uzunluğu ($x$ - cm) | 45 | 48,18 | 50 | 38,52 | 25 | 30 |
| Kişinin Boyunun Yaklaşık Değeri ($y$ - cm) | 168 | 175 | 179 | 150 | 118,9 | 130,4 |
- Erkek ($x=45$): $y = 2,2 \cdot 45 + 69 = 99 + 69 = \mathbf{168}$ cm
- Erkek ($y=175$): $175 = 2,2x + 69 \implies 106 = 2,2x \implies x = \frac{106}{2,2} \approx \mathbf{48,18}$ cm
- Erkek ($x=50$): $y = 2,2 \cdot 50 + 69 = 110 + 69 = \mathbf{179}$ cm
- Kadın ($y=150$): $150 = 2,3x + 61,4 \implies 88,6 = 2,3x \implies x = \frac{88,6}{2,3} \approx \mathbf{38,52}$ cm
- Kadın ($x=25$): $y = 2,3 \cdot 25 + 61,4 = 57,5 + 61,4 = \mathbf{118,9}$ cm
- Kadın ($x=30$): $y = 2,3 \cdot 30 + 61,4 = 69 + 61,4 = \mathbf{130,4}$ cm
1 ve 2. Soruların Çözüm Stratejisi:
Problemler çözülürken sözel ifadeler cebirsel denklemlere dökülmüş, tablodaki eksik bağımlı/bağımsız değişken değerleri fonksiyon kuralında yerine yazılarak doğrusal denklem çözme yöntemiyle bulunmuştur.
3 ve 4. Matematik Yazılımı ve Yöntem Karşılaştırması:
Yazılımda giriş kısmına f(x) = 2.2x + 69 ve g(x) = 2.3x + 61.4 yazılıp grafikler çizilir. Tablodaki bilinmeyenleri bulmak için grafik üzerinde dikey ($x = \text{değer}$) veya yatay ($y = \text{değer}$) doğrular çizilerek kesişim noktaları tespit edilir.
Karşılaştırma: Cebirsel yöntem kesin ve net rasyonel/ondalık sonuçlar verirken; grafiksel yöntem büyük verileri görselleştirmek ve hızlı tahminler yapmak açısından daha kullanışlıdır. Kesirli/küsuratlı işlemlerde cebirsel yaklaşım hatasız sonuç sunar.
5 ve 6. Genelleme (Sözel, Cebirsel ve Grafiksel Değerlendirme):
- Sözel: Bir girdinin (bağımsız değişken) sabit bir katına, sabit bir değer eklenerek çıktının (bağımlı değişken) elde edildiği tüm durumlar doğrusal ilişkidir.
- Cebirsel: Genel formülü $y = ax + b$ olan tüm yapılar bu stratejiyle çözülebilir (Örn: taksimetre ücretleri, boy-kilo değişimleri, maaş-prim hesapları).
- Grafiksel: Değişim oranı ($a$) eğimi, sabit değer ($b$) ise grafiğin $y$ eksenini kestiği başlangıç noktasını ifade eder.
Ekonomik Aracı Seçme
Doğrusal Azalan Fonksiyonlarla Değer Kaybı ve Ekonomik Ömür Analizi
Kullanım süresi $x$ (yıl) olmak üzere, araçların başlangıç satış fiyatlarından yıllık değer kaybının çıkarılmasıyla elde edilen doğrusal fonksiyonlar:
f(x) = 1 200 000 - 12 000x
g(x) = 1 320 000 - 20 000x
| Kullanım Süresi ($x$, Yıl) | A Marka Arabanın Değeri (TL) | B Marka Arabanın Değeri (TL) |
|---|---|---|
| 5 | 1 140 000 | 1 220 000 |
| 10 | 1 080 000 | 1 120 000 |
| 15 | 1 020 000 | 1 020 000 |
| 20 | 960 000 | 920 000 |
Dik koordinat sisteminde çizildiğinde; A doğrusu $(0, 1200)$ noktasından başlayıp daha yatay azalan bir eğimle, B doğrusu ise $(0, 1320)$ noktasından başlayarak daha dik bir eğimle aşağı inecektir. İki grafiğin kesişim noktası tam olarak 15. yıla denk gelir.
5. Cebirsel Çözüm ($f(x) = g(x)$):$20 000x - 12 000x = 1 320 000 - 1 200 000$
$8 000x = 120 000$
$x = \frac{120 000}{8 000} = \mathbf{15\text{ yıl sonra}}$
Kerem Bey'in hangi arabayı seçmesinin daha avantajlı olacağı tamamen aracı **kaç yıl boyunca elinde tutmak istediğine** bağlıdır:
- Eğer arabayı 15 yıldan daha kısa süre kullanıp satmayı planlıyorsa; başlangıçtan 15. yıla kadar değeri hep üstte kalan ve daha yavaş değer kaybeden B markası avantajlıdır.
- Eğer arabayı 15 yıldan daha uzun süre kullanmayı planlıyorsa; 15. yıldan sonra değerini B'ye göre daha iyi koruyan A markası daha ekonomik bir tercih olacaktır.
Maliyet, Gelir ve Başabaş Noktası Analizi
Doğrusal Fonksiyonlarla Üretim Ekonomisi Modellemesi
Problem Verileri: Spor ayakkabı üreten bir firmanın sabit kurulum maliyeti $200\,000\text{ TL}$, çift başına üretim (değişken) maliyeti $1400\text{ TL}$ ve çift başına satış fiyatı $1800\text{ TL}$ olarak verilmiştir. Üretilen ve satılan ayakkabı adedi $x$ ile temsil edilecektir.
Sabit maliyet ile değişken maliyetin toplamıdır:
Çift başına satış fiyatı ile adet çarpımıdır:
$G(x) = M(x)$ eşitliği kurularak aranan $x$ adedi çekilir:
$400x = 200\,000$
$x = \frac{200\,000}{400} = \mathbf{500\text{ çift}}$
Kâr elde edilebilmesi için gelirin maliyetten kesinlikle büyük olması gerekir ($G(x) > M(x)$):
$x = 500$ adet satışta firma başabaş noktasındadır (Kâr $0$'dır). Kâra geçilebilmesi için satılması gereken en az spor ayakkabı miktarı $\mathbf{501\text{ çift}}$ olmalıdır.
Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemler
Sayfa 151 - 152: Matematik Yazılımı Yardımıyla Grafik ve İşaret Analizi
Matematik yazılımında sürgüler $a = 2.5$ ve $b = 3.1$ konumundayken elde edilen $f(x) = |2.5x + 3.1|$ fonksiyonunun grafiksel çıktıları:
Görsel 1: Denklem Çözümü
$|2.5x + 3.1| = 0$ durumu incelenmiştir. Grafik $x$ eksenine teğet/köşe noktası oluşturur. Kesişim noktası $A = (-1.24, 0)$ olarak bulunmuştur ve bu nokta dikey bir simetri ekseni doğrusu oluşturur.
Görsel 2: $f(x) \ge 0$ Durumu
Yazılıma $f(x) \ge 0$ eşitsizliği girildiğinde tüm koordinat düzlemi ($x$ ekseni boyunca) boyanmıştır. Mutlak değerli bir ifade tanım gereği negatif olamayacağından tüm reel sayılar aralığı boyalı bölgedir.
Görsel 3: $f(x) < 0$ Durumu
Yazılıma $f(x) < 0$ eşitsizliği girildiğinde grafik ekranında hiçbir bölge boyanmamıştır. Mutlak değer asla sıfırdan küçük olamayacağı için çözüm kümesinin boş küme olduğunu gösterir.
$|ax + b| = 0$ denkleminin kökü, mutlak değerin içini sıfır yapan $x = -\frac{b}{a}$ değeridir. Bu değer, $f(x)$ fonksiyonunun $x$ eksenini kestiği/dokunduğu ortak noktadır. Sürgüler hareket ettirilse de denklemin kökü ile fonksiyonun sıfırı daima çakışmaya devam eder.
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{b}{a}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $+$ | 0 | $+$ |
Görsel 2 ve Görsel 3 Çıkarımı: Tabloda da görüldüğü üzere fonksiyon kök hariç tüm bölgelerde pozitif ($+$) işaretlidir. Bu nedenle Görsel 2'deki $f(x) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi tüm gerçek sayılarken ($\mathbb{R}$), Görsel 3'teki $f(x) < 0$ aralığının çözüm kümesi boş kümedir ($\emptyset$).
- Cebirsel Strateji: Mutlak değerli bir ifade $|A| \ge 0$ kuralına tabidir. Çözüm yapılırken ifadenin içinin sıfır olduğu kritik nokta bulunur. İfade sıfırdan küçük olamayacağından $f(x) < 0$ doğrudan boş küme, $f(x) \ge 0$ ise tüm gerçek sayılar olarak ilan edilir.
- Grafiksel Strateji: Mutlak değer grafikleri hiçbir zaman $x$ ekseninin altına (negatif bölgeye) inmez, daima "V" şeklinde eksenin üzerinde veya teğet kalır. Bu geometrik karakter incelenerek aralıklar kolayca tayin edilir.
Mutlak Değerli Eşitsizlik Modellemeleri
Sayfa 153: Nesne Kütlesi Tahmin Oyunu Analizi (Gerçek Değer: 1350 g, Hata Toleransı: ±50 g)
1. Problem (Oyunu Kazandığı Durum)
Mustafa'nın oyunu kazanması için tahmini ($x$), gerçek kütleden en çok 50 gram uzaklıkta olmalıdır:
$-50 \le x - 1350 \le 50 \implies$
Söylemiş olabileceği sayılar: $[1300, 1400]$ aralığıdır.
2. Problem (Oyunu Kaybettiği Durum)
Mustafa'nın oyunu kaybetmesi, hatanın 50 gramdan kesinlikle büyük olması anlamına gelir:
$x - 1350 > 50$ veya $x - 1350 < -50 \implies$
Söylemiş olabileceği sayılar: $x < 1300$ veya $x > 1400$ aralığıdır.
3. Problem (Sınır Değerler)
Mustafa'nın kazanma aralığındaki uç (sınır) noktaların belirlenmesi:
• En büyük sayı: 1400 g
a, b) Cebirsel Temsil ve Problem Bağlamı
Cebirsel olarak ifade $|x - 1350| \le 50$ şeklindedir. Buradaki mutlak değer, yapılan tahminin gerçek değer olan 1350'ye olan uzaklığını temsil eder. Çözüm stratejisi olarak mutlak değer kaldırılarak çift yönlü eşitsizlik çözülür.
c, ç) Grafik Temsili ve Strateji
Sayı doğrusu üzerinde 1350 merkez olarak işaretlenir. 1350 noktasından sağa 50 birim ($1400$) ve sola 50 birim ($1300$) gidilerek elde edilen kapalı bölge $[1300, 1400]$ grafiksel çözümdür. Geometrik uzaklık mantığı eşitsizliklerin anlaşılmasını kolaylaştırır.
d, e, f) Karşılaştırma, Genelleme ve Değerlendirme
Metot Karşılaştırması: Cebirsel yöntem kurallara dayalı hızlı sonuç üretirken, grafiksel (sayı doğrusu) yöntem mutlak değerin "mesafe/uzaklık" olan gerçek felsefesini görsel olarak kanıtlar.
|f(x)| = g(x) Biçimindeki Denklem ve Eşitsizlikler
Sayfa 156: Tanımlı f, g ve h Fonksiyonlarının Cebirsel ve Grafiksel Analizi
f(x) = x
g(x) = 3x - 5
h(x) = |g(x) - 4| = |3x - 9|
1. Problem: $g(x) = h(x)$ Eşitliğini Sağlayan $x$ Değerleri
Denklemin açık hâli: $3x - 5 = |3x - 9|$ şeklindedir. Mutlak değer tanımı gereği iki durum incelenir:
$3x - 5 = 3x - 9 \implies -5 = -9$
Buradan bir kök gelmez (Çelişki).
$3x - 5 = -(3x - 9) \implies 3x - 5 = -3x + 9$
$6x = 14 \implies x = \frac{14}{6} = \mathbf{\frac{7}{3}}$
Kontrol: $x = \frac{7}{3}$ için $g\left(\frac{7}{3}\right) = 3\left(\frac{7}{3}\right) - 5 = 2 \ge 0$ sağlandığı için Çözüm Kümesi = $\{\frac{7}{3}\}$ olur.
2. Problem: $g(x) < h(x)$ Eşitliğini Sağlayan $x$ Değerleri
Eşitsizliğin açık hâli: $3x - 5 < |3x - 9|$ biçimindedir. Mutlak değerli ifade bir sayıdan büyük olduğunda:
-9 > -5 (Yanlış) veya 3x - 9 < -3x + 5
6x < 14 \implies \mathbf{x < \frac{7}{3}}
Buna ek olarak, mutlak değerin dışındaki $g(x)$ ifadesinin negatif olduğu tüm aralıklarda ($3x - 5 < 0 \implies x < \frac{5}{3}$) mutlak değer daima büyüktür. İki durum birleştirildiğinde Çözüm Aralığı: $\left(-\infty, \frac{7}{3}\right)$ olarak elde edilir.
a, b) Cebirsel Temsiller ve Çözüm Yaklaşımı
Cebirsel temsil, mutlak değerli ifadenin kritik noktasına ($x=3$) göre parçalı fonksiyon olarak yazılması veya $|A|=B \implies A=B$ veya $A=-B$ kurallarının işletilmesidir. Çözüm kümesinin doğruluğu için $g(x) \ge 0$ şartı daima göz önünde bulundurulmalıdır.
c, ç) Grafiksel Temsil ve Kesişim Stratejisi
$y = 3x - 5$ doğrusu ile $y = |3x - 9|$ "V" grafiğinin koordinat sisteminde çizilmesi adımıdır. İki grafiğin kesiştiği tek bir ortak nokta bulunur, bu noktanın apsis değeri tam olarak birinci problemin kökü olan $x = \frac{7}{3}$ değerini gösterir.
d, e, f) Karşılaştırma, Genelleme ve Değerlendirme
Genelleme: $|f(x)| = g(x)$ türündeki bağıntılarda cebirsel yöntem kesin rasyonel kök tespiti sağlarken; grafiksel yaklaşım, $g(x) < h(x)$ gibi eşitsizliklerde hangi fonksiyonun diğerinin "üstünde" veya "altında" kaldığını görmeyi kolaylaştırarak aralık tayininde görsel üstünlük sunar.
Doğrusal Fonksiyonlar ve Eşitsizlik Uygulamaları
Sayfa 159 - 160: Gerçek Hayat Problemlerinin Cebirsel ve Grafiksel Çözümleri
image_f99c63.png
1. Cebirsel Temsiller, Tanım ve Görüntü Kümeleri
$f(x) = 200x + 1500$
Tanım Kümesi: $x \in [0, \infty)$ (Ay)
Görüntü Kümesi: $[1500, \infty)$ (TL)
$g(x) = 250x + 600$
Tanım Kümesi: $x \in [0, \infty)$ (Ay)
Görüntü Kümesi: $[600, \infty)$ (TL)
2. 1 Yıllık (12 Aylık) Ekonomiklik Analizi
$g(12) = 250(12) + 600 = 3000 + 600 = \mathbf{3600\text{ TL}}$ (N Programı maliyeti)
Sonuç: $3600 < 3900$ olduğundan, 1 yıllık kullanım için N programını seçmek daha ekonomiktir.
3 ve 4. Ücretlerin Eşitlenme Durumu (Ay ve Ücret Analizi)
İki programın toplam maliyetini eşitleyen doğrusal denklem çözümü:
$900 = 50x \implies x = \mathbf{18\text{ ay}}$ (4. Sorunun Cevabı)
Eşitlenen Ücret Değeri: $f(18) = 200(18) + 1500 = \mathbf{5100\text{ TL}}$ (3. Sorunun Cevabı)
Grafik Çıkarımı: Koordinat sisteminde çizilen $f(x)$ ve $g(x)$ doğruları tam olarak $(18, 5100)$ noktasında kesişir.
5. Aşırı Yükleme Durumunu İfade Eden Eşitsizlik
$x$, asansöre binen toplam kütle olmak üzere; asansörün aşırı yüklenmesi (yani kapasite sınırını aşması ve uyarı vermesi) durumu şu eşitsizlikle ifade edilir:
x > 720
6. Refakatçi ile Birlikte Taşınabilecek En Fazla Çocuk Sayısı
Çocuk sayısı $n$ olsun. Toplam kütle formülü: $30n + 80 \le 720$ olmalıdır.
En fazla tam sayı değeri alınacağından asansör en fazla 21 çocuk taşıyabilir.
image_f99ca2.png
a) Okula Olan Mesafenin Zamana Bağlı Cebirsel ve Grafik Modeli
Cebirsel Temsil (Mutlak Değerli Fonksiyon):
Grafik Analizi: $t=0$'da evdedir (okula mesafe 1.2 km), $t=16$'da okuldadır (okula mesafe 0 km, tepe/köşe noktası), $t=32$'de tekrar evdedir (okula mesafe 1.2 km). Grafik simetrik bir "V" şeklindedir.
b, c, ç, d) Okula Mesafenin 400 Metreden (0.4 km) Az Olduğu Zaman Aralığı Çözümü
$0.075 \cdot |t - 16| < 0.4 \implies |t - 16| < \frac{0.4}{0.075} \implies |t - 16| < \frac{16}{3}$
$-\frac{16}{3} < t - 16 < \frac{16}{3} \implies 16 - 5.33 < t < 16 + 5.33 \implies \mathbf{10.67 < t < 21.33}$
Dakika cinsinden aralık: 10. ve 22. dakikalar arasıdır.