Sayfalara Git
Sayfa 359: Konuya Başlarken
ABC Dik Üçgeni – Hipotenüs Uzunluğu ve İç Bölme
ABC Dik Üçgeni
Dik kenarlarının uzunlukları \( |AB| = 3 \) birim ve \( |AC| = 4 \) birim olan bir ABC üçgeni, eksenlere paralel olacak şekilde dik koordinat sistemine yerleştirildiğinde \( B(2, 6) \) ve \( C(6, 3) \) olarak belirlenmiştir.
Sorular
ABC dik üçgeninin hipotenüsünün uzunluğu noktaların koordinatlarından faydalanılarak nasıl hesaplanabilir?
- B(2,6) ve C(6,3) arasındaki uzaklık formülü:
- \( |BC| = \sqrt{(6-2)^2 + (3-6)^2} \)
- \( |BC| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \)
- Pisagor ile de doğrulanabilir: 3² + 4² = 5²
Hipotenüs üzerinde \( |CP| = 2|BP| \) olacak şekilde bir P noktasının koordinatları nasıl hesaplanabilir?
- |CP| : |BP| = 2 : 1 (BC 3 parçaya bölünür)
- P, B'ye 1 birim, C'ye 2 birim uzaklıkta
- Bölme formülü: \( P = \dfrac{1 \cdot C + 2 \cdot B}{3} \)
- \( P_x = \dfrac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 2}{3} = \dfrac{10}{3} \)
- \( P_y = \dfrac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 6}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \)
- P = (10/3, 5)
Sayfa 361-362: 1. Uygulama
Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklığın Bulunması
1. Soru: Eksenlere Paralel Doğru Parçaları
A(1,4) ve B(6,4) (x eksenine paralel), C(3,1) ve D(3,6) (y eksenine paralel).
- x eksenine paralel: \( |AB| = |x_2 - x_1| \)
- y eksenine paralel: \( |CD| = |y_2 - y_1| \)
2. Soru: Eğik Doğru Parçası
E(1,2) ve F(6,5) noktaları arasındaki uzaklık.
- Dik üçgen oluşturulur: Δx = |x₂ - x₁|, Δy = |y₂ - y₁|
- Pisagor: \( |EF| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
3-5. Genelleme ve Önerme
Genelleme:
- İki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür.
Önerme:
7. Problem
A(5,5), B(-3,-1), C(9,-6). |AB| = 40 km olduğuna göre |BC|'yi bulunuz.
Çözüm:
- |AB| = √[(-3-5)² + (-1-5)²] = √[64 + 36] = √100 = 10 birim
- 10 birim = 40 km → 1 birim = 4 km
- |BC| = √[(9-(-3))² + (-6-(-1))²] = √[144 + 25] = √169 = 13 birim
- |BC| = 13 × 4 = 52 km
Sayfa 365: 1 ve 2. Sıra Sizde
Koordinatlar ile Mesafe Hesaplama Problemleri
1. Sıra Sizde
İki il arasındaki mesafeyi koordinatlar üzerinden hesaplama.
Örnek: İstanbul ve Ankara
- İstanbul: 41.0° K, 29.0° D → (29, 41)
- Ankara: 40.0° K, 33.0° D → (33, 40)
- Uzaklık = √[(33-29)² + (40-41)²] = √[16 + 1] = √17 ≈ 4,12 birim
- 1 birim ≈ 111 km → 4,12 × 111 ≈ 457 km
Kuş uçuşu mesafe (yaklaşık):
- Gerçek kuş uçuşu mesafe: ~450 km
- Yol mesafesi: ~550 km (karayolu)
- Değerlendirme: Koordinat yöntemi ile kuş uçuşu mesafeye yakın sonuç elde edilir.
2. Sıra Sizde
A(6,3), B(13,4), C(x,0) noktaları. Ayten ve Berke aynı anda C noktasına ulaşıyor. Ölçek: 1:10.000
Çözüm:
- Ayten'in C'ye uzaklığı: |AC| = √[(x-6)² + (0-3)²] = √[(x-6)² + 9]
- Berke'nin C'ye uzaklığı: |BC| = √[(x-13)² + (0-4)²] = √[(x-13)² + 16]
- Aynı anda ulaştıklarına göre |AC| = |BC| (eşit hız ve süre)
- √[(x-6)² + 9] = √[(x-13)² + 16]
- (x-6)² + 9 = (x-13)² + 16
- x² - 12x + 36 + 9 = x² - 26x + 169 + 16
- -12x + 45 = -26x + 185
- 14x = 140 → x = 10
Toplam yürünen mesafe:
- |AC| = √[(10-6)² + 9] = √(16+9) = √25 = 5 birim
- |BC| = √[(10-13)² + 16] = √(9+16) = √25 = 5 birim
- Toplam = 5 + 5 = 10 birim
- Ölçek 1:10.000 → 1 birim = 10.000 cm = 100 m
- Toplam mesafe = 10 × 100 = 1000 metre
Sayfa 366-368: 2. Uygulama
Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
1-3. Varsayım, Genelleme ve Karşılaştırma
1. Varsayım:
- Bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta, benzer üçgenler yardımıyla bulunabilir.
- Koordinatlar, uç noktaların ağırlıklı ortalamasıdır.
2. Genelleme:
- İçten bölme: \( C = \dfrac{m \cdot B + n \cdot A}{m+n} \)
- Dıştan bölme: \( C = \dfrac{m \cdot B - n \cdot A}{m-n} \)
3. Karşılaştırma:
- Varsayımlar genellemelerle tutarlıdır.
- Benzerlik ve orantı kuralları doğrulanmıştır.
4. Önerme
\( C = \dfrac{m \cdot B - n \cdot A}{m-n} \) (dıştan bölme)
\( |AC| : |CB| = m : n \) oranında bölen C noktası için.
5. Problem
A(-3,6) ve B(7,-4). A'dan 3 saatte, B'den 2 saatte giden araçlar karşılaşıyor.
Çözüm:
- A'dan giden hız: \( v_A = \dfrac{|AB|}{3} \), B'den giden: \( v_B = \dfrac{|AB|}{2} \)
- Karşılaşma süresi t, \( v_A \cdot t + v_B \cdot t = |AB| \)
- \( t \cdot \left(\dfrac{|AB|}{3} + \dfrac{|AB|}{2}\right) = |AB| \) → \( t = \dfrac{6}{5} \)
- A'dan alınan yol oranı: \( \dfrac{v_A \cdot t}{|AB|} = \dfrac{|AB|/3 \cdot 6/5}{|AB|} = \dfrac{2}{5} \)
- AC : CB = 2 : 3 (içten bölme)
- \( C = \dfrac{3 \cdot A + 2 \cdot B}{5} = \dfrac{3(-3,6) + 2(7,-4)}{5} \)
- \( C = \dfrac{(-9,18) + (14,-8)}{5} = \dfrac{(5,10)}{5} = \mathbf{(1,2)} \)
7. Orta Nokta Bağıntısı
[KL]'nın orta noktası M, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
8. Yazılım Doğrulaması – Orta Nokta
Verilenler:
- A(-3, 6)
- B(7, -4)
Orta Nokta Formülü:
Hesaplama:
- \( M_x = \dfrac{-3 + 7}{2} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2} \)
- \( M_y = \dfrac{6 + (-4)}{2} = \dfrac{2}{2} = \mathbf{1} \)
Formül ile elde edilen sonuç, GeoGebra'daki orta nokta aracıyla tutarlıdır.
9-10. Ağırlık Merkezi Bağıntısı
Örnek: A(1,2), B(5,1), C(3,6)
- \( G_x = \dfrac{1+5+3}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 \)
- \( G_y = \dfrac{2+1+6}{3} = \dfrac{9}{3} = 3 \)
- \( \mathbf{G(3,3)} \)
Sayfa 369: 3. Sıra Sizde
Denizaltı Basıncı – Doğrusal Hareket ve Orantı
Denizaltı Basınç Ölçümü
Deniz seviyesinde atmosfer basıncı 1 atm'dir. Su altında ise her 10 metre derinlikte dış basınç 1 atm artar.
- Ölçüm 1: Basınç: 4 atm, Konum: A(-5, 4)
- Ölçüm 2: Basınç: 6 atm, Konum: B(1, 2)
- Ölçüm 3: Basınç: 9 atm, Konum: ?
Çözüm
1. Basınç ve Derinlik İlişkisi:
- 4 atm → 10·(4-1) = 30 m derinlik
- 6 atm → 10·(6-1) = 50 m derinlik
- 9 atm → 10·(9-1) = 80 m derinlik
2. Doğrusal İlişki (Derinlik - Konum):
- A(-5, 4) ve B(1, 2) noktaları arasındaki değişim:
- Δx = 1 - (-5) = 6, Δy = 2 - 4 = -2
- Derinlik değişimi: 50 - 30 = 20 m
- Birim derinlik başına konum değişimi: Δx/20 = 6/20 = 0,3, Δy/20 = -2/20 = -0,1
3. 80 m Derinlikteki Konum:
- 80 - 30 = 50 m derinlik farkı
- Δx = 0,3 × 50 = 15, Δy = -0,1 × 50 = -5
- Yeni konum = A(-5, 4) + (15, -5) = (10, -1)
Sayfa 370: Performans Görevi
PDF ve DOCX dokümanlarını inceleyin ve indirin
Performans Görevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 371: Alıştırmalar
Uzaklık ve Bölme Problemleri
1. Alıştırma
A(-1,3) ve B(6,4) noktalarından eşit hızla x eksenindeki C noktasına ulaşıyorlar.
Çözüm:
- C(x, 0) olsun. |AC| = |BC| (eşit hız ve süre)
- √[(x+1)² + (0-3)²] = √[(x-6)² + (0-4)²]
- (x+1)² + 9 = (x-6)² + 16
- x² + 2x + 1 + 9 = x² - 12x + 36 + 16
- 2x + 10 = -12x + 52
- 14x = 42 → x = 3
- C(3, 0)
2. Alıştırma
Gezegen A(0,0), uydu B(-3,11). Gezegen C(2,-1), uydu D(-7,k). Yarıçap sabit.
- |AB| = |CD| (dairesel yörünge, yarıçap sabit)
- |AB| = √[(-3-0)² + (11-0)²] = √(9+121) = √130
- |CD| = √[(-7-2)² + (k-(-1))²] = √[81 + (k+1)²]
- √130 = √[81 + (k+1)²]
- 130 = 81 + (k+1)²
- (k+1)² = 49 → k+1 = ±7
- k = 6 veya k = -8
3. Alıştırma
Üçgen levha ağırlık merkezi G sabit. A(0,40), B(30,0), C(-30,-40) → D(-24,32), E(0,-50), F?
- G = (A+B+C)/3 = (0+30-30, 40+0-40)/3 = (0,0)
- G = (D+E+F)/3 = 0 → (-24 + 0 + F_x)/3 = 0 → F_x = 24
- (32 - 50 + F_y)/3 = 0 → F_y = 18
- F(24, 18)
4. Alıştırma
Uçak A(-6,3) → 1800 m, B(0,-1) → 1400 m. 800 m'deki C(x,y).
Çözüm:
- Doğrusal hareket, eşit aralıklarla ilerliyor.
- 1800 → 1400 → 800 (400'er metre azalıyor)
- B noktası, A ile C arasında orta nokta değil, 1000 m sonra
- A ile B arası: Δx = 6, Δy = -4 (400 m'de)
- B'den C'ye: 600 m daha (400 m'lik 1.5 katı)
- C = B + 1.5·(6, -4) = (0+9, -1-6) = (9, -7)