Sayfalara Git
Sayfa 161: Konuya Başlarken
Dairesel Açıölçer ve 360 Sayısının Bölünebilirliği
Dairesel Açıölçer
Açı ölçmede kullanılan tam bir daire şeklindeki açıölçer üzerinde 0 ile 360 derece arasında işaretlenmiş ölçümler bulunur. 360 sayısı, açıölçer üzerinde tam ölçü olarak alınır.
Dairesel Açıölçer (360°)
Sorular
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
360 sayısı hangi sayılara tam bölünebilir?
360 = 2³·3²·5 → tüm bu sayılara tam bölünür.
360'ı tam bölen sayıları bulurken hangi yöntemleri kullandınız?
- Asal çarpanlara ayırma: 360 = 2³·3²·5
- Bölünebilme kuralları: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10
Bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini hangi yöntemlerle bulabiliriz?
- Bölünebilme kuralları (son rakam, rakam toplamı vb.)
- Asal çarpanlara ayırma
- Bölme işlemi yaparak
Sayfa 161-164: 4. Uygulama
Bölünebilme Kuralları (2, 5, 10, 4, 8)
1. Basamak Çözümlemesi ile Kalan Bulma ve Varsayımlar
| Bölen | Sayı | Çözümleme | Kalan |
|---|---|---|---|
| 2 | 148 | 100+40+8 | 0+0+0 = 0 |
| 254 | 200+50+4 | 0+0+0 = 0 | |
| 375 | 300+70+5 | 0+0+1 = 1 |
| Bölen | Sayı | Çözümleme | Kalan |
|---|---|---|---|
| 5 | 240 | 200+40+0 | 0+0+0 = 0 |
| 375 | 300+70+5 | 0+0+0 = 0 | |
| 413 | 400+10+3 | 0+0+3 = 3 |
| Bölen | Sayı | Çözümleme | Kalan |
|---|---|---|---|
| 10 | 360 | 300+60+0 | 0+0+0 = 0 |
| 420 | 400+20+0 | 0+0+0 = 0 | |
| 758 | 700+50+8 | 0+0+8 = 8 |
| Bölen | Sayı | Çözümleme | Kalan |
|---|---|---|---|
| 4 | 184 | 100+80+4 | 0+0+0 = 0 |
| 352 | 300+40+12 | 0+0+0 = 0 | |
| 538 | 500+20+18 | 0+0+2 = 2 |
| Bölen | Sayı | Çözümleme | Kalan |
|---|---|---|---|
| 8 | 248 | 200+40+8 | 0+0+0 = 0 |
| 532 | 500+24+8 | 0+0+4 = 4 | |
| 1318 | 1000+300+16+2 | 0+4+0+2 = 6 |
3. Genellemeler
- 2 ile bölümden kalan: Son basamak çift ise 0, tek ise 1.
- 5 ile bölümden kalan: Son basamak 0 veya 5 ise 0, değilse birler basamağının 5 ile bölümünden kalan.
- 10 ile bölümden kalan: Birler basamağına eşittir.
- 4 ile bölümden kalan: Son iki basamağın 4 ile bölümünden kalan.
- 8 ile bölümden kalan: Son üç basamağın 8 ile bölümünden kalan.
4. Doğrulama Tablosu
| Kural | 152 | 1279 |
|---|---|---|
| 5 ile kalan | 2/5 → 2 (152/5=30 kalan 2) | 9/5 → 4 (1279/5=255 kalan 4) |
| 10 ile kalan | 2/10 → 2 (152/10=15 kalan 2) | 9/10 → 9 (1279/10=127 kalan 9) |
| 4 ile kalan | 52/4=13 → 0 (152/4=38 kalan 0) | 79/4=19 → 3 (1279/4=319 kalan 3) |
| 8 ile kalan | 152/8=19 → 0 (152/8=19 kalan 0) | 279/8=34 → 7 (1279/8=159 kalan 7) |
5. Önermeler
- 2: Son basamağın 2 ile bölümünden kalana eşittir.
- 5: Son basamağın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
- 10: Son basamağa eşittir.
- 4: Son iki basamağın 4 ile bölümünden kalana eşittir.
- 8: Son üç basamağın 8 ile bölümünden kalana eşittir.
7. Cebirsel Doğrulamalar
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
5 ile:
abcde = 5(2000a + 200b + 20c + 2d) + e → Kalan = e / 5 kalanı
10 ile:
abcde = 10(1000a + 100b + 10c + d) + e → Kalan = e
8 ile:
abcde = 8(1250a + 125b) + cde → Kalan = cde / 8 kalanı
Sayfa 165: 5. Uygulama
3 ve 9 ile Bölünebilme Kuralları
1a. 3 ile Bölünebilme
| Sayı | Çözümleme | Rakam Toplamı | 3 ile Kalan |
|---|---|---|---|
| 261 | 200+60+1 | 2+6+1=9 | 0 |
| 312 | 300+10+2 | 3+1+2=6 | 0 |
| 473 | 400+70+3 | 4+7+3=14 | 2 |
1b. 9 ile Bölünebilme
| Sayı | Çözümleme | Rakam Toplamı | 9 ile Kalan |
|---|---|---|---|
| 234 | 200+30+4 | 2+3+4=9 | 0 |
| 387 | 300+80+7 | 3+8+7=18 | 0 |
| 536 | 500+30+6 | 5+3+6=14 | 5 |
2. Tablo Doldurma
3 ile Bölünebilme
| Kalan | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Örnek Sayılar | 132, 261, 312 | 151, 172, 253 | 281, 218, 365 |
9 ile Bölünebilme
| Kalan | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Örnek Sayılar | 126, 234, 387 | 172, 253, 361 | 218, 326, 425 | 255, 363, 471 | 328, 436, 544 | 365, 473, 581 | 105, 213, 321 | 250, 358, 466 | 422, 530, 638 |
3. Genellemeler
- 3 ile: Rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan, sayının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
- 9 ile: Rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan, sayının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
4. Doğrulama
| Kural | 252 | 1472 |
|---|---|---|
| 3 ile kalan | 2+5+2=9 → 0 | 1+4+7+2=14 → 2 |
| 9 ile kalan | 2+5+2=9 → 0 | 1+4+7+2=14 → 5 |
5. Önermeler
- 3 ile: Kalan = rakam toplamının 3 ile bölümünden kalan.
- 9 ile: Kalan = rakam toplamının 9 ile bölümünden kalan.
6-7. Cebirsel Doğrulama
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
= 9999a + 999b + 99c + 9d + (a + b + c + d + e)
3 ile:
9999a + 999b + 99c + 9d, 3'ün katıdır. Kalan = (a+b+c+d+e) / 3 kalanı
9 ile:
9999a + 999b + 99c + 9d, 9'un katıdır. Kalan = (a+b+c+d+e) / 9 kalanı
Sayfa 167-168: 4. Sıra Sizde
Bölünebilme Kuralları – Kalan Bulma
Soru
Üç basamaklı 82A sayısının 9 ile bölümünden kalan 7, rakamları farklı üç basamaklı 3AB sayısının 4 ile bölümünden kalan 3, dört basamaklı 7ABC sayısının 8 ile bölümünden kalan 2'dir.
Buna göre beş basamaklı 84CBA sayısının
Çözüm
1. A Rakamının Bulunması:
- 82A sayısı 9 ile bölümden kalan 7
- 8 + 2 + A = 10 + A
- 10 + A = 9·1 + 7 → A = 6
2. B Rakamının Bulunması:
- A = 6 → 36B sayısı
- 4 ile bölümden kalan 3 → 6B / 4 kalan 3
- B = 3 → 63/4 = 15 kalan 3, B = 7 → 67/4 = 16 kalan 3
- Rakamlar farklı → B ≠ 3 → B = 7
3. C Rakamının Bulunması:
- A = 6, B = 7 → 767C sayısı
- 8 ile bölümden kalan 2 → 67C / 8 kalan 2
- 674 / 8 = 84 kalan 2 → C = 4
4. 84CBA = 84476
- a) 3 ile kalan: 8+4+4+7+6 = 29 → 29/3 = 9 kalan 2
- b) 5 ile kalan: Son basamak 6 → 1
- c) 10 ile kalan: Son basamak 6 → 6
a) 3 ile bölümünden kalan: 2
b) 5 ile bölümünden kalan: 1
c) 10 ile bölümünden kalan: 6
Sayfa 168: 6. Uygulama
Pozitif Tam Sayı Bölenleri Arasındaki İlişkiler
1. Bölünebilme Tablosu
| Bölünen | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 60 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ | ✓ |
| 80 | ✓ | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ | ✓ |
| 90 | ✓ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✓ |
2. Pozitif Tam Bölenler ve Varsayımlar
60'ın pozitif tam bölenleri:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
80'in pozitif tam bölenleri:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
90'ın pozitif tam bölenleri:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
3. Genellemeler
- 60: 2 ve 3 ile bölünür → 6 ile bölünür.
- 80: 4 ve 5 ile bölünür → 20 ile bölünür (4·5=20).
- 90: 5 ve 9 ile bölünür → 45 ile bölünür (5·9=45).
4. Etkinlik: Cümlelerin Tamamlanması
- 120 sayısı 12 ile tam bölünüyorsa aynı zamanda 12'nin aralarında asal çarpanlarından 3 ve 4 ile de tam bölünür. (Örnek)
- 180 sayısı 15 ile tam bölünüyorsa aynı zamanda 15'in aralarında asal çarpanlarından 3 ve 5 ile de tam bölünür.
- 315 sayısı 45 ile tam bölünüyorsa aynı zamanda 45'in aralarında asal çarpanlarından 5 ve 9 ile de tam bölünür.
Tartışma Sorusu:
"Bir sayının 12 ile bölümünden kalan 10 ise 3 ve 4 ile bölümünden kalanlar sırasıyla kaç olabilir?"
Çözüm:
- A = 12k + 10
- 12k, 3 ve 4'ün tam katıdır.
- 3 ile kalan: 10 = 3·3 + 1 → 1
- 4 ile kalan: 10 = 4·2 + 2 → 2
Sayfa 171: 7. Uygulama
Kalan Bulma Yöntemlerinin Karşılaştırılması
1. 5 ile Bölümünden Kalan
| Sayı | Basamak Çözümleme ile Kalan | Kat İlişkisi ile Kalan |
|---|---|---|
| 72 | 72 = 70 + 2 → 0+2 = 2 | 72 = 5·14 + 2 → 2 |
| 87 | 87 = 80 + 7 → 0+2 = 2 | 87 = 5·17 + 2 → 2 |
| 143 | 143 = 140 + 3 → 0+3 = 3 | 143 = 5·28 + 3 → 3 |
| 2549 | 2549 = 2540 + 9 → 0+4 = 4 | 2549 = 5·509 + 4 → 4 |
2. 4 ile Bölümünden Kalan
| Sayı | Basamak Çözümleme ile Kalan | Kat İlişkisi ile Kalan |
|---|---|---|
| 32 | 32 = 30 + 2 → 2+2 = 0 (32/4=8) | 32 = 4·8 + 0 → 0 |
| 121 | 121 = 120 + 1 → 0+1 = 1 | 121 = 4·30 + 1 → 1 |
| 1453 | 1453 = 1400 + 53 → 0+1 = 1 (53/4=13 kalan 1) | 1453 = 4·363 + 1 → 1 |
Sayfa 171: 5. Sıra Sizde
Kalan Bulma Yöntemlerinin Değerlendirilmesi
a) Soru
Bölünebilme kurallarını doğrulamada basamak çözümlemenin yapılması ne tür faydalar sağlar? Açıklayınız.
- Matematiksel temel sağlar: Bir sayının neden belirli bir kuralla bölündüğünü gösterir.
- Kavramsal anlama: Kuralların ezberlenmesi yerine mantığını kavratır.
- Genelleme imkanı: Benzer kuralları türetmeye yardımcı olur.
- Kalan bulma: Tam bölünme dışında kalanı da bulmayı sağlar.
- Örnek: 10 ile bölümde son basamağa bakılmasının nedenini açıklar.
b) Soru
Kullandığınız yöntemler (basamak çözümleme veya kat ilişkileri) ile bir sayının farklı sayılara bölümünden kalanlar bulunabilir mi? Örneklendiriniz.
Örnek: 1875 sayısı
| Bölen | Basamak Çözümleme | Kat İlişkisi | Kalan |
|---|---|---|---|
| 3 | 1+8+7+5=21 | 1875 = 3·625 + 0 | 0 |
| 5 | 1875 = 1870 + 5 | 1875 = 5·375 + 0 | 0 |
| 4 | 1875 = 1800 + 75 → 75/4=18 k3 | 1875 = 4·468 + 3 | 3 |
| 9 | 1+8+7+5=21 | 1875 = 9·208 + 3 | 3 |
| 10 | 1875 = 1870 + 5 | 1875 = 10·187 + 5 | 5 |
Sayfa 171: Performans Görevi
PDF ve DOCX dokümanlarını inceleyin ve indirin
Performans Görevi Dokümanı (PDF)
Sayfa 173: Alıştırmalar
Bölünebilme Kuralları ile Problem Çözümleri
1. Alıştırma
400-500 arası bina numaraları: Okul, Kütüphane, Tiyatro.
- Okul: 5 ile kalan 3, 4 ile kalan 2 → 408, 418, 428, 438, 448, 458, 468, 478, 488, 498
- 4 ile kalan 2 → 418, 438, 458, 478, 498 → 438
- Kütüphane: 3 ile kalan 1, 10 ile kalan 4 → son basamak 4
- 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494
- 3 ile kalan 1 → 4+0+4=8, 4+1+4=9, 4+2+4=10, 4+3+4=11, 4+4+4=12, 4+5+4=13, 4+6+4=14, 4+7+4=15, 4+8+4=16, 4+9+4=17
- 3 ile kalan 1 → 4+2+4=10 (kalan1) → 424
- Tiyatro: 9 ile kalan 7, 8 ile kalan 1
- 9 ile kalan 7: 400+? → 4+0+0=4, 4+0+7=11, 4+1+6=11, ...
- 457 → 4+5+7=16 (9 ile kalan7), 457/8=57 kalan1 → 457
2. Alıştırma
A17B sayısı: rakamlar farklı, 4 ile kalan 3, 9 ile kalan 2.
1. Adım: 4 ile Bölünebilme (Kalan 3)
- Son iki basamak: 7B
- 7B / 4 kalan 3 → 71, 75, 79
- B = 1, 5, 9 olabilir.
- Rakamlar farklı olduğu için B = 1, 5, 9 (1 zaten yüzler basamağında, B ≠ 1)
- B = 5 veya 9 olabilir.
2. Adım: 9 ile Bölünebilme (Kalan 2)
- Rakam toplamı: A + 1 + 7 + B = A + B + 8
- A + B + 8 = 9k + 2 → A + B + 6 = 9k
- Durum 1: B = 5 → A + 5 + 6 = 9k → A + 11 = 9k → A = 7 (ancak 7 zaten kullanılıyor, olamaz)
- Durum 2: B = 9 → A + 9 + 6 = 9k → A + 15 = 9k → A = 3
- Rakamlar: 3, 1, 7, 9 (hepsi farklı) → Sayı: 3179
3. Alıştırma
Dikdörtgen bahçe: uzun > 200, kısa > 100, 9 ve 3 metre aralıklarla ağaç.
Uzun Kenar (U):
- Köşelerden 4 m uzakta → aralık = U - 8
- 9 m aralık → U - 8 = 9k → U = 9k + 8
- U > 200 → 9k + 8 > 200 → 9k > 192 → k ≥ 22
- k = 22 → U = 9·22 + 8 = 206 m
Kısa Kenar (K):
- Köşelerden 1 m uzakta → aralık = K - 2
- 3 m aralık → K - 2 = 3m → K = 3m + 2
- K > 100 → 3m + 2 > 100 → 3m > 98 → m ≥ 33
- m = 33 → K = 3·33 + 2 = 101 m
Çevre:
- Çevre = 2(U + K) = 2(206 + 101) = 2·307 = 614 m
4. Alıştırma
Yol uzunluğu dört basamaklı, binler 2, onlar 7, 36 ile bölüm 13 kalan.
Verilenler:
- Sayı: 2A7B
- 36 = 9·4 (aralarında asal)
- 36 ile kalan 13 → 4 ile kalan 1, 9 ile kalan 4
1. Adım: 4 ile Bölünebilme (Kalan 1)
- Son iki basamak: 7B
- 7B / 4 kalan 1 → 73, 77
- B = 3 veya 7
- En büyük için B = 7 → Sayı: 2A77
2. Adım: 9 ile Bölünebilme (Kalan 4)
- Rakam toplamı: 2 + A + 7 + 7 = A + 16
- A + 16 = 9k + 4 → A + 12 = 9k
- A = 6 → 6 + 12 = 18 → A = 6