Sayfalara Git
Sayfa 229: Ölçme Değerlendirme
Göreli Sıklık, Olasılık ve Veri Analizi
Ölçme ve Değerlendirme
Bu bölümde cevaplamanız için farklı soru tiplerinde 6 adet soru bulunmaktadır. Ölçme ve değerlendirme bölümünün sonunda verilen karekodu okutarak ek soruları yapınız.
Soru 1: Gülen Yüz Çıkartma Makinesi
Bir şirket alacağı gülen yüz çıkartma makinesinin baskı performansını değerlendirmek için 4 deneme yapmış ve bu denemelerde 11 gülen yüz çıkartmasından sırasıyla rastgele 50, 150, 1500 ve 5000 adet çıkartma bastırmıştır. Yaptığı denemelerde sırası ile 3, 5, 77 ve 217 kez hatalı baskı tespit etmiştir. Şirket çalışanları her denemede elde ettikleri 11 ürün ve 1 hatalı ürün için göreli sıklık grafikleri oluşturmuştur. Şirketin bilgisayarında oluşan bir hata sonucu grafiklerdeki dikey eksende yer alan değerler silinmiştir.
a) Hangi grafiğin hangi deneme sayısına ait olduğunu belirleyiniz.
| Deneme | Baskı Sayısı | Hatalı Baskı | Hatalı Oranı | Grafik |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 50 | 3 | 3/50 = 0,06 | Grafik 1 |
| 2 | 150 | 5 | 5/150 ≈ 0,033 | Grafik 2 |
| 3 | 1500 | 77 | 77/1500 ≈ 0,051 | Grafik 3 |
| 4 | 5000 | 217 | 217/5000 ≈ 0,043 | Grafik 4 |
b) Makinenin hatalı çıkartma basma olayına ait teorik olasılık değeri hakkında yorum yapınız.
Teorik olasılık, deney sayısı arttıkça göreli sıklığın yaklaştığı değerdir.
Grafikler incelendiğinde hatalı baskı oranları: 0,06; 0,033; 0,051; 0,043 olarak bulunur.
Bu değerlerin ortalaması ≈ 0,047 civarındadır.
Buna göre makinenin hatalı baskı yapma olasılığı yaklaşık 0,047 (%4,7) olarak tahmin edilebilir.
Not: Deney sayısı arttıkça (5000'de 0,043) bu değer gerçek olasılığa daha yakındır.
Soru 2: Mağaza Müşteri Analizi
Bir mağaza, 10.00-20.00 saatleri arasında hizmet vermektedir. Müşterilerin mağazada geçirdikleri süreye ilişkin aşağıdaki tablo verilmiştir.
| Zaman Aralığı (dk) | 30 | 80 | 150 | 300 |
|---|---|---|---|---|
| Kişi Sayısı | 2 | 11 | 10 | 4 |
a) 30, 80, 150 ve 300 dakika sürelerin dağılımı hakkında fikirler oluşturunuz.
- 30 dakika: 2 kişi – Kısa süreli ziyaretler
- 80 dakika: 11 kişi – En kalabalık grup
- 150 dakika: 10 kişi – Ortalama süre
- 300 dakika: 4 kişi – Uzun süreli ziyaretler
b) Bu mağazadan en az 12.00-13.59 saatleri arasında alışveriş yapma olasılığını 300 kişiye göre hesaplayınız.
Toplam kişi sayısı: 2 + 11 + 10 + 4 = 27 kişi.
En az 80 dakika (12.00-13.59 arası) mağazada bulunanlar: 11 + 10 + 4 = 25 kişi.
Olasılık = 25/27 ≈ 0,926 (≈ %92,6)
300 kişi için: 25/27 × 300 ≈ 278 kişi
c) Yeni çıkan ürünler için mağazadan 2 talebinde bulunan kişi ile oluşan sıra tanıtımı hangi zaman sırasında yapılmıştır?
2 kişinin bulunduğu zaman aralığı 30 dakika aralığıdır. Bu aralık, mağazanın en kısa süreli müşteri grubunu temsil eder.
ç) c seçeneğinde bu oranı, 300 kişinin sırada doğru bir şekilde oluşturulmasına ilişkin bilgileri bulunuz.
30 dakika grubundaki kişi sayısı 2'dir.
Toplam 27 kişi içindeki oranı: 2/27 ≈ 0,074.
300 kişi için bu oran: 2/27 × 300 ≈ 22,2 ≈ 22 kişi.
Bu verilere göre 300 kişilik bir müşteri grubunda yaklaşık 22 kişi 30 dakika veya daha kısa sürede mağazada bulunur.
Sayfa 230: Ölçme Değerlendirme
Çark Olasılığı ve İçecek Otomatı Problemleri
Soru 3: Çarklar
Aşağıdaki çarklar eş parçalara ayrılmıştır. Bu çarkların çevrilmesi sonucunda okların gösterdiği sayıların çarpımları incelenecektir.
Çark-1
Çark-2
Bu deneyin 6500 tekrarında oluşacak dağılımın aşağıdakilerden hangisi gibi olması beklenir?
grafik
grafik
grafik
grafik
grafik
Açıklama: Çarklardaki sayıların çarpımları incelendiğinde, bazı çıktılar daha sık (2×5=10, 3×4=12, 5×4=20 gibi) bazıları daha az sıklıkta (2×2=4, 5×5=25 gibi) oluşur. Grafik C bu dağılımı doğru yansıtmaktadır.
Soru 4: İçecek Otomatı
Bir içecek otomatında özdeş şişeler içinde şerbet, limonata ve maden suyu bulunmaktadır. 17 şerbetin 8'i, 22 limonatanın 12'si ve 20 maden suyunun 9'u sıcaktır. Bu otomat, içeceklerden birini rastgele vermektedir.
| İçecek | Toplam | Sıcak | Soğuk |
|---|---|---|---|
| Şerbet | 17 | 8 | 9 |
| Limonata | 22 | 12 | 10 |
| Maden Suyu | 20 | 9 | 11 |
| Toplam | 59 | 29 | 30 |
a) Otomatın verdiği içeceğin soğuk bir içecek veya limonata olma olayının olasılık değerini görselleştirerek bulunuz.
Soğuk içecek sayısı: 9 + 10 + 11 = 30
Limonata sayısı: 22
Soğuk limonata (kesişim): 10
P(Soğuk ∪ Limonata) = P(Soğuk) + P(Limonata) - P(Soğuk ∩ Limonata)
= 30/59 + 22/59 - 10/59 = 42/59 ≈ 0,712 (≈ %71,2)
Venn şeması ile gösterildiğinde: Soğuk (30), Limonata (22), Kesişim (10) → Birleşim 42.
b) Otomata bu içeceklerden en az kaç tane daha eklenirse otomatın rastgele vereceği bir içeceğin şerbet, limonata ve maden suyu olma olaylarının olasılık değeri eşit olur?
Mevcut sayılar: 17, 22, 20. Olasılıkların eşit olması için her içecekten eşit sayıda olmalıdır.
En küçük sayı 17 olduğu için hepsini 22'ye tamamlamak gerekir.
Şerbet: 22 - 17 = 5 eklenmeli
Limonata: zaten 22 (0 ekleme)
Maden suyu: 22 - 20 = 2 eklenmeli
Toplam eklenmesi gereken: 5 + 0 + 2 = 7 şişe
Kontrol: 22+22+22 = 66 → Her biri için olasılık 22/66 = 1/3
c) Otomata bu içeceklerden en az kaç tane daha eklenirse otomatın rastgele vereceği bir içeceğin sıcak ve soğuk olma olaylarının olasılık değeri eşit olur?
Mevcut durum: Sıcak = 29, Soğuk = 30
Eşitlik için Sıcak = Soğuk olmalıdır.
Yöntem 1 (Sadece soğuk ekleme):
29 = 30 + x → x = -1 (mümkün değil)
Yöntem 2 (Sıcak ekleme):
29 + x = 30 → x = 1 (1 sıcak şişe eklenmeli)
Yöntem 3 (Her ikisine de ekleme):
x sıcak, y soğuk ekleyelim: 29 + x = 30 + y → x - y = 1
En az ekleme için x = 1, y = 0 → 1 sıcak şişe eklenmeli
Cevap: En az 1 sıcak içecek eklenmelidir.
Kontrol: Sıcak = 30, Soğuk = 30 → Olasılıklar eşit (30/60 = 1/2)
Sayfa 231: Ölçme Değerlendirme
Top ve Çark Deneyi – Cadde Trafik Olasılığı
Soru 5: Top ve Çark Deneyi
Üzerinde a, b, c ve d yazan özdeş dört topun bulunduğu bir kutu ve üzerinde 1, 2, 3 rakamlarının yazılı olduğu üç eş dilime ayrılmış bir çark yer almaktadır.
Çekilen topun geri atılması şartıyla kutudan bir top çekme ve çark çevirme deneyinin 5000 tekrarı sonucunda oluşan çıktıların sıklık dağılımının aşağıdaki grafiklerden hangisi gibi olmasını beklersiniz?
Açıklama: 4 top (a,b,c,d) × 3 çark (1,2,3) = 12 eşit olası çıktı vardır. Her çıktının teorik olasılığı 1/12'dir. 5000 tekrarda her çıktı yaklaşık 5000/12 ≈ 416,7 kez görülür. Grafik C bu eşit dağılımı göstermektedir.
Soru 6: Cadde Trafik Olasılığı
Sibel Hanım'ın işe giderken kullanabildiği caddeler ve o caddelerde bir yıl boyunca (365 gün) trafiğin durma noktasına geldiği gün sayıları verilmiştir. Sibel Hanım işe gitmek için bu caddelerden herhangi ikisini kullanmak zorundadır.
| Cadde | Gün |
|---|---|
| Yalnız 1. Cadde | 21 |
| Yalnız 2. Cadde | 18 |
| Yalnız 3. Cadde | 22 |
| Yalnız 1 ve 2. Cadde | 7 |
| Yalnız 2 ve 3. Cadde | 6 |
| Yalnız 1 ve 3. Cadde | 8 |
| 1, 2 ve 3. Cadde | 4 |
Sibel Hanım'ın kullanabileceği cadde çiftlerinden hangisinde trafiğin durma noktasına gelme olasılık değerinin en çok olduğunu bulunuz.
| Cadde Çifti | Hesaplama | Gün Sayısı | Olasılık |
|---|---|---|---|
| 1 ve 2 | 21 + 18 + 7 + 4 | 50 | 50/365 ≈ 0,137 |
| 1 ve 3 | 21 + 22 + 8 + 4 | 55 | 55/365 ≈ 0,151 |
| 2 ve 3 | 18 + 22 + 6 + 4 | 50 | 50/365 ≈ 0,137 |
1 ve 3. Caddelerde trafiğin durma noktasına gelme olasılığı: 55/365 ≈ 0,151 (%15,1)
2 ve 3. Caddeler: 50/365 ≈ 0,137 (%13,7) – 1 ve 2. Caddeler: 50/365 ≈ 0,137 (%13,7)