Sayfalara Git
Sayfa 214: Konuya Başlarken
Ersan'ın Seyahat Deneyi – Olası Çıktıların Görselleştirilmesi
Ersan'ın Seyahati
Ersan Ankara'dan İstanbul'a otobüs, tren veya uçak ile gitmekte; İstanbul içinde ise dolmuş veya metro kullanmaktadır. Ankara'dan yola çıkan Ersan, İstanbul içinde gitmek istediği yere 2 araç ile ulaşmıştır.
a) Temsil Biçimleri
Ersan'ın Ankara'dan İstanbul içinde bir yere gitme deneyinde olası tüm çıktıların görselleştirilebileceği temsil biçimleri neler olabilir?
- Dallanma şeması (Ağaç diyagramı): Her bir seçenek için dallar oluşturularak tüm olası çıktılar gösterilebilir.
- Çizelge/Tablo: Otobüs, tren ve uçak seçenekleri ile dolmuş ve metro seçenekleri satır ve sütunlara yazılarak matris oluşturulabilir.
- Küme gösterimi: Farklı ulaşım türlerinin kartezyen çarpımı ile çıktılar listelenebilir.
- Sıralı ikililer: (Ankara-İstanbul ulaşım aracı, İstanbul içi ulaşım aracı) şeklinde gösterilebilir.
b) Görselleştirme Yöntemi
Olası tüm çıktılar görselleştirilirken nasıl bir yol izlenebilir?
İzlenebilecek adımlar:
- 1. Adım: Ankara'dan İstanbul'a ulaşım seçenekleri belirlenir: Otobüs, Tren, Uçak
- 2. Adım: İstanbul içi ulaşım seçenekleri belirlenir: Dolmuş, Metro
- 3. Adım: Her bir Ankara-İstanbul seçeneği için İstanbul içi seçenekler eklenir.
- 4. Adım: Dallanma şeması (ağaç diyagramı) ile tüm kombinasyonlar gösterilir.
- 5. Adım: Olası çıktılar listelenir: 3 × 2 = 6 farklı çıktı.
c) Seyahat Seçiminde İhtiyaç Duyulan Bilgiler
Kişilerin seyahat seçeneklerini belirlerken ihtiyaç duydukları bilgiler neler olabilir?
- Maliyet: Otobüs, tren ve uçak bilet fiyatları; dolmuş ve metro ücretleri.
- Süre: Ankara-İstanbul arası seyahat süreleri; İstanbul içi ulaşım süreleri.
- Konfor: Koltuk rahatlığı, ikramlar, tuvalet imkanları.
- Güvenlik: Seyahat güvenliği, firma güvenilirliği.
- Hava koşulları: Uçuşların iptal olma durumu, yolların durumu.
- Zamanlama: Sefer saatleri, aktarma süreleri.
- Kişisel tercihler: Uçak korkusu, otobüs tercihi, metro/dolmuş tercihi.
Sayfa 214-215: 4. Uygulama
Hilesiz Üç Madenî Para – Çıktıların Görselleştirilmesi
Hilesiz Üç Madenî Paranın Havaya Atılması
Hilesiz üç madenî paranın havaya atılması deneyinde oluşan çıktıları görselleştirelim.
1. Soru: Olası Tüm Çıktıların Görselleştirilmesi
Hilesiz üç madenî paranın havaya atılması deneyinde olası tüm çıktıları görselleştiriniz.
2. Soru: Kullanılan Yöntem ve Alternatifler
Tüm çıktıları görselleştirmek için nasıl bir yöntem kullandınız? Kullanılabilecek farklı yöntemleri arkadaşlarınızla tartışınız.
Kullanılan Yöntem:
- Dallanma Şeması (Ağaç Diyagramı): Her bir para için dallar oluşturularak tüm olası çıktılar gösterildi.
- Sıralı Üçlüler: (1. Para, 2. Para, 3. Para) şeklinde çıktılar listelendi.
Alternatif Yöntemler:
- Tablo Yöntemi: Satır ve sütunlarla kombinasyonlar gösterilebilir.
- Kartezyen Çarpım: {Y,T} × {Y,T} × {Y,T} kümesi oluşturulabilir.
- Sayma Yöntemi: Her atışta 2 olası durum, 3 atışta 2³ = 8 çıktı olduğu hesaplanabilir.
3. Soru: Ağaç Şemasını Doldurma
Hilesiz üç madenî paranın havaya atılması deneyinde bazı çıktılar aşağıdaki ağaç şemasında gösterilmiştir. Şemada boş bırakılan yerleri örnekteki gibi doldurunuz.
4. Soru: Kontrol Etme
İlk adımda yaptığınız görselleştirmeyi ağaç şemasındaki çıktılara göre kontrol ediniz.
Kontrol Sonucu: İlk adımda oluşturulan ağaç diyagramı ile yukarıdaki tamamlanmış ağaç şeması aynı çıktıları içermektedir. Her iki görselleştirmede de 8 olası çıktı bulunmaktadır ve çıktılar YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT şeklindedir.
5. Soru: Toplam Çıktı Sayısı
Hilesiz üç madenî paranın havaya atılması deneyinde olası tüm çıktıların sayısı kaçtır?
(2 × 2 × 2 = 2³ = 8)
6. Soru: Ağaç Şemasının Faydaları
İstenen çıktıları oluşturmadan önce ağaç şeması oluşturmanın ne gibi faydaları olabilir?
- Sistematik yaklaşım: Tüm olası çıktıların eksiksiz olarak belirlenmesini sağlar.
- Karmaşıklığı azaltır: Karmaşık deneylerde çıktıların düzenli bir şekilde görülmesini sağlar.
- Hata tespiti: Eksik veya tekrar eden çıktıların kolayca fark edilmesini sağlar.
- Olasılık hesaplamaları: Çıktı sayısının belirlenmesine ve olasılık hesaplamalarına temel oluşturur.
- Görsel anlaşılırlık: Karmaşık ilişkilerin görsel olarak anlaşılmasını sağlar.
7. Soru: Büyük Çıktı Sayılarında Görselleştirme
Herhangi bir olayda çıktı sayısı çok daha fazla olduğunda olası tüm çıktıları görselleştirmek için nasıl bir yol izlenebilir?
- Kombinasyon ve permütasyon hesaplamaları: Çıktı sayısı formülle (nᵏ) hesaplanabilir.
- Bilgisayar simülasyonu: Tüm çıktılar program yardımıyla otomatik olarak oluşturulabilir.
- Özet tablolar: Çıktıların tamamı yerine özet istatistikler kullanılabilir.
- Örnekleme: Tüm çıktılar yerine örneklem üzerinden değerlendirme yapılabilir.
- Dallanma şemasının kısaltılması: Benzer çıktılar gruplanarak gösterilebilir.
- Matris gösterimi: Büyük veri kümeleri için tablo veya matris kullanılabilir.
Sayfa 215-216: 5. Uygulama
Hilesiz İki Sayı Küpü – Toplamın Asal Sayı Olması
5. Uygulama
Havaya atılan hilesiz iki sayı küpünün üst yüzeyine gelen sayıların toplamının asal sayı olması olayında tüm çıktıları görselleştirmek için aşağıdaki tablo oluşturulmuştur.
1. Soru: Tabloyu Doldurma
Tabloda boş bırakılan alanları örnekteki gibi doldurunuz.
| Hilesiz Sayı Küpleri | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1, 1) = 2 | (1, 2) = 3 | (1, 3) = 4 | (1, 4) = 5 | (1, 5) = 6 | (1, 6) = 7 |
| 2 | (2, 1) = 3 | (2, 2) = 4 | (2, 3) = 5 | (2, 4) = 6 | (2, 5) = 7 | (2, 6) = 8 |
| 3 | (3, 1) = 4 | (3, 2) = 5 | (3, 3) = 6 | (3, 4) = 7 | (3, 5) = 8 | (3, 6) = 9 |
| 4 | (4, 1) = 5 | (4, 2) = 6 | (4, 3) = 7 | (4, 4) = 8 | (4, 5) = 9 | (4, 6) = 10 |
| 5 | (5, 1) = 6 | (5, 2) = 7 | (5, 3) = 8 | (5, 4) = 9 | (5, 5) = 10 | (5, 6) = 11 |
| 6 | (6, 1) = 7 | (6, 2) = 8 | (6, 3) = 9 | (6, 4) = 10 | (6, 5) = 11 | (6, 6) = 12 |
2. Soru: Toplam Çıktı Sayısı
Hilesiz iki sayı küpünün havaya atılması deneyinde olası tüm çıktılar kaç tanedir?
6 × 6 = 36 (Her zar için 6 olası durum)
3. Soru: Asal Toplam Çıktıları
Hilesiz iki sayı küpünün havaya atılması deneyinde üst yüzeyine gelen sayıların toplamının asal sayı olması olayında olası tüm çıktıları listeleyiniz.
Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11
Bu durumda toplamın asal olma olasılığı = 15/36 = 5/12 ≈ %41,67
Sayfa 218: 3. Sıra Sizde
Çarklar – Görselleştirme Yöntemleri (Ağaç, Tablo, Liste)
3. Sıra Sizde
Yukarıda kendi içinde eş bölmelere ayrılmış çarklardan birinin bölmeleri yeşil, mor ve mavi; diğerinin bölmeleri ise pembe ve gri renklerle boyanmıştır. Bu çarklardaki oklar aynı anda çevrilecektir.
a) Görselleştirme Yöntemleri
Bu deneye ait olası tüm çıktıları ağaç şeması, tablo ve sistematik liste yöntemleri ile görselleştirerek ilgili alanları doldurunuz.
| 1. Çark \ 2. Çark | Pembe | Gri |
|---|---|---|
| Yeşil | Yeşil-Pembe | Yeşil-Gri |
| Mor | Mor-Pembe | Mor-Gri |
| Mavi | Mavi-Pembe | Mavi-Gri |
Tüm Çıktılar (3 × 2 = 6):
- 1. Yeşil-Pembe ✓ (İstenen Olay)
- 2. Yeşil-Gri
- 3. Mor-Pembe
- 4. Mor-Gri
- 5. Mavi-Pembe
- 6. Mavi-Gri
- 1. Çark: Yeşil, Mor, Mavi (3 seçenek)
- 2. Çark: Pembe, Gri (2 seçenek)
- Toplam çıktı sayısı: 3 × 2 = 6
- İstenen olay (Yeşil-Pembe): 1 çıktı
- Olasılık: 1/6 ≈ %16,67
b) Yöntemlerin Karşılaştırılması
Kullandığınız farklı görselleştirme yöntemlerinin sağladığı kolaylıkları tartışınız.
- ✓ Sistematik: Adım adım ilerleyerek tüm çıktıların görülmesini sağlar.
- ✓ Görsel: Karmaşık deneylerde bile çıktıların kolayca takip edilmesini sağlar.
- ✓ Hata ayıklama: Eksik veya tekrar eden çıktılar kolayca fark edilir.
- ⚠️ Çok fazla dallanma olduğunda karmaşıklaşabilir.
- ✓ Düzenli: Tüm çıktılar satır ve sütunlarda net görülür.
- ✓ Karşılaştırma: İki değişken arasındaki ilişki kolayca incelenir.
- ✓ Özet: Büyük veri kümelerinde bile anlaşılırdır.
- ⚠️ Çok boyutlu deneylerde kullanışsız olabilir.
- ✓ Basit: Az sayıda çıktı için en hızlı yöntemdir.
- ✓ Her durumda: Her türlü deney için uygulanabilir.
- ✓ Esnek: Sonradan ekleme/çıkarma yapmak kolaydır.
- ⚠️ Çok sayıda çıktıda karmaşık ve zaman alıcı olabilir.
Sayfa 219: 4. Sıra Sizde
Gözlük ve Cinsiyet – İki Yönlü Tablo ile Olasılık
4. Sıra Sizde
Bir sınıftaki 48 öğrenciden 28'i kızdır. Kızların 8'i, erkeklerin 6'sı gözlüklüdür.
Buna göre bu sınıftan seçilecek bir öğrencinin gözlüklü veya erkek öğrenci olma olayı ile
gözlüksüz ve erkek öğrenci olma olayının olasılık değerlerini yanda verilen tablo gösteriminden yararlanarak ayrı ayrı bulunuz.
Sınıftaki Öğrencilerin Dağılımı
| Gözlüklü | Gözlüksüz | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Kız | 8 | 20 | 28 |
| Erkek | 6 | 14 | 20 |
| Toplam | 14 | 34 | 48 |
Olasılık Değerleri
- Gözlüklü öğrenci sayısı = 14
- Erkek öğrenci sayısı = 20
- Hem gözlüklü hem erkek (kesişim) = 6
- Gözlüklü veya Erkek = 14 + 20 - 6 = 28
- Gözlüksüz erkek öğrenci sayısı = 14
- Toplam öğrenci sayısı = 48
- Tüm veriler tek bir tabloda özetlenmiştir.
- Gözlüklü/erkek kesişimi (6) tablodan doğrudan okunabilir.
- Toplam satır ve sütunlar sayesinde hata yapma riski azalır.
- Olasılık hesaplamalarında formül kullanımı kolaylaşır.
Sayfa 220: 6. Uygulama
Olayların Olasılık Değerlerini Hesaplama – Çark ve Top
6. Uygulama
Görselde 8 eşit parçaya ayrılmış ve her parçasında sırasıyla 1'den 8'e kadar rakamların yazılı olduğu bir çark ve üzerinde 1, 2, 3, 4, 6 yazan 5 özdeş topun bulunduğu bir kutu verilmiştir.
1. Soru: Tüm Çıktılar
Çark bir kez çevrildiğinde ibrenin gösterdiği yere gelen sayıya ve kutudan çekilen topa ait deneyin tüm çıktılarını görselleştiriniz.
| Çark \ Top | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,6) |
| 7 | (7,1) | (7,2) | (7,3) | (7,4) | (7,6) |
| 8 | (8,1) | (8,2) | (8,3) | (8,4) | (8,6) |
2. Soru: Eş Olasılık
Çarktaki parçalardan herhangi birinin ibrenin gösterdiği parça olma olasılık değeri, diğer parçaların gösterilme olasılık değerine ya da kutudaki toplardan herhangi birinin seçilme olasılık değeri, diğer topların seçilme olasılık değerine göre farklı mıdır? Açıklayınız.
Hayır, farklı değildir. Çark 8 eşit parçaya bölündüğü için her bir sayının gelme olasılığı 1/8'dir. Kutudaki 5 top özdeş olduğu için her bir topun seçilme olasılığı 1/5'tir. Yani her iki deneyde de tüm çıktılar eş olasılıklıdır.
3-4. Sorular: B ve C Olayları
Çark bir kez çevrildiğinde okun gösterdiği yere gelen sayının asal sayı olma olayı veya kutudan çekilen topun üzerinde tek sayı yazma olayı A olsun. A olayını oluşturan olayları B ve C olayı olarak ifade ediniz.
- Asal sayılar: {2, 3, 5, 7}
- Toplam çıktı: 4 (2, 3, 5, 7)
- P(B) = 4/8 = 1/2
- Tek sayılar: {1, 3}
- Toplam çıktı: 2 (1, 3)
- P(C) = 2/5
5. Soru: D Olayı
Çark bir kez çevrildiğinde ibrenin gösterdiği yere gelen sayının asal sayı olma olayı ve kutudan çekilen topun üzerinde tek sayı yazma olayı D olsun. B, C ve D olaylarının olasılık değerlerini elde ediniz.
1/2
2/5
(1/2) × (2/5) = 1/5
6. Soru: A Olayı
A olayının istenen çıktılarını elde ediniz ve bu olayın olasılık değerini hesaplayınız.
A = B ∪ C (Çarkta asal sayı VEYA kutuda tek sayı)
- B olayı çıktıları: (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,6), (3,1)... şeklinde çarkta asal olanlar
- C olayı çıktıları: (1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3),(5,1),(5,3),(6,1),(6,3),(7,1),(7,3),(8,1),(8,3)
- B ∩ C çıktıları: (2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(5,1),(5,3),(7,1),(7,3) → 8 çıktı
7. Soru: B, C ve D ile A'nın Hesaplanması
Bu deneyde incelenen B, C ve D olaylarının olasılık değerleri kullanılarak A olayının olasılık değeri bulunabilir mi? Açıklayınız.
Evet, bulunabilir. A = B ∪ C olduğu için P(A) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) formülü kullanılır. Burada B ∩ C = D olduğu için P(A) = P(B) + P(C) - P(D) şeklinde ifade edilir. B, C ve D olasılık değerleri bilindiğinde A'nın olasılık değeri hesaplanabilir.
8. Soru: Ortak Çıktı Analizi
Hangi olayların ortak çıktısı vardır, hangilerinin yoktur? Ortak çıktısı olan olaylardan oluşan olayın olasılık değerini hesaplarken neler fark ettiniz? Açıklayınız.
- B ve C olaylarının ortak çıktısı vardır: B ∩ C = D (8 çıktı). Bu nedenle B ve C ayrık değildir.
- B ve C ayrık olmadığı için P(A) hesaplanırken kesişim (D) çıkarılmalıdır.
- Eğer B ve C ayrık olsaydı (ortak çıktıları olmasaydı), P(A) = P(B) + P(C) olurdu.
- Fark edilen durum: Ortak çıktı olduğunda toplama kuralı değişir ve kesişim çıkarılır.
Sayfa 222: 5. Sıra Sizde
Araç Satış – Olasılık Hesaplamaları
5. Sıra Sizde
Yandaki tabloda bir firmanın tanıtım amaçlı ürettiği 15 aracın benzinli veya elektrikli modellerinde var olan özellikler "X" ile gösterilmiştir. Araçlar yalnızca İstanbul, Ankara ve İzmir şubelerinde beşer adet olmak üzere satışa sunulmuştur. Şubelerdeki 5 aracın her biri farklı donanımlara sahiptir.
Araç Donanım ve Yakıt Tipi Tablosu
| Donanım | Benzinli | Elektrikli |
|---|---|---|
| Deri Koltuk | X | - |
| Koltuk Isıtma-Soğutma | - | X |
| Cam Tavan | X | X |
| Hayalet Gösterge | - | X |
- Toplam araç: 15 (3 şube × 5 araç)
- Her şubede: 5 araç (farklı donanımlar)
- Benzinli araç sayısı: 2 (Deri Koltuk, Cam Tavan)
- Elektrikli araç sayısı: 3 (Koltuk Isıtma-Soğutma, Cam Tavan, Hayalet Gösterge)
- Cam Tavanlı araç sayısı: 2 (1 Benzinli, 1 Elektrikli)
Sorular ve Çözümler
Olay: Elektrikli olma VE İzmir şubesinden alınma
- Elektrikli araç sayısı: 3 (Koltuk Isıtma-Soğutma, Cam Tavan, Hayalet Gösterge)
- İzmir şubesinde 5 araç var. Elektrikli araçlardan 1'i İzmir'de olabilir (her şubede farklı donanım).
- P = 1/15
Olay: Benzinli olma VEYA İstanbul şubesinden alınma
- Benzinli araç sayısı: 2 (Deri Koltuk, Cam Tavan)
- İstanbul şubesinde araç sayısı: 5
- Benzinli ve İstanbul (kesişim): 1 araç (her şubede farklı donanım)
- P = 2/15 + 5/15 - 1/15 = 6/15 = 2/5
Olay: Cam Tavanlı olma VEYA Ankara şubesinden alınma
- Cam Tavanlı araç sayısı: 2 (1 Benzinli, 1 Elektrikli)
- Ankara şubesinde araç sayısı: 5
- Cam Tavanlı ve Ankara (kesişim): 1 araç (her şubede farklı donanım)
- P = 2/15 + 5/15 - 1/15 = 6/15 = 2/5
Sayfa 223: 6. Sıra Sizde
Çarklar – Çarpımın 3 veya 4 ile Bölünebilme Olasılığı
6. Sıra Sizde
Yanda kendi içinde eş bölmelere ayrılmış çarklardan birinin bölmelerine 1, 1, 2, 2, 3;
diğerinin bölmelerine ise 1, 2, 3 sayıları yazılmıştır.
Bu çarklardaki oklar aynı anda çevrilecektir.
Buna göre okların gösterdiği sayıların çarpımının 3 veya 4 ile tam bölünebilme olayının olasılık değerini bulunuz.
Çarklar ve Tüm Olası Çıktılar
| 1. Çark \ 2. Çark | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × 2 = 2 | 1 × 3 = 3 ✓ |
| 1 | 1 × 1 = 1 | 1 × 2 = 2 | 1 × 3 = 3 ✓ |
| 2 | 2 × 1 = 2 | 2 × 2 = 4 ✓ | 2 × 3 = 6 ✓ |
| 2 | 2 × 1 = 2 | 2 × 2 = 4 ✓ | 2 × 3 = 6 ✓ |
| 3 | 3 × 1 = 3 ✓ | 3 × 2 = 6 ✓ | 3 × 3 = 9 ✓ |
Çözüm
Adım 1: Toplam çıktı sayısını bulalım.
- 1. Çark: 5 bölüm → 1, 1, 2, 2, 3
- 2. Çark: 3 bölüm → 1, 2, 3
- Toplam: 5 × 3 = 15 eş olası çıktı
Adım 2: İstenen olayı belirleyelim.
- Olay: Çarpım 3 VEYA 4 ile tam bölünebilmeli.
- 3 ile bölünebilenler: 3, 6, 9
- 4 ile bölünebilenler: 4
Adım 3: Tablodan istenen çıktıları sayalım.
- 3 ile bölünebilen çıktılar: (1,3), (1,3), (2,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) → 7 çıktı
- 4 ile bölünebilen çıktılar: (2,2), (2,2) → 2 çıktı
- Kesişim (hem 3 hem 4 ile bölünen): 3 ve 4'ün ortak katı 12. Çarpım 12 olan çıktı yok. → 0
- Toplam istenen çıktı: 7 + 2 - 0 = 9
- P(3 ile bölünebilme): 7/15
- P(4 ile bölünebilme): 2/15
- P(3 ve 4 ile bölünebilme): 0 (kesişim yok)
- P(3 ∪ 4): 7/15 + 2/15 - 0 = 9/15 = 3/5
Sayfa 224-225: 7. Uygulama
Deneysel ve Teorik Olasılık Değerlerinin Karşılaştırılması
7. Uygulama
Bu uygulamada havaya atılan hilesiz üç madeni paranın üst yüzlerine 2 yazı, 1 tura gelme olayı incelenecektir. Bu incelemede hilesiz madeni paralar ya da paraların havaya atış simülasyonu kullanılmaktadır.
1. Soru: Ağaç Şeması – Teorik Olasılık
Verilen olayın teorik olasılık değerini incelemek için ağaç şemasını doldurunuz ve istenen çıktıları belirtiniz.
Toplam çıktı: 3 (YYT, YTY, TYY)
Teorik olasılık: 3/8 = 0,375 = %37,5
2. Soru: Beklenen Yaklaşım Değeri
Deneye ait tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri ile teorik olasılık değeri arasındaki farkın yaklaştığı değerin kaç olmasını beklersiniz?
(Büyük Sayılar Yasası gereği, tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır, fark 0'a yaklaşır.)
3. Soru: 50 Tekrar
Verilen olayın deneyine ait 50 tekrar sonucu oluşan çıktılara göre tabloyu doldurunuz.
| Sıklık | Göreli Sıklık (Deneysel Olasılık) | Teorik Olasılık | Deneysel ve Teorik Olasılık Farkı |
|---|---|---|---|
| 16 | 16/50 = 0,32 | 3/8 = 0,375 | |0,32 - 0,375| = 0,055 |
4. Soru: 150 Tekrar
Verilen olayın deneyine ait 150 tekrar sonucu oluşan çıktılara göre tabloyu doldurunuz.
| Sıklık | Göreli Sıklık (Deneysel Olasılık) | Teorik Olasılık | Deneysel ve Teorik Olasılık Farkı |
|---|---|---|---|
| 52 | 52/150 = 0,3467 | 3/8 = 0,375 | |0,3467 - 0,375| = 0,0283 |
5. Soru: 500, 1500, 5000 Tekrar
Verilen olayın deneyine ait 500, 1500 ve 5000 tekrar sonucu oluşan çıktılara göre tabloyu doldurunuz.
| Tekrar Sayısı | Sıklık | Göreli Sıklık (Deneysel Olasılık) | Teorik Olasılık | Deneysel ve Teorik Olasılık Farkı |
|---|---|---|---|---|
| 500 | 180 | 180/500 = 0,3600 | 0,375 | 0,0150 |
| 1500 | 550 | 550/1500 = 0,3667 | 0,375 | 0,0083 |
| 5000 | 1875 | 1875/5000 = 0,3750 | 0,375 | 0,0000 |
6. Soru: Değerlendirme
Deneyin tekrar sayısı arttıkça verilen olayın deneysel ve teorik olasılık değerleri arasındaki fark, beklediğiniz değere yaklaştı mı? Yukarıda yer alan işlem adımlarını tekrar gözden geçirerek bu durumu sorgulayınız.
Değerlendirme:
- 50 tekrar: Fark 0,055 (en büyük fark)
- 150 tekrar: Fark 0,0283 (azalmaya başladı)
- 500 tekrar: Fark 0,0150 (daha da azaldı)
- 1500 tekrar: Fark 0,0083 (çok azaldı)
- 5000 tekrar: Fark 0,0000 (neredeyse sıfır)
Sayfa 225: 7-8-9. Sıra Sizde
Yatırım, Hava Durumu ve Çanta – Olasılık Hesaplamaları
7. Sıra Sizde: Yatırım Araçları
Yandaki tabloda 496 kişinin eğitim durumlarına göre hangi yatırım aracını seçtiği gösterilmektedir.
Buna göre rastgele seçilen bir kişinin ön lisans mezunu veya altına yatırım yapan biri olma olasılık değerini bulunuz.
| Yatırım Araçları | Lise ve Altı | Ön Lisans | Lisans ve Üzeri | Toplam |
|---|---|---|---|---|
| Gayrimenkul | 3 | 5 | 21 | 29 |
| Altın | 12 | 10 | 50 | 72 |
| Banka Mevduatı | 16 | 28 | 83 | 127 |
| Menkul Kıymetler | 41 | 51 | 176 | 268 |
| Toplam | 72 | 94 | 330 | 496 |
Olay: Ön Lisans mezunu VEYA Altın yatırımı yapan
- Ön Lisans mezunu sayısı: 94
- Altın yatırımı yapan sayısı: 72
- Kesişim (Ön Lisans VE Altın): 10
- P = 94/496 + 72/496 - 10/496 = 156/496
8. Sıra Sizde: Hava Durumu
Bir gübreleme şirketinden salı günü haber alan Esma Hanım, salıdan sonraki 10 günün herhangi birinde tarlasının gübreleneceğini öğrenmiştir.
Bu 10 günün hava tahmin raporu yandaki görselde verilmiştir.
Buna göre Esma Hanım'ın tarlasının gübrelendiği gün havanın yağmursuz veya 17°C'tan sıcak olma olayının olasılık değerini bulunuz.
| Gün | Çarşamba | Perşembe | Cuma | Cumartesi | Pazar | Pazartesi | Salı | Çarşamba | Perşembe | Cuma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sıcaklık | 23°C | 20°C | 18°C | 21°C | 16°C | 13°C | 11°C | 12°C | 16°C | 16°C |
| Durum | Güneşli | Parçalı Bulutlu | Yağmurlu | Parçalı Bulutlu | Yağmurlu | Yağmurlu | Yağmurlu | Fırtınalı | Yağmurlu | Parçalı Bulutlu |
Olay: Yağmursuz (yağmurlu veya fırtınalı değil) VEYA 17°C'den sıcak
- Toplam gün: 10
- Yağmursuz günler: Çarşamba (Güneşli), Perşembe (Parçalı Bulutlu), Cumartesi (Parçalı Bulutlu), Cuma (Parçalı Bulutlu) → 4 gün
- 17°C'den sıcak günler: 23°C, 20°C, 18°C, 21°C → 4 gün
- Kesişim (Yağmursuz VE 17°C'den sıcak): 23°C Güneşli, 20°C Parçalı Bulutlu, 21°C Parçalı Bulutlu → 3 gün
- P = 4/10 + 4/10 - 3/10 = 5/10 = 1/2
9. Sıra Sizde: Çanta
Bir toptancı 5 farklı markadan aynı fiyata sahip siyah, beyaz ve kırmızı renklerde çantalar almıştır.
Çantaların markalara göre arz talep durumları (adet) yandaki tabloda gösterilmiştir.
Buna göre mağazasına rastgele bir çanta alacak mağaza sahibinin aldığı çantanın arzının talepten az olmama ve çantanın kırmızı olma olasılık değerini bulunuz.
| Marka | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| Arz | 5000 | 4000 | 6000 | 5500 | 4500 |
| Talep | 5000 | 6000 | 4000 | 4500 | 5500 |
| Arz ≥ Talep? | Evet | Hayır | Evet | Evet | Hayır |
Çözüm:
- Toplam çanta: 5000 + 4000 + 6000 + 5500 + 4500 = 25000
- Arz ≥ Talep olan markalar: A (5000), C (6000), D (5500) → Toplam: 5000 + 6000 + 5500 = 16500
- Her markadan kırmızı çanta oranı: 1/3 (siyah, beyaz, kırmızı eşit)
- Arz ≥ Talep VE Kırmızı: 16500 × (1/3) = 5500
- P = 5500 / 25000 = 11/50
Sayfa 226: Performans Görevi
Yeni Bir Sayı Küpü – Simülasyon Raporu (PDF)
Performans Görevi Dokümanı Ön İzlemesi
Sayfa 227: Alıştırmalar
Olasılık Uygulamaları – Giysi, Besin, Spor ve Otopark
1. Soru: Giysi Seçimi
Valizinde üst giyim olarak 2 gömlek, 3 kazak; alt giyim olarak 2 kot, 1 kumaş pantolonu olan Yavuz
1 üst ve 1 alt giyimi rastgele seçip giyecektir.
Buna göre Yavuz'un bir gömlek veya bir kumaş pantolon giyme olayının olasılık değerini bulunuz.
Çözüm:
- Toplam üst: 2 gömlek + 3 kazak = 5
- Toplam alt: 2 kot + 1 kumaş = 3
- Toplam kombinasyon: 5 × 3 = 15
- Gömlek giyme olayı: 2 gömlek × 3 alt = 6
- Kumaş pantolon giyme olayı: 5 üst × 1 kumaş = 5
- Kesişim (Gömlek VE Kumaş): 2 gömlek × 1 kumaş = 2
- P = 6/15 + 5/15 - 2/15 = 9/15 = 3/5
2. Soru: Besin Seçimi
Aşağıda diyet yapan birinin dolabındaki besinlerin 100 gramındaki kalori değerleri verilmiştir.
Buna göre listeden rastgele seçilen bir besinin meyve olma veya kalori değerinin 33 kcal olma olayının olasılık değerini bulunuz.
| Meyve | Sebze | İçecek |
|---|---|---|
| Kivi (30 kcal) | Siyah Turp (30 kcal) | Şalgam (30 kcal) |
| Kavun (33 kcal) | Pazi (33 kcal) | İhlamur (42 kcal) |
| Nar (63 kcal) | Roka (33 kcal) | Limonata (21 kcal) |
| Tere (33 kcal) | Portakal Suyu (45 kcal) | |
| Brüksel Lahanası (63 kcal) | ||
| Haşlanmış Mısır (91 kcal) |
Çözüm:
- Toplam besin: 3 (meyve) + 6 (sebze) + 4 (içecek) = 13
- Meyve olma: 3/13
- 33 kcal olma: Kavun (33), Pazi (33), Roka (33), Tere (33) → 4
- Kesişim (Meyve VE 33 kcal): Kavun → 1
- P = 3/13 + 4/13 - 1/13 = 6/13
3. Soru: Spor Kulüpleri
Yukarıdaki tabloda Alfa ve Beta spor kulüplerinin geçmişte futbol ve hentbol branşlarında yaptıkları maçların sonuçları verilmiştir.
Buna göre aynı anda yapılan futbol ve hentbol maçlarının berabere bitme olasılık değerini bulunuz.
| Altı Spor Kulübünün Kazanma Sayısı | Futbol | Hentbol |
|---|---|---|
| Beta Spor Kulübünün Kazanma Sayısı | 24 | 34 |
| Berabere Bitme Sayısı | 32 | 47 |
| Toplam Maç | 13 | 23 |
Çözüm:
- Futbol maçlarında berabere bitme olasılığı: 32/ (24+32+13) = 32/69
- Hentbol maçlarında berabere bitme olasılığı: 47/ (34+47+23) = 47/104
- Aynı anda berabere bitme olasılığı: 32/69 × 47/104
4. Soru: Otopark
Galip Bey, arabasını aşağıda görseli verilen 10 araçlık otoparka park edecektir.
Buna göre arabanın P yazan yerlerden birine ve arka farlarının çim tarafına denk gelmesi olasılık değerini bulunuz.
Çözüm:
- Toplam park yeri: 10
- P yazan park yerleri: 1 ve 6 → 2
- Çim tarafındaki park yerleri: 1, 2, 3, 4, 5 → 5
- Kesişim (P VE Çim tarafı): 1 → 1
- P = 2/10 + 5/10 - 1/10 = 6/10 = 3/5
Sayfa 228: Alıştırmalar
Doğru Üzerinde Nokta ve Kan Grubu – Olasılık Hesaplamaları
5. Soru: Doğru Üzerinde Nokta
x, y ∈ N; 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 olan x ve y değerlerinden rastgele seçilen (x, y) noktasının y = 5x veya 2y = x doğrusu üzerinde olma olayına ait deneyin istatistik yazılımları yardımıyla 50, 150, 250, 500 ve 1000 tekrarında oluşan sıklıkların bazıları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
| Tekrar Sayısı | 50 | 150 | 250 | 500 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Seçilen Noktanın y = 5x veya 2y = x Doğrusu Üzerinde Olma Sıklığı | 7 | ? | ? | 57 | ? |
| Seçilen Noktanın y = 5x veya 2y = x Doğrusu Üzerinde Olmama Sıklığı | ? | 126 | 210 | ? | 879 |
- Örnek uzay: x = 0,1,2,3,4 (5 değer), y = 0,1,2,3,4 (5 değer) → 5 × 5 = 25 nokta
- y = 5x doğrusu: (0,0), (1,5) → y ≤ 4 olduğu için (1,5) geçerli değil → 1 nokta
- 2y = x doğrusu: x = 2y → (0,0), (2,1), (4,2) → 3 nokta
- Kesişim: (0,0) ortak → 1 nokta
- Toplam istenen nokta: 1 + 3 - 1 = 3
- Teorik Olasılık = 3/25 = 0,12 = %12
| Tekrar Sayısı | 50 | 150 | 250 | 500 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Deneysel Olasılık Değeri | 7/50 = 0,14 | 24/150 = 0,16 | 40/250 = 0,16 | 57/500 = 0,114 | 121/1000 = 0,121 |
| Teorik Olasılık Değeri | 0,12 (3/25) | ||||
| Deneysel ve Teorik Olasılık Değerleri Arasındaki Fark | |0,14 - 0,12| = 0,02 | |0,16 - 0,12| = 0,04 | |0,16 - 0,12| = 0,04 | |0,114 - 0,12| = 0,006 | |0,121 - 0,12| = 0,001 |
Tekrar sayısı arttıkça deneysel ve teorik olasılık değerleri arasındaki fark 0'a yaklaşmaktadır. Bunun nedeni Büyük Sayılar Yasası'dır. Deney tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa (0,12) yakınsar.
6. Soru: Kan Grubu
A Rh+ (A0Rr) kan grubuna ait bir anne ile B Rh+ (B0Rr) kan grubuna ait bir babanın çocuğunun AB Rh+ kan grubuna ait olma olasılık değerini bulunuz (R geni r genine baskın, A geni 0 genine baskın ve B geni 0 genine baskındır.).
Çözüm:
| Anne (A0) \ Baban (B0) | B | 0 |
|---|---|---|
| A | AB (4/16) | A (4/16) |
| 0 | B (4/16) | 0 (4/16) |
AB olma olasılığı: 1/4
| Anne (Rr) \ Baban (Rr) | R | r |
|---|---|---|
| R | RR (1/4) | Rr (1/4) |
| r | Rr (1/4) | rr (1/4) |
Rh+ olma olasılığı: RR + Rr = 3/4