Syfalara Git
7.1. Olayların Olasılığını Gözleme Dayalı Tahmin Etme
SAYFA 204 | Konuya Başlarken (Görsel 1)
Sınıf İçi Öğrenci Faaliyetleri
Tartışma Sorusu:
"Görsel 1’i inceleyiniz. Bu görselden hareketle 'sınıf başkanı seçilen bir öğrencinin bilim veya sanatta başarılı olması' gibi birden çok olay içeren örnekler oluşturulabilir mi? Tartışınız."
Evet, oluşturulabilir. Bu soru, öğrencilerin olasılık teorisindeki "Birleşik Olaylar" ve "Veya / Ve" bağlaçlarının mantıksal yapılarını sezgisel olarak kavramalarını amaçlamaktadır.
Görselden hareketle oluşturulabilecek diğer birden çok olay içeren (bileşik) örnek senaryolar şunlardır:
- Örnek 1: Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin hem gitar çalması (müzik) hem de robotik projelerle ilgilenmesi (Kesişim Olayı - "Ve").
- Örnek 2: Seçilen bir öğrencinin resim alanında yetenekli olması veya mikroskopla inceleme yapıyor olması (Birleşim Olayı - "Veya").
- Örnek 3: Sınıf başkanı seçilen bir öğrencinin kız öğrenci olması ve aynı zamanda tuval başında resim yapıyor olması (Koşullu bileşik yapı).
7.1. Olayların Olasılığını Gözleme Dayalı Tahmin Etme
SAYFA 204 | Konuya Başlarken (Görsel 2)
Şehir İçi Ulaşım Ağı
Güzergâh Sorusu:
"Şehir içi ulaşım ağını temsil eden Görsel 2’yi inceleyiniz. Bu görseldeki otobüs, tren ve konum sembolleri durakları temsil etmektedir. Gösterilen iki konum arasında seçilebilecek kaç farklı güzergâh olabilir?"
Bu soru, olasılık hesabının temeli olan örnek uzayın eleman sayısını belirleme (Saymanın Temel İlkeleri) konusuna giriş niteliğindedir. İki konum arasındaki toplam güzergâh sayısı, yolların birbirine bağlanma şekline göre (seri bağlı etaplar veya paralel bağımsız seçenekler) Toplama veya Çarpma Yoluyla Sayma prensipleri kullanılarak modellenir.
Ağ Analizi Yaklaşımı:
1. Durum (Ayrı Hatlar - Toplama İlkesi): Eğer başlangıç noktasından varış noktasına kadar birbirinden tamamen bağımsız $n$ farklı taşıt hattı (örneğin sadece üstteki araba yolu, ortadaki metro hattı veya alttaki bisiklet yolu) kesintisiz uzanıyorsa alternatif güzergâh sayısı bu yolların toplamı kadardır.
2. Durum (Aktarmalı Hatlar - Çarpma İlkesi): Başlangıçtan birinci durağa (Otobüs) kadar $A$ adet yol, bu duraktan tren istasyonuna kadar $B$ adet yol ve oradan varış konumuna kadar $C$ adet bağımsız hat kombinasyonu bulunuyorsa, toplam güzergâh sayısı etapların çarpımıyla elde edilir: $$\text{Toplam Güzergâh} = A \times B \times C$$
Sayfa 205: 1. Uygulama
Olayları İnceleme – Bir ve Birden Çok Olay İçeren Durumlar
Olayları İnceleme
Aşağıda bir ve birden çok olay içeren durumlar verilmiştir. Bu durumları karşılaştırarak soruları cevaplayınız.
Bir Olay İçerenler
Toplu taşıma ile gitme
Arkadaşlar ile gitme
Müstakil bir yerde konaklama
Deniz kenarına gitme
Birden Çok Olay İçerenler
Arkadaşlar ile birlikte ve toplu taşıma ile gitme
∧ (VE)Deniz kenarında veya müstakil bir yerde konaklama
∨ (VEYA)Müstakil bir yere toplu taşıma ile gitme
∧ (VE)1. Soru: Birden Çok Olay İçeren Olayların Tanımı
Birden çok olay içeren olayları nasıl tanımlarsınız?
Tanım:
- Birden çok olay içeren durumlar, birden fazla basit olayın bir araya gelmesiyle oluşan bileşik olaylardır.
- Bu olaylar, basit olayların "VE" (∧) veya "VEYA" (∨) bağlaçlarıyla birleştirilmesiyle ifade edilir.
- Örnek 1: "Arkadaşlar ile birlikte VE toplu taşıma ile gitme" → Her iki koşul da sağlanmalıdır.
- Örnek 2: "Deniz kenarında VEYA müstakil bir yerde konaklama" → Koşullardan en az biri sağlanmalıdır.
- Bileşik olaylar, örnek uzayın alt kümelerinin birleşim, kesişim veya tümleyen işlemleriyle elde edilir.
2. Soru: Tanımın Önceki Olay Tanımıyla Karşılaştırılması
Oluşturduğunuz tanımın daha önce öğrendiğiniz olay tanımı ile benzerlik ve farklılıkları nelerdir?
Karşılaştırma:
| Özellik | Önceki Olay Tanımı | Yeni Tanım (Birden Çok Olay) |
|---|---|---|
| Tanım | Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi | Birden fazla basit olayın birleşimi, kesişimi veya tümleyeni |
| Yapı | Tek bir koşulu ifade eder | Birden fazla koşulu (VE/VEYA) ifade eder |
| Örnek | "Toplu taşıma ile gitme" | "Arkadaşlar ile VE toplu taşıma ile gitme" |
| Bağlaçlar | Bağlaç içermez (tek olay) | VE (∧) veya VEYA (∨) bağlaçları içerir |
| Benzerlik | Her ikisi de örnek uzayın bir alt kümesidir ve olasılık değerleri hesaplanabilir. | |
| Farklılık | Tek bir durumu ifade eder | Birden fazla durumu bir arada ifade eder |
Sayfa 205: 1. Sıra Sizde
Deneylerdeki Olay Sayısını Belirleme
1. Sıra Sizde
Verilen tabloya göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
| Deney | Deneydeki Olay Sayısı | Açıklama |
|---|---|---|
| Bir kişinin hava yolu, kara yolu ya da demir yolundan birini seçerek seyahat etmesi | 1 Olay | Kişi sadece bir ulaşım türü seçer. (Hava/Kara/Demir yolu) |
| Atılan hilesiz iki sayı küpünün üst yüzeylerine çift ve asal sayı gelmesi | 2 Olay | İki koşul birden aranır: "Çift sayı" ve "Asal sayı" (VE bağlacı). |
| Bir hastanenin çalışanları arasından üç mesleğe (doktor, hemşire, laborant) mensup birer temsilci seçilmesi | 3 Olay | Üç ayrı meslek grubundan her birinden birer temsilci seçilir. (3 ayrı olay) |
| Bir okçunun kırmızı, yeşil ve mavi oklar arasından rastgele bir ok seçmesi | 1 Olay | Okçu sadece bir ok seçer. (Kırmızı/Yeşil/Mavi oklardan biri) |
a) Deneylerin Olay Sayısını Belirleme
Verilen dört deneyin bir veya birden çok olaydan oluşup oluşmadığını belirleyerek tespitinize ilişkin açıklamayı ilgili alana yazınız.
Değerlendirme:
- 1. Deney (Seyahat): Tek olay – Kişi sadece bir ulaşım türü seçer. (Hava/Kara/Demir yolu)
- 2. Deney (Zar): Birden çok olay – İki koşul birden aranır: "Çift sayı" VE "Asal sayı".
- 3. Deney (Hastane): Birden çok olay – Üç farklı meslek grubundan ayrı ayrı seçim yapılır.
- 4. Deney (Okçuluk): Tek olay – Okçu sadece bir ok seçer. (Kırmızı/Yeşil/Mavi)
b) Boş Alanları Doldurma
Deney kısmında boş bırakılan alanlara bir ve birden çok olay içeren deneyler yazınız. Diğer alanlara ise istenenleri yazınız.
Deney: "Bir torbadan rastgele bir top seçilmesi"
Olay Sayısı: 1 Olay
Açıklama: Torbadan tek bir top seçilir. (Kırmızı/Mavi/Yeşil toplardan biri)
Deney: "Bir zar ve bir madenî paranın birlikte atılması"
Olay Sayısı: 2 Olay
Açıklama: Zarda çift sayı gelmesi VE parada tura gelmesi.
c) Sınıf Tartışması
Ulaştığınız sonuçları sınıfta tartışınız.
Tartışma Noktaları:
- Hangi deneylerin tek olaylı, hangilerinin çok olaylı olduğu ve nedenleri tartışılır.
- "VE" ve "VEYA" bağlaçlarının olay sayısını nasıl etkilediği üzerinde durulur.
- Örnek uzay ve olay kavramları pekiştirilir.
- Öğrencilerin kendi örnekleriyle tartışma zenginleştirilir.
Sayfa 206: 2. Uygulama
Veri İhtiyacı – Kafe Menüsü ve Tost Çeşidi Analizi
Veri İhtiyacı
Bir kafe işletmecisi, menüsüne yeni bir tost çeşidi eklemek ve bu ürünün satılma olasılığını belirlemek istemektedir.
1. Soru: Tostların Hangi Özellikleri Göz Önünde Bulundurulmalı?
Tostların hangi özelliklerini göz önünde bulundurmalıdır?
İşletmecinin göz önünde bulundurması gereken özellikler:
- Ekmek türü: Beyaz ekmek, kepekli ekmek, tam buğday ekmeği, çavdar ekmeği vb.
- Peynir çeşidi: Kaşar, beyaz peynir, tulum peyniri, mozzarella vb.
- Et/et ürünü: Sucuk, salam, sosis, pastırma, jambon vb.
- Ek malzemeler: Domates, biber, mantar, zeytin, yeşillik vb.
- Sos seçenekleri: Ketçap, mayonez, hardal, acı sos vb.
- Fiyat: Tost fiyatının müşteri kitlesine uygun olması.
- Kalori ve sağlık: Daha sağlıklı seçeneklerin tercih edilme durumu.
- Sunum ve paketleme: Görsel çekicilik ve kullanım kolaylığı.
2. Soru: Hangi Verilere İhtiyaç Duyar?
Bu özelliklere ait hangi verilere ihtiyaç duymaktadır?
İşletmecinin ihtiyaç duyduğu veriler:
- Satış verileri: Mevcut tost çeşitlerinin günlük/haftalık satış adetleri.
- Müşteri tercihleri: Anket veya kullanıcı yorumları ile hangi malzemelerin daha çok tercih edildiği.
- Demografik bilgiler: Müşteri kitlesinin yaş, gelir ve beslenme alışkanlıkları.
- Rakip analizi: Çevredeki diğer kafelerin hangi tost çeşitlerini sattığı.
- Maliyet verileri: Malzeme fiyatları, tedarikçi seçenekleri ve kar marjı.
- Mevsimsel etkiler: Yaz/kış dönemlerinde hangi malzemelerin daha çok tercih edildiği.
- Pazar trendleri: Yeni çıkan gıda akımları (vegan, glütensiz, organik vb.).
3. Soru: Tek Bir Malzemenin Verileri Yeterli mi?
Ekmek, peynir ya da sucuğun yalnızca birinin çeşitlerine dair satış verilerinin elinde olması hâlinde menüsüne ekleyeceği tost çeşidine karar verebilir mi? Nedenleriyle açıklayınız.
Analiz:
Çünkü bir tost birden çok malzemenin birleşiminden oluşur. Sadece ekmeğin satış verilerine bakmak, peynir veya sucuk tercihleri hakkında bilgi vermez.
| Sadece Ekmek Verisi | Sadece Peynir Verisi | Sadece Sucuk Verisi |
|---|---|---|
| Kepekli ekmek çok satılıyor olabilir. | Kaşar peyniri çok tercih ediliyor olabilir. | Sucuklu tost çok satılıyor olabilir. |
| Ancak bu, kepekli ekmekle hangi peynirin/sucuğun tercih edileceğini göstermez. | Ancak bu, kaşar peynirinin hangi ekmekle tercih edileceğini göstermez. | Ancak bu, sucuğun hangi ekmek/peynirle tercih edileceğini göstermez. |
Kepekli ekmek ve kaşar peyniri ayrı ayrı çok satılıyor olabilir. Ancak müşteriler kepekli ekmek ile beyaz peynir veya tulum peyniri tercih edebilir. Kombinasyon verileri olmadan doğru karar vermek mümkün değildir.
- Farklı malzeme kombinasyonlarının satış olasılıkları nasıl hesaplanabilir?
- Anket yapmak, veri toplamak için hangi yöntemler kullanılabilir?
- Müşteri memnuniyeti ve sadakati bu kararı nasıl etkiler?
Uygulama Özeti
- Karar verme: Yeni bir ürün eklerken birden çok faktör göz önünde bulundurulmalıdır.
- Veri ihtiyacı: Tek bir malzemenin verisi yeterli değildir; kombinasyon verileri gereklidir.
- Olasılık tahmini: Ürünün başarılı olma olasılığı, müşteri tercihlerine dayalı gözlem ve veri analizi ile tahmin edilir.
- Öneri: Anket yapmak, satış verilerini analiz etmek ve rakipleri gözlemlemek daha sağlıklı kararlar verilmesini sağlar.
Sayfa 206-208: 3. Uygulama
Deneyde Tekrar Sayısının Artmasıyla Deneysel Olasılık Değerinin Değişimi
3. Uygulama
Yanda verilen çarklardan birincisi sarı (S), yeşil (Y) ve mor (M); ikincisi turuncu (T) ve mavi (V) olmak üzere kendi içinde eş parçalara ayrılmıştır.
1. Çark: Sarı (S), Yeşil (Y), Mor (M) – 3 eş parça
2. Çark: Turuncu (T), Mavi (V) – 2 eş parça
1. Soru: 25 Tekrar – Tablo ve Grafik
Çarklardaki oklar 25 kez çevrildiğinde oluşan çıktıları tablonun ilgili sütununa yazarak çetele, sıklık ve göreli sıklık bölümlerini tamamlayınız.
| Çıktılar | Çetele | Sıklık | Göreli Sıklık |
|---|---|---|---|
| Sarı-Mavi (S-V) | |||| |||| (9) | 9 | 9/25 = 0,36 |
| Sarı-Turuncu (S-T) | |||| || (7) | 7 | 7/25 = 0,28 |
| Yeşil-Mavi (Y-V) | |||| (4) | 4 | 4/25 = 0,16 |
| Yeşil-Turuncu (Y-T) | ||| (3) | 3 | 3/25 = 0,12 |
| Mor-Mavi (M-V) | || (2) | 2 | 2/25 = 0,08 |
| Mor-Turuncu (M-T) | | (0) | 0 | 0/25 = 0,00 |
2. Soru: 50 Tekrar Beklentisi
Bu deneyde tekrar sayısı 50'ye çıkarılırsa grafiklerdeki dağılımda nasıl bir değişim olmasını beklersiniz?
- Tekrar sayısı arttıkça çıktıların sıklıkları birbirine yaklaşır.
- Teorik olasılıklara daha yakın sonuçlar elde edilir.
- Büyük Sayılar Yasası gereği göreli sıklıklar teorik olasılıklara (1/6) yaklaşır.
- Grafikteki sütunlar daha dengeli bir görünüm alır.
- Bazı çıktılar (örneğin Mor-Turuncu) sıfır olmaktan çıkar ve belirli bir sıklığa ulaşır.
3. Soru: 50 Tekrar – Tablo ve Grafik
Çarklardaki oklar 50 kez çevrildiğinde oluşan çıktıları, çıktıların çetelelerini, sıklık ve göreli sıklıkları tabloda ilgili alanlara yazınız.
| Çıktılar | Çetele | Sıklık | Göreli Sıklık |
|---|---|---|---|
| Sarı-Mavi (S-V) | |||| |||| |||| (12) | 12 | 12/50 = 0,24 |
| Sarı-Turuncu (S-T) | |||| |||| || (10) | 10 | 10/50 = 0,20 |
| Yeşil-Mavi (Y-V) | |||| |||| || (9) | 9 | 9/50 = 0,18 |
| Yeşil-Turuncu (Y-T) | |||| |||| (8) | 8 | 8/50 = 0,16 |
| Mor-Mavi (M-V) | |||| || (6) | 6 | 6/50 = 0,12 |
| Mor-Turuncu (M-T) | |||| (5) | 5 | 5/50 = 0,10 |
4. Soru: Beklenti Karşılaştırması
Tekrar sayısı 50'ye çıkarıldığında elde edilen grafiklerdeki değişim, beklentinizi karşıladı mı?
- 25 tekrarda Mor-Turuncu çıktısı hiç gözlemlenmezken, 50 tekrarda 5 kez gözlemlenmiştir.
- Sıklıklar arasındaki fark azalmıştır (25 tekrarda 9-0, 50 tekrarda 12-5).
- Göreli sıklıklar teorik olasılığa (1/6 ≈ 0,167) daha yaklaşmıştır.
- Grafikteki sütunlar daha dengeli görünmektedir.
- Beklenti karşılanmıştır. Büyük Sayılar Yasası'na uygun olarak dağılım teorik olasılığa yaklaşmıştır.
5. Soru: 100 Tekrar Beklentisi
Bu deneyde tekrar sayısı 100'e çıkarıldığında oluşabilecek sıklık ve göreli sıklık dağılımının nasıl olmasını beklersiniz?
- Tekrar sayısı 100'e çıktığında her bir çıktının sıklığı 16-17 civarında olması beklenir.
- Göreli sıklıklar teorik olasılığa (1/6 ≈ 0,167) daha da yaklaşır.
- Çıktılar arasındaki sıklık farkı daha da azalır.
- Grafikteki sütunlar neredeyse eşit yüksekliğe ulaşır.
- Mor-Turuncu gibi 25 tekrarda hiç görülmeyen çıktılar da düzenli olarak gözlemlenir.
6. Soru: Grup Verileri Birleştirme (50+50 = 100)
Tekrar sayısının 50'ye çıkarılması durumunda oluşturduğunuz çıktıların üzerine başka bir grubun 50 tekrara ait çıktılarını ekleyerek tabloyu doldurunuz.
| Çıktılar | Sıklık (Grup 1 + Grup 2) | Göreli Sıklık |
|---|---|---|
| Sarı-Mavi (S-V) | 12 + 11 = 23 | 23/100 = 0,23 |
| Sarı-Turuncu (S-T) | 10 + 9 = 19 | 19/100 = 0,19 |
| Yeşil-Mavi (Y-V) | 9 + 10 = 19 | 19/100 = 0,19 |
| Yeşil-Turuncu (Y-T) | 8 + 9 = 17 | 17/100 = 0,17 |
| Mor-Mavi (M-V) | 6 + 7 = 13 | 13/100 = 0,13 |
| Mor-Turuncu (M-T) | 5 + 4 = 9 | 9/100 = 0,09 |
7. Soru: 500 Tekrar Beklentisi
Bu deneyde tekrar sayısı 500'e çıkarıldığında oluşabilecek dağılımın nasıl olmasını beklersiniz?
- Tekrar sayısı 500'e çıktığında her bir çıktının sıklığı yaklaşık 83 civarında olması beklenir.
- Göreli sıklıklar neredeyse tamamen teorik olasılığa (1/6 ≈ 0,167) eşitlenir.
- Çıktılar arasındaki sıklık farkı çok azalır.
- Grafikteki sütunlar neredeyse eşit yükseklikte olur.
- Büyük Sayılar Yasası gereği, tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değerleri teorik olasılık değerlerine yaklaşır.
- Bu deney için teorik olasılık: 1/6 ≈ 0,167 (6 eş olası çıktı).
Sayfa 211-212: 2. Sıra Sizde
Dört Yüzlü Zar – Deneysel Olasılık ve Tekrar Sayısının Etkisi
2. Sıra Sizde
Üzerinde 1'den 4'e kadar sayıların yazılı olduğu iki düzgün dört yüzlünün havaya atılması deneyinde alt yüzeyine gelen sayıların toplamının sıklığı ve deneyin tekrar sayısı verilmiştir.
| Tekrar Sayısı | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 0 | 6 | 14 | 16 | 6 | 5 | 3 |
| 100 | 6 | 12 | 23 | 32 | 14 | 10 | 3 |
| 500 | 31 | 77 | 97 | 124 | 84 | 59 | 28 |
| 1000 | 68 | 118 | 201 | 229 | 176 | 139 | 69 |
a) Sütun Grafikleri
50, 100, 500 ve 1000 tekrarda oluşan sıklıklara ait sütun grafiklerini çiziniz.
b) Deneysel Olasılık Değerleri
İki düzgün dört yüzlünün alt yüzeyine gelen sayıların toplamının 4 olma olayının deneysel olasılık değerini 50, 100, 500 ve 1000 tekrardaki sıklıklara göre bulunuz.
| Tekrar Sayısı | Toplam 4 Sıklığı | Deneysel Olasılık (Sıklık/Tekrar) | Yüzde (%) |
|---|---|---|---|
| 50 | 14 | 14/50 = 0,28 | %28 |
| 100 | 23 | 23/100 = 0,23 | %23 |
| 500 | 97 | 97/500 = 0,194 | %19,4 |
| 1000 | 201 | 201/1000 = 0,201 | %20,1 |
| Teorik Olasılık | - | 1/5 = 0,20 | %20 |
c) Tekrar Sayısı Arttıkça Değişim
Tekrar sayısı arttıkça dağılımda ve ele alınan olayın deneysel olasılık değerinde oluşan değişimler nelerdir?
- Dağılımın Değişimi:
- 50 tekrarda dağılım düzensiz ve bazı toplam değerleri (örn: 2) hiç gözlemlenmemiştir.
- 100 tekrarda dağılım daha dengeli hale gelmeye başlamıştır.
- 500 ve 1000 tekrarda dağılım neredeyse simetrik bir görünüm kazanmıştır.
- En yüksek sıklık toplam 5'te (en olası değer) gözlemlenmiştir.
- Deneysel Olasılığın Değişimi:
- 50 tekrarda toplam 4 olasılığı 0,28 (teorikten oldukça uzak).
- 100 tekrarda 0,23 (teorik değere yaklaşmaya başlamış).
- 500 tekrarda 0,194 (teorik değer olan 0,20'ye çok yakın).
- 1000 tekrarda 0,201 (teorik değere neredeyse eşit).
- Genel Sonuç:
- Tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri teorik olasılık değerine yaklaşır.
- Dağılım daha simetrik ve kararlı hale gelir.
- Bu durum Büyük Sayılar Yasası ile açıklanır.
- Tekrar sayısı arttıkça rastlantısal sapmalar azalır ve gerçek olasılık değerine ulaşılır.
Sayfa 212: Araştırma Görevi
Madenî Para ve Sayı Küpü – Simülasyon ile Deneysel Olasılık
Araştırma Görevi
Hilesiz bir madenî para ve hilesiz bir sayı küpünün aynı anda havaya atılması deneyine ait çıktıların 100, 200, 500, 1000 ve 10 000 kez tekrarında oluşan sıklıklarını ve göreli sıklıklarını simülasyon yardımıyla bulunuz.
Simülasyon Sonuçları – Sıklık ve Göreli Sıklık
| Çıktı | 100 | 200 | 500 | 1000 | 10000 | Teorik Olasılık |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Yazı-1 | 8 | 15 | 42 | 85 | 840 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Yazı-2 | 9 | 18 | 40 | 82 | 838 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Yazı-3 | 7 | 16 | 39 | 80 | 830 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Yazı-4 | 10 | 19 | 43 | 87 | 845 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Yazı-5 | 8 | 17 | 41 | 83 | 836 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Yazı-6 | 9 | 16 | 42 | 84 | 839 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Tura-1 | 7 | 14 | 41 | 82 | 841 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Tura-2 | 8 | 15 | 40 | 83 | 835 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Tura-3 | 9 | 17 | 39 | 81 | 837 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Tura-4 | 10 | 18 | 43 | 86 | 844 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Tura-5 | 8 | 16 | 40 | 82 | 832 | 1/12 ≈ 0,083 |
| Tura-6 | 7 | 19 | 40 | 85 | 843 | 1/12 ≈ 0,083 |
Göreli Sıklık Grafikleri
Elde ettiğiniz göreli sıklıklara ait sütun grafiklerini istatistik yazılımı yardımıyla oluşturunuz.
Değerlendirme
Elde ettiğiniz grafikleri değişebilirlik bağlamında değerlendiriniz.
- 100 tekrar: Göreli sıklıklar arasında belirgin farklar vardır. Örneğin Yazı-4 ve Tura-4 (%9-10) ile Yazı-3 (%7) arasında 2-3 puan fark görülür. Değişebilirlik yüksektir.
- 200 tekrar: Farklar azalmaya başlar, ancak hala belirgindir. Değişebilirlik orta düzeydedir.
- 500 tekrar: Göreli sıklıklar daha yakın değerler alır (0,078-0,086 arası). Değişebilirlik azalmıştır.
- 1000 tekrar: Tüm çıktıların göreli sıklıkları 0,08-0,087 aralığında toplanır. Değişebilirlik oldukça düşüktür.
- 10 000 tekrar: Tüm çıktılar 0,083-0,085 aralığında (teorik değer 0,0833). Değişebilirlik neredeyse yok denecek kadar azdır.
- Sonuç: Tekrar sayısı arttıkça değişebilirlik azalır ve göreli sıklıklar teorik olasılığa yaklaşır (Büyük Sayılar Yasası).
Deneysel Olasılık Değerleri
100, 200, 500, 1000 ve 10 000 kez tekrar sonucunda hilesiz madenî paranın yazı ve hilesiz sayı küpünün üst yüzeyine 4 gelme olayının deneysel olasılık değerini bulunuz.
| Tekrar Sayısı | Yazı-4 Sıklığı | Deneysel Olasılık | Teorik Olasılık ile Fark |
|---|---|---|---|
| 100 | 10 | 10/100 = 0,100 (%10) | 0,100 - 0,0833 = +0,0167 |
| 200 | 19 | 19/200 = 0,095 (%9,5) | 0,095 - 0,0833 = +0,0117 |
| 500 | 43 | 43/500 = 0,086 (%8,6) | 0,086 - 0,0833 = +0,0027 |
| 1000 | 87 | 87/1000 = 0,087 (%8,7) | 0,087 - 0,0833 = +0,0037 |
| 10 000 | 845 | 845/10000 = 0,0845 (%8,45) | 0,0845 - 0,0833 = +0,0012 |
| Teorik Olasılık | - | 1/12 ≈ 0,0833 (%8,33) | - |
- 100 tekrar: Deneysel olasılık (%10), teorik değerden (%8,33) 1,67 puan uzak.
- 200 tekrar: Fark 1,17 puana düşer.
- 500 tekrar: Fark 0,27 puana iner.
- 1000 tekrar: Fark 0,37 puan (küçük bir sapma).
- 10 000 tekrar: Fark 0,12 puana düşer ve teorik değere çok yaklaşır.
- Sonuç: Tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa (1/12 ≈ 0,0833) yaklaşmaktadır. Bu durum Büyük Sayılar Yasası ile açıklanır.
Sayfa 213: Alıştırmalar
Çark, Pil ve Madenî Para – Olasılık Uygulamaları
1. Soru: Çark Olayları
Aşağıdaki görselde çark 12 eşit bölüme ayrılmıştır. Çark rastgele çevrildiğinde çarkın ibresinin geldiği bölüm dikkate alınacaktır.
Değerlendirme:
- a) Beyaz gelme: Tek olay – Çarkta beyaz bölüm yoktur, bu olay imkânsız olaydır (tek olay).
- b) 200 puan gelme: Tek olay – 200 puan değeri çarkta bulunmamaktadır (imkânsız olay).
- c) Mavi ve sarı gelme: Birden çok olay – İki farklı rengin (mavi VE sarı) gelmesi iki ayrı olayın birleşimidir.
- ç) 900 puan gelme: Tek olay – 900 puan (yeşil) tek bir renge karşılık gelir.
- d) Toplam 500 puan gelme: Birden çok olay – İki çevirişte toplam 500 puan (örneğin 100+400 veya 200+300 gibi) farklı kombinasyonlarla gerçekleşebilir.
- e) En az 1000 puan gelme: Birden çok olay – Üç çevirişte 1000 puan veya daha fazla puan (900+100+100, 500+300+300, 500+500+100 vb.) birçok farklı şekilde gerçekleşebilir.
2. Soru: Pil ve Tuş Deneyi
Pili doğru yönde takmayı bilmeyen bir çocuğun pili oyuncağına rastgele takması ve oyuncakta bulunan renkler dışında özdeş mavi ve yeşil tuşlardan birine rastgele basması deneyinde 50 tekrar sonucunda oluşan çıktılar ve bu çıktılara ait sıklıklar aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Yeşil Tuşa Basma | Mavi Tuşa Basma | |
|---|---|---|
| Pili Yanlış Takma | 15 | 17 |
| Pili Doğru Takma | 12 | 6 |
Sıklık = 12
Toplam = 50
P = 12/50 = 0,24 = %24
Sıklık = 6
Toplam = 50
P = 6/50 = 0,12 = %12
Sıklık = 15
Toplam = 50
P = 15/50 = 0,30 = %30
Sıklık = 17
Toplam = 50
P = 17/50 = 0,34 = %34
3. Soru: Hilesiz Üç Madenî Para
Hilesiz üç madenî paranın havaya atılması deneyi 1500 kez tekrar edilmiştir.
Buna göre üst yüze gelen tura sayılarının göreli sıklıklarına ait sütun grafiğinin nasıl olmasını beklersiniz? Beklediğiniz grafiği çiziniz.
Teorik Dağılım (Üç madenî para):
- 0 tura gelme olasılığı: 1/8 = 0,125 (%12,5)
- 1 tura gelme olasılığı: 3/8 = 0,375 (%37,5)
- 2 tura gelme olasılığı: 3/8 = 0,375 (%37,5)
- 3 tura gelme olasılığı: 1/8 = 0,125 (%12,5)
- 1500 tekrarda beklenen sıklıklar:
- 0 tura: 1500 × 1/8 = 187,5 ≈ 188
- 1 tura: 1500 × 3/8 = 562,5 ≈ 563
- 2 tura: 1500 × 3/8 = 562,5 ≈ 563
- 3 tura: 1500 × 1/8 = 187,5 ≈ 188
- Grafik simetrik olmalıdır (1 ve 2 tura eşit yükseklikte; 0 ve 3 tura eşit ve daha kısa).
- Büyük Sayılar Yasası gereği deneysel sonuçlar teorik değerlere yakın olur.
- 1 ve 2 tura gelme olasılıkları eşit ve en yüksek (%37,5).
- 0 ve 3 tura gelme olasılıkları eşit ve en düşük (%12,5).