9. sınıf matematik - 5.tema: 5.3. Algoritmalarda ve Matematiksel İspatlarda Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler - Maarif Modeli Müfredatı. Nicelikler ve değişimler

Sayfalara Git

Tema İçeriğine Dön

5.3. ALGORİTMALARDA VE MATEMATİKSEL İSPATLARDA MANTIK BAĞLAÇLARI VE NİCELEYİCİLER

Sayfa 135: Konuya Başlarken

Diffie-Hellman Anahtar Değiş Tokuşu ve Mantık Bağlaçları

Sayfa 135

Kriptoloji ve Diffie-Hellman

Kriptolojinin temel unsurlarından biri olan anahtar değiş tokuşu, iletişim kuran tarafların güvenli bir şekilde şifreleme anahtarları paylaşmalarını sağlar. Bu alanda kullanılan Diffie-Hellman yöntemi, güvenli olmayan kanallar aracılığıyla bir ortak gizli anahtar oluşturulmasına olanak tanır.

Diffie-Hellman anahtar değiş tokuşu yöntemi, şifreleme protokollerinin temelini oluşturarak siber saldırılara karşı koruma sağlar ve hassas verilerin korunmasına yardımcı olur. Bu nedenle gelişmiş şifreleme yöntemlerinin anlaşılması ve uygulanması, ülkemizin siber altyapısını güçlendirmek ve ulusal güvenlik seviyesini artırmak için hayati öneme sahiptir.

Diffie-Hellman Anahtar Değiş Tokuşu Akış Şeması

Diffie-Hellman anahtar değiş tokuşu yönteminde asal sayılar, üslü gösterimler ve kalan bulma gibi matematiksel yapılar kullanılır. Karşılıklı mesajlaşma sırasında Uğur ve Elif'in cihazlarının iletişim güvenliği için kullandığı algoritmanın işleyişi aşağıdaki gibidir.

Akış Şeması Adımları

Başla
Asal sayı (p), taban (g) ve özel anahtarları (a, b) belirle
Örnek: p = 17, g = 3, a = 5, b = 7
A = g^a mod p ve B = g^b mod p hesapla
A = 3⁵ mod 17, B = 3⁷ mod 17
A değerini Elif'e, B değerini Uğur'a gönder
Gizli anahtarları hesapla:
u = B^a mod p, e = A^b mod p
u = e ? → Evet ise güvenli iletişim kurulur, Hayır ise iletişim kurulmaz
Bitir

Matematiksel Hesaplamalar

p = 17, g = 3, a = 5, b = 7

A = 3⁵ mod 17 = 243 mod 17 = 5

B = 3⁷ mod 17 = 2187 mod 17 = 11

u = B^a mod 17 = 11⁵ mod 17 = 7

e = A^b mod 17 = 5⁷ mod 17 = 7

u = e = 7 → Güvenli iletişim kurulur

Sorular

Verilen bilgileri inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız ve fikirlerinizi arkadaşlarınızla paylaşınız.

1. Soru

Diffie-Hellman anahtar değiş tokuşu yönteminin güvenli iletişim sağlamada üstlendiği rolü açıklayınız.

Cevap:

Diffie-Hellman yöntemi, iki tarafın güvenli olmayan bir kanal üzerinden ortak bir gizli anahtar oluşturmasını sağlar. Bu anahtar, daha sonra simetrik şifreleme için kullanılır. Yöntemin güvenliği, ayrık logaritma probleminin zorluğuna dayanır. Bu sayede, üçüncü bir kişi (saldırgan) mesajları dinlese bile anahtarı hesaplayamaz ve iletişim gizli kalır.

2. Soru

Diffie-Hellman anahtar değiş tokuşu yönteminde asal sayı ve taban seçiminin önemini açıklayınız.

Cevap:

Asal sayı (p) seçimi: Büyük bir asal sayı kullanılmalıdır (örneğin 2048-bit). Küçük asal sayılar kırılgan olabilir.
Taban (g) seçimi: p'nin ilkel kökü (primitif kök) olmalıdır. Bu sayede üretilen değerler tüm grubu kapsar ve tahmin edilmesi zorlaşır.
Yanlış seçimler algoritmayı zayıflatır ve saldırılara açık hale getirir.

3. Soru

Uğur ve Elif'in cihazları hangi matematiksel işlemleri gerçekleştirerek ve mantık bağlaçlarını kullanarak iletişim kurmaya devam eder?

Cevap:

Matematiksel işlemler:
• Üs alma: g^a ve g^b
• Modüler aritmetik: (değer mod p) kalan hesaplama
• Tekrar üs alma: (gelen değer)^{kendi anahtarı} mod p

Mantık bağlacı:
• u = e → VE (eşitlik kontrolü)
• Eğer u = e VE doğrulama başarılı ise iletişim devam eder.
• Değilse iletişim sonlandırılır veya yeniden başlatılır.

Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Mantık Bağlacı	Sembol	Diffie-Hellman'daki Kullanımı
VE (ve)	∧	u = e VE doğrulama başarılı
VEYA (veya)	∨	Yeniden dene VEYA iletişimi sonlandır
DEĞİL (değil)	¬	u ≠ e → ¬(u = e)
Hepsi (∀)	∀	∀ mesajlar aynı anahtarla şifrelenir
Bazıları (∃)	∃	∃ bir saldırgan anahtarı ele geçirebilir

Özet: Diffie-Hellman algoritmasında VE (∧) bağlacı, hem Uğur hem Elif'in aynı anahtarı ürettiğini doğrulamak için kullanılır. DEĞİL (¬) ise anahtar eşitsizliğinde iletişimin başarısız olduğunu belirtir.

5.3. ALGORİTMALARDA VE MATEMATİKSEL İSPATLARDA MANTIK BAĞLAÇLARI VE NİCELEYİCİLER

Sayfa 136: 10. Uygulama

Bir Önermenin Cebirsel İspatı ve Algoritmik Yaklaşım ile Doğrulanması

Sayfa 136

1. Soru: Cebirsel İspat

"Her tek tam sayının karesi de tek sayıdır." önermesinin ilk adımı verilen cebirsel ispatını tamamlayınız.

Cebirsel İspat

1n ∈ ℤ için x = 2n + 1 olsun. (Tek sayının tanımı)

2x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1

3x² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1

42n² + 2n bir tam sayıdır. Bu sayıya k diyelim: k = 2n² + 2n

5x² = 2k + 1 olur. (2k + 1 tek sayıdır)

6Sonuç: Her tek tam sayının karesi yine tek sayıdır. ✅

Not: İspatta kullanılan mantık bağlacı: ∀n ∈ ℤ, (x = 2n+1) → (x² = 2k+1)

2. Soru: Algoritmik Doğal Dil ve Akış Şeması

Her tek tam sayının karesinin tek sayı olup olmadığını bulan bir algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil ve akış şemasıyla ifade ediniz.

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Kullanıcıdan bir tam sayı (x) al
Eğer x mod 2 = 1 ise (x tek sayıdır):
karesini hesapla: kare = x * x
Eğer kare mod 2 = 1 ise: "x tek sayıdır ve karesi de tektir" yaz
Değilse: "Hata: Tek sayının karesi çift çıktı" yaz
Değilse: "x çift sayıdır, test yapılmaz" yaz
Bitir

Akış Şeması

Başla

x mod 2 = 1 ?

Evet

kare = x²

kare mod 2 = 1 ?

Evet

"Karesi tektir"

Hayır

"Hata!"

Hayır

"Çift sayı"

Dur

Sözde Kod

1:  BAŞLA
2:  OKU x
3:  EĞER x mod 2 = 1 İSE
4:      kare = x * x
5:      EĞER kare mod 2 = 1 İSE
6:          YAZ x, "tek sayıdır ve karesi", kare, "tektir"
7:      DEĞİLSE
8:          YAZ "HATA: Tek sayının karesi tek olmalıdır!"
9:  DEĞİLSE
10:     YAZ x, "çift sayıdır"
11: BİTİR

3. Soru: Algoritmayı Test Etme

Elde ettiğiniz algoritmayı -10'dan 10'a kadar olan tek tam sayılar için test ediniz.

Sayı (x)	x Tek mi?	x²	x² Tek mi?	Sonuç
-9	✓	81	✓	Doğru
-7	✓	49	✓	Doğru
-5	✓	25	✓	Doğru
-3	✓	9	✓	Doğru
-1	✓	1	✓	Doğru
1	✓	1	✓	Doğru
3	✓	9	✓	Doğru
5	✓	25	✓	Doğru
7	✓	49	✓	Doğru
9	✓	81	✓	Doğru

Test Sonucu: -10'dan 10'a kadar olan tüm tek sayılar için kareler tek çıkmıştır. Algoritma doğru çalışmaktadır.

4. Soru: Cebirsel ve Algoritmik Yaklaşım

Elde ettiğiniz algoritmanın işleyişi ile cebirsel ispat adımları arasındaki benzerlik ve farklılıkları açıklayınız.

Benzerlikler

Her iki yaklaşım da tek sayı tanımını (2n+1) kullanır.
Her iki yaklaşım da kare alma işlemini içerir.
Her iki yaklaşım da tek/çift kontrolü yapar.
Her iki yaklaşım da ∀ (her) niceleyicisini temel alır.
Sonuç olarak her ikisi de aynı önermeyi doğrular.

Farklılıklar

Cebirsel: Tüm sayılar için genel bir ispat sunar (sonsuz küme).
Algoritmik: Belirli bir sayı aralığı için test yapar (sonlu küme).
Cebirsel: Değişkenler ve formüller kullanır.
Algoritmik: Adım adım işlem akışı ve koşullar kullanır.
Cebirsel: İspat kesin ve geneldir.
Algoritmik: Testler deneyseldir ve örneklerle sınırlıdır.

5. Soru: Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Cebirsel, sözel ve algoritmik yaklaşım ile ifade edilen ispat sürecinde hangi mantık bağlaçları ve niceleyicilere neden ihtiyaç duyulduğunu açıklayınız.

Mantık Bağlacı / Niceleyici	Sembol	Kullanım Yeri	Neden Gerekli?
Her	∀	"Her tek sayının karesi tektir."	Önermenin tüm tek sayılar için geçerli olduğunu belirtmek için.
VE	∧	x tek VE x² tek	İki koşulun birlikte sağlanması gerektiğinde.
VEYA	∨	Sayı tek VEYA çift olabilir	İki durumdan birinin doğru olması durumunda.
DEĞİL	¬	Sayı tek değilse çifttir	Bir koşulun tersini ifade etmek için.
İSE	→	Eğer x tek ise → x² tek	Koşul-sonuç ilişkisini (çıkarım) belirtmek için.

Özet: ∀x, (x tek → x² tek) önermesi; cebirsel ispatta → ile, algoritmada EĞER...İSE yapısıyla ifade edilir.

Cebirsel Gösterim

∀n ∈ ℤ, (x = 2n+1) → (x² = 2(2n²+2n)+1) → x² tek

5.3. ALGORİTMALARDA VE MATEMATİKSEL İSPATLARDA MANTIK BAĞLAÇLARI VE NİCELEYİCİLER

Sayfa 138: 5. Sıra Sizde

8 ile Bölünebilme – Önerme, İspat ve Algoritma

Sayfa 138

a) Önerme Yazma ve İspat

Üç basamaklı bir doğal sayının 8'e tam bölünüp bölünmediğini gösteren bir önerme yazıp bu önermenin doğruluğunu ispatlayınız.

Önerme

∀ x ∈ ℕ, (100 ≤ x ≤ 999) → (8 | x ⇔ son üç basamağı 8'e bölünür)
(Her üç basamaklı doğal sayı için, sayının 8'e bölünmesi ile son üç basamağının 8'e bölünmesi arasında eşdeğerlik vardır.)

Cebirsel İspat

1Üç basamaklı bir sayı x = 100a + 10b + c şeklinde yazılabilir. (a: yüzler, b: onlar, c: birler basamağı)

28 | 100 olduğunu biliyoruz. (100 = 8 × 12 + 4 → 100 ≡ 4 mod 8)

3Ancak üç basamaklı bir sayı için doğrudan 100'ün 8 ile bölümünden kalan 4'tür.

4Daha genel ispat: 1000 ≡ 0 (mod 8) olduğu için 1000'den büyük sayılar için son üç basamak yeterlidir.

5Üç basamaklı sayı x için x = 1000·0 + (100a + 10b + c) yazılabilir.

61000 ≡ 0 (mod 8) olduğundan x ≡ 100a + 10b + c (mod 8) olur.

7Sonuç: x'in 8'e bölünmesi son üç basamağının 8'e bölünmesine eşdeğerdir. ✅

8 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 8 ile tam bölünebilmesi için son üç basamağının 8 ile tam bölünmesi gerekir.

Örnekler

104 → son 3 basamak: 104 → 104 ÷ 8 = 13 → Bölünür

112 → son 3 basamak: 112 → 112 ÷ 8 = 14 → Bölünür

100 → son 3 basamak: 100 → 100 ÷ 8 = 12,5 → Bölünmez

b) Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Önermeyi ispatlamak için kullandığınız mantık bağlaçları ve niceleyicilere yönelik çıkarımlarınız ne olur? Açıklayınız.

Mantık Bağlacı / Niceleyici	Sembol	İspattaki Kullanımı	Çıkarım / Açıklama
Her	∀	∀ x ∈ ℕ (tüm üç basamaklı sayılar)	Önermenin tüm üç basamaklı sayılar için geçerli olduğunu belirtir.
Eşdeğerlik	⇔	8 \| x ⇔ son üç basamak 8 ile bölünür	İki koşulun birbirine denk olduğunu gösterir (hem gereklilik hem yeterlilik).
VE	∧	Kuralın hem yüzler, hem onlar, hem birler basamağı için geçerli olması	Tüm basamakların birlikte değerlendirilmesi gerekir.
İSE	→	Eğer son üç basamak 8'e bölünüyorsa → sayı 8'e bölünür	Koşul-sonuç ilişkisini (çıkarım) ifade eder.

Çıkarım: ∀ niceleyicisi önermenin genel geçerliğini, ⇔ bağlacı ise iki yönlü koşul sağlayarak ispatın tam ve kesin olmasını sağlar.

c) Akış Şeması

İspat adımlarından hareketle üç basamaklı bir doğal sayının 8'e tam bölünüp bölünmediğini bulan bir algoritmanın işleyişini akış şeması ile ifade ediniz.

Başla

x (100 ≤ x ≤ 999)

Giriş

sonUc = x mod 1000

İşlem

kalan = sonUc mod 8

İşlem

kalan = 0 ?

Karar

Evet

x, 8'e tam bölünür

Hayır

x, 8'e tam bölünmez

Dur

Sözde Kod

1:  BAŞLA
2:  OKU x  // 100 ≤ x ≤ 999
3:  sonUc = x mod 1000
4:  kalan = sonUc mod 8
5:  EĞER kalan = 0 İSE
6:      YAZ x, "8'e tam bölünür"
7:  DEĞİLSE
8:      YAZ x, "8'e tam bölünmez"
9:  BİTİR

Algoritma Testi

x	sonUc = x mod 1000	sonUc mod 8	Sonuç
104	104	0	Bölünür ✅
112	112	0	Bölünür ✅
100	100	4	Bölünmez ❌
111	111	7	Bölünmez ❌
128	128	0	Bölünür ✅
999	999	7	Bölünmez ❌

5.3. ALGORİTMALARDA VE MATEMATİKSEL İSPATLARDA MANTIK BAĞLAÇLARI VE NİCELEYİCİLER

Sayfa 138-139: 11. Uygulama

Bir Cebirsel İspatın Algoritmik Yaklaşımla İncelenmesi

Sayfa 138-139

1. Soru: Cebirsel İspat

Artanlığın tanımından faydalanarak "∀ a > 0 için f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyon artandır." önermesinin doğruluğunu ispatlayınız.

Cebirsel İspat

1Tanım: Bir f fonksiyonunun artan olması için her x₁, x₂ ∈ ℝ için x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂) olmalıdır.

2Varsayım: x₁, x₂ ∈ ℝ ve x₁ < x₂ olsun.

3f(x₁) = ax₁ + b ve f(x₂) = ax₂ + b yazalım.

4f(x₂) - f(x₁) = (ax₂ + b) - (ax₁ + b) = a(x₂ - x₁)

5a > 0 ve x₂ > x₁ olduğundan a(x₂ - x₁) > 0 olur.

6Dolayısıyla f(x₂) - f(x₁) > 0 → f(x₁) < f(x₂) olur.

7Sonuç: x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂) koşulu sağlandığı için f fonksiyonu artandır. ✅

Önerme: ∀a > 0, ∀x₁, x₂ ∈ ℝ, (x₁ < x₂ → ax₁ + b < ax₂ + b)

2. Soru: Sözel İfade

Yaptığınız cebirsel ispatın adımlarının her birini sözel olarak ifade ediniz.

Sözel İfadeler

1. Adım: Bir fonksiyonun artan olması için, iki farklı x değerinden küçük olanın fonksiyon altındaki görüntüsü, büyük olanın görüntüsünden küçük olmalıdır.
2. Adım: x₁ ve x₂ olmak üzere iki reel sayı seçelim ve x₁'in x₂'den küçük olduğunu varsayalım.
3. Adım: f(x) = ax + b fonksiyonunda x₁ ve x₂'nin görüntülerini hesaplayalım: f(x₁) = ax₁ + b ve f(x₂) = ax₂ + b.
4. Adım: Bu iki görüntü arasındaki farkı hesaplayalım: f(x₂) - f(x₁) = a·(x₂ - x₁).
5. Adım: a > 0 ve x₂ > x₁ olduğu için a·(x₂ - x₁) çarpımı pozitiftir.
6. Adım: f(x₂) - f(x₁) > 0 olduğu için f(x₁) < f(x₂) sonucuna varırız.
7. Adım: x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂) koşulu sağlandığı için f fonksiyonu artandır.

3. Soru: Algoritmik Doğal Dil ve Akış Şeması

Elde ettiğiniz sözel ifadelerden faydalanarak ispatın aşamalarını ifade eden bir algoritmanın işleyişini algoritmik doğal dil ve akış şeması yardımıyla ifade ediniz.

Algoritmik Doğal Dil

Başla
a > 0 olacak şekilde a değerini belirle
x₁ ve x₂ reel sayılarını oku (x₁ < x₂ olacak şekilde)
f(x₁) = a·x₁ + b hesapla
f(x₂) = a·x₂ + b hesapla
fark = f(x₂) - f(x₁) hesapla
Eğer fark > 0 ise: "f(x₁) < f(x₂), fonksiyon artandır" yaz
Değilse: "Hata: f(x₁) ≥ f(x₂), fonksiyon artan değil" yaz
Bitir

Akış Şeması

Başla

a > 0, x₁ < x₂

f(x₁) = a·x₁ + b

f(x₂) = a·x₂ + b

fark = f(x₂) - f(x₁)

fark > 0 ?

Evet

Fonksiyon ARTAN

Hayır

Hata!

Dur

Sözde Kod

1:  BAŞLA
2:  // a > 0 olacak şekilde
3:  OKU a, b, x1, x2  // x1 < x2
4:  fx1 = a * x1 + b
5:  fx2 = a * x2 + b
6:  fark = fx2 - fx1
7:  EĞER fark > 0 İSE
8:      YAZ "Fonksiyon artandır"
9:      YAZ fx1, "<", fx2
10: DEĞİLSE
11:     YAZ "Hata: Fonksiyon artan değil"
12: BİTİR

4. Soru: Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Cebirsel, sözel ve algoritmik yaklaşım ile ifade edilen ispat sürecinde mantık bağlaçları ve niceleyicilere neden ihtiyaç duyulduğunu açıklayınız.

Mantık Bağlacı / Niceleyici	Sembol	İspattaki Kullanımı	Neden Gerekli?
Her	∀	∀a > 0, ∀x₁, x₂ ∈ ℝ	Tüm pozitif a değerleri ve tüm reel sayı çiftleri için geçerliliği belirtir.
İSE	→	x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)	Koşul-sonuç ilişkisini (çıkarım) ifade eder.
VE	∧	a > 0 VE x₂ > x₁	İki koşulun birlikte sağlanması gerektiğinde.
DEĞİL	¬	¬(f(x₁) ≥ f(x₂))	Artanlık koşulunun tersini ifade etmek için.

Özet: ∀a > 0, ∀x₁, x₂ ∈ ℝ, (x₁ < x₂ → ax₁ + b < ax₂ + b)

Yaklaşımların Karşılaştırılması

Cebirsel Yaklaşım	Sözel Yaklaşım	Algoritmik Yaklaşım	Kullanılan Mantık Yapısı
∀a > 0	"Her pozitif a değeri için"	a > 0 kontrolü	∀ (Niceleyici)
x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)	"x₁ küçükse f(x₁) de küçüktür"	EĞER x₁ < x₂ İSE	→ (İSE)
a > 0 ∧ x₂ > x₁	"a pozitif ve x₂ büyük"	VE bağlacı ile kontrol	∧ (VE)
f(x₂) - f(x₁) > 0	"Fark pozitif"	fark > 0 kontrolü	Karşılaştırma

5.3. ALGORİTMALARDA VE MATEMATİKSEL İSPATLARDA MANTIK BAĞLAÇLARI VE NİCELEYİCİLER

Sayfa 140: Alıştırmalar

Çarpımı Sıfır Olan İki Gerçek Sayı – İspat ve Algoritma

Sayfa 140

Önerme

"Çarpımı sıfır olan iki gerçek sayıdan en az biri sıfırdır."
∀ x, y ∈ ℝ, (x · y = 0 → x = 0 ∨ y = 0)

a) Cebirsel İspat

Önermenin doğruluğunu ispatlayınız.

Cebirsel İspat

1Varsayım: x, y ∈ ℝ ve x · y = 0 olsun.

2Yöntem: x ≠ 0 olduğunu varsayalım ve y'yi bulalım.

3x ≠ 0 olduğu için denklemin her iki tarafını x ile bölebiliriz.

4(x · y) / x = 0 / x → y = 0 elde edilir.

5Benzer şekilde y ≠ 0 varsayılırsa x = 0 bulunur.

6Sonuç: x · y = 0 ise x = 0 veya y = 0 olmalıdır. ✅

Mantık Gösterimi: ∀x, y ∈ ℝ, (x · y = 0 → x = 0 ∨ y = 0)

b) Sözel İfade ve Mantık Bağlaçları

Yaptığınız cebirsel ispatın her bir adımını sözel olarak ifade ediniz. Önermenin doğruluğunu ispatlamak için kullandığınız mantık bağlaçları ve niceleyicilere yönelik çıkarımlarınız ne olur? Açıklayınız.

Sözel İfadeler

İki gerçek sayı x ve y olsun ve çarpımlarının sıfır olduğunu varsayalım.
Eğer x sıfır değilse, denklemi x'e bölebiliriz.
Bu durumda y = 0 bulunur.
Eğer y sıfır değilse, benzer şekilde x = 0 bulunur.
Dolayısıyla çarpım sıfır ise sayılardan en az biri sıfırdır.

Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

∀ (Her): Tüm x, y reel sayıları için önerme geçerlidir.
→ (İSE): x·y = 0 ise x = 0 veya y = 0'dır.
∨ (VEYA): x = 0 veya y = 0'dır.
∧ (VE): x ≠ 0 ve x·y = 0 → y = 0
¬ (DEĞİL): x ≠ 0 (x'in sıfır olmaması durumu)

c) Algoritmanın İfade Edilmesi

Elde ettiğiniz sözel ifadelerden faydalanarak ispatın aşamalarını ifade eden bir algoritmanın işleyişini sözde kod, algoritmik doğal dil ve akış şeması yardımıyla ifade ediniz.

Sözde Kod

1:  BAŞLA
2:  OKU x, y
3:  EĞER x = 0 VEYA y = 0 İSE
4:      YAZ "Önerme doğru (en az biri sıfır)"
5:  DEĞİLSE
6:      carpim = x * y
7:      EĞER carpim = 0 İSE
8:          YAZ "HATA: x ve y sıfır değil ama çarpım sıfır"
9:      DEĞİLSE
10:         YAZ "Önerme bu durumda doğrulanamaz"
11: BİTİR

Algoritmik Doğal Dil

Başla
Kullanıcıdan x ve y gerçek sayılarını al
Eğer x = 0 veya y = 0 ise: "Önerme doğru: En az biri sıfırdır" yaz
Değilse: çarpım = x · y hesapla
Eğer çarpım = 0 ise: "Hata: x ve y sıfır değil ama çarpım sıfır" yaz
Değilse: "Önerme doğrulanamadı" yaz
Bitir

Akış Şeması

Başla

x, y

x = 0 ∨ y = 0 ?

Evet

"En az biri sıfır"

Hayır

çarpım = x·y

çarpım = 0 ?

Evet

"Hata!"

Hayır

"Doğrulanamaz"

Dur

Özet: Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Mantık Bağlacı / Niceleyici	Sembol	İspattaki Kullanımı	Algoritmadaki Karşılığı
Her	∀	Tüm x, y ∈ ℝ	Herhangi bir giriş değeri
İSE	→	x·y = 0 → x = 0 ∨ y = 0	EĞER...İSE
VEYA	∨	x = 0 ∨ y = 0	VEYA bağlacı
VE	∧	x ≠ 0 ∧ y ≠ 0	VE bağlacı
DEĞİL	¬	¬(x = 0) → x ≠ 0	DEĞİL (ters kontrol)

Sonuç: Cebirsel ispatta ∀, →, ∨ kullanılmıştır. Algoritmada ise bu yapılar EĞER, VEYA, VE ile karşılanır.

Matematikte Başarının Adresi

Sayfalara Git

Sayfalara Git

Sayfa 135: Konuya Başlarken

Kriptoloji ve Diffie-Hellman

Diffie-Hellman Anahtar Değiş Tokuşu Akış Şeması

Sorular

Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Sayfa 136: 10. Uygulama

1. Soru: Cebirsel İspat

2. Soru: Algoritmik Doğal Dil ve Akış Şeması

3. Soru: Algoritmayı Test Etme

4. Soru: Cebirsel ve Algoritmik Yaklaşım

5. Soru: Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Sayfa 138: 5. Sıra Sizde

a) Önerme Yazma ve İspat

b) Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

c) Akış Şeması

Sayfa 138-139: 11. Uygulama

1. Soru: Cebirsel İspat

2. Soru: Sözel İfade

3. Soru: Algoritmik Doğal Dil ve Akış Şeması

4. Soru: Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Sayfa 140: Alıştırmalar

Önerme

a) Cebirsel İspat

b) Sözel İfade ve Mantık Bağlaçları

c) Algoritmanın İfade Edilmesi

Neden Matemantik?

MEB Uyumlu

Adım Adım Çözüm

Her Yerde Erişim

Sorularınız mı var?