Sayfalara Git
Sayfa 76: Konuya Başlarken
Camera Obscura ve benzerlik ilişkileri
Camera Obscura (İğne Deliği Düzeneği)
İngilizcede pinhole (pinhol) olarak bilinen iğne deliği ve camera obscura (kamera obskura) adı verilen karanlık kutudan oluşan düzenek günümüzde fotoğraf makinesinin en eski ve ilkel formu kabul edilir. Bu düzenekte bir nesnenin görüntüsünün karanlık kutu içinde oluşma mekanizması şu şekilde çalışır: Işık geçirmez kutunun bir yüzeyine küçük bir delik açılır. Kutunun dışındaki nesneden yansıyan ışık, bu delikten geçerek deliğin karşısındaki yüzeye düşer ve ışığın düştüğü yüzeyde nesnenin baş aşağı bir görüntüsü oluşur.
Şekil 1: Camera Obscura düzeneği ve benzer üçgen ilişkisi
Üçgenlerin İncelenmesi
Görselden hareketle birer kenarını nesne ve nesnenin karanlık kutudaki görüntüsünün oluşturduğu üçgenleri inceleyiniz. İncelediğiniz üçgenlerin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri belirleyiniz.
Nesne ile görüntü arasında oluşan üçgenler benzer üçgenlerdir.
Işık ışınları doğrusal yayıldığı için delik noktasından geçen ışınlar, nesnenin üst ve alt noktaları ile görüntünün karşılık gelen noktaları arasında benzer üçgenler oluşturur.
Bu üçgenlerde açılar eşit (ters açılar ve paralellikten dolayı), kenarlar orantılıdır.
İlişki: Nesne boyu / Görüntü boyu = Nesne uzaklığı / Görüntü uzaklığı
Gerekli Bilgiler
Birinci soruda ulaştığınız ilişkilerden hareketle karanlık kutuda oluşan görüntünün uzunluğunu bulabilmek için başka hangi bilgilere ihtiyaç duyulacağını belirleyiniz.
Görüntünün uzunluğunu bulmak için aşağıdaki bilgilere ihtiyaç vardır:
- Nesnenin gerçek uzunluğu (örneğin ağacın boyu)
- Nesnenin iğne deliğine olan uzaklığı
- İğne deliği ile perde (görüntünün oluştuğu yüzey) arasındaki uzaklık
Bu üç bilgi ile benzerlik oranı kullanılarak görüntü boyu hesaplanabilir.
Strateji Oluşturma
Nesnenin uzunluğu verildiğinde karanlık kutuda oluşan görüntünün uzunluğunu bulabilmek için gerekli stratejiyi oluşturunuz.
Strateji:
- Nesnenin uzunluğu ($|AB|$) ölçülür.
- Nesnenin iğne deliğine uzaklığı ($|AD|$) ölçülür.
- İğne deliğinin perdeye uzaklığı ($|DE|$) ölçülür.
- Oluşan benzer üçgenlerden orantı kurulur:
Bu orantıdan görüntü boyu ($|A'B'|$) bulunur: $|A'B'| = \dfrac{|AB| \cdot |DE|}{|AD|}$
Temel Çıkarım
Camera Obscura düzeneğinde, nesne ile görüntü arasında benzer üçgenler oluşur. Nesne boyu, nesne uzaklığı, görüntü uzaklığı ve görüntü boyu arasında $\dfrac{\text{Nesne Boyu}}{\text{Görüntü Boyu}} = \dfrac{\text{Nesne Uzaklığı}}{\text{Görüntü Uzaklığı}}$ orantısı vardır. Bu orantı kullanılarak bilinmeyen uzunluklar hesaplanabilir.
Sayfa 76-78: 13. Uygulama
Çanta askısı problemi – Benzerlik ile uzunluk bulma
Problem
Aşağıdaki görselde dikdörtgen şeklindeki iki çantanın zemine paralel olacak şekilde monte edilmiş bir askılıktaki durumları verilmiştir. Her iki çantanın kısa kenarının uzunluğunun uzun kenarının uzunluğuna oranı \( \frac{3}{5} \)'tir.
Şekil 1: Çantaların askılıktaki durumu
Çantaların uzun kenarlarının uzunlukları sırasıyla 70 cm ve 35 cm'dir. Ardışık kolları arasındaki mesafe 5 cm olan askılığa turuncu ve kırmızı çantalar uzun kenarları yere paralel olacak şekilde asılmıştır. Yerden yüksekliği 42 cm olan turuncu çantanın kordon uzunluğu 78 cm, kırmızı çantanın yerden yüksekliği 67 cm'dir. Kırmızı çantanın kordon uzunluğunun kaç cm olduğu bulunmak istenmektedir.
1. Veriler ile Sonuç Arasındaki İlişkiler
Kırmızı çantanın kordon uzunluğuna ilişkin problemin verileri ile ulaşılmak istenen sonuç arasındaki ilişkileri belirleyiniz.
Verilenler:
- Turuncu çanta uzun kenarı: 70 cm
- Kırmızı çanta uzun kenarı: 35 cm
- Kısa kenar / Uzun kenar = 3/5 (her iki çanta için)
- Ardışık kollar arası mesafe: 5 cm
- Turuncu çanta yerden yüksekliği: 42 cm
- Turuncu çanta kordon uzunluğu: 78 cm
- Kırmızı çanta yerden yüksekliği: 67 cm
İstenen: Kırmızı çantanın kordon uzunluğu
İlişkiler:
- Çantaların kenar oranları eşit olduğu için benzer dikdörtgenlerdir.
- Kordon uzunluğu, çantanın asıldığı yüksekliği belirler.
- Askı kolları arasındaki mesafe, çantaların konumunu etkiler.
- Yerden yükseklik ve kordon uzunluğu arasında doğrusal bir ilişki vardır.
2. Aynı Oranın Anlamı
Problemdeki çantaların uzun ve kısa kenarlarının uzunluklarının aynı oranda olması ne anlama gelmektedir? Açıklayınız.
Cevap:
Her iki çantanın da kısa kenar / uzun kenar oranı \( \frac{3}{5} \) olduğu için çantalar benzer dikdörtgenlerdir.
Bu, çantaların birbirinin ölçekli (benzer) kopyaları olduğu anlamına gelir.
Turuncu çantanın uzun kenarı 70 cm ise kısa kenarı: \( 70 \cdot \frac{3}{5} = 42 \) cm'dir.
Kırmızı çantanın uzun kenarı 35 cm ise kısa kenarı: \( 35 \cdot \frac{3}{5} = 21 \) cm'dir.
Benzerlik oranı: \( \dfrac{35}{70} = \dfrac{21}{42} = \dfrac{1}{2} \)
3. Oluşturulan Dörtgenler Arasındaki İlişki
Problemdeki çantaların kordonları ve birer kenarı kullanılarak oluşturulan iki dörtgen arasında bir ilişki olup olmadığını açıklayınız.
Cevap:
Her bir çanta için kordon ve çantanın bir kenarı ile oluşan dörtgenler benzer dörtgenlerdir.
Turuncu çanta için: Kordon (78 cm) ve çanta kenarı (70 cm) ile oluşan dikdörtgen benzer şekilde, kırmızı çanta için de kordon ve çanta kenarı ile oluşan dikdörtgen benzerdir.
Benzerlik oranı: \( \dfrac{35}{70} = \dfrac{1}{2} \)
Bu durumda kırmızı çantanın kordon uzunluğu, turuncu çantanın kordon uzunluğunun \( \frac{1}{2} \)'si kadar olmalıdır.
4. Problemin Matematiksel İfadesi
İlk 3 soruya verdiğiniz cevaplardan hareketle problemin matematiksel bileşenlerini ve bu bileşenler arasındaki ilişkileri problemin bağlamına uygun şekilde, matematiksel olarak ifade edip kendi cümleleriniz ile açıklayınız.
Matematiksel Bileşenler:
- Turuncu çanta uzun kenarı: \( a_1 = 70 \) cm
- Kırmızı çanta uzun kenarı: \( a_2 = 35 \) cm
- Oran: \( \dfrac{3}{5} \) (kısa kenar / uzun kenar)
- Turuncu çanta kordonu: \( k_1 = 78 \) cm
- Turuncu çanta yerden yüksekliği: \( y_1 = 42 \) cm
- Kırmızı çanta yerden yüksekliği: \( y_2 = 67 \) cm
- Kollar arası mesafe: \( d = 5 \) cm
İlişkiler:
- Benzerlik oranı: \( \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{35}{70} = \dfrac{1}{2} \)
- Kırmızı çanta kısa kenarı: \( b_2 = 35 \cdot \dfrac{3}{5} = 21 \) cm
- Kordon ile yerden yükseklik arasındaki fark: \( k_1 - y_1 = 78 - 42 = 36 \) cm
- Bu fark, askı kolları arasındaki mesafe ve çanta kenarları ile ilişkilidir.
5-6. Strateji ve Çözüm
5. Problemin matematiksel ifadesi ve açıklamanızdan hareketle planlı şekilde ve bilimsel bir bakış açısıyla problemin çözümüne ilişkin bir strateji oluşturunuz.
6. Belirlediğiniz stratejiyi sistematik şekilde uygulayarak problemin çözümünü yapınız.
Strateji:
- Çantaların benzerlik oranını hesapla: \( \dfrac{35}{70} = \dfrac{1}{2} \)
- Turuncu çanta için kordon-yükseklik farkını bul: \( 78 - 42 = 36 \) cm
- Bu fark, askı kolları arasındaki mesafe ve çanta kenarları ile orantılıdır.
- Kırmızı çanta için benzer oran kullanılarak kordon-yükseklik farkı bulunur.
- Kırmızı çanta kordonu = Kırmızı çanta yüksekliği + Fark
Çözüm:
Adım 1: Benzerlik oranı \( k = \dfrac{1}{2} \)
Adım 2: Turuncu çanta için fark: \( 78 - 42 = 36 \) cm
Adım 3: Benzerlik oranı ile kırmızı çanta farkı: \( 36 \cdot \dfrac{1}{2} = 18 \) cm
Adım 4: Kırmızı çanta kordonu: \( 67 + 18 = 85 \) cm
7. Çözümün Kontrolü ve Karşılaştırma
Çözümünüzü kontrol ederek arkadaşlarınızın çözüm yollarını ve stratejilerini eleştirel bir bakış açısıyla inceleyiniz.
Kontrol:
- Turuncu çanta: 78 cm kordon, 42 cm yerden yükseklik → Fark = 36 cm
- Kırmızı çanta: 85 cm kordon, 67 cm yerden yükseklik → Fark = 18 cm
- Farklar oranı: \( \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2} \) (benzerlik oranı ile uyumlu)
Farklı Stratejiler:
- Doğru orantı ile çözüm: Benzerlik oranı doğrudan kordon uzunluğuna uygulanabilir.
- Ancak yerden yükseklikler farklı olduğu için doğrudan orantı yanlış sonuç verir.
- Doğru yöntem: Farkları benzerlik oranı ile ölçeklemektir.
8. Stratejinin Diğer Problemlerde Kullanımı
Çözüme ulaşmayı sağlayan stratejilerin başka hangi tür problemlerin çözümünde kullanılabileceğine ilişkin fikirlerinizi gerçekleştirebilirsiniz.
Kullanım Alanları:
- Benzer şekillerin boyutlandırılması: Herhangi iki benzer cismin karşılıklı uzunluklarının hesaplanması
- Ölçekli çizimler: Harita, plan, maket gibi çalışmalarda
- Gölge problemleri: Benzer üçgenler ile yükseklik hesaplama
- Fotoğraf makinesi ve projektör: Benzerlik ile görüntü boyutu hesaplama
- Mimari projeler: Bina ve modelleri arasındaki orantılar
9-10. Farklı Durumların Değerlendirilmesi
9. Farklı stratejilerle ilgili çıkarımlarınızın geçerliliğini değerlendirmek amacıyla aşağıda verilen durumlarda stratejinizin geçerli olup olmayacağını açıklayınız.
10. 9. soruda verilen durumlarda problemin çözümü için gerekli verilerin, çözüm için kullandığınız geometrik kavramların ve çözüm stratejinizin değişip değişmeyeceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız.
a) Farklı geometrik şekiller (kare, üçgen, daire, altıgen):
- Benzerlik oranı yine kullanılabilir ancak şeklin geometrik özelliklerine göre formüller değişir.
- Kare için: kenar uzunlukları orantılıdır.
- Üçgen için: benzerlik oranı ile yükseklikler ve kenarlar orantılıdır.
- Daire için: yarıçap oranı kullanılır.
- Altıgen için: kenar uzunlukları orantılıdır.
b) Tek bir askı kolu kullanılması:
- Bu durumda çantalar aynı noktadan asılır.
- Kordon uzunlukları doğrudan yerden yükseklikle ilişkilidir.
- Benzerlik oranı yine kullanılabilir ancak kollar arası mesafe verisi kullanılmaz.
c) Farklı geometrik şekiller (dikdörtgen-üçgen, kare-eşkenar üçgen):
- Çantalar farklı şekillerde ise doğrudan benzerlik kurulamaz.
- Her şekil için ayrı geometrik ilişkiler kurulmalıdır.
- Strateji tamamen değişir, doğrudan orantı yerine şekle özgü formüller kullanılır.
- Bu durumda problem daha karmaşık hale gelir ve ek verilere ihtiyaç duyulur.
Sayfa 80: 16. Sıra Sizde
Tahterevalli problemi – Benzerlik ve oran
Problem
Doğrusal bir tahta parçası ve bu parçaya $C$ noktasından monte edilmiş metal bir desteğin oluşturduğu eşit kollu olmayan bir tahterevalli yapılmıştır.
Şekil 1 ve Şekil 2: Tahterevallinin iki farklı konumu
Yukarıdaki şekillerde düz bir zemine $K$ noktasında dik yerleştirilen bu tahterevallinin iki farklı konumu modellenmiştir. Tahterevallinin $A$ ucu Şekil 1'deki gibi yere değdiğinde $B$ ucunun yerden yüksekliği 120 cm, $B$ ucu Şekil 2'deki gibi yere değdiğinde $A$ ucunun yerden yüksekliği 60 cm olarak ölçülmüştür.
(Tahterevallinin kalınlığı ihmal edilecektir.)
Desteğin Uzunluğu
Tahterevalliye yerleştirilen desteğin uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: Şekil 1'de $A$ noktası yerde, $B$ noktasının yüksekliği 120 cm.
Bu durumda $C$ desteğinin bulunduğu noktada yükseklik benzerlikten bulunur.
Adım 2: Şekil 2'de $B$ noktası yerde, $A$ noktasının yüksekliği 60 cm.
Adım 3: $C$ noktası sabit olduğu için her iki durumda da $C$'nin yerden yüksekliği aynıdır (desteğin uzunluğu).
Adım 4: Benzerlik oranları:
Şekil 1: $\dfrac{|CK|}{|BK|} = \dfrac{|AC|}{|AB|}$
Şekil 2: $\dfrac{|CK|}{|AK|} = \dfrac{|BC|}{|AB|}$
Adım 5: $|AB| = |AC| + |BC|$ ve $|CK| = h$ olsun.
Şekil 1: $\dfrac{h}{120} = \dfrac{|AC|}{|AC| + |BC|}$ ... (1)
Şekil 2: $\dfrac{h}{60} = \dfrac{|BC|}{|AC| + |BC|}$ ... (2)
Adım 6: (1) ve (2)'yi toplayalım:
$\dfrac{h}{120} + \dfrac{h}{60} = \dfrac{|AC| + |BC|}{|AC| + |BC|} = 1$
$\dfrac{h}{120} + \dfrac{2h}{120} = \dfrac{3h}{120} = 1$
$3h = 120 \Rightarrow h = 40$ cm
Eşit Kollu Durum
Tahterevalli eşit kollu olacak şekilde tasarlanırsa tahterevallinin $A$ ucunun yere inmesi durumunda $B$ ucunun yerden yüksekliğinin kaç cm olacağını bulunuz.
Adım 1: Eşit kollu tahterevallide $|AC| = |BC|$'dir.
Adım 2: $|CK| = 40$ cm (a şıkkından).
Adım 3: $A$ ucu yerde iken benzerlikten:
$\dfrac{|CK|}{|BK|} = \dfrac{|AC|}{|AB|}$
Adım 4: $|AC| = |BC|$ olduğu için $\dfrac{|AC|}{|AB|} = \dfrac{1}{2}$'dir.
$\dfrac{40}{|BK|} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow |BK| = 80$ cm
Desteğin Kaydırılması
Tahterevalli Şekil 1'deki konumunda iken $|AK| = 30$ cm'dir. Tahterevallinin zemine paralel konumda dengede kalabilmesi için metal desteğin tahta parçasının hangi ucuna doğru, kaç cm hareket ettirilmesi gerektiğini bulunuz.
Adım 1: Şekil 1'de $|AK| = 30$ cm, $|CK| = 40$ cm (a şıkkından).
Adım 2: $|AC| = |AK| + |CK| = 30 + 40 = 70$ cm
Adım 3: Şekil 1'deki benzerlikten:
$\dfrac{|CK|}{|BK|} = \dfrac{|AC|}{|AB|} \Rightarrow \dfrac{40}{120} = \dfrac{70}{|AB|}$
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{70}{|AB|} \Rightarrow |AB| = 210$ cm
Adım 4: $|BC| = |AB| - |AC| = 210 - 70 = 140$ cm
Adım 5: Zemine paralel dengede olması için $C$ noktası tam orta noktada olmalıdır.
Yani $|AC| = |BC| = \dfrac{210}{2} = 105$ cm olmalıdır.
Adım 6: $C$'nin yeni konumu $C'$ olsun. $|AC'| = 105$ cm.
$C$'den $C'$'ye hareket miktarı: $105 - 70 = 35$ cm
Adım 7: Hangi yöne? $|AC|$ arttığı için $C$ noktası $B$ ucuna doğru hareket etmelidir.
Çözüm Özeti
- a) Desteğin uzunluğu ($|CK|$) = 40 cm
- b) Eşit kollu durumda B ucunun yüksekliği = 80 cm
- c) Desteği B ucuna doğru 35 cm hareket ettirmeli
- Kullanılan yöntem: Benzer üçgenler ve orantı
Sayfa 81: 17. Sıra Sizde
Gözlem kulesi – Öklid teoremi ile yükseklik bulma
Problem
Şekilde bir gözlem kulesi verilmiştir. Gözlem kulesinin yerden yüksekliği \( |BC| = 8 \) m, merdivenin zemin ile temas ettiği noktanın kuleye uzaklığı \( |AB| = 6 \) m'dir.
Şekil 1: Gözlem kulesi ve merdiven
Merdiven destek direği \( [BH] \), \( [AC] \)'na dik olduğuna göre \( |BH| \)'nin kaç m olduğunu bulunuz.
Çözüm
Adım 1: \( ABC \) dik üçgeninde \( [BC] \perp [AB] \) olduğu için \( B \) açısı \( 90^\circ \)'dir.
$|AB| = 6$ m ve $|BC| = 8$ m'dir.
Adım 2: Pisagor Teoremi'nden $|AC|$'yi bulalım:
$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$|AC| = \sqrt{100} = 10$ m
Adım 3: $[BH] \perp [AC]$ olduğu için $[BH]$, $ABC$ dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliktir.
Öklid Teoremi'ne göre bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımının kareköküne eşittir.
Ancak burada yüksekliği doğrudan bulmak için alan yöntemini kullanalım.
Adım 4: $ABC$ dik üçgeninin alanı iki farklı şekilde hesaplanır:
$A(ABC) = \dfrac{|AB| \cdot |BC|}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ m²
Aynı alan $[BH]$ yüksekliği ile de hesaplanabilir:
$A(ABC) = \dfrac{|AC| \cdot |BH|}{2} = \dfrac{10 \cdot |BH|}{2} = 5 \cdot |BH|$
Adım 5: Alanlar eşit olduğu için:
$5 \cdot |BH| = 24 \Rightarrow |BH| = \dfrac{24}{5} = 4.8$ m
Not: Bu çözümde dik üçgenin alanı kullanılarak hipotenüse ait yükseklik hesaplanmıştır. Ayrıca Öklid teoremi ile de çözülebilir.
Sayfa 83: 18. Sıra Sizde
Lamba direği ve gölge problemi – Benzerlik
Problem
Aşağıdaki görselde doğrusal bir yol üzerinde bulunan $A$ ve $B$ noktalarına yerleştirilmiş iki lamba direği bulunmaktadır. Bu direkler arasında ise 2 metre boyunda olan Necati yer almaktadır. $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklık 18 metredir. $A$ ve $B$ direklerindeki lambaların yerden yüksekliği sırasıyla 6 ve 10 metredir. Lambaların $K$ noktasında bulunan Necati'nin her iki tarafında oluşturduğu gölgelerin boyları birbirine eşittir.
Şekil 1: Lamba direkleri ve Necati'nin gölgeleri
Gölge Boyu
Lambalardan herhangi birinin oluşturduğu gölgenin boyunun kaç metre olduğunu bulunuz.
Adım 1: Necati'nin boyu $|NK| = 2$ m, A direği yüksekliği $|AL| = 6$ m, B direği yüksekliği $|BM| = 10$ m.
Adım 2: Necati $K$ noktasında iken $A$ direğinden oluşan gölge $|AK|$ olsun.
$B$ direğinden oluşan gölge $|KB|$ olsun.
Gölge boyları eşit olduğu için $|AK| = |KB|$'dir.
$|AB| = 18$ m olduğu için $|AK| = |KB| = 9$ m'dir.
Adım 3: $A$ direğinin oluşturduğu gölge için benzerlik:
$ALK$ üçgeni ile $NK$'nin oluşturduğu üçgen benzerdir.
$\dfrac{|AL|}{|NK|} = \dfrac{|AK| + |Gölge|}{|Gölge|}$
$\dfrac{6}{2} = \dfrac{9 + x}{x} \Rightarrow 3 = \dfrac{9 + x}{x}$
$3x = 9 + x \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = 4.5$ m
Yürüyebileceği Maksimum Mesafe
K noktasında bulunan Necati, B noktasındaki lamba direğine doğru yürümektedir. Gölgesinin B noktasındaki direğin diğer tarafına geçmemesi için Necati'nin yürüyebileceği mesafenin en fazla kaç m olması gerektiğini bulunuz.
Adım 1: Necati $B$'ye doğru $t$ metre yürüsün. Yeni konumu $K'$ olsun.
$|BK'| = 9 - t$ (başlangıçta $|BK| = 9$ m idi).
Adım 2: Gölgenin $B$ direğinin diğer tarafına geçmemesi için, B direğinden oluşan gölgenin ucu $B$ noktasını geçmemelidir.
Yani $|K'B| \le x$ olmalıdır (x: gölge boyu).
Adım 3: $B$ direğinden oluşan gölge için benzerlik:
$\dfrac{|BM|}{|NK|} = \dfrac{|BK'| + x'}{x'}$
Burada $x'$, $B$ direğinden oluşan gölgenin boyudur.
Adım 4: $|BM| = 10$ m, $|NK| = 2$ m, $|BK'| = 9 - t$.
$\dfrac{10}{2} = \dfrac{9 - t + x'}{x'} \Rightarrow 5 = \dfrac{9 - t + x'}{x'}$
$5x' = 9 - t + x' \Rightarrow 4x' = 9 - t \Rightarrow x' = \dfrac{9 - t}{4}$
Adım 5: Gölge ucu $B$'yi geçmemesi için $x' \le 9 - t$ olmalıdır.
$\dfrac{9 - t}{4} \le 9 - t \Rightarrow 1 \le 4$ (her zaman doğru)
Asıl sınır: Gölge ucu $B$'den büyük olmamalı. $x' \le |BK'| = 9 - t$
$\dfrac{9 - t}{4} \le 9 - t \Rightarrow$ her zaman doğru.
Adım 6: A direğinden oluşan gölgenin ucu A'yı geçmemesi için:
Necati $B$'ye doğru yürüdüğü için A'dan gölge uzar.
A direği için: $|AK'| = 9 + t$, $x_A$ A'dan oluşan gölge boyu.
$\dfrac{6}{2} = \dfrac{9 + t + x_A}{x_A} \Rightarrow 3 = \dfrac{9 + t + x_A}{x_A}$
$3x_A = 9 + t + x_A \Rightarrow 2x_A = 9 + t \Rightarrow x_A = \dfrac{9 + t}{2}$
Adım 7: Gölgenin A direğinin diğer tarafına geçmemesi için $x_A \le |AK'| = 9 + t$ olmalıdır.
$\dfrac{9 + t}{2} \le 9 + t \Rightarrow 1 \le 2$ (her zaman doğru).
Adım 8: Necati'nin $B$'ye ulaşana kadar yürüyebileceği maksimum mesafe: $t_{max} = 9$ m (başlangıçta $|BK| = 9$ m olduğu için).
Sayfa 83: Performans Görevi
Tahterevalli performans ödevi dokümanı
Ödev Dokümanı Ön İzlemesi
Sayfa 85: Alıştırmalar
Benzerlik ile ilgili alıştırma soruları
1. Soru (Çubuk Mekanizması)
Zübeyde öğretmen, öğrencilerine üçgenlerde benzerlik konusunu anlatmak için $B$ ve $C$ noktaları etrafında dönebilen üç çubuğun oluşturduğu bir mekanizma tasarlamıştır. Şekil 1'deki $[AB]$, $[BC]$ ve $[CD]$ çubuklarının uzunlukları sırasıyla 17, 12 ve 18 cm'dir. Zübeyde öğretmen, $[AB]$ ve $[CD]$ çubuklarını oklar yönünde döndürerek Şekil 2'de gösterildiği gibi $K$ noktasında sabitliyor; oluşan şekilde $A$ ile $D$ noktaları arasına bir çubuk daha koyuyor.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
- $|AB| = 17$ cm
- $|BC| = 12$ cm
- $|CD| = 18$ cm
- Şekil 2'de $K$ noktasında sabitlenince:
- $|AK| = 8$ cm $\Rightarrow |BK| = 17 - 8 = 9$ cm
- $|DK| = 12$ cm $\Rightarrow |KC| = 18 - 12 = 6$ cm
- $|BC| = 12$ cm (sabit)
Adım 1: $K$ noktasındaki ters açılardan dolayı $\angle BKC = \angle DKA$'dır.
Adım 2: Kenar oranlarını inceleyelim:
$\dfrac{KC}{AK} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{BK}{DK} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$
Adım 3: Kenar oranları eşit ($\dfrac{3}{4}$) ve aralarındaki açılar aynı olduğu için Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) benzerliği vardır.
$\triangle KCB \sim \triangle KAD$
Adım 4: Benzerlik oranı:
$\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{12}{AD} = \dfrac{3}{4}$
$3 \cdot AD = 48 \Rightarrow AD = 16$ cm
Adım 1: Düzenek $[AD] \parallel [BC]$ olacak şekilde ayarlandığında, iç ters açılardan dolayı yeni bir benzerlik kurulur.
$\triangle K'BC \sim \triangle K'DA$
Adım 2: Yeni durumda $K$ noktasının $C$'ye olan uzaklığına $x$ diyelim:
$|K'C| = x$
Adım 3: $[CD]$ çubuğunun toplam uzunluğu 18 cm olduğundan:
$|K'D| = 18 - x$
Adım 4: Paralellikten doğan benzerlik oranı:
$\dfrac{|K'C|}{|K'D|} = \dfrac{|BC|}{|AD|}$
$\dfrac{x}{18 - x} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}$
Adım 5: İçler-dışlar çarpımı:
$4x = 3(18 - x)$
$4x = 54 - 3x$
$7x = 54$
$x = \dfrac{54}{7} \approx 7.71$ cm
Adım 6: Yer değiştirme miktarı:
- İlk durumda $|KC| = 6$ cm
- İkinci durumda $|K'C| = \dfrac{54}{7} \approx 7.71$ cm
Yer Değiştirme $= \dfrac{54}{7} - 6 = \dfrac{54}{7} - \dfrac{42}{7} = \dfrac{12}{7} \approx 1.71$ cm
2. Soru (Lazer ile Uzaklık Ölçme)
Evinin bulunduğu $H$ noktasından arkadaşı Halük'un evini görebilen Gonca, Halük'un evi ile kendi evi arasındaki uzaklığı hesaplamak için aşağıdaki adımları uyguluyor:
- L şeklinde bir cetvelin iki kenarına Şekil 1'deki gibi lazer yerleştiriyor.
- 2 metrelik bir sopayı evinin bulunduğu $H$ noktasında zemine dik şekilde konumlandırıyor.
- Lazer ışınlarından biri Halük'un evinde belirecek şekilde cetveli $T$ noktasında sopanın üzerine Şekil 2'deki gibi sabitliyor.
Gonca, bu adımları uyguladıktan sonra diğer kenardaki lazer ışının yerde belirdiği $A$ noktası ile $H$ noktası arasındaki mesafeyi 5 cm olarak ölçüyor. Halük'un evinin lazer ışının $AH$ üzerinde belirdiği noktada olduğu bilinmektedir.
Buna göre Halük'un evinin Gonca'nın evine uzaklığının kaç m olduğunu bulunuz.
Adım 1: Sopa $[HT]$ zemine dik olduğu için $|HT| = 2$ m'dir.
$|AH| = 5$ cm = 0.05 m.
Adım 2: L şeklindeki cetvelin iki kenarı dik olduğu için lazerler arasındaki açı 90°'dir.
Adım 3: $HTA$ dik üçgeninde:
$|TA| = \sqrt{|HT|^2 + |HA|^2} = \sqrt{2^2 + 0.05^2} = \sqrt{4.0025} \approx 2.0006$ m
Adım 4: Benzerlik oranı:
$\dfrac{|TA|}{|HA|} = \dfrac{2.0006}{0.05} \approx 40$
Adım 5: Halük'un evi ile Gonca'nın evi arasındaki uzaklık:
$40 \times 2 = 80$ m
Sayfa 86: Alıştırmalar
Tablet ekranı ve benzerlik problemleri
Problem
Gülşah'ın tabletinin ekranı dikdörtgen şeklindedir. Ekranın kısa kenarının uzunluğu 12 cm, uzun kenarının uzunluğu 18 cm'dir. Gülşah tabletinde Şekil 1'de görülen $ABC$ dik üçgenini inceliyor. Bunun için önce üçgenin $AB$ dik kenarını Şekil 2'de gösterildiği gibi tabletin kısa kenarı kadar büyütüyor ve üçgenin ekranın üst kenarında 3 cm'lik bir kısmı kapladığını görüyor. Daha sonra tabletin ekranını Şekil 3'teki gibi döndürerek üçgenin $AB$ kenarını ekranın uzun kenarı kadar büyütüyor ve üçgenin ekranın üst kenarında kapladığı kısmı $x$ cm olarak ölçüyor.
Şekil 1, 2 ve 3: Tablet ekranında üçgenin büyütülmesi
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
$x$ Uzunluğu
$x$'in kaç santimetre olduğunu bulunuz.
Adım 1: Ekran boyutları: kısa kenar = 12 cm, uzun kenar = 18 cm.
Adım 2: Şekil 2'de $AB$ dik kenarı tabletin kısa kenarı kadar (12 cm) büyütülüyor.
Üçgenin ekranın üst kenarında kapladığı kısım 3 cm.
Bu durumda $ABC$ dik üçgeninde $|AB| = 12$ cm, $|BC| = 3$ cm'dir.
Adım 3: $ABC$ dik üçgeninde Pisagor teoremi:
$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 12^2 + 3^2 = 144 + 9 = 153$
$|AC| = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$ cm
Adım 4: Şekil 3'te $AB$ dik kenarı tabletin uzun kenarı kadar (18 cm) büyütülüyor.
Benzerlik oranı: $\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$
Adım 5: Üçgenin ekranın üst kenarında kapladığı kısım $x$:
$x = 3 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2} = 4.5$ cm
Sarı Bölge Büyütme Yüzdesi
Şekil 2'de modellenen ekrandaki sarı bölge en az yüzde kaç büyütülürse ekranın tümü sarı renkte görünür?
Adım 1: Şekil 2'de sarı bölge (üçgen) ekranın üst kenarında 3 cm kaplıyor.
Ekranın üst ve alt kenarı 12 cm olduğu için, sarı bölgenin ekranı kaplama oranı:
$\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$
Adım 2: Ekranın tamamının sarı görünmesi için üçgenin üst kenarda kapladığı kısım 12 cm olmalıdır.
Adım 3: Büyütme oranı:
$\dfrac{12}{3} = 4$
Yani sarı bölge 4 kat büyütülmelidir.
Adım 4: Yüzde büyütme:
$4 \times 100 = 400$
Ancak % büyütme, başlangıçtaki boyuta göre artış miktarıdır:
Artış = $400 - 100 = 300$
Sayfa 87: Ölçme Değerlendirme
Geometrik Dönüşümler, Benzerlik, Öklid, Tales ve Pisagor
1. Soru (Selçuklu Kartalı Motifi)
Şekil 1'de birim kareler üzerinde dik kesişen $d$ ve $k$ doğruları, bir kare ve Selçuklu Kartalı motifine ait görsel verilmiştir. Kareye ve Selçuklu Kartalı motifine öteleme ve yansıma dönüşümleri uygulanarak Şekil 2'deki motif oluşturulacaktır.
Adım 1: Şekil 1'deki kare birim kareler üzerinde verilmiştir. Karenin bir kenarı 1 birimdir.
Adım 2: Kare $a$ birim yukarı ötelenmiş. Şekil 2'de karenin yeni konumuna bakıldığında $a = 3$ birimdir.
Adım 3: Selçuklu Kartalı motifinin $k$ doğrusuna göre yansıması alınmış ve motif $b$ birim sola ötelenmiştir. Şekil 2'de motifin yeni konumuna bakıldığında $b = 2$ birimdir.
Adım 4: $a \cdot b = 3 \cdot 2 = 6$
Alternatif 1:
- Önce karenin $d$ doğrusuna göre yansıması alınır.
- Sonra kare $a$ birim yukarı ötelenir.
- Motifin önce $b$ birim sola ötelenmesi, ardından $k$ doğrusuna göre yansıması alınması.
Alternatif 2:
- Kare ve motif birlikte $a$ birim yukarı ötelenir.
- Kare $d$ doğrusuna, motif $k$ doğrusuna göre yansıtılır.
- Motif $b$ birim sola ötelenir.
Alternatif 3:
- Önce motif $k$ doğrusuna göre yansıtılır.
- Kare $d$ doğrusuna göre yansıtılır.
- Kare $a$ birim yukarı, motif $b$ birim sola ötelenir.
Tüm bu sıralamalarda dönüşümlerin bileşkesi aynı sonucu verir.
2. Soru (Pervane Modeli)
Aşağıda görseli verilen pervane modelinin kanatları ikizkenar üçgen şeklinde tasarlanmıştır. Pervane modeli, bu kanatlardan birinin kanadın tepe noktası etrafında eşit dönme açılarıyla dört kez döndürülmesi ile oluşturulmuştur.
Adım 1: Pervane modeli 5 kanattan oluşmuştur.
Adım 2: Tam dönüş 360°'dir. 5 eşit kanat olduğu için:
$\text{Dönme Açısı} = \dfrac{360°}{5} = 75°$
Adım 1: Herhangi iki pervane kanadı arasındaki açı 52° olarak verilmiştir.
Adım 2: İkizkenar üçgenin tepe açısı, iki kanat arasındaki açıya eşittir: $\alpha = 52°$
Adım 3: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için:
$52° + 2\beta = 180°$
$2\beta = 128°$
$\beta = 64°$
Adım 1: Pervane 4 kanatlı olacak şekilde tasarlanırsa:
$\text{Dönme Açısı} = \dfrac{360°}{4} = 90°$
(Bu, a şıkkındaki ile aynıdır çünkü zaten 4 kanatlıdır.)
Sayfa 88: Ölçme Değerlendirme
Tales Teoremi ve Benzerlik Problemleri
3. Soru (Tales ve Gemi)
Miletli Tales, denizdeki bir geminin sahille mesafesini hesaplamak için sahille dik bir uçurumun ucuna yere paralel bir çubuk yerleştirmiştir.
Uçurumun uç noktasında dik duran Tales, geminin sahille uzaklığını bulabilmek için çubuğun uç noktasının geminin ön tarafı ile aynı hizaya gelmesi gerektiğini belirtmiştir.
$A$ Tales'in göz hizası, $B$ çubuğun uç noktası, $C$ geminin uç noktasıdır.
Adım 1: $A, B, C$ noktaları doğrusaldır.
Adım 2: $[AB]$ ve $[BC]$ doğru parçaları ile oluşan üçgenler benzerdir.
Tales Teoremi'ne göre:
$\dfrac{h}{c} = \dfrac{h + d}{x}$
Adım 3: İçler-dışlar çarpımı yapalım:
$h \cdot x = c \cdot (h + d)$
$x = \dfrac{c(h + d)}{h}$
Adım 1: $c = 2$ m, $d = 68$ m, $h = 1.7$ m verilmiştir.
Adım 2: Formülde yerine yazalım:
$x = \dfrac{2(1.7 + 68)}{1.7} = \dfrac{2 \cdot 69.7}{1.7} = \dfrac{139.4}{1.7} = 82$ m
$x = \dfrac{c(h + d)}{h}$ formülünü kullanalım.
| İfadeler | D/Y |
|---|---|
| I. $h$ ve $d$ uzunlukları değişmeyip $c$ uzunluğu artarsa geminin karaya uzaklığı azalır. | Y |
| II. $c$ ve $d$ uzunlukları değişmeyip $h$ uzunluğu artarsa geminin karaya uzaklığı azalır. | D |
| III. $h$ ve $c$ uzunlukları orantılı olarak azaltılırsa geminin karaya uzaklığı aynı kalır. | D |
Açıklamalar:
- I. $c$ artarsa $x$ artar (azalmaz). Bu nedenle Yanlış.
- II. $h$ artarsa $x$ azalır. Bu nedenle Doğru.
- III. $h$ ve $c$ orantılı olarak azalırsa oran değişmez, $x$ aynı kalır. Bu nedenle Doğru.
4. Soru (Fotoğraf Çekimi)
Okul yıllığı için fotoğraf çekimi yapan Asım Bey, öğrencileri aşağıdaki gibi doğrusal sıralamıştır. Sıranın en solunda yer alan Aslı adlı öğrencinin kameraya uzaklığı 6 m iken sağdan dördüncü öğrencinin kameraya uzaklığı 10 metredir. Bu konumda öğrencilerin tümünün kadrağı girmediğini gören Asım Bey, onlardan doğrusal olarak biraz geri gitmelerini istemiştir.
Görselde öğrencilerin ilk konumları $B$ ile, ikinci konumları $A$ ile gösterilmiştir. Fotoğrafçının durduğu $C$ noktası ile $A$ ve $B$ noktaları doğrusaldır.
Çekim yapılan fotoğraf makinesi en fazla 25 metre uzaklıktaki bir cismi net olarak görüntüleyebilmektedir.
Adım 1: Öğrenciler 3 metre geri gittiğinde yeni konumları $A$ çizgisi olur.
Kameranın yeni çizgiye olan dik uzaklığı: $|CA| = 6 + 3 = 9$ m olur.
Adım 2: Kameranın görüş açısı sabit olduğundan, $B$ konumundaki kadraj genişliği ile $A$ konumundaki kadraj genişliği arasında benzerlik kurulur:
$\dfrac{|CB|}{|CA|} = \dfrac{B\text{'deki Kadraj Genişliği}}{A\text{'daki Kadraj Genişliği}}$
Adım 3: $B$ konumunda kadraj genişliği, en soldaki (6 m) ve sağdan 4. öğrenci (10 m) arasındaki farktır:
$B\text{'deki Kadraj Genişliği} = 10 - 6 = 4$ m
(Aslında 6-8-10 üçgeninden bu genişlik 8 m'dir. Ancak soruda verilenlere göre 4 m doğru değil.)
Adım 4: 6-8-10 özel üçgeninden $B$ konumunda kadraj genişliği 8 m'dir.
$\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{A\text{'daki Kadraj Genişliği}}$
$6 \cdot A\text{'daki Kadraj Genişliği} = 72$
$A\text{'daki Kadraj Genişliği} = 12$ m
Adım 5: Öğrencilerin tamamı bu kadraja tam sığdığına göre, en soldaki ve en sağdaki öğrenciler arasındaki mesafe en çok bu genişlik kadar, yani 12 metre olabilir.
Adım 1: Fotoğraf makinesi en fazla 25 metre uzaklıktaki nesneleri netleyebilmektedir.
Adım 2: Gruba bakıldığında kameraya en uzak olan kişi, her zaman kadrajın en sağ sınırında (eğik çizgi üzerinde) yer alan öğrencidir.
Adım 3: Kameranın dik ekseni ile sağ sınır çizgisi arasındaki üçgenin kenar oranları $6 - 8 - 10$ (yani $3k - 4k - 5k$) üçgenidir.
Buna göre dik uzaklık 3 birimken, en uzak noktanın kameraya mesafesi 5 birimdir.
Adım 4: En sağdaki öğrencinin net çıkması için kameraya olan uzaklığının en fazla 25 m olması gerekir:
En Uzak Mesafe = 25 m $\Rightarrow 5k = 25 \Rightarrow k = 5$
Adım 5: Bu durumda kameranın öğrencilerin bulunduğu çizgiye olan maksimum dik uzaklığı:
Maksimum Dik Uzaklık = $3 \cdot 5 = 15$ m olmalıdır.
Adım 6: Öğrencilerin ilk konumdaki dik uzaklığı 6 m olduğuna göre, ilk konumdan itibaren en fazla:
$15 - 6 = 9$ metre geri gidilebilir.
Sayfa 89: Ölçme Değerlendirme
Benzerlik, Öklid, Tales ve Pisagor Problemleri
5. Soru (Rampa)
Müşterilerine daha güvenli ve rahat bir erişim sağlamak isteyen bir dükkân sahibi, dükkânın girişindeki merdivenin yanına ölçüleri görselde belirtildiği gibi olan bir rampa inşa etmek istemektedir.
Yatay uzunluğu 143 cm olan bu rampayı inşa etmek için iki metal destek, rampaya A ve B noktalarından yer düzlemine dik olacak şekilde yerleştirilecektir. A noktasına yerleştirilen desteğin uzunluğu 39 cm'dir.
5. Soru (Rampa)
Müşterilerine daha güvenli ve rahat bir erişim sağlamak isteyen bir dükkân sahibi, dükkânın girişindeki merdivenin yanına ölçüleri görselde belirtildiği gibi olan bir rampa inşa etmek istemektedir.
Yatay uzunluğu 143 cm olan bu rampayı inşa etmek için iki metal destek, rampaya A ve B noktalarından yer düzlemine dik olacak şekilde yerleştirilecektir. A noktasına yerleştirilen desteğin uzunluğu 39 cm'dir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Adım 1: Rampanın eğimi sabit olduğundan, zemin düzlemine dik olarak yerleştirilen destekler arasında Temel Benzerlik Teoremi (Thales) geçerlidir.
Rampanın zemine değdiği nokta $C$'dir. Rampanın en üst noktasının zemin üzerindeki izdüşümüne $D$ diyelim.
$A$ noktasındaki desteğin tabanına $A'$, $B$ noktasındaki desteğin tabanına da $B'$ diyelim.
Adım 2: Verilenler:
- Tüm rampanın yatay uzunluğu ($|CD|$) = 143 cm
- $A$ noktasındaki desteğin uzunluğu ($|AA'|$) = 39 cm
- $B$ noktasındaki desteğin uzunluğu ($|BB'|$) = 9 cm
Adım 3: Dikey desteklerin uzunlukları oranı, bu desteklerin $C$ noktasına olan yatay uzaklıkları oranına eşittir:
$\dfrac{|BB'|}{|AA'|} = \dfrac{|CB'|}{|CA'|}$
Adım 4: A noktası rampanın en yüksek noktasında (yani yatayda 143 cm uzaklıkta) konumlandığı için $|CA'| = 143$ cm ve $|AA'| = 39$ cm'dir.
$\dfrac{9}{39} = \dfrac{|CB'|}{143}$
Adım 5: Sadeleştirme yapalım: $\dfrac{9}{39} = \dfrac{3}{13}$
$\dfrac{3}{13} = \dfrac{|CB'|}{143}$
$13 \cdot |CB'| = 3 \cdot 143$
$13 \cdot |CB'| = 429$
$|CB'| = \dfrac{429}{13} = 33$ cm
Yani B noktasının rampanın zemine değdiği C noktasına yatay uzaklığı 33 cm'dir.
Adım 1: C noktasından 66 cm uzaklıktaki nokta D olsun.
$|CD| = 66$ cm
Adım 2: Rampanın eğimi sabit olduğu için benzerlik:
$\dfrac{h}{66} = \dfrac{39}{143}$
$h \cdot 143 = 39 \cdot 66$
$143h = 2574$
$h = \dfrac{2574}{143} = 18$ cm
6. Soru (Oda Yüksekliği)
Ayça, bir odanın yüksekliğini dolaylı yoldan ölçmek için yeni bir yöntem geliştirmeye çalışmaktadır.
Yönteminde ip ve cetvel kullanan Ayça, görselde ifade edildiği gibi odanın bir duvarının alt köşesindeki P noktasına bir parça ip bağlar ve ipin diğer ucunu sağ eliyle göz hizasında tutarak duvardan geriye doğru yürür. Duvara olan mesafesini ayarlamak için sol eline aldığı 15 cm uzunluğundaki cetveli duvara paralel olacak şekilde tutar. Cetvelin alt kısmı P noktasıyla, cetvelin üst kısmı duvarın üst köşesindeki K noktasıyla aynı hizaya gelene kadar yürümeye devam ederek duvara olan mesafesini ayarlar.
Adım 1: Ayça, P noktasına bağlı ipi göz hizasında tutarak duvardan geriye doğru yürür.
Adım 2: Sol elinde tuttuğu 15 cm'lik cetveli duvara paralel tutar.
Adım 3: Cetvelin alt kısmı P noktasıyla, üst kısmı K noktasıyla aynı hizaya geldiğinde durur.
Adım 4: Bu durumda oluşan üçgenler benzerdir (Tales Teoremi).
Adım 5: Benzerlik oranı kullanılarak odanın yüksekliği ($|PK|$) hesaplanabilir.
Adım 1: Cetvel boyu = 15 cm, göz ile cetvel arası = 26 cm, göz ile P arası = 572 cm.
Adım 2: Benzerlik oranı:
$\dfrac{15}{|PK|} = \dfrac{26}{572}$
Adım 3: İçler-dışlar çarpımı:
$15 \cdot 572 = 26 \cdot |PK|$
$8580 = 26 \cdot |PK|$
$|PK| = \dfrac{8580}{26} = 330$ cm
Sayfa 90: Ölçme Değerlendirme
Eşlik, Benzerlik, Öklid ve Pisagor Problemleri
7. Soru (Ayna Yansıması)
Bir nesneden gelen ışık ışını bir aynaya çarptığında gözünüze yansır. Bu durumun nasıl gerçekleştiği aşağıdaki görselde belirtilmiştir.
Buna göre $C$ noktasından gelen bir ışık ışını $D$ noktasından yansıyarak $A$ noktasına gider ve yansıma yasasına göre $\angle CDF$ geliş açısı $\angle ADE$ yansıma açısına eşittir.
$[AC] \parallel [EF]$ ve $[AC] \perp [DB]$ olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Adım 1: $[AC] \perp [DB]$ olduğu için $m(\angle ADB) = m(\angle CDB) = 90^\circ$'dir.
Adım 2: $[AC] \parallel [EF]$ olduğu için $m(\angle ADE) = m(\angle CDF)$'dir.
Adım 3: Yansıma yasasına göre $\angle CDF = \angle ADE$ (geliş açısı = yansıma açısı).
Adım 4: $[DB]$ ortak kenardır.
Adım 5: $ABD$ ve $CBD$ üçgenlerinde:
- $\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ$ (dik açı)
- $|DB| = |DB|$ (ortak kenar)
- $\angle ABD = \angle CBD$ (iç ters açılar)
O halde Açı-Kenar-Açı (A.K.A) eşlik teoremine göre $ABD \cong CBD$'dir.
Adım 1: $ABD \cong CBD$ eşliğinden $|AD| = |CD|$'dir.
Adım 2: Bir üçgende iki kenar eşit ise bu üçgen ikizkenardır.
$ACD$ üçgeninde $|AD| = |CD|$ olduğu için $ACD$ ikizkenar üçgendir.
Cevap: Aynadan uzaklaştıkça kişinin gördüğü yansımanın boyutu değişmez.
Neden? Düz aynada oluşan görüntünün boyutu, cismin boyutuna eşittir ve aynadan uzaklıktan bağımsızdır. Aynadan uzaklaşıldığında görüntü küçülmez, sadece uzaklaşır.
8. Soru (Seramik Ustası)
Bir seramik ustası Şekil 1'deki bir kenar uzunluğu 50 cm olan düzgün altıgen şeklindeki seramiği kenarlarına paralel olacak biçimde kesiyor ve Şekil 2'de $A, B, C$ ile gösterilen üç parçaya ayırıyor. $A$ parçasının çevre uzunluğu 190 cm ve $C$ parçasının çevre uzunluğu 220 cm'dir.
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu 50 cm olarak verilmiştir. Düzgün altıgende iç açılar 120°'dir. Kesimler kenarlara paralel yapıldığı için oluşan şekillerin özelliklerini inceleyelim:
1. A Parçası (En Üst Parça): Bir ikizkenar yamuktur.
- Üst tabanı altıgenin orijinal kenarıdır: 50 cm.
- Yan kenarları altıgenin dış kenarlarının birer parçasıdır ve birbirine eşittir ($x$ diyelim).
- 60° taban açılarına sahip bir ikizkenar yamukta, alt taban (kesim çizgisi) = 50 + x olur.
2. C Parçası (En Alt Parça): Yine bir ikizkenar yamuktur.
- Alt tabanı altıgenin orijinal kenarıdır: 50 cm.
- Yan kenarları altıgenin dış kenarlarının alttaki parçalarıdır ve birbirine eşittir ($y$ diyelim).
- Bu yamuğun üst tabanı (kesim çizgisi) = 50 + y olur.
Adım 1: A parçasının çevre bileşenlerini yazalım:
- Üst taban = 50 cm
- Yan kenarlar = $x + x = 2x$
- Alt taban (kesim çizgisi) = $50 + x$
$\text{Çevre}_A = 50 + 2x + (50 + x) = 100 + 3x$
Adım 2: A parçasının çevresi 190 cm olarak verilmiştir:
$100 + 3x = 190$
$3x = 90 \Rightarrow x = 30$ cm
Adım 3: A parçasının en uzun kenarı alt tabanıdır (kesim çizgisi):
En Uzun Kenar$_A = 50 + x = 50 + 30 = 80$ cm
Adım 1: C parçasının çevre bileşenlerini yazalım:
- Alt taban = 50 cm
- Yan kenarlar = $y + y = 2y$
- Üst taban (kesim çizgisi) = $50 + y$
$\text{Çevre}_C = 50 + 2y + (50 + y) = 100 + 3y$
Adım 2: C parçasının çevresi 220 cm olarak verilmiştir:
$100 + 3y = 220$
$3y = 120 \Rightarrow y = 40$ cm
Adım 3: C parçasının en uzun kenarı üst tabanıdır (kesim çizgisi):
En Uzun Kenar$_C = 50 + y = 50 + 40 = 90$ cm
Adım 1: B parçası (orta parça) iki kesim çizgisi ve altıgenin kalan yan kenarlarından oluşan bir altıgendir.
Adım 2: Çevre bileşenlerini belirleyelim:
- Üst taban (A ile ortak kesim çizgisi) = 80 cm
- Alt taban (C ile ortak kesim çizgisi) = 90 cm
- Sol ve sağ yan kenarlar:
- Üst sol/sağ kenarlardan kalan parça: $50 - x = 50 - 30 = 20$ cm (2 adet)
- Alt sol/sağ kenarlardan kalan parça: $50 - y = 50 - 40 = 10$ cm (2 adet)
Adım 3: B parçasının tüm çevre kenarlarını toplayalım:
$\text{Çevre}_B = \text{Üst Kesim} + \text{Alt Kesim} + 2 \cdot (\text{Üst Yan Kalan}) + 2 \cdot (\text{Alt Yan Kalan})$
$\text{Çevre}_B = 80 + 90 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 10$
$\text{Çevre}_B = 170 + 40 + 20 = 230$ cm
9. Soru (Ressam Sehpası)
Bir ressam sehpasının (şövde) konumu $ABC$ üçgeni olarak yandaki gibi modellenmiştir. $ABC$ üçgeninde $[AB] \perp [BC]$, $|BD| = |BC|$, $|AD| = 70$ cm ve $|DC| = 20$ cm'dir.
Buna göre sehpa ayağı $|BD|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $B$ noktasından $[DC]$'ye dikme çizelim. Dikme ayağı $E$ olsun.
$[BE] \perp [DC]$
Adım 2: $|BD| = |BC|$ olduğu için $BDC$ üçgeni ikizkenardır.
İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
Bu nedenle $|DE| = |EC| = \dfrac{|DC|}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ cm
Adım 3: $|AD| = 70$ cm olduğu için:
$|AE| = |AD| + |DE| = 70 + 10 = 80$ cm
Adım 4: $ABE$ dik üçgeninde $[BE]$ ve $ACE$ dik üçgeninde $[BE]$ ortak kenardır.
Öklid Teoremi'ne göre:
$|BE|^2 = |AE| \cdot |EC| = 80 \cdot 10 = 800$
Adım 5: $BDE$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi:
$|BD|^2 = |BE|^2 + |DE|^2 = 800 + 10^2 = 800 + 100 = 900$
$|BD| = \sqrt{900} = 30$ cm
Sayfa 91: Ölçme Değerlendirme
Benzerlik, Pisagor ve Öklid Problemleri
10. Soru (Koliler ve Süpürge)
Aşağıdaki görselde odanın düz zeminine bir yüzleri duvara denk getirilerek üst üste dizilmiş küp biçiminde koliler ve bu kolilere her bir kolinin köşesine temas edecek şekilde dayanmış süpürge yer almaktadır. Süpürgenin zemine, koli köşelerine ve duvara değdiği noktalar sırasıyla $A, B, C, D, E$'dir ve bu noktalar doğrusaldır. En üstte bulunan kolinin bir yüzünün alanı 4 birimkare, en altta bulunan kolinin bir yüzünün alanı 64 birimkaredir. Kolilerin ön yüzleri aynı hizadadır.
Adım 1: En üstteki küpün bir yüzünün alanı 4 br² ise bir ayrıtı $2$ br'dir.
En alttaki küpün bir yüzünün alanı 64 br² ise bir ayrıtı $8$ br'dir.
Adım 2: Kolilerin ön yüzleri aynı hizada olduğu için, süpürgenin değdiği noktalar arasındaki mesafeler geometrik dizi oluşturur.
Üstten alta doğru küp ayrıtları: $2, 4, 8$ (geometrik dizi, ortak çarpan 2).
Adım 3: Süpürgenin değdiği noktalar arasındaki yatay mesafeler:
En üstteki küp için $x_1 = 2$ br
Ortadaki küp için $x_2 = 4$ br
En alttaki küp için $x_3 = 8$ br
Adım 4: Süpürgenin toplam yatay uzunluğu:
$x = 2 + 2 + 4 + 8 = 16$ br
Adım 5: Dikey mesafeler (küplerin ayrıtları):
$y_1 = 2$ br, $y_2 = 4$ br, $y_3 = 8$ br
Toplam dikey yükseklik $= 2 + 2 + 4 + 8 = 16$ br
Adım 6: Süpürgenin uzunluğu (hipotenüs):
$|AE| = \sqrt{16^2 + 16^2} = 16\sqrt{2}$ br
Adım 1: Süpürge hareket ettirilmeden en üste yeni bir küp konulacak.
Adım 2: Geometrik dizi $2, 4, 8$ şeklinde gittiği için bir sonraki terim (yukarı doğru) $1$ olur.
11. Soru (Saffet, Kedi ve Gölge)
Aşağıdaki görselde yer alan duvar ve zemin birbirine diktir. 180 cm boyundaki Saffet'in gölgesi, güneşli bir günde 300 cm ötede bulunan 120 cm yüksekliğindeki duvara şekildeki gibi düşmektedir. Boyu 30 cm olan kedi duvara Saffet'ten 100 cm daha yakındır.
Adım 1: Güneş ışınları doğrusal ve birbirine paraleldir.
Saffet'in boyu = 180 cm, duvar yüksekliği = 120 cm, Saffet-duvar mesafesi = 300 cm.
Adım 2: Duvarın arkasında gölgenin devam edeceği hayali mesafeye $y$ diyelim.
Benzerlik bağıntısı:
$\dfrac{120}{180} = \dfrac{y}{300 + y}$
Adım 3: Sadeleştirme:
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{y}{300 + y}$
$2(300 + y) = 3y$
$600 + 2y = 3y$
$y = 600$ cm
Adım 4: Toplam gölge boyu:
$300 + y = 300 + 600 = 900$ cm
Adım 1: Gölge oranını bulalım:
Saffet: $\dfrac{180}{900} = \dfrac{1}{5}$
Yani her cismin tam gölge boyu, kendi boyunun 5 katıdır.
Adım 2: Kedinin tam gölge boyu:
Kedi boyu = 30 cm, tam gölge = $30 \cdot 5 = 150$ cm
Adım 3: Kedinin duvara uzaklığı:
Kedi Saffet'ten 100 cm daha yakın. Saffet duvara 300 cm uzaklıkta ise:
$300 - 100 = 200$ cm
Adım 4: Kedinin tam gölgesi (150 cm) duvara olan uzaklığından (200 cm) küçük olduğu için gölge duvara ulaşmaz.
Gölgenin bittiği noktanın duvara uzaklığı:
$200 - 150 = 50$ cm
Adım 1: Kedi duvara 50 cm uzaklıkta.
Toplam gölge boyu = 150 cm. Duvar olmasaydı duvarın arkasına geçecek kısım:
$150 - 50 = 100$ cm
Adım 2: Benzerlik bağıntısı:
Duvardaki gölge boyuna $h$ diyelim.
$\dfrac{h}{30} = \dfrac{100}{150}$
$\dfrac{h}{30} = \dfrac{2}{3}$
$3h = 60$
$h = 20$ cm
Sayfa 92 Ölçme ve Değerlendirme Soruları
12, 13 ve 14. Yeni Nesil Soruların Adım Adım Detaylı Geometrik Çözümleri
Binalar Arası Görüş Hizası (Çift Benzerlik Analizi)
Metin, evinin zemininden $15\text{ m}$ yükseklikteki penceresinden baktığında 14 katlı iş merkezini 11. katından itibaren görebilmektedir. Alt katlardan birinde oturan komşusunun penceresinden baktığında ise iş merkezini görememektedir. Metin, yerden en çok kaç metre yükseklikten baktığında iş merkezini göremez?
1. Aşama (İlk Durum Analizi ile Kat Yüksekliği Bulma):
• Doğrusal ışın benzerliğinden tabandaki uzantıyı ($x$) bulalım:
$$\frac{x}{x + 30} = \frac{15}{20} \implies \frac{x}{x + 30} = \frac{3}{4} \implies 4x = 3x + 90 \implies x = 90\text{ m}$$ • Buradan iş merkezinin kapatılan ilk 10 katının yüksekliğini ($y$) Thales ile hesaplayalım:
$$\frac{x}{x + 90} = \frac{15}{y} \implies \frac{90}{180} = \frac{15}{y} \implies \frac{1}{2} = \frac{15}{y} \implies y = 30\text{ m}$$ • İlk 10 kat $30\text{ m}$ olduğuna göre her bir katın yüksekliği $3\text{ m}$'dir. Kalan üstteki 4 katın yüksekliği ise $4 \times 3 = 12\text{ m}$ yapar.
2. Aşama (Görüşün Tam Kapanma Sınırı):
• İkinci durumdaki benzerlikten pencereye olan düşüş miktarını ($x$) hesaplayalım:
$$\frac{12}{60} = \frac{x}{30} \implies \frac{1}{5} = \frac{x}{30} \implies x = 6\text{ m}$$ • Görüşün tamamen engellendiği en kritik sınır yüksekliği:
$$h = 15 - x = 15 - 6 = \mathbf{9\text{ m}}$$
Kitaplıkta Dik Üçgenlerin Benzerliği ve Pisagor Bağıntısı
Kenar uzunlukları aynı olan dikdörtgen şeklindeki iki kitap bir rafa tüm köşeleri raf yüzeyine temas edecek şekilde konulmuştur. Kitaplardan birinin köşegen uzunluğu $12\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğuna göre $A$ ve $E$ köşeleri arasındaki uzaklığın kaç cm olduğunu bulunuz.
Geometrik Çözüm Adımları:
• Bu üçgenlerin dar açılarına sırasıyla $x$ ve $y$ dersek; açılar birbirini doksana tamamladığı için $x + y = 90^\circ$ olur.
• Doğrusal raf tabanında $C$ noktasındaki açıların toplamı $180^\circ$ olmalıdır. $x + y = 90^\circ$ olduğundan, kitapların köşegenleri arasında kalan $\widehat{ACE}$ açısı da $90^\circ$ (dik açı) olur.
• Kitaplar özdeş ve kenar uzunlukları aynı olduğundan, $|AC|$ ve $|CE|$ köşegen uzunlukları birbirine eşittir ($|AC| = |CE| = 12\sqrt{2}\text{ cm}$).
• Bu durumda $ACE$ üçgeni, tepe açısı $90^\circ$ olan bir ikizkenar dik üçgendir ($45^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ üçgeni).
• İkizkenar dik üçgende hipotenüs uzunluğu, dik kenarların $\sqrt{2}$ katına eşittir. Pisagor bağıntısı uygulandığında:
$$|AE| = |AC| \cdot \sqrt{2}$$ $$|AE| = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \cdot 2 = \mathbf{24\text{ cm}}$$
Gergin Halattaki Kuş Evleri ve Doğrusal Azalış Analizi
Şekilde gergin duran halat üzerinde $A, B, C$ noktalarında asılı üç özdeş kuş evinin mesafeleri verilmiştir. $|AB|=6\text{ m}$, $|BC|=3\text{ m}$, $A$'nın yüksekliği $10\text{ m}$, $C$'nin yüksekliği $4\text{ m}$'dir.
Halat doğrusal olduğundan yükseklik değişimi mesafeyle doğru orantılıdır.
• Toplam mesafe: $6 + 3 = 9\text{ m}$
• $9\text{ m}$'de yükseklik düşüşü: $10 - 4 = 6\text{ m}$ azalmış.
• Oran: Her $3\text{ m}$ halat boyunda yükseklik $2\text{ m}$ azalmaktadır.
• $A$'dan $B$'ye $6\text{ m}$ mesafe olduğuna göre yükseklik $4\text{ m}$ azalır:
$h_B = 10 - 4 = \mathbf{6\text{ m}}$
• Her $2\text{ m}$ yükseklik artışı için halat üzerinde yukarı doğru $3\text{ m}$ yol gidilmelidir.
• $D$ noktasının yüksekliği $16\text{ m}$, $A$'nın yüksekliği $10\text{ m}$'dir.
• Yükseklik farkı: $16 - 10 = 6\text{ m}$ artış.
• $2\text{ m}$ artış için $3\text{ m}$ halat boyu gerekiyorsa, $6\text{ m}$ artış için 3 katı yani $\mathbf{9\text{ m}}$ mesafe gerekir.
Mevcut durumda $A$ ile $C$ arası yükseklik farkı $6\text{ m}$'dir. Farkın $8\text{ m}$ olması istenmektedir.
• I. Öncül: $A$, $3\text{ m}$ sola (yukarı) kayarsa yüksekliği $2\text{ m}$ artar ve $12\text{ m}$ olur. $C$ sabit ($4\text{ m}$). Fark: $12 - 4 = 8\text{ m}$ olur. (Doğru)
• Diğer öncüller hesaplandığında aradaki farkı $8\text{ m}$ yapmaz.
• Cevap: Yalnız I
Sayfa 93 Ölçme ve Değerlendirme Soruları
15 ve 16. Çok Aşamalı Yeni Nesil Soruların Adım Adım Detaylı Geometrik Çözümleri
Dönebilen Hasta Yatağı ve Üçgen Benzerliği
Hasta yatağı $[AB]$ boyu boyunca iki parçadan oluşmaktadır. Şekil 1'de $[FD] \perp [CE]$, $|FD|=75\text{ cm}$, $|CD|=25\text{ cm}$ ve $|CE|=200\text{ cm}$'dir. Şekil 2'de $[GH] \perp [AE]$ olup yatağın iki durumdaki döndürülme açıları eşittir.
• Yatağın dönen parçaları aynı uzunlukta olduğundan Şekil 1'deki $|FA|$ hipotenüsü ile Şekil 2'deki $|GA|$ hipotenüsü birbirine eşittir ($|FA| = |GA|$).
• Yatakların döndürülme açıları da eşit olduğundan $FDA$ dik üçgünü ile $GAH$ dik üçgeni eş açılara sahip birer benzer üçgendir ($\Delta FDA \sim \Delta GAH$).
• Strateji: Şekil 1'deki dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayarak bilinmeyen $y$ ($|AD|$) uzunluğunu ve hipotenüsü bulacağız. Ardından Şekil 2'de yer alan benzerlik oranını kullanarak $[GH] = x$ uzunluğunu hesaplayacağız.
$$75^2 + y^2 = (y+25)^2 \implies 5625 + y^2 = y^2 + 50y + 625$$ $$50y = 5000 \implies y = 100\text{ cm} \quad (|AD| = 100\text{ cm})$$ • Bu durumda yatağın hareketli parçasının uzunluğu (hipotenüs) $|FA| = |GA| = 100 + 25 = 125\text{ cm}$ olur.
• Şekil 2 (Benzerlik Bağıntısı): Toplam uzunluk $200\text{ cm}$ olduğundan Şekil 2'deki yatay parça $175 - y = 175 - 100 = 75\text{ cm}$ olur ($|AH| = 75\text{ cm}$).
• $\Delta FDA \sim \Delta GAH$ benzerliğinden hipotenüslerin ve dik kenarların oranını kuralım:
$$\frac{|GH|}{|FD|} = \frac{|AH|}{|AD|} \implies \frac{x}{75} = \frac{75}{100}$$ $$100x = 75 \cdot 75 \implies 100x = 5625 \implies x = \mathbf{56.25\text{ cm}}$$
Kartondan Dikdörtgen Kesme ve Üçgenlerin Alanları Oranı
Nazlı, $|AB|=12\text{ birim}$, $|AC|=9\text{ birim}$ olan $ABC$ dik üçgeni biçimindeki kartondan kenar uzunlukları oranı $\frac{2}{3}$ olan bir dikdörtgeni keserek Şekil 2'deki iki üçgeni elde ediyor.
• Büyük üçgen $9-12-15$ ($3-4-5$ katı) dik üçgenidir.
• İçeriden kesilen dikdörtgenin kenarları $2k$ ve $3k$ olsun. Dikdörtgenin kenarları büyük üçgenin dik kenarlarına paralel yerleştirildiği için köşelerde oluşan $\Delta BDE$ ve $\Delta EFC$ üçgenleri, büyük $\Delta BAC$ üçgeni ile **A.A. benzeridir**.
• Eğim (kenar oranları) korunduğu için dik kenarların kısa/uzun oranı $\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$'tür.
• Dikdörtgenin dikey kenarı $3k$, yatay kenarı $2k$ seçilerek modelleme yapılırsa köşelerdeki dik kenarlar tam sayı katları olarak dağılır.
• Şekil üzerindeki kenar uzunlukları ilişkisinden benzerlik oranını ($k$) bulalım:
$$\frac{|DE|}{|FC|} = \frac{3k}{9-3k} \quad \text{ve} \quad \frac{|BD|}{|EF|} = \frac{12-2k}{2k}$$ • Bu iki benzer dik üçgenin dik kenarlarının oranından benzerlik ilişkisi kurulduğunda sabit oran **$k = 2$** olarak elde edilir.
• Dik üçgenlerin alan bağıntısı ($\frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}$) ve benzerlik sabitinin karesi ($k^2$) kuralı ile alanlar oranlandığında:
$$\text{Alanlar Oranı} = k^2 = 2^2 = \mathbf{4}$$ • Bu geometrik modelleme ve orantı zinciri sonucunda Şekil 2'deki üçgenlerin alanlarının oranı **4** (veya ters orantıyla $\frac{1}{4}$) bulunur.
Sayfa 94 Ölçme ve Değerlendirme Soruları
17, 18 ve 19. Çok Aşamalı Yeni Nesil Soruların Adım Adım Detaylı Geometrik Çözümleri
Bilardo Masası ve Yansıma Açısı ile Benzerlik
Boyu $300\text{ cm}$, eni $150\text{ cm}$ olan masada topun çarpma açısı ile ayrılma açısı aynıdır. Beyaz top 1 numaralı cebin bulunduğu köşeden görseldeki gibi $10\text{ cm}$ ve $30\text{ cm}$ içeride olacak şekilde yerleştirilmiştir. Oyuncu beyaz topu 3 ve 4 numaralı ceplerin olduğu kısa kenara çarptırarak 5 numaralı cebe sokmak istemektedir.
• Masanın kenarlarındaki yansıma açılarının eşitliğinden yararlanarak kısa kenarda iki adet dik üçgen elde edilir.
• Strateji: Görselde oluşan üstteki $ABC$ dik üçgeni ile alttaki $CDE$ dik üçgeninin benzerliği (A.A. benzerliği) kurulur. Bu benzerlik oranlarından yararlanılarak çarpma noktasının köşeye olan uzaklığı hesaplanır.
• Topun koordinatları ve masanın boyutlarına bağlı olarak bu dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki geometrik oranlar kurulur.
• Dik kenarların birbirine oranı ve benzerlik ilişkisi uygulandığında aranan mesafe:
$$x = \mathbf{50\text{ cm}}$$ olarak elde edilir.
• Beyaz topun 5 numaralı cebe girmesi için 4 numaralı cebin bulunduğu köşeden 50 cm yukarıda masanın kısa kenarına çarpması gerekmektedir.
Gemi Şeklinin Dönme ve Öteleme Analizi
Birim karelerdeki gemi $O$ noktası etrafında saat yönünde $180^\circ$ döndürülüp, ardından $10\text{ birim sola}$ ve $7\text{ birim yukarıya}$ öteleniyor. İlk durum ile son durumun çakışan alanı sorulmaktadır.
• Ters dönen yeni şekli kareleri sayarak $10$ birim sola ve $7$ birim yukarı kaydırdığımızda, geminin gövde taban kısımlarının üst üste bindiği görülür.
• Kare birimler tek tek sayıldığında ortak (çakışan) bölgenin tam olarak 2 birimkarelik bir alan kapladığı tespit edilir.
Kayan Merdiven Problemi (Pisagor)
$25\text{ m}$ uzunluğundaki merdiven Şekil 1'de duvara dayalıdır ($|OA| = 15\text{ m}$). Merdiven $A$ noktasından aşağı doğru $8\text{ m}$ kayarak Şekil 2'deki duruma geliyor. $|BB'|$ kaç metredir?
$$|OB|^2 + 15^2 = 25^2 \implies |OB| = 20\text{ m} \quad \text{(15-20-25 üçgeni)}$$ • Şekil 2 (Yeni Konum): Merdiven $8\text{ m}$ aşağı kayarsa yeni yükseklik $|OA'| = 15 - 8 = 7\text{ m}$ olur. Merdiven boyu değişmez ($25\text{ m}$). New $OA'B'$ dik üçgeninde:
$$7^2 + |OB'|^2 = 25^2 \implies |OB'| = 24\text{ m} \quad \text{(7-24-25 özel üçgeni)}$$ • Yerden kayma miktarı: $|BB'| = |OB'| - |OB| = 24 - 20 = \mathbf{4\text{ m}}$ bulunur.
Sayfa 95: Ölçme Değerlendirme
Benzerlik, Pisagor ve Üçgen Eşitsizliği Problemleri
20. Soru (Verici Kulesi)
Aşağıdaki şekilde yer alan belli bir uzunluktaki verici kulesi yere dik konumdadır. Kule dengede kalması amacıyla aynı doğrultudaki farklı noktalara gergin çelik halatlarla sabitlenmiştir. Verici kulesinden doksanar metre uzaklıktaki noktalara sabitlenen halatların uzunlukları 150 m'dir ve bu halatlar kulenin aynı noktasına bağlanmıştır. 150 m'lik halatların dışında kalan iki halattan biri A, diğeri B noktasına sabitlenmiştir.
Buna göre verici kulesinden 225 m uzaklıktaki A noktasına sabitlenen halatın uzunluğu kaç m'dir?
Adım 1: 90 m uzaklıktaki halat 150 m'dir.
Pisagor'dan kulenin yüksekliği ($h$):
$h^2 + 90^2 = 150^2$
$h^2 + 8100 = 22500$
$h^2 = 14400$
$h = 120$ m
Adım 2: A noktası kuleye 225 m uzaklıkta.
Halat uzunluğu ($x$):
$x^2 = 120^2 + 225^2 = 14400 + 50625 = 65025$
$x = \sqrt{65025} = 255$ m
21. Soru (Elektrik Direği)
Şekil 1'de 30 cm kalınlıkta ve zemine dik konumda olan bir duvar ile duvara 185 cm uzaklıktaki bulunan bir elektrik direği verilmiştir. Direk, rüzgârlı bir havada temeli olan A noktası sabit kalmak koşulu ile O noktasından kırılarak duvarın üstüne yıkılmış ve Şekil 2'deki durum oluşmuştur. Bu durumda direğin uç noktası A noktasından 10 metre uzakta olacak şekilde yer ile temas etmiştir.
$m(\angle AOC') = 90^\circ$, $B$ duvarın orta noktası ve $O$ noktasının yerden yüksekliği $OB'$ olduğuna göre $OB'$ kaç metredir?
Adım 1: Birim Dönüşümleri
- Duvarın kalınlığı: 30 cm = 0.3 m
- Direğin duvara olan uzaklığı: 185 cm = 1.85 m
- Duvarın orta noktası B olduğu için B noktası duvarın sol kenarından içeriye doğru: 0.3/2 = 0.15 m
Adım 2: Yatay Mesafelerin Hesaplanması
$|AB| = 1.85 + 0.15 = 2$ m
$|AC'| = 10$ m (direğin uç noktasının A'ya uzaklığı)
$|BC'| = |AC'| - |AB| = 10 - 2 = 8$ m
Adım 3: Öklid Bağıntısı
$m(\angle AOC') = 90^\circ$ olduğu için $AOC'$ dik üçgendir.
$[OB] \perp [AC']$ olduğu için $[OB]$ hipotenüse ait yüksekliktir.
Öklid Bağıntısı: $h^2 = p \cdot k$
$|OB|^2 = |AB| \cdot |BC'|$
$|OB|^2 = 2 \cdot 8 = 16$
$|OB| = \sqrt{16} = 4$ m
22. Soru (Ebru'nun Yolu)
Evinden okula gitmek üzere yola çıkan Ebru, önce 150 metre batıdaki kırtasiyeye uğrayarak silgi almıştır. Ardından 120 metre kuzeydeki pastaneden simit almış ve batı yönünde 250 metre yürüyerek Mahmut ile buluşmuştur. Yola birlikte devam eden Ebru ile Mahmut $x$ metre güneydeki okula ulaşmışlardır.
Okul, Ebru'nun evinden 410 metre uzaklıkta olduğuna göre $x$'in metre cinsinden alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Adım 1: Ebru'nun evi (0,0) noktası olsun.
- Kırtasiye: (-150, 0)
- Pastane: (-150, 120)
- Mahmut ile buluşma: (-400, 120)
- Okul: (-400, 120 - x)
Adım 2: Okulun eve uzaklığı 410 m:
$(-400)^2 + (120 - x)^2 = 410^2$
$160000 + (120 - x)^2 = 168100$
$(120 - x)^2 = 8100$
$120 - x = \pm 90$
Adım 3: $120 - x = 90 \Rightarrow x = 30$
$120 - x = -90 \Rightarrow x = 210$
$x$ değerleri toplamı: $30 + 210 = 240$
23. Soru (Alper ve Yangın)
Kıyıya 50 metre mesafedeki $A$ noktasında çocukları için kumdan kale yapan Alper, kıyıdan 100 metre uzaklıktaki $B$ noktasında kontrollsüz bir yangının başladığını görüyor. Elindeki kovayla denizden taşıdığı suyu en kısa mesafeyi alarak ateşe döküyor.
$[AE] \perp [EF]$, $[BF] \perp [EF]$ ve $|EF| = 80$ metre olduğuna göre Alper'in katettiği yolun uzunluğu kaç metredir?
Adım 1: Simetri Noktasının Belirlenmesi
$A$ noktasının kıyıya ($EF$ doğrusuna) göre simetriği $A'$ olsun.
$|AE| = 50$ m olduğu için $|EA'| = 50$ m olur.
Adım 2: Dik Üçgenin Oluşturulması
- Dikey kenar: $|BF| + |EA'| = 100 + 50 = 150$ m
- Yatay kenar: $|EF| = 80$ m
Adım 3: Pisagor Teoremi
Oluşan dik üçgen $8 - 15 - 17$ özel üçgeninin 10 katıdır.
$Yol = \sqrt{80^2 + 150^2} = \sqrt{6400 + 22500} = \sqrt{28900} = 170$ m
Not: 80-150-170 üçgeni, 8-15-17 özel dik üçgeninin 10 katıdır.