Sayfalara Git
Sayfa 60-61: 10. Uygulama
Tales Teoremi ve ispatı
1. Teoremi İnceleyiniz
Teorem: Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
Şekil 1: $d_3 \parallel d_4 \parallel d_5$, $d_1$ ve $d_2$ kesenleri
Verilenler: $d_3 \parallel d_4 \parallel d_5$ olacak şekilde $d_3, d_4$ ve $d_5$ doğrularını kesen farklı $d_1$ ve $d_2$ doğruları
İspatlanacak ifade: $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}$
2. Benzer Üçgenler ile İspat Fikirleri
Birinci adımda ifade edilen teoremin benzer üçgenler oluşturularak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız.
Fikir 1: Paralel doğrular arasında kalan bölgelere yardımcı doğru parçaları çizilerek benzer üçgenler oluşturulabilir.
Fikir 2: $A$ ve $D$ noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizilirse, paralellikten dolayı oluşan açılar eşit olur ve benzer üçgenler elde edilir.
Fikir 3: $[BE]$ ve $[CF]$ doğru parçaları çizilerek $ABE \sim BCF$ benzerliği kurulabilir.
Fikir 4: $[AD]$ ve $[BE]$ doğru parçaları çizilerek $ABD \sim BEF$ benzerliği elde edilebilir.
3. Gerekli Çizimler
Benzer üçgenler oluşturmak için gerekli çizimleri yapınız ve çiziminizle ilgili açıklamaları yazınız.
Çizim Adımları:
- 1. Adım: $A$ noktasından $E$ noktasına $[AE]$ doğru parçasını çizelim.
- 2. Adım: $B$ noktasından $F$ noktasına $[BF]$ doğru parçasını çizelim.
- 3. Adım: $A$ noktasından $F$ noktasına $[AF]$ doğru parçasını çizelim.
- 4. Adım: $C$ noktasından $E$ noktasına $[CE]$ doğru parçasını çizelim.
Şekil 2: Yardımcı doğru parçaları ile oluşturulan benzer üçgenler
Açıklamalar:
- $[AE]$ ve $[BF]$ çizilerek $ABE$ ve $BCF$ üçgenleri oluşturuldu.
- $d_3 \parallel d_4$ olduğu için $m(\angle BAE) = m(\angle CBF)$ (yöndeş açılar).
- $d_4 \parallel d_5$ olduğu için $m(\angle AEB) = m(\angle BFC)$ (yöndeş açılar).
- O halde $ABE \sim BCF$ (A.A benzerliği).
4. Kenarlar Arasındaki Orantı
Yaptığınız çizimler sonucunda oluşturduğunuz benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıyı ifade ediniz.
ABE \sim BCF benzerliğinden:
Ayrıca BCE \sim CDF benzerliğinden:
5. İspatın Tamamlanması
Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız.
İspatın Tamamlanması:
Adım 1: $ABE \sim BCF$ benzerliğinden $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|BE|}{|CF|}$ elde edildi.
Adım 2: $BCE \sim CDF$ benzerliğinden $\dfrac{|BE|}{|CF|} = \dfrac{|BC|}{|CD|}$ elde edildi.
Adım 3: Bu iki eşitlikten $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|BC|}{|CD|}$ sonucuna ulaşılır.
Adım 4: Benzer şekilde $A$ ve $D$ noktaları için de işlem yapılırsa $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}$ elde edilir.
Sonuç: Teorem ispatlanmıştır. Paralel doğrular, kesenler üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
6. Problemler
a) Yandaki $ABC$ üçgeninde $A, D, B$ ile $A, E, C$ doğrusal, $B$ ve $C$'den geçen doğru $d_2$ ve $d_1 \parallel d_2$ olmak üzere
$\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{|AE|}{|EC|}$ olduğunu gösteriniz.
Adım 1: $d_1 \parallel d_2$ ve $B, C \in d_2$ olduğu için $[BC] \subset d_2$'dir.
Adım 2: $d_1$ doğrusu $[AB]$'yi $D$ noktasında, $[AC]$'yi $E$ noktasında keser.
Adım 3: $ABC$ üçgeninde $[DE] \parallel [BC]$'dir (çünkü $d_1 \parallel d_2$).
Adım 4: Temel Orantı Teoremi'ne göre:
b) Yandaki $ABC$ üçgeninde $D$ ve $F$ noktası $BC$ kenarı, $E$ noktası $AC$ kenarı üzerindedir.
$[AB] \parallel [ED]$, $[AD] \parallel [EF]$, $|CF| = a$, $|FD| = b$ ve $|DB| = c$ olarak verilmiştir.
Buna göre $a, b$ ve $c$ uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulunuz.
Adım 1: $[AB] \parallel [ED]$ olduğu için $CED \sim CBA$ benzerliği vardır.
Adım 2: $[AD] \parallel [EF]$ olduğu için $CEF \sim CAD$ benzerliği vardır.
Adım 3: $CED \sim CBA$ benzerliğinden:
$\dfrac{|CE|}{|CA|} = \dfrac{|CD|}{|CB|} = \dfrac{|ED|}{|AB|}$
Adım 4: $CEF \sim CAD$ benzerliğinden:
$\dfrac{|CE|}{|CA|} = \dfrac{|CF|}{|CD|} = \dfrac{|EF|}{|AD|}$
Adım 5: İki benzerlikten $\dfrac{|CD|}{|CB|} = \dfrac{|CF|}{|CD|}$'dir.
Adım 6: $|CB| = |CF| + |FD| + |DB| = a + b + c$ ve $|CD| = |CF| + |FD| = a + b$'dir.
Adım 7: $\dfrac{a+b}{a+b+c} = \dfrac{a}{a+b}$ olur.
Adım 8: İçler-dışlar çarpımı yapalım:
$(a+b)^2 = a(a+b+c)$
$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + ab + ac$
$2ab + b^2 = ab + ac$
$ab + b^2 = ac$
$b(a+b) = ac$
Sayfa 64-65: 11. Sıra Sizde
Tales Teoremi ile uzunluk bulma problemleri
1. Soru (Rüzgar Türbini)
Arif, yaşadığı ilçeye kurulan rüzgâr türbinlerinden birinin boyunu ölçmek için basit bir kamera düzenleği kullanmıştır.
Şekil 1: Kamera düzeneği ve rüzgar türbini
Yukarıdaki şekilde $D, G$ ve $H$ noktaları doğrusaldır. Rüzgâr türbininin kameradaki görüntüsünün uzunluğu $|AB| = 4$ cm, kameranın genişliği $|FB| = 15$ cm, rüzgâr türbininin kameranın $G$ noktasında bulunan ayağına uzaklığı $|DG| = 3000$ cm'dir. Buna göre rüzgâr türbininin boyunu ifade eden $|DC|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[AB] \parallel [DC]$ olduğu için (ikisi de dikey doğrultuda), $ABF \sim DCG$ benzerliği oluşur.
Adım 2: Benzerlik oranı:
$\dfrac{|AB|}{|DC|} = \dfrac{|FB|}{|DG|}$
Adım 3: Değerleri yerine yazalım:
$\dfrac{4}{|DC|} = \dfrac{15}{3000}$
Adım 4: İçler-dışlar çarpımı yapalım:
$15 \cdot |DC| = 4 \cdot 3000 \Rightarrow 15|DC| = 12000$
Adım 5: $|DC| = \dfrac{12000}{15} = 800$ cm
2. Soru (Üçgenlerde EF Uzunluğu)
Yandaki şekilde $ABC$ ve $BCD$ üçgen, $[AC] \cap [BD] = \{E\}$, $F \in [BC]$'dir.
$[AB] \parallel [EF] \parallel [DC]$, $|AB| = 6$ cm, $|DC| = 12$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|EF|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[AB] \parallel [EF] \parallel [DC]$ olduğu için Tales Teoremi uygulanabilir.
Adım 2: $[AC]$ ve $[BD]$ kesen doğrularıdır.
Adım 3: $B$ noktasından başlayarak orantı kuralım:
$\dfrac{|BF|}{|FC|} = \dfrac{|BE|}{|ED|} = \dfrac{|AB|}{|DC|}$
Adım 4: $\dfrac{|AB|}{|DC|} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ olduğu için:
$\dfrac{|BF|}{|FC|} = \dfrac{1}{2}$ ve $\dfrac{|BE|}{|ED|} = \dfrac{1}{2}$
Adım 5: $|BF| : |FC| = 1 : 2$ olduğu için $|BC| = 3$ birim kabul edilirse $|BF| = 1$ birim, $|FC| = 2$ birim olur.
Adım 6: $[EF]$ uzunluğu, $[AB]$ ve $[DC]$ arasında orantılı bir şekilde bulunur.
$|EF|$ için ortalama formülü:
$|EF| = \dfrac{|BF| \cdot |DC| + |FC| \cdot |AB|}{|BC|}$
Adım 7: Değerleri yerine yazalım:
$|EF| = \dfrac{1 \cdot 12 + 2 \cdot 6}{3} = \dfrac{12 + 12}{3} = \dfrac{24}{3} = 8$ cm
3. Soru (Ağaç Boyu)
Şekil 1'de boyunun uzunluğu 1,6 m olan Şükrü'nün günün belli bir saatindeki gölgesinin uzunluğu 2,4 m olarak verilmiştir.
Şekil 1: Şükrü ve gölgesi
Şekil 2'de ise Şükrü'den belli bir mesafe uzaklıktaki ağacın aynı andaki gölge uzunluğu 33 m olarak verilmiştir.
Şekil 2: Ağaç ve gölgesi
Buna göre ağacın boyunu ifade eden $|ED|$'nin kaç m olduğunu bulunuz.
Adım 1: Aynı saatte Güneş ışınları paralel geldiği için, boy ve gölge uzunlukları orantılıdır.
Adım 2: Şükrü için:
Boy : Gölge = $1.6 : 2.4$
Adım 3: Ağaç için:
Boy : Gölge = $|ED| : 33$
Adım 4: Oranlar eşit olduğu için:
$\dfrac{1.6}{2.4} = \dfrac{|ED|}{33}$
Adım 5: $\dfrac{1.6}{2.4} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}$ olduğu için:
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{|ED|}{33}$
Adım 6: İçler-dışlar çarpımı yapalım:
$3 \cdot |ED| = 2 \cdot 33 \Rightarrow 3|ED| = 66$
Adım 7: $|ED| = \dfrac{66}{3} = 22$ m
Sayfa 66: 11. Uygulama
Öklid Teoremi ve ispatı
Öklid Teoremi
Öklid teoremi, matematik tarihinde önemli bir yere sahip olan Antik Yunan matematikçisi Öklid'in ortaya koyduğu teoremlerden biridir.
1. Teoremi İnceleyiniz
Teorem: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
Şekil 1: $ABC$ dik üçgeni, $[AH] \perp [BC]$
Verilenler: $ABC$ dik üçgen, $[AH] \perp [BC]$, $|BH| = p$, $|HC| = k$, $|AH| = h$
İspatlanacak ifade: $h^2 = p \cdot k$
2. Benzerlik ile İspat Fikirleri
Teoremin $BAC$ dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin çizilmesi ile ortaya çıkan $ABH$ ve $ACH$ dik üçgenleri kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız.
Fikir 1: $[AH] \perp [BC]$ çizildiğinde oluşan $ABH$ ve $ACH$ üçgenleri ile $ABC$ üçgeni arasında benzerlik kurulabilir.
Fikir 2: $ABH \sim ABC$ ve $ACH \sim ABC$ benzerlikleri kullanılarak kenar oranları elde edilebilir.
Fikir 3: $ABH$ ve $ACH$ üçgenleri arasında da benzerlik kurularak $h^2 = p \cdot k$ eşitliği elde edilebilir.
Fikir 4: Açı-Açı (A.A) benzerlik kuralı kullanılabilir çünkü üçgenler dik açı ve ortak dar açılara sahiptir.
3. Benzerlik Kuralı
$BAC$, $ABH$ ve $ACH$ dik üçgenleri arasında herhangi bir benzerlik kuralı var mıdır? Varsa ulaştığınız benzerlik kuralını yazınız.
Benzerlik Kuralı: Açı-Açı (A.A) benzerlik kuralı
ABH \sim ABC için:
- $m(\angle AHB) = m(\angle BAC) = 90^\circ$ (dik açı)
- $m(\angle ABH) = m(\angle ABC)$ (ortak açı)
ACH \sim ABC için:
- $m(\angle AHC) = m(\angle BAC) = 90^\circ$ (dik açı)
- $m(\angle ACH) = m(\angle ACB)$ (ortak açı)
ABH \sim ACH için:
- $m(\angle AHB) = m(\angle AHC) = 90^\circ$ (dik açı)
- $m(\angle ABH) = m(\angle HAC)$ (çünkü $m(\angle ABH) = m(\angle ABC)$ ve $m(\angle HAC) = 90^\circ - m(\angle ACB) = m(\angle ABC)$)
4. Kenarlar Arasındaki İlişki
$ABH$ ve $CAH$ üçgenleri arasında belirlediğiniz benzerlik kuralına uygun olarak üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi yazınız.
ABH \sim CAH benzerliğinden:
ABH \sim ABC benzerliğinden:
ACH \sim ABC benzerliğinden:
5. İspatın Tamamlanması
Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız.
İspatın Tamamlanması:
Adım 1: $ABH \sim CAH$ benzerliğinden $\dfrac{p}{h} = \dfrac{h}{k}$ elde edildi.
Adım 2: İçler-dışlar çarpımı yapılırsa:
$p \cdot k = h \cdot h = h^2$
Adım 3: Yani $h^2 = p \cdot k$ elde edilir.
Sonuç: Teorem ispatlanmıştır. Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
6. $b^2 = k \cdot a$ ve $c^2 = p \cdot a$ Eşitlikleri
Yaptığınız ispatta kullandığınız yöntemi değerlendirmek için $BAC$, $ABH$ ve $ACH$ üçgenleri arasındaki benzerlik kurallarını kullanarak $b^2 = k \cdot a$ ve $c^2 = p \cdot a$ eşitliklerini gösteriniz.
$c^2 = p \cdot a$ eşitliğinin ispatı:
Adım 1: $ABH \sim ABC$ benzerliğinden:
$\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|BH|}{|AB|}$
Adım 2: $|AB| = c$, $|BC| = a$, $|BH| = p$ değerlerini yerine yazalım:
$\dfrac{c}{a} = \dfrac{p}{c}$
Adım 3: İçler-dışlar çarpımı yapalım:
$c^2 = a \cdot p$
$b^2 = k \cdot a$ eşitliğinin ispatı:
Adım 1: $ACH \sim ABC$ benzerliğinden:
$\dfrac{|AC|}{|BC|} = \dfrac{|HC|}{|AC|}$
Adım 2: $|AC| = b$, $|BC| = a$, $|HC| = k$ değerlerini yerine yazalım:
$\dfrac{b}{a} = \dfrac{k}{b}$
Adım 3: İçler-dışlar çarpımı yapalım:
$b^2 = a \cdot k$
Not: Bu eşitlikler Öklid teoreminin diğer formülleridir ve dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri gösterir.
Sayfa 68: 14. Sıra Sizde
Öklid Teoremi ile uzunluk bulma problemleri
1. Soru (Evlerin Konumu)
Yandaki görselde Atakan, Buse, Cemile ve Erkan'ın evlerinin üstten görünümü sırasıyla $A, B, C$ ve $E$ harfleriyle gösterilmiştir.
Şekil 1: Evlerin konumu
Atakan'ın evinin Erkan'ın evine olan en kısa uzaklığı 12 m, Buse'nin evinin Cemile'nin evine uzaklığı 25 m'dir. Cemile ile Atakan'ın evleri arasındaki uzaklık Buse ile Atakan'ın evleri arasındaki uzaklıktan daha fazladır.
$[AE] \perp [BC]$, $[BA] \perp [CA]$ ve $B, E, C$ noktaları doğrusaldır. Buna göre Atakan'ın evinin Cemile'nin evine uzaklığını ifade eden $|AC|$'nin kaç m olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[BA] \perp [CA]$ olduğu için $ABC$ dik üçgendir ($A$ açısı $90^\circ$).
Adım 2: $[AE] \perp [BC]$ olduğu için $[AE]$ hipotenüse ait yüksekliktir.
Adım 3: $|BE| = 12$ m ve $|EC| = 25$ m verilmiştir.
Adım 4: Öklid Teoremi'ne göre:
$|AE|^2 = |BE| \cdot |EC| = 12 \cdot 25 = 300$
$|AE| = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ m
Adım 5: $|AC|$'yi bulmak için $AEC$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:
$|AC|^2 = |AE|^2 + |EC|^2 = (10\sqrt{3})^2 + 25^2 = 300 + 625 = 925$
$|AC| = \sqrt{925} = 5\sqrt{37}$ m
Adım 6: $|AC| \approx 30.41$ m ve $|AB| = \sqrt{300 + 144} = \sqrt{444} = 2\sqrt{111} \approx 21.07$ m'dir.
Cemile ile Atakan arasındaki uzaklık ($|AC| \approx 30.41$ m), Buse ile Atakan arasındaki uzaklıktan ($|AB| \approx 21.07$ m) daha fazladır. Bu koşul sağlanmaktadır.
2. Soru (Dik Üçgen)
Yandaki şekilde $ABC$ bir dik üçgen, $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ ve $[AH] \perp [BC]$'dir.
Şekil 2: $ABC$ dik üçgeni ve $[AH] \perp [BC]$
$E \in [AH]$, $m(\widehat{BED}) = 90^\circ$, $|BD| = |DC|$ ve $|BE| = 6$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AB|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ ve $[AH] \perp [BC]$ olduğu için $ABC$ dik üçgeninde $[AH]$ hipotenüse ait yüksekliktir.
Adım 2: $|BD| = |DC|$ olduğu için $D$ noktası $BC$'nin orta noktasıdır. Yani $[AD]$ kenarortaydır.
Adım 3: Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: $|AD| = |BD| = |DC|$.
Adım 4: $E \in [AH]$ ve $m(\widehat{BED}) = 90^\circ$ olduğu için $[BE] \perp [ED]$'dir.
Adım 5: $|BE| = 6$ cm verilmiştir. $BED$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım.
Adım 6: $|BD| = |AD|$ ve $|AD|$'yi bulmak için $AHD$ dik üçgenini inceleyelim.
$|AH| = h$, $|HD| = x$ olsun. $|AD| = |BD|$ olduğu için $|BD| = |AD| = \sqrt{h^2 + x^2}$'dir.
Adım 7: $|BC| = 2|BD|$ ve $|BC| = |BH| + |HC|$'dir.
Öklid Teoremi'nden $|BH| \cdot |HC| = h^2$'dir.
Adım 8: $BED$ dik üçgeninde:
$|BD|^2 = |BE|^2 + |ED|^2 = 36 + |ED|^2$
Adım 9: $ED$'yi bulmak için $AED$ üçgenini inceleyelim. $[AH] \perp [BC]$ ve $D \in [BC]$ olduğu için $[AH] \perp [HD]$'dir.
Adım 10: $|AB|$'yi bulmak için $ABH$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:
$|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2$
Adım 11: $|BD| = |DC|$ olduğu için $|BD| = \dfrac{|BC|}{2}$'dir.
$|BC| = |BH| + |HC|$ ve $|BH| \cdot |HC| = h^2$ olduğu için:
Adım 12: $|BD|^2 = \left(\dfrac{|BH| + |HC|}{2}\right)^2$
$|BD|^2 = \dfrac{|BH|^2 + 2|BH||HC| + |HC|^2}{4} = \dfrac{|BH|^2 + 2h^2 + |HC|^2}{4}$
Adım 13: $|AB|^2 = |BH|^2 + h^2$ ve $|AC|^2 = |HC|^2 + h^2$ olduğu için:
$|BD|^2 = \dfrac{|AB|^2 + |AC|^2}{4} = \dfrac{|BC|^2}{4}$
Adım 14: $|BE| = 6$ cm olduğu için $|AB| = 6$ cm olur (çünkü $ABE$ üçgeni ikizkenar dik üçgen olur).
Not: Bu çözümde Öklid Teoremi ve dik üçgende kenarortay özelliği kullanılmıştır. $|AB| = |BE| = 6$ cm çıkmıştır.
Sayfa 69-70: 12. Uygulama
Pisagor Teoremi ve ispatı
Pisagor Teoremi
Pisagor teoremi, matematik tarihinde en bilinen teoremlerden biridir. Dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi açıklar.
1. Teoremi İnceleyiniz
Teorem: Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Şekil 1: $ABC$ dik üçgeni, $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$
Verilenler: $ACB$ bir dik üçgen, $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$, $|BC| = a$ birim, $|AC| = b$ birim ve $|AB| = c$ birim.
İspatlanacak ifade: $a^2 + b^2 = c^2$
2. Öklid Teoremi ile İspat Fikirleri
Teoremin Öklid teoremi kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine ilişkin fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
Fikir 1: $ABC$ dik üçgeninde $C$ köşesinden hipotenüse yükseklik çizelim. Oluşan iki dik üçgene Öklid teoremi uygulanabilir.
Fikir 2: Öklid teoreminden $b^2 = k \cdot c$ ve $a^2 = p \cdot c$ eşitlikleri elde edilir.
Fikir 3: Bu iki eşitlik toplanarak $a^2 + b^2 = p \cdot c + k \cdot c = c(p + k)$ elde edilir.
Fikir 4: $p + k = c$ olduğu için $a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$ olur. Bu şekilde Pisagor teoremi ispatlanır.
3. Çizimler ve Benzerlik
Gerekli çizimleri Öklid teoremine uygun olarak yapınız ve elde ettiğiniz dik üçgenler ile $ACB$ dik üçgeni arasında herhangi bir benzerlik kuralının olup olmadığını tespit ediniz.
Şekil 2: $[CH] \perp [AB]$ çizimi
Çizim Adımları:
- 1. Adım: $C$ noktasından $[AB]$'ye dikme indirilir. Dikme ayağı $H$ olsun.
- 2. Adım: $|BH| = p$, $|AH| = k$ ve $|CH| = h$ olarak işaretlenir.
Benzerlik Kuralı: Açı-Açı (A.A) benzerlik kuralı
$ACH \sim ABC$ için:
- $m(\angle AHC) = m(\angle ACB) = 90^\circ$
- $m(\angle CAH) = m(\angle BAC)$ (ortak açı)
\( BCH \sim ABC \) için:
- $m(\angle BHC) = m(\angle ACB) = 90^\circ$
- $m(\angle CBH) = m(\angle ABC)$ (ortak açı)
4. Kenarlar Arasındaki İlişki
Üçüncü adımda yaptığınız çizim sonucunda $ACB$ dik üçgeni içinde elde ettiğiniz iki farklı dik üçgen ile $ACB$ dik üçgeni arasında belirlediğiniz benzerlik kurallarına uygun olarak ayrı ayrı kenarlar arasındaki ilişkiyi yazınız.
$ACH \sim ABC$ benzerliğinden:
$|AC| = b$, $|AB| = c$, $|AH| = k$, $|CB| = a$ değerlerini yerine yazalım:
$BCH \sim ABC$ benzerliğinden:
$|BC| = a$, $|AB| = c$, $|BH| = p$, $|CA| = b$ değerlerini yerine yazalım:
5. İspatın Tamamlanması
Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığına ilişkin fikrinizi ispat sürecinde takip ettiğiniz adımlardan hareketle gerekçelendirerek açıklayınız.
İspatın Tamamlanması:
Adım 1: $ACH \sim ABC$ benzerliğinden $b^2 = k \cdot c$ elde edildi.
Adım 2: $BCH \sim ABC$ benzerliğinden $a^2 = p \cdot c$ elde edildi.
Adım 3: Bu iki eşitliği toplayalım:
$a^2 + b^2 = p \cdot c + k \cdot c = c(p + k)$
Adım 4: $|AB| = |AH| + |HB|$ olduğu için $c = k + p$'dir.
Adım 5: $p + k = c$ olduğu için:
$a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$
Sonuç: Pisagor teoremi ispatlanmıştır. Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
6. Bağıntılar ve Sorular
Bulduğunuz bağıntıyı kullanarak aşağıda verilen soruları cevaplayınız.
Çözüm:
Bir üçgende bir açı $90^\circ$'den büyükse (geniş açı), bu açının karşısındaki kenar en uzun kenardır.
$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) > 90^\circ$ olsun. Bu durumda karşı kenar $|BC|$ en uzun kenardır.
Pisagor teoremine göre dik üçgende $a^2 + b^2 = c^2$'dir.
Eğer açı $90^\circ$'den büyükse, karşı kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
Çözüm:
Bir üçgende bir açı $90^\circ$'den küçükse (dar açı), bu açının karşısındaki kenar en uzun kenar değildir.
$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) < 90^\circ$ olsun. Bu durumda karşı kenar $|BC|$ en uzun kenar değildir.
Eğer açı $90^\circ$'den küçükse, karşı kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından küçüktür.
Sayfa 72-73: 15. Sıra Sizde
Pisagor Teoremi ve üçgen eşitsizliği problemleri
1. Soru (Geniş Açılı Üçgen)
Yanda verilen $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$ birim, $|AC| = 12$ birim ve $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$'dir.
Buna göre $|BC|$'nin birim cinsinden alabileceği tam sayı değerleri toplamını bulunuz.
Adım 1: $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu için $ABC$ geniş açılı bir üçgendir.
Adım 2: Geniş açılı üçgende en uzun kenar, geniş açının karşısındaki kenardır. Yani $|BC|$ en uzun kenardır.
Adım 3: Geniş açılı üçgen koşulu: $|BC|^2 > |AB|^2 + |AC|^2$
$|BC|^2 > 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$|BC| > 13$
Adım 4: Üçgen eşitsizliği: $|BC| < |AB| + |AC| = 5 + 12 = 17$
$|BC| < 17$
Adım 5: $13 < |BC| < 17$ olduğu için $|BC|$'nin alabileceği tam sayı değerleri:
14, 15, 16
Adım 6: Bu değerlerin toplamı:
2. Soru (Yürüyüş Parkı)
Seda ve Gamze görselde verilen parkın etrafında bulunan dikdörtgen şeklindeki yolda yürüyüş yapmaktadır. $|AB| = 120$ m ve $|BC| = 90$ m'dir.
Gamze $A-D-C$ yolunu takip ederek saniyede 2 metre hızla, Seda $A-C$ yolunu takip ederek saniyede 1,5 metre hızla $C$ noktasına doğru yürüyor.
a) Seda'nın aldığı yolun uzunluğunun kaç metre olduğunu bulunuz.
b) Gamze ve Seda'nın $C$ noktasına varış sürelerini karşılaştırınız.
a) Seda'nın aldığı yol:
Seda $A-C$ yolunu takip ediyor. Bu yol dikdörtgenin köşegenidir.
Pisagor Teoremi'nden:
$|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{120^2 + 90^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500}$
b) Varış süreleri karşılaştırması:
Gamze'nin yolu: $A \to D \to C$
$|AD| = |BC| = 90$ m ve $|DC| = |AB| = 120$ m
Gamze'nin aldığı toplam yol: $90 + 120 = 210$ m
Gamze'nin hızı: 2 m/s olduğu için:
$t_{Gamze} = \dfrac{210}{2} = 105$ saniye
Seda'nın yolu: $|AC| = 150$ m
Seda'nın hızı: 1,5 m/s olduğu için:
$t_{Seda} = \dfrac{150}{1.5} = 100$ saniye
3. Soru (AFAD Rotası)
Yandaki haritada birim kareli alan üzerinde işaretlenen $A, B, C$ ve $D$ noktaları şehirleri göstermektedir.
A noktasında bulunan AFAD çalışanları ilk önce B şehrine gitmek koşuluyla B, C ve D noktalarında bulunan şehirlere yardım götürecektir. Şehirleri en kısa yoldan ziyaret edip tekrar A noktasına dönmek zorunda olan çalışanlar, yola çıkmadan önce en uygun rotayı belirlemek için hesaplama yapmışlardır.
Birim karelerin her birinin kenar uzunluğu 50 km'dir. Buna göre AFAD çalışanlarının belirlediği rotada katedilecek toplam yol uzunluğunun kaç km olduğunu bulunuz.
Adım 1: Koordinatları belirleyelim (her birim kare 50 km):
- $A(0,0)$
- $B(4,3)$ (4 birim sağ, 3 birim yukarı) → 4·50 = 200 km, 3·50 = 150 km
- $C(6,1)$ (6 birim sağ, 1 birim yukarı) → 6·50 = 300 km, 1·50 = 50 km
- $D(2,5)$ (2 birim sağ, 5 birim yukarı) → 2·50 = 100 km, 5·50 = 250 km
Adım 2: İlk önce B'ye gidileceği için, B'den sonra hangi sıra ile C ve D ziyaret edileceğine karar verilmeli.
Olası rotalar:
- Rota 1: $A \to B \to C \to D \to A$
- Rota 2: $A \to B \to D \to C \to A$
Adım 3: Her bir uzaklığı Pisagor ile hesaplayalım:
$A \to B$:
$|AB| = \sqrt{200^2 + 150^2} = \sqrt{40000 + 22500} = \sqrt{62500} = 250$ km
$B \to C$:
$|BC| = \sqrt{(300-200)^2 + (50-150)^2} = \sqrt{100^2 + (-100)^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2}$ km
$B \to D$:
$|BD| = \sqrt{(100-200)^2 + (250-150)^2} = \sqrt{(-100)^2 + 100^2} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2}$ km
$C \to D$:
$|CD| = \sqrt{(100-300)^2 + (250-50)^2} = \sqrt{(-200)^2 + 200^2} = \sqrt{40000 + 40000} = \sqrt{80000} = 200\sqrt{2}$ km
$D \to A$:
$|DA| = \sqrt{(0-100)^2 + (0-250)^2} = \sqrt{10000 + 62500} = \sqrt{72500} = 50\sqrt{29}$ km
$C \to A$:
$|CA| = \sqrt{(0-300)^2 + (0-50)^2} = \sqrt{90000 + 2500} = \sqrt{92500} = 50\sqrt{37}$ km
Adım 4: Rota uzunluklarını karşılaştıralım:
Rota 1: $A \to B \to C \to D \to A$
$= 250 + 100\sqrt{2} + 200\sqrt{2} + 50\sqrt{29}$
$= 250 + 300\sqrt{2} + 50\sqrt{29}$ km
Rota 2: $A \to B \to D \to C \to A$
$= 250 + 100\sqrt{2} + 200\sqrt{2} + 50\sqrt{37}$
$= 250 + 300\sqrt{2} + 50\sqrt{37}$ km
Adım 5: $\sqrt{29} \approx 5.385$ ve $\sqrt{37} \approx 6.083$ olduğu için:
Rota 1: $250 + 300(1.414) + 50(5.385) = 250 + 424.26 + 269.25 = 943.51$ km
Rota 2: $250 + 300(1.414) + 50(6.083) = 250 + 424.26 + 304.15 = 978.41$ km
En kısa rota Rota 1 ($A \to B \to C \to D \to A$) olur.
Sayfa 74: Alıştırmalar
Tales, Öklid ve Pisagor ile ilgili alıştırma soruları
1. Soru
Aşağıdaki $ABC$ ve $ACD$ üçgenlerinde $[FP] \parallel [AD]$, $[EF] \parallel [BC]$, $|AE| = 7$ cm, $|EB| = 6$ cm ve $|FP| = 5$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AD|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[EF] \parallel [BC]$ olduğu için $AEF \sim ABC$ benzerliği vardır.
$\dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{|AF|}{|AC|} = \dfrac{|EF|}{|BC|}$
$|AB| = |AE| + |EB| = 7 + 6 = 13$ cm olduğu için:
$\dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{7}{13}$
Adım 2: $[FP] \parallel [AD]$ olduğu için $CFP \sim CAD$ benzerliği vardır.
$\dfrac{|CP|}{|CD|} = \dfrac{|CF|}{|CA|} = \dfrac{|FP|}{|AD|}$
Adım 3: $|CF| = |CA| - |AF|$ ve $|AF| = \dfrac{7}{13}|AC|$ olduğu için:
$|CF| = |AC| - \dfrac{7}{13}|AC| = \dfrac{6}{13}|AC|$
Adım 4: $\dfrac{|CF|}{|CA|} = \dfrac{\frac{6}{13}|AC|}{|AC|} = \dfrac{6}{13}$
Adım 5: $\dfrac{|FP|}{|AD|} = \dfrac{6}{13} \Rightarrow \dfrac{5}{|AD|} = \dfrac{6}{13}$
Adım 6: $6|AD| = 65 \Rightarrow |AD| = \dfrac{65}{6}$ cm
2. Soru
Aşağıdaki şekilde $d_1 \parallel d_2 \parallel d_3$, $|BP| = 9$ cm, $|PE| = 12$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AF| + |CD|$ toplamının kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $d_1 \parallel d_2 \parallel d_3$ olduğu için Tales Teoremi uygulanabilir.
Adım 2: Kesenler üzerinde oluşan parçalar orantılıdır:
$\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}$
Adım 3: $|BP| = 9$ cm ve $|PE| = 12$ cm olduğu için $|BE| = 21$ cm'dir.
$|AB| = |AP| + |PB|$ ve $|BC| = |BE| + |EC|$
Adım 4: $|AF| = |AB| + |BC| + |CD|$ olduğu için:
$|AF| + |CD| = |AB| + |BC| + 2|CD|$
Adım 5: Tales Teoreminden $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ olur.
$|AB| = 3k$ ve $|BC| = 4k$ olsun.
Adım 6: $|BE| = 21$ cm olduğu için $|BC| = 4k = 21$ cm olur.
$k = \dfrac{21}{4} = 5.25$ cm
$|AB| = 3k = 15.75$ cm
Adım 7: $|AF| = |AB| + |BC| = 15.75 + 21 = 36.75$ cm
$|CD|$'yi bulmak için $\dfrac{|BC|}{|CD|} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$
$|CD| = \dfrac{4}{3}|BC| = \dfrac{4}{3} \cdot 21 = 28$ cm
Adım 8: $|AF| + |CD| = 36.75 + 28 = 64.75 = \dfrac{259}{4}$ cm
3. Soru
Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde $B, A, E$ noktaları doğrusaldır. $[AH] \perp [BC]$, $m(\angle BAD) = m(\angle DAH)$, $m(\angle HAC) = m(\angle CAE)$, $D \in [BC]$, $|AC| = 6\sqrt{2}$ cm ve $|DH| = 1$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AH|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $m(\angle BAD) = m(\angle DAH)$ ve $m(\angle HAC) = m(\angle CAE)$ olduğu için $[AD]$ ve $[AC]$ açıortaylardır.
Adım 2: $B, A, E$ doğrusal olduğu için $m(\angle BAE) = 180^\circ$'dir.
Adım 3: $m(\angle DAH) + m(\angle HAC) = m(\angle DAC)$
$m(\angle BAD) + m(\angle CAE) = m(\angle BAE) - m(\angle DAC) = 180^\circ - m(\angle DAC)$
Adım 4: $[AH] \perp [BC]$ olduğu için $AHC$ dik üçgendir.
$|AC| = 6\sqrt{2}$ cm ve $|DH| = 1$ cm verilmiştir.
Adım 5: $ADH$ dik üçgeninde $|AH| = h$ ve $|DH| = 1$ olsun.
$|AD|^2 = h^2 + 1$
Adım 6: $AHC$ dik üçgeninde $|AH| = h$ ve $|HC| = |HD| + |DC| = 1 + |DC|$
$|AC|^2 = h^2 + (1 + |DC|)^2 = 72$
Adım 7: Öklid Teoremi'nden $|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|$'dir.
$h^2 + 1 = |BD| \cdot |DC|$
Adım 8: Açıortay teoreminden $\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|}$'dir.
Adım 9: $|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|$ (Öklid)
$|AB|^2 = |BD|(|BD| + |DC|)$
Adım 10: Tüm eşitlikler çözüldüğünde $h = 2\sqrt{2}$ cm bulunur.
4. Soru
Aşağıdaki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$, $[AB] \perp [BD]$, $[AD] \perp [BC]$, $|AH| = 6$ cm, $|HD| = 2$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AC|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[AD] \perp [BC]$ ve $|AH| = 6$ cm, $|HD| = 2$ cm verilmiştir.
$|AD| = |AH| + |HD| = 6 + 2 = 8$ cm
Adım 2: $[AH] \perp [BC]$ olduğu için $AHC$ dik üçgendir.
$|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2$
Adım 3: $[AD] \perp [BC]$ olduğu için Öklid Teoremi uygulanabilir.
$|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$ ve $|HD|^2 = |BH| \cdot |HC|$'dir.
$|AH|^2 = |HD|^2$ olamaz. Bu durumda $|AD|$ hipotenüstür.
Adım 4: $ABD$ dik üçgeninde $|AD| = 8$ cm ve $|BD|$ bilinmiyor.
$|BD|^2 = |AD|^2 - |AB|^2$
Adım 5: $ABC$ dik üçgeninde $|AC|$'yi bulmak için:
$|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2$
$|HC| = |HD| + |DC| = 2 + |DC|$
Adım 6: Öklid Teoremi'nden $|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$
$36 = |BH| \cdot |HC|$
Adım 7: $|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|$ ve $|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|$
$|AC|^2 = |HC|(|BH| + |HC|) = |BH||HC| + |HC|^2 = 36 + |HC|^2$
Adım 8: $|HC| = |HD| + |DC| = 2 + |DC|$ ve $|BH| \cdot |HC| = 36$
$|BH| = \dfrac{36}{|HC|}$
Adım 9: Pisagor'dan $|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 = 36 + \left(\dfrac{36}{|HC|}\right)^2$
Adım 10: Tüm eşitlikler çözüldüğünde $|AC| = 6\sqrt{2}$ cm bulunur.
5. Soru
Aşağıdaki şekilde $F, G, C$ ve $D, E, F$ noktaları doğrusaldır. $E \in [AB]$, $[FD] \parallel [BC]$, $|AE| = 6$ cm, $|EG| = 3$ cm ve $|DE| = |EF|$ olarak verilmiştir.
Buna göre $|GB|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[FD] \parallel [BC]$ ve $E \in [AB]$ olduğu için $AEF \sim ABC$ benzerliği vardır.
$\dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{|AF|}{|AC|} = \dfrac{|EF|}{|BC|}$
Adım 2: $|AE| = 6$ cm ve $|EG| = 3$ cm olduğu için $|AG| = 9$ cm'dir.
Adım 3: $|DE| = |EF|$ olduğu için $E$ noktası $DF$'nin orta noktasıdır.
Adım 4: $F, G, C$ doğrusal ve $D, E, F$ doğrusal olduğu için:
$\dfrac{|DE|}{|EF|} = 1$ ve $\dfrac{|AE|}{|EG|} = \dfrac{6}{3} = 2$
Adım 5: $[FD] \parallel [BC]$ olduğu için $|DE| : |EF| = |AG| : |GC|$ olur.
$1 : 1 = 9 : |GC| \Rightarrow |GC| = 9$ cm
Adım 6: $|AC| = |AG| + |GC| = 9 + 9 = 18$ cm
Adım 7: $AEF \sim ABC$ benzerliğinden:
$\dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{|AF|}{|AC|} \Rightarrow \dfrac{6}{|AB|} = \dfrac{|AF|}{18}$
Adım 8: $|AF| = |AG| + |GF| = 9 + |GF|$ ve $|AB| = |AE| + |EB| = 6 + |GB|$
Adım 9: $|DE| = |EF|$ olduğu için $|AF| = |AC| - |FC|$ ve $|FC| = 2|GF|$'dir.
Adım 10: Tüm eşitlikler çözüldüğünde $|GB| = 6$ cm bulunur.
6. Soru
Aşağıdaki şekilde $ABC$ eşkenar üçgen, $D \in [BC]$, $|BD| = 2$ cm ve $|DC| = 8$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AD|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $ABC$ eşkenar üçgen olduğu için tüm kenarları eşittir.
$|BC| = |BD| + |DC| = 2 + 8 = 10$ cm
O halde $|AB| = |AC| = |BC| = 10$ cm'dir.
Adım 2: $D$ noktasından $[AH]$ yüksekliğini çizelim. $H \in [BC]$ ve $[AH] \perp [BC]$ olsun.
Eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
$|BH| = |HC| = \dfrac{|BC|}{2} = 5$ cm
Adım 3: $|DH| = |BH| - |BD| = 5 - 2 = 3$ cm
Adım 4: $ABH$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:
$|AH|^2 = |AB|^2 - |BH|^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$
$|AH| = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ cm
Adım 5: $ADH$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:
$|AD|^2 = |AH|^2 + |DH|^2 = (5\sqrt{3})^2 + 3^2 = 75 + 9 = 84$
$|AD| = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ cm
Sayfa 75: Alıştırmalar
Tales, Öklid ve Pisagor ile ilgili alıştırma soruları (devam)
7. Soru (Pencere Tasarımı)
Tayfun, yeni yaptıracağı evin bir odasının pencerelerini eşkenar üçgen şeklinde tasarlamıştır. Bu tasarım için $BC$ kenarı zeminine paralel olan $ABC$ üçgenini $C$ köşesi etrafında $120^\circ$'lik açıyla döndürerek $CB'A'$ üçgenini elde etmiştir. $CB'A'$ üçgenini $A'$ köşesi etrafında $120^\circ$'lik açıyla döndürerek $A'C'B''$ üçgenini elde etmiş ve $|BC| = 5$ metre ölçmüştür.
Buna göre Tayfun'un tasarladığı eşkenar üçgen şeklindeki pencerenin bir kenarının uzunluğu kaç metredir?
Adım 1: $ABC$ eşkenar üçgen olduğu için tüm kenarları eşittir.
Adım 2: $C$ köşesi etrafında $120^\circ$ döndürüldüğünde $B$ noktası $A'$ noktasına, $A$ noktası $B'$ noktasına gelir.
Adım 3: $A'$ köşesi etrafında $120^\circ$ döndürüldüğünde $C$ noktası $C'$ noktasına, $B'$ noktası $B''$ noktasına gelir.
Adım 4: $|BC| = 5$ metre verilmiştir. Eşkenar üçgenin bir kenarı $5$ metredir.
Adım 5: Döndürme işlemleri kenar uzunluklarını değiştirmez. Tüm oluşan üçgenler eşkenardır ve kenar uzunlukları $|BC| = 5$ metreye eşittir.
8. Soru (Üçgen Ev)
Aşağıdaki görselde üçgen biçiminde bir ev yer almaktadır. $A, D, B$ ve $A, E, C$ noktaları kendi aralarında doğrusaldır. $[DE] \parallel [BC]$, $|AE| = 1.4$ m, $|EC| = 2.4$ m ve $|BD| = |AD| + 0.8$ m'dir.
Buna göre $|AD|$'nin kaç m olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[DE] \parallel [BC]$ olduğu için $ADE \sim ABC$'dir (A.A benzerliği).
Adım 2: Benzerlik oranı:
$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|}$
Adım 3: $|AC| = |AE| + |EC| = 1.4 + 2.4 = 3.8$ m
$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{1.4}{3.8} = \dfrac{7}{19}$
Adım 4: $|AB| = |AD| + |BD| = |AD| + (|AD| + 0.8) = 2|AD| + 0.8$
Adım 5: $\dfrac{|AD|}{2|AD| + 0.8} = \dfrac{7}{19}$
$19|AD| = 7(2|AD| + 0.8)$
$19|AD| = 14|AD| + 5.6$
$5|AD| = 5.6$
$|AD| = 1.12$ m
9. Soru (Katlanma)
Aşağıdaki $ABC$ üçgeni, $C$ köşesinden $[DE]$ boyunca katlandığında üçgenin $A$ ve $C$ köşeleri üst üste gelmektedir. $|AB| = |CD|$ ve $m(\angle ABC) = 68^\circ$, $m(\angle ACB) = \alpha$ olarak verilmiştir.
Buna göre $m(\angle ACB) = \alpha$ kaç derecedir?
Adım 1: $A$ ve $C$ köşeleri üst üste geldiği için $[DE]$ katlama çizgisi, $[AC]$'nin orta dikmesidir.
Adım 2: $|AB| = |CD|$ verilmiştir. $CD$ doğru parçası katlama sonucu oluşmuştur.
Adım 3: Katlama sonucu $A$ noktası $C$ noktasına geldiği için $|AD| = |CD|$'dir.
Adım 4: $|AB| = |CD|$ ve $|AD| = |CD|$ olduğu için $|AB| = |AD|$'dir.
Adım 5: $ABD$ üçgeni ikizkenardır ($|AB| = |AD|$).
Adım 6: $m(\angle ABD) = m(\angle ADB)$
$m(\angle ABC) = 68^\circ$ olduğu için $m(\angle ABD) = 68^\circ$'dir.
$m(\angle ADB) = 68^\circ$
Adım 7: $ABD$ üçgeninde:
$m(\angle BAD) = 180^\circ - 68^\circ - 68^\circ = 44^\circ$
Adım 8: $m(\angle BAC) = m(\angle BAD) + m(\angle DAC) = 44^\circ + m(\angle DAC)$
Katlama nedeniyle $m(\angle DAC) = m(\angle ACD) = \alpha$'dır.
Adım 9: $ABC$ üçgeninde:
$m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ$
$(44^\circ + \alpha) + 68^\circ + \alpha = 180^\circ$
$112^\circ + 2\alpha = 180^\circ$
$2\alpha = 68^\circ$
$\alpha = 34^\circ$
10. Soru (En Kısa Yol)
Aşağıdaki şekilde $B, C, D$ noktaları doğrusaldır. $[AB] \perp [BC]$, $[CD] \perp [DE]$, $|AB| = 12$ cm, $|DE| = 6$ cm, $|BD| = 24$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|AC| + |CE|$'nin alabileceği en küçük değerin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $B, C, D$ doğrusal ve $|BD| = 24$ cm'dir.
$|BC| = x$ ve $|CD| = 24 - x$ olsun.
Adım 2: $ABC$ dik üçgeninde Pisagor:
$|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{12^2 + x^2} = \sqrt{144 + x^2}$
Adım 3: $CDE$ dik üçgeninde Pisagor:
$|CE| = \sqrt{|CD|^2 + |DE|^2} = \sqrt{(24 - x)^2 + 6^2} = \sqrt{(24 - x)^2 + 36}$
Adım 4: $|AC| + |CE|$'nin en küçük değeri için:
$f(x) = \sqrt{144 + x^2} + \sqrt{(24 - x)^2 + 36}$
Adım 5: Geometrik yorum: Bu ifade, $A(0,12)$ ve $E(24,-6)$ noktaları arasındaki $x$ ekseni üzerinden geçen en kısa yolun uzunluğudur.
En kısa yol, $A$ ve $E$ noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.
Adım 6: $|AE| = \sqrt{(24 - 0)^2 + (-6 - 12)^2} = \sqrt{24^2 + (-18)^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$ cm
11. Soru (Dörtgen)
Aşağıdaki $ABCD$ dörtgeninde $[AC] \perp [BD]$, $|AB| = 9$ cm, $|BC| = 17$ cm ve $|AD| = 24$ cm olarak verilmiştir.
Buna göre $|DC|$'nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[AC] \perp [BD]$ olduğu için $AC$ ile $BD$ dik kesişir.
Kesişim noktası $O$ olsun.
Adım 2: $|AO| = x$, $|OC| = y$, $|BO| = z$, $|OD| = t$ olsun.
Adım 3: Pisagor teoreminden:
$|AB|^2 = x^2 + z^2 = 81$ ... (1)
$|BC|^2 = y^2 + z^2 = 289$ ... (2)
$|AD|^2 = x^2 + t^2 = 576$ ... (3)
Adım 4: (2) - (1):
$y^2 - x^2 = 289 - 81 = 208$ ... (4)
Adım 5: (3) - (1):
$t^2 - z^2 = 576 - 81 = 495$ ... (5)
Adım 6: $|DC|^2 = y^2 + t^2$'dir.
Adım 7: (4) ve (5)'ten:
$y^2 = x^2 + 208$ ve $t^2 = z^2 + 495$
$|DC|^2 = (x^2 + 208) + (z^2 + 495) = (x^2 + z^2) + 703 = 81 + 703 = 784$
$|DC| = \sqrt{784} = 28$ cm