Sayfalara Git
Konuya Başlarken
Havuz problemi: Benzer üçgen oluşturma koşulları
Balık Yetiştirme Havuzu Problemi
Bir balık yetiştirme havuzunun içinde yavrulama dönemindeki balıklar için ayrı bir bölme yapılmak istenmektedir. Havuz $ABC$ üçgeni şeklinde modellenmiştir. Bölme, $K \subseteq [AB]$ ve $L \subseteq [AC]$ olacak şekilde seçilen iki noktanın doğrusal şekilde birleştirilmesi ile oluşturulacaktır.
Oluşacak $AKL$ üçgeni ile $ABC$ üçgeninin benzer olması istendiğine göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Hangi Ölçümler Yapılmalı?
$ABC$ üçgenine benzer $AKL$ üçgenini oluşturmak için $K$ ve $L$ noktalarını belirlemeden önce hangi ölçümler yapılmalıdır?
Öncelikle $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları ($|AB|, |AC|, |BC|$) ve açı ölçüleri ($m(\widehat{A}), m(\widehat{B}), m(\widehat{C})$) belirlenmelidir. Benzerlik için $A$ ortak açı olacağından, $|AK|$ ve $|AL|$ uzunlukları ile $|AB|$ ve $|AC|$ arasındaki oranın sabit tutulması gerekir. Ayrıca $[KL] \parallel [BC]$ koşulunun sağlanması için $K$ ve $L$'nin kenarlar üzerindeki konumları orantılı olarak ayarlanmalıdır.
$[KL] \neq [BC]$ Durumu
$K$ ve $L$ noktası $[KL] \neq [BC]$ olacak şekilde seçilirse $AKL$ ve $ABC$ üçgenlerinin benzer olup olmayacağına ilişkin fikirlerinizi açıklayınız.
$[KL] \neq [BC]$ olması, $KL$'nin $BC$'ye paralel olmadığı anlamına gelir. Ancak benzerlik için $KL \parallel BC$ şartı tek başına yeterli değildir. Eğer $K$ ve $L$ noktaları, $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ oranını sağlayacak şekilde seçilirse, $KL \parallel BC$ olmasa bile $AKL$ üçgeni $ABC$ üçgenine benzer olabilir. Çünkü benzerlik için kenar oranlarının eşit olması ve ara açının ($\angle A$) eşit olması yeterlidir. Fakat bu durumda $KL$ ile $BC$ paralel olmayacağı için üçgenlerin diğer açıları eşit olmayabilir; bu nedenle benzerlik garanti değildir.
Ortak Kenar Oranları Yeterli mi?
$AKL$ ve $ABC$ üçgenlerinin ortak köşesini oluşturan kenar uzunluklarının orantılı olması, üçgenlerin benzer olması için yeterli midir? Açıklayınız.
$ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ oranının sağlanması, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) benzerlik kuralı açısından yeterlidir. Çünkü $A$ açısı her iki üçgen için de ortak ve eşittir. Bu durumda, bu iki kenarın orantılı olması ve aralarındaki açının eşit olması, üçgenlerin benzer olması için yeterli koşuldur. Ek olarak, bu oran sağlandığında $KL \parallel BC$ olmasa bile üçgenler benzer olur (K.A.K benzerliği).
Temel Çıkarım
$AKL$ üçgeninin $ABC$ üçgenine benzer olması için: $\dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} = k$ oranının sağlanması yeterlidir (K.A.K). Ayrıca $KL \parallel BC$ olması bu oranın doğal bir sonucudur (Temel Orantı Teoremi). Ancak $[KL] \neq [BC]$ olması benzerliği engellemez, yeter ki kenar oranları eşit olsun.
Soru Çözümleri
Detaylı çözümler ve benzerlik kriterleri
Adım 1: $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları ($|AB|, |AC|, |BC|$) ve açıları ($m(\widehat{A}), m(\widehat{B}), m(\widehat{C})$) ölçülmeli.
Adım 2: Benzerlik oranı $k$ belirlenmeli ($0 < k \le 1$).
Adım 3: $|AK| = k \cdot |AB|$ ve $|AL| = k \cdot |AC|$ olacak şekilde $K$ ve $L$ noktaları işaretlenmeli.
Adım 4: $K$ ve $L$'yi birleştiren $[KL]$ çizildiğinde, Temel Orantı Teoremi gereği $KL \parallel BC$ olur ve $AKL \sim ABC$ elde edilir.
Öncelikle: $[KL] \neq [BC]$ ifadesi, $KL$ doğru parçasının $BC$'ye eşit olmadığını belirtir. Bu, ya uzunluklarının farklı olduğu ya da paralel olmadığı anlamına gelebilir.
Benzerlik açısından: $AKL$ ve $ABC$ üçgenlerinin benzer olması için $KL \parallel BC$ şartı tek başına yeterli değildir. Önemli olan kenar oranlarının eşitliğidir.
Örnek: Eğer $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ sağlanırsa, K.A.K benzerliğinden $AKL \sim ABC$ olur. Bu durumda $KL$ ile $BC$ arasında paralellik zorunlu olarak oluşur (Temel Orantı Teoremi). Yani eğer oran eşitliği varsa, $[KL] \neq [BC]$ olamaz (çünkü paralel olurlar).
Sonuç: Eğer $[KL] \neq [BC]$ ise (yani paralel değilse), bu durumda kenar oranları eşitlenemez ve üçgenler benzer olmaz. Ancak $[KL]$ uzunluğu $[BC]$'den farklı olabilir (benzerlik oranı $k \neq 1$), bu durumda $KL \parallel BC$ olur ve üçgenler yine benzerdir.
Soru: $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ oranı, üçgenlerin benzerliği için yeterli midir?
Cevap: Evet, yeterlidir.
Neden? $A$ açısı her iki üçgen için de ortak ve eşittir. Eğer $A$ açısını oluşturan kenarlar orantılı ise, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) Benzerlik Teoremi gereği üçgenler benzerdir. Bu durumda $KL \parallel BC$ olması da otomatik olarak gelir (Tales teoreminin tersi).
Formül: $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} = k $ ise, $|KL| = k \cdot |BC|$ olur ve $AKL \sim ABC$'dir.
Özet: Benzer Üçgen Oluşturma Koşulları
- K.A.K Kuralı: Ortak açının kenarları orantılı ise üçgenler benzerdir.
- Temel Orantı Teoremi: $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ ise $KL \parallel BC$'dir.
- Uyarı: $[KL] \neq [BC]$ ifadesi, eğer paralellik bozuluyorsa benzerlik olmaz. Ancak uzunluk farkı ($k \neq 1$) benzerliği etkilemez.
Sayfa 53-54: 8. Uygulama
Benzer Üçgen Oluşturma – Nokta eşleştirme ve benzerlik koşulları
8. Uygulama: Benzer Üçgen Oluşturma
Aşağıda verilen $ABC$ üçgeninin $AB$ ve $AC$ kenarları sırasıyla 4 ve 6 eşit aralığa ayrılmıştır. Benzerlik koşullarından hareketle noktalardan ikisini birleştirerek $ABC$ üçgenine benzer üçgenler oluşturunuz ve soruları cevaplayınız.
4. Tema / Eşlik ve Benzerlik
Hangi Nokta Çiftleri?
Hangi nokta çiftleri birleştirilirse oluşan üçgenler ile $ABC$ üçgeninin benzer olacağını açıklayınız.
$AB$ kenarı 4 eşit parçaya, $AC$ kenarı 6 eşit parçaya ayrılmıştır. Benzerlik için $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ oranı sağlanmalıdır. Buna göre aşağıdaki nokta çiftleri birleştirilirse $AKL \sim ABC$ olur:
- $K_1$ ile $L_1$ $\left( \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6} \text{?} \right)$ – Bu oran eşit değil, benzer olmaz.
- $K_2$ ile $L_3$ $\left( \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \right)$ – Benzer.
- $K_3$ ile $L_?$ – uygun oran bulunamaz.
- $K_4$ ile $L_6$ $\left( \dfrac{4}{4} = \dfrac{6}{6} = 1 \right)$ – Benzer (eşlik).
Sonuç: $K_2$–$L_3$ ve $K_4$–$L_6$ çiftleri benzer üçgen oluşturur.
Hangi Benzerlik Koşulu?
Benzer üçgenlerin hangi benzerlik koşuluna göre belirlendiğini yazınız.
Oluşan $AKL$ ve $ABC$ üçgenlerinde $A$ açısı ortaktır. $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ oranı sağlandığında, Kenar–Açı–Kenar (K.A.K) benzerlik koşulu geçerlidir. Bu koşula göre iki kenarı orantılı ve aralarındaki açı eşit olan üçgenler benzerdir.
$[LR] \parallel [BC]$ Nedeni?
$ABC$ üçgeninde $[LR]$ çizildiğinde $[LR] \parallel [BC]$ olmasının nedenini açıklayınız.
Eğer $L$ ve $R$ noktaları, $ \dfrac{|AL|}{|AB|} = \dfrac{|AR|}{|AC|} $ oranını sağlayacak şekilde seçilirse, Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi) gereği $LR \parallel BC$ olur. Bu teorem: "Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler" şeklindedir. Tersi de geçerlidir: Eğer iki kenar üzerindeki noktalar, kenarları orantılı bölüyorsa, bu noktaları birleştiren doğru üçüncü kenara paraleldir.
Uygulama Özeti
- Benzerlik oranı: $ \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} $ eşitliği sağlanmalıdır.
- Kullanılan benzerlik koşulu: Kenar–Açı–Kenar (K.A.K).
- Paralellik nedeni: Orantılı bölme sonucu Temel Orantı Teoremi gereği $KL \parallel BC$ olur.
- Uygun nokta çiftleri: $K_2$–$L_3$ (oran $1/2$) ve $K_4$–$L_6$ (oran 1, eşlik).
Sayfa 55: 9. Uygulama
Paralel çizme ve benzerlik ilişkileri
11. Sıra Sizde
Yandaki $ABC$ üçgeninde
$D \in [AB]$, $F \in [AC]$, $2|BD| = |AD|$, $2|FC| = |AF|$, $|DE| = 5$ birim ve $|FE| = 8$ birim olduğuna göre $|BC|$'nin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Adım 1: $2|BD| = |AD|$ ise $|AD| = 2|BD|$ olur. $|AB| = |AD| + |BD| = 2|BD| + |BD| = 3|BD|$
Dolayısıyla $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{2|BD|}{3|BD|} = \dfrac{2}{3}$
Adım 2: $2|FC| = |AF|$ ise $|AF| = 2|FC|$ olur. $|AC| = |AF| + |FC| = 2|FC| + |FC| = 3|FC|$
Dolayısıyla $\dfrac{|AF|}{|AC|} = \dfrac{2|FC|}{3|FC|} = \dfrac{2}{3}$
Adım 3: $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AF|}{|AC|} = \dfrac{2}{3}$ olduğu için Temel Orantı Teoremi'ne göre $[DF] \parallel [BC]$'dir.
Bu durumda $ADF \sim ABC$ olur ve benzerlik oranı $k = \dfrac{2}{3}$'tür.
Adım 4: $|DF| = k \cdot |BC| = \dfrac{2}{3}|BC|$ olur.
Adım 5: $DEF$ üçgeninde $|DE| = 5$, $|FE| = 8$ ve $|DF| = \dfrac{2}{3}|BC|$'dir.
Üçgen eşitsizliğine göre:
- $|DF| + 5 > 8 \Rightarrow \dfrac{2}{3}|BC| > 3 \Rightarrow |BC| > 4.5$
- $|DF| + 8 > 5 \Rightarrow \dfrac{2}{3}|BC| > -3$ (her zaman doğru)
- $5 + 8 > |DF| \Rightarrow 13 > \dfrac{2}{3}|BC| \Rightarrow |BC| < 19.5$
Adım 6: $4.5 < |BC| < 19.5$ olduğundan $|BC|$'nin alabileceği tam sayı değerleri: $5, 6, 7, \dots, 19$
En küçük tam sayı değeri: $5$
En büyük tam sayı değeri: $19$
Toplam: $5 + 19 = 24$
9. Uygulama: Paralel Çizme
Aşağıdaki $ABC$ üçgeninin kenarları üzerindeki iki noktayı üçgenin herhangi bir kenarına paralel olacak şekilde birleştiriniz. Oluşturduğunuz üçgenle $ABC$ üçgeni arasındaki ilişkiyi inceleyerek aşağıda verilen soruları cevaplayınız.
Benzerlik Durumu
Oluşan üçgen ile $ABC$ üçgeninin benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Evet, benzerdir. Kenarlar üzerinde alınan iki nokta, üçgenin herhangi bir kenarına paralel olacak şekilde birleştirildiğinde, oluşan küçük üçgen ile büyük üçgen arasında Açı-Açı (A.A) benzerliği oluşur.
Benzerlik Koşulu
Oluşan üçgen ile $ABC$ üçgeni benzer ise bu benzerliğin hangi benzerlik koşuluna dayandığını açıklayınız.
Açı-Açı (A.A) benzerlik koşulu kullanılır. Paralellik nedeniyle oluşan yöndeş açılar eşittir. Örneğin $[KL] \parallel [BC]$ çizildiğinde $\angle AKL = \angle ABC$ ve $\angle ALK = \angle ACB$ olur. $A$ açısı ise ortaktır.
Genel Geçerlilik
Bir önceki soruda elde ettiğiniz sonucun çizilen tüm paralel doğrular için geçerli olup olmadığını açıklayınız.
Evet, tüm paralel doğrular için geçerlidir. Üçgenin herhangi bir kenarına paralel çizilen her doğru, üçgenin diğer iki kenarını kestiğinde, oluşan küçük üçgen her zaman büyük üçgene benzer. Çünkü paralellik her zaman yöndeş açıların eşitliğini sağlar ve A.A benzerlik koşulu her durumda geçerlidir.
$[KL] \neq [EF]$ Durumu
Bir $DEF$ üçgeni çiziniz. $K \in [DE]$, $L \in [DF]$ ve $[KL] \neq [EF]$ olacak şekilde bir $DKL$ üçgeni oluşturunuz. $DKL$ ile $DEF$ üçgenlerinin benzerlik ilişkisinden hareketle bu üçgenlerin kenarları arasındaki orantıyı ifade ediniz.
$[KL] \neq [EF]$ ifadesi, $KL$ ile $EF$'nin paralel olmadığı veya uzunluklarının eşit olmadığı anlamına gelir.
Eğer $KL$ ile $EF$ paralel değilse, $DKL$ ve $DEF$ üçgenleri benzer değildir.
Ancak $[KL] \parallel [EF]$ koşulu sağlanırsa:
Uygulama Özeti
- Temel kural: Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler.
- Benzerlik koşulu: Açı-Açı (A.A) benzerliği.
- Kenar orantısı: $\dfrac{|DK|}{|DE|} = \dfrac{|DL|}{|DF|} = \dfrac{|KL|}{|EF|}$
- Uyarı: $[KL] \neq [EF]$ ifadesi, paralellik bozuluyorsa benzerlik olmaz. Ancak uzunluk farkı ($k \neq 1$) benzerliği etkilemez.
Sayfa 57: 12. Sıra Sizde
Benzerlik ile açı bulma (Trigonometrisiz)
1. Soru
Yandaki $ABC$ üçgeninde
$D \in [AB]$, $E \in [AC]$, $[AB] \perp [BC]$, $|AE| = |EC|$ ve $2|AD| = 6|BD| = 3|BC|$ olduğuna göre $m(\angle ADE) = x$'in kaç derece olduğunu bulunuz.
Şekil 1: $ABC$ dik üçgeni, $D \in [AB]$, $E \in [AC]$, $F \in [AB]$ ve $[EF] \perp [AB]$
Adım 1: $2|AD| = 6|BD| = 3|BC|$ eşitliğinden ortak kat $6k$ olsun.
- $2|AD| = 6k \Rightarrow |AD| = 3k$
- $6|BD| = 6k \Rightarrow |BD| = k$
- $3|BC| = 6k \Rightarrow |BC| = 2k$
Adım 2: $|AB| = |AD| + |BD| = 3k + k = 4k$
Adım 3: $|AE| = |EC|$ olduğu için $E$ noktası $AC$'nin orta noktasıdır.
$|AC| = 2|AE|$ ve $\dfrac{|AC|}{|AE|} = 2$ olur.
Adım 4: $F \in [AB]$ olacak şekilde $[EF] \perp [AB]$ çizelim.
$[EF] \perp [AB]$ ve $[BC] \perp [AB]$ olduğu için $[EF] \parallel [BC]$'dir.
Adım 5: $AEF \sim ABC$ benzerliği oluşur (A.A benzerliği).
Benzerlik oranı:
$\dfrac{|AC|}{|AE|} = \dfrac{|BC|}{|EF|} = \dfrac{|AB|}{|AF|}$
Adım 6: $\dfrac{|AC|}{|AE|} = 2$ olduğu için benzerlik oranı $2$'dir.
Adım 7: $\dfrac{|BC|}{|EF|} = 2 \Rightarrow |EF| = \dfrac{|BC|}{2} = \dfrac{2k}{2} = k$
Adım 8: $\dfrac{|AB|}{|AF|} = 2 \Rightarrow |AF| = \dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{4k}{2} = 2k$
Adım 9: $|AD| = 3k$ ve $|AF| = 2k$ olduğu için:
$|DF| = |AD| - |AF| = 3k - 2k = k$
Adım 10: $|BD| = k$ olduğu için:
$|BF| = |BD| + |DF| = k + k = 2k$
Adım 11: $DEF$ üçgeninde:
- $|DF| = k$
- $|EF| = k$
- $[EF] \perp [AB]$ olduğu için $[EF] \perp [DF]$ (çünkü $D, F, B$ doğrusal)
Adım 12: $|DF| = |EF| = k$ ve $m(\angle DFE) = 90^\circ$ olduğu için $DEF$ üçgeni ikizkenar dik üçgendir.
Adım 13: İkizkenar dik üçgende taban açıları $45^\circ$'dir.
$m(\angle FDE) = m(\angle DEF) = 45^\circ$
Adım 14: $m(\angle ADE) = x$ ile $m(\angle FDE)$ aynı açıdır. (Çünkü $A, D, F$ doğrusaldır.)
Not: Bu çözümde $[EF] \perp [AB]$ çizilerek $AEF \sim ABC$ benzerliği kurulmuş, ardından $DEF$ üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğu gösterilmiştir. Hiç trigonometri kullanılmamıştır.
2. Soru
Yandaki $ABC$ üçgeninde
$D \in [AC]$, $m(\angle BCD) = m(\angle DBC)$, $2|AD| = |DC|$ ve $|BC| = 6x$ birim olduğuna göre $|AB|$'nin $x$ türünden eşitini bulunuz.
Şekil 2: $ABC$ üçgeni, $D \in [AC]$ ve $[DE] \parallel [AB]$
Adım 1: $m(\angle BCD) = m(\angle DBC)$ olduğu için $DBC$ üçgeni ikizkenardır.
Bu durumda $|BD| = |DC|$'dir.
Adım 2: $2|AD| = |DC|$ ise $|AD| = \dfrac{|DC|}{2}$ olur.
Adım 3: $|AC| = |AD| + |DC| = \dfrac{|DC|}{2} + |DC| = \dfrac{3|DC|}{2}$ olur.
Adım 4: $\dfrac{|AD|}{|DC|} = \dfrac{1}{2}$ olduğu için $D$ noktası $AC$'yi $1:2$ oranında böler.
Adım 5: $E \in [AB]$ olacak şekilde $[DE] \parallel [AB]$ çizelim.
($[DE] \parallel [AB]$ olduğu için $CDE \sim CBA$ benzerliği oluşur.)
Adım 6: Benzerlik oranı:
$\dfrac{|CD|}{|CA|} = \dfrac{|CE|}{|CB|} = \dfrac{|DE|}{|AB|}$
Adım 7: $|CD| = \dfrac{2}{3}|CA|$ olduğu için benzerlik oranı $k = \dfrac{2}{3}$'tür.
Adım 8: $\dfrac{|CE|}{|CB|} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow |CE| = \dfrac{2}{3}|CB|$
Adım 9: $|BC| = 6x$ olduğu için $|CE| = \dfrac{2}{3} \cdot 6x = 4x$
Adım 10: $|BE| = |BC| - |CE| = 6x - 4x = 2x$
Adım 11: $m(\angle BCD) = m(\angle DBC)$ olduğu için $BD$, $ABC$ üçgeninin açıortayıdır.
Adım 12: Açıortay teoremine göre:
$\dfrac{|AD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|BC|}$
Adım 13: $\dfrac{|AD|}{|DC|} = \dfrac{1}{2}$ olduğu için:
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{|AB|}{|BC|} \Rightarrow |AB| = \dfrac{1}{2}|BC|$
Adım 14: $|BC| = 6x$ olduğundan:
Sonuç: $|AB| = 3x$ birimdir.
Sayfa 59: Alıştırmalar
Benzerlik ile ilgili alıştırma soruları
1. Soru
Cetveller birleştirilerek aşağıdaki üçgen şekli oluşturulmuştur.
1 ve 2 numaralı cetveller üzerindeki hangi sayılar arasına bir doğru parçası yerleştirilirse mevcut üçgene benzer bir üçgen elde edilebileceğini bulunuz.
Adım 1: Cetvel 1'deki sayılar: 1, 2, 3, 4, 5 (toplam 5 eşit parça)
Cetvel 2'deki sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (toplam 7 eşit parça)
Adım 2: Benzerlik için $\dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|}$ oranı sağlanmalıdır.
Adım 3: Olası oranları inceleyelim:
- $\dfrac{1}{5} = \dfrac{?}{7}$ → 7 ile 5 arasında tam sayı oran yok.
- $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{7}$ → 7 ile 5 arasında tam sayı oran yok.
- $\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{7}$ → 7 ile 5 arasında tam sayı oran yok.
- $\dfrac{4}{5} = \dfrac{?}{7}$ → 7 ile 5 arasında tam sayı oran yok.
- $\dfrac{5}{5} = \dfrac{7}{7} = 1$ → tüm cetvel (eşlik durumu)
Adım 4: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{7}$ için $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2.8}{7}$ olur. 2.8 tam sayı olmadığı için uygun değil.
Adım 5: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{7}$ için $\dfrac{3}{5} = \dfrac{4.2}{7}$ olur. 4.2 tam sayı olmadığı için uygun değil.
Adım 6: $\dfrac{4}{5} = \dfrac{?}{7}$ için $\dfrac{4}{5} = \dfrac{5.6}{7}$ olur. 5.6 tam sayı olmadığı için uygun değil.
2. Soru
Aşağıdaki şekilde $[LP]$ ve $[MN]$, $KLM$ üçgeninin kenarortaylarıdır. $[LP] \cap [MN] = \{G\}$'dir.
Buna göre $2|GP| = |GL|$ olduğunu gösteriniz.
Adım 1: $[LP]$ ve $[MN]$ kenarortaylar olduğu için $G$ noktası üçgenin ağırlık merkezidir.
Adım 2: Ağırlık merkezi, kenarortayı $2:1$ oranında böler. Yani:
- $|LG| : |GP| = 2 : 1$
- $|MG| : |GN| = 2 : 1$
Adım 3: $|LG| : |GP| = 2 : 1$ olduğu için:
$\dfrac{|LG|}{|GP|} = 2 \Rightarrow |LG| = 2|GP|$
Adım 4: $|GL| = |LG|$ olduğu için:
Not: Ağırlık merkezinin kenarortayı $2:1$ oranında bölmesi, üçgenin temel özelliklerinden biridir.
3. Soru
Aşağıdaki $ABC$ ve $DCE$ üçgenlerinde $[AB] \perp [BC]$, $|AD| = |DC|$, $m(\angle ABC) = m(\angle DEC)$, $|BC| = 2$ birim ve $|CE| = 8$ birimdir.
Buna göre $|AB|$'nin kaç birim olduğunu bulunuz.
Adım 1: $[AB] \perp [BC]$ olduğu için $ABC$ dik üçgendir. $m(\angle ABC) = 90^\circ$'dir.
Adım 2: $m(\angle ABC) = m(\angle DEC)$ verildiği için $m(\angle DEC) = 90^\circ$'dir. Yani $DCE$ de dik üçgendir.
Adım 3: $|AD| = |DC|$ olduğu için $D$ noktası $AC$'nin orta noktasıdır. $|AC| = 2|AD| = 2|DC|$
Adım 4: $ABC$ ve $DCE$ üçgenlerinde:
- $m(\angle ABC) = m(\angle DEC) = 90^\circ$
- $m(\angle ACB) = m(\angle DCE)$ (ortak açı)
O halde $ABC \sim DEC$'dir (A.A benzerliği).
Adım 5: Benzerlik oranı:
$\dfrac{|BC|}{|EC|} = \dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{|AC|}{|DC|}$
Adım 6: $|BC| = 2$ ve $|CE| = 8$ olduğu için:
$\dfrac{|BC|}{|CE|} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$
Benzerlik oranı $k = \dfrac{1}{4}$'tür.
Adım 7: $|AC| = 2|DC|$ olduğu için $\dfrac{|AC|}{|DC|} = 2$'dir.
Ancak benzerlik oranı $\dfrac{|AC|}{|DC|} = \dfrac{1}{4}$ olmalıdır.
Bu durumda $2 = \dfrac{1}{4}$ olamayacağı için benzerlik oranı farklı hesaplanmalıdır.
Adım 8: $ABC \sim DEC$ benzerliğinde karşılıklı kenarları doğru eşleştirelim:
$[BC] \leftrightarrow [EC]$, $[AB] \leftrightarrow [DE]$, $[AC] \leftrightarrow [DC]$
Adım 9: $\dfrac{|BC|}{|EC|} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ olduğu için:
$\dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{1}{4}$ ve $\dfrac{|AC|}{|DC|} = \dfrac{1}{4}$
Adım 10: $|AC| = |AD| + |DC| = |DC| + |DC| = 2|DC|$
$\dfrac{|AC|}{|DC|} = 2$ olur. Ancak benzerlik oranı $\dfrac{1}{4}$ olmalıydı. Çelişki var!
Adım 11: O halde benzerlik eşleşmesi farklı olmalı. $ABC \sim CED$ şeklinde eşleştirelim:
$[BC] \leftrightarrow [ED]$, $[AB] \leftrightarrow [CE]$, $[AC] \leftrightarrow [CD]$
Adım 12: $\dfrac{|BC|}{|ED|} = \dfrac{|AB|}{|CE|} = \dfrac{|AC|}{|CD|}$
Adım 13: $\dfrac{|AB|}{|CE|} = \dfrac{|AC|}{|CD|}$ ve $|AC| = 2|CD|$ olduğu için:
$\dfrac{|AB|}{|CE|} = \dfrac{2|CD|}{|CD|} = 2$
Adım 14: $|CE| = 8$ olduğu için:
$\dfrac{|AB|}{8} = 2 \Rightarrow |AB| = 16$
4. Soru
Aşağıdaki görselde duvara belli bir açı ile dayanmış merdivene çıkan bir kişi yer almaktadır.
Birbirine eşit mesafede toplam 15 basamağı bulunan bu merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği 4 metre olduğuna göre merdivenin 7. basamağında bulunan kişinin yerden yüksekliğini bulunuz.
Adım 1: Merdivenin 15 basamağı ve duvara dayandığı noktanın yüksekliği 4 metre.
Adım 2: Benzer üçgenler oluşur. Merdivenin alt noktası ile üst noktası arasındaki dik yükseklik 4 metredir.
Adım 3: 7. basamaktaki kişinin yüksekliğini bulmak için orantı kuralım.
Adım 4: Basamak sayısı ile yükseklik doğru orantılıdır (merdiven düz olduğu için).
Adım 5: 15 basamak → 4 metre
7 basamak → $h$ metre
Adım 6: Orantı:
$\dfrac{7}{15} = \dfrac{h}{4}$
Adım 7: $h = \dfrac{7 \cdot 4}{15} = \dfrac{28}{15}$ metre
5. Soru
Aşağıda $ABC$ dik üçgeni verilmiştir.
$D \in [AC]$, $m(\angle ABD) = m(\angle BCA)$, $|AD| = 3$ birim ve $|DC| = 12$ birim olacak şekilde $|BD|$'yi çiziniz.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Hangi üçgenlerin benzer olduğunu nedenleriyle yazınız.
b) $|BD|$'nin kaç birim olduğunu bulunuz.
c) $|BC|$'nin kaç birim olduğunu bulunuz.
a) Benzer Üçgenler:
$m(\angle ABD) = m(\angle BCA)$ verilmiştir.
- $ABD$ üçgeninde $m(\angle BAD) = m(\angle BAC)$ (ortak açı)
- O halde $ABD \sim ACB$'dir (A.A benzerliği).
b) $|BD|$'nin bulunması:
$ABD \sim ACB$ benzerliğinde:
$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BD|}{|BC|}$
$|AD| = 3$, $|DC| = 12$ olduğu için $|AC| = 3 + 12 = 15$'tir.
$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \Rightarrow \dfrac{3}{|AB|} = \dfrac{|AB|}{15}$
$|AB|^2 = 45 \Rightarrow |AB| = 3\sqrt{5}$
$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|BD|}{|BC|} \Rightarrow \dfrac{3}{3\sqrt{5}} = \dfrac{|BD|}{|BC|} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{|BD|}{|BC|}$
Pisagor teoreminden $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 = 45 + 225 = 270$
$|BC| = 3\sqrt{30}$
$\dfrac{|BD|}{|BC|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow |BD| = \dfrac{|BC|}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{6}$
c) $|BC|$'nin bulunması: