Sayfalara Git
Ölçme ve Değerlendirme
Sayfa 195: Ölçme ve Değerlendirme
Dönüşüm Geometrisi, Açı-Kenar Bağıntıları ve Model Soruları (1-3)
1. Soru: Raptiye Düşmesi ve Flama Dönme Açısı
Dönüşüm Geometrisi
Mert, dik üçgen flamayı Şekil 1'deki gibi asıyor. A ve B köşelerindeki raptiyeler düşünce flama C köşesi etrafında dönerek Şekil 2'deki gibi A, C, B' noktaları doğrusal olacak biçimde asılı kalıyor.
m(A'B'B) = 24° olduğuna göre m(CBB') açısının kaç derece olduğunu bulunuz.
- Görseldeki çift çizgi (//) işaretlerinden anlaşıldığı üzere, Şekil 1'deki hipotenüs ile Şekil 2'deki dik kenar çakışmaktadır: |BC| = |B'C|. Bu durum bize bir CBB' ikizkenar üçgeni verir.
- m(ABC) açısına x dersek, eşlikten dolayı m(A'B'C) = x olur. İkizkenarlıktan ötürü CBB' üçgeninin taban açıları eşitlenir: m(CBB') = m(CB'B) = x + 24°.
- ABC dik üçgeninde C köşesindeki açı m(ACB) = 90° - x olur. A, C, B' doğrusal olduğundan, ikizkenar üçgenin tepe açısı: m(BCB') = 180° - (90° - x) = 90° + x bulunur.
- CBB' üçgeninin iç açılar toplamından x değerini hesaplayalım:
(90° + x) + (x + 24°) + (x + 24°) = 180°
138° + 3x = 180° ⇒ 3x = 42° ⇒ x = 14° - İstenen m(CBB') açısı x + 24° olduğundan:
m(CBB') = 14° + 24° = 38°
38°
2. Soru: Yönetmen Sandalyesi Açı Sıralaması
Açı-KenarYönetmen sandalyesinin ayakları arasında oluşan ABC üçgeninde |AB| = |AC| ve |BC| > |AB| olduğuna göre iç açı ölçülerini büyükten küçüğe sıralayınız.
- Soruda verilen ilk şart |AB| = |AC| olduğundan, ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. İkiz kenarları gören taban açıları eşit olmalıdır:
m(B) = m(C) - İkinci şart ise |BC| > |AB| olarak verilmiştir. Geometride büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur kuralı geçerlidir.
- |BC| kenarını gören açı m(A) açısıdır. |AB| kenarını gören açı ise m(C) açısıdır. O halde:
m(A) > m(C) yazılır. - m(B) ve m(C) birbirine eşit olduğundan, m(A) açısı bu iki eş açıdan da büyüktür.
3. Soru: Sismik Araştırma Rota Analizi
Uygulamalı GeometriBarbaros Hayrettin Paşa gemisinin rotası ABC ve DEF üçgenleri ile modellenmiştir. m(A) = 75°, m(B) = 65°'dir. DEF üçgeninde |DE| = 170 m, |EF| = 180 m, |DF| = 200 m'dir.
-
a) ABC üçgeninde en uzun kenarı bulunuz:
Üçgenin iç açılar toplamından m(C) = 180° - (75° + 65°) = 40° olur. Açılar 40° < 65° < 75° şeklinde sıralandığı için en büyük açı m(A) = 75°'dir. En büyük açının karşısındaki kenar olan [BC] kenarı en uzundur. -
b) DEF üçgeninde en büyük açıyı bulunuz:
Kenar uzunlukları |DE| = 170 m, |EF| = 180 m, |DF| = 200 m olarak verilmiştir. Büyük kenarın karşısında büyük açı bulunacağından, en uzun kenar olan 200 m'lik [DF] kenarını gören E açısının ölçüsü en büyüktür.
Sayfa 196: Ölçme ve Değerlendirme
Üçgen Eşitsizliği, Açı-Kenar Bağıntıları ve Havaalanı Pist Geometrisi (4-6)
image_528e8c.jpg
4. Soru: Harita Üzerinde Mesafe ve Açı Sınırı
Eşitsizlik
ABC üçgeninde m(ACB) > m(BAC) olarak verilmiştir. Mykonos-Sisam arası 230 km, Çeşme-Sisam arası 130 km'dir.
Buna göre Çeşme-Mykonos (|AB|) arasındaki uzaklığın alabileceği değer aralığını bulunuz.
- İstenen kenara |AB| = z diyelim. Temel üçgen eşitsizliğine göre z kenarı, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır:
230 - 130 < z < 230 + 130 ⇒ 100 < z < 360 - Soruda verilen açı şartına bakalım: m(ACB) > m(BAC). Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre:
|AB| > |BC| ⇒ z > 230 elde edilir. - Her iki sınırı birleştirdiğimizde, Çeşme-Mykonos uzaklığı (z) için en dar geçerli aralık:
230 < z < 360 km olarak bulunur.
5. Soru: Pruvadaki Açıyı İki Katlama Problemi
Hız-Mesafe
Saatte 15 deniz mili hızla giden gemi A'dan C'ye 2 saatte varıyor. m(BAC) = 18°, m(BCD) = 36°'dir.
Buna göre gemi, C'den fenerin bulunduğu B noktasına saatte 10 mil hızla kaç saatte ulaşır?
- Geminin A ile C arasında aldığı yol:
|AC| = Hız × Zaman = 15 × 2 = 30 deniz mili. - ABC üçgeninde, C köşesindeki dış açı m(BCD) = 36°'dir. Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:
m(BAC) + m(ABC) = m(BCD) ⇒ 18° + m(ABC) = 36° ⇒ m(ABC) = 18°. - m(BAC) = m(ABC) = 18° olduğundan ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Bu yüzden taban kollarının uzunlukları eşittir:
|BC| = |AC| = 30 deniz mili. - C'den B'deki fenere doğru saatte 10 deniz mili hızla gidecek olan geminin varış süresi:
Zaman = Yol ÷ Hız = 30 ÷ 10 = 3 saat bulunur.
6. Soru: Havaalanı Pist Numaralandırma ve Açı Mantığı
Gerçek Yaşam MatematikPist numaraları, pistin saat yönünde kuzeyle yaptığı açının birler basamağındaki 0 silinerek belirlenir. Başındaki ve sonundaki sayılar farkı her zaman 18'dir. 8/26 pisti ile x/y pisti arasındaki dar açı 70° olduğuna göre, x ve y sayılarının toplamını bulunuz.
-
8/26 Pistinin Açı Değeri: Küçük numara olan 8 sayısı, 10 ile çarpıldığında kuzeyle yapılan temel yön açısını verir:
8 × 10° = 80° (Kuzeyden saat yönünde 80°lik bir doğrultu). -
İki Pist Arasındaki Açı İlişkisi: Soruda x/y pistinin 8/26 pistiyle yaptığı dar açının 70° olduğu söyleniyor. Geometrik olarak iki olası durum mevcuttur (saat yönünde ileri veya geri):
• 1. Durum: 80° + 70° = 150°
• 2. Durum: 80° - 70° = 10° - Görsel Kontrolü ve Doğru Açı Seçimi: Şekildeki havaalanı krokisi ve pistlerin uzanış eksenleri incelendiğinde, x/y pistinin kuzey kutup çizgisine (dikey eksene) 3/21 pistinden çok daha yakın ve dar bir açıyla yöneldiği görülmektedir. Bu yerleşim 10°lik konumu doğrulamaktadır.
-
x ve y Numaralarının Belirlenmesi:
Pist açısı 10° olduğuna göre, sonundaki 0 atıldığında başlangıç numarası x = 1 olur.
Pistlerin iki ucu arasındaki fark 18 olduğundan, diğer uç numarası: y = 1 + 18 = 19 olur. (Açı karşılığı: 10° + 180° = 190° ⇒ 19). -
Sayıların Toplamı:
x + y = 1 + 19 = 20
x + y = 20
Sayfa 197: Ölçme ve Değerlendirme
Kombinasyonlu Üçgen Eşitsizliği ve Vinç Kolu Geometrisi (7-8)
image_b3ce7f.png
7. Soru: Renkli Kalemler ile Üçgen Oluşturma Sınırları
Üçgen EşitsizliğiErkan'ın Şekil 1'de verilen renkli kalemlerinin uzunlukları sırasıyla 3, 5, 6, 8 ve 12 cm'dir.
5 kalemden seçilebilecek tüm 3'lü kombinasyonları (toplam 10 durum) üçgen eşitsizliği kuralına (iki kenar toplamı üçüncüden büyük olmalı) göre inceleyelim:
- (3, 5, 6) ⇒ 3 + 5 > 6 (Sağlar ✓)
- (3, 5, 8) ⇒ 3 + 5 = 8 (Sağlamaz ✗)
- (3, 6, 8) ⇒ 3 + 6 > 8 (Sağlar ✓)
- (3, 8, 12) ⇒ 3 + 8 < 12 (Sağlamaz ✗)
- (5, 6, 8) ⇒ 5 + 6 > 8 (Sağlar ✓)
- (5, 6, 12) ⇒ 5 + 6 < 12 (Sağlamaz ✗)
- (5, 8, 12) ⇒ 5 + 8 > 12 (Sağlar ✓)
- (6, 8, 12) ⇒ 6 + 8 > 12 (Sağlar ✓)
- (3, 5, 12) ve (3, 6, 12) durumları da eşitsizliği sağlamaz.
Tamamlayıcı üçüncü kenara x diyelim. Geniş açılı (α > 90°) üçgen şartına göre x'in alt sınırı Pisagor bağıntısının ötesinde olmalıdır:
- • Alt sınır: x > kök(6² + 8²) ⇒ x > kök(36 + 64) ⇒ x > 10
- • Üst sınır: x < 6 + 8 ⇒ x < 14
- • Geçerli aralık: 10 < x < 14
Şekil 1'deki boşta kalan kalemler: 3 cm, 5 cm ve 12 cm'dir. Bu aralığa uyan yalnızca 12 cm'lik yeşil kalemdir.
8. Soru: Vinç Kolu Mekanizması ve Hareketli Kenar Analizi
Gerçek Yaşam UygulamasıGörselde |AC| = 12 m, |CB| = 20 m olarak verilmiştir. AC kolu C noktası etrafında hareket ederek toplama kafesini kontrol etmektedir. Verilenlere göre aşağıdaki şıkları cevaplayınız.
- a) Kafes suyun içine girerken A ve B arasındaki çelik halatın uzunluğu nasıl değişir? Toplama kafesi suyun içine doğru indikçe, AC kolu C noktası etrafında saat yönünün tersine hareket eder. Bu hareket, ACB açısının (α) giderek genişlemesine ve büyümesine yol açar. Bir üçgende iki kenar sabitken aradaki açı büyürse, bu açının karşısındaki kenar da uzar. Bu nedenle halat uzunluğu artar.
-
b) A ve B noktaları arasında halatın alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?
ACB üçgeninde |AB| kenarı için temel üçgen eşitsizliğini kurduğumuzda:
|AB| < |AC| + |CB| ⇒ |AB| < 12 + 20 ⇒ |AB| < 32
Bu aralıkta |AB|'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 31 metre olur.
m(ACB) > m(BAC) şartı gerçekleştiğinde, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralı gereğince |AB| > |BC| olmalıdır. |BC| = 20 m sabit olduğundan, bu andan itibaren halatın uzunluğu (|AB|) 20 metrenin üzerine çıkar ve kafes aşağı indikçe açı büyümeye devam ettiği için B noktasına olan uzaklık artmaya devam eder.
Artar
31 m
Artar
Sayfa 198: Ölçme ve Değerlendirme
Vektörel Yönelimler, Kenar Orta Dikme Özellikleri ve Katlanabilir Mekanizmalar (9-11)
image_b4377c.png
9. Soru: Pusula Yönleri ve İkizkenar Üçgen Oluşumu
Açı-Yön BağıntılarıErcan evden çıkıp kuzey doğrultusu ile 42° açı yaparak kuzeybatı yönünde 150 m yürüyüp kırtasiyeye; oradan da kuzey doğrultusu ile 56° açı yaparak kuzeydoğu yönünde 150 m yürüyüp okula ulaşıyor. Doğrudan okula gitmek isteseydi kuzey doğrultusuyla kaç derecelik açı yapardı?
- Kırtasiye Köşesindeki İç Açının Bulunması: Ev ve kırtasiyedeki kuzey çizgileri birbirine paraleldir. Evden çıkıştaki kuzeybatı açısı 42° ise, iç ters (Z kuralı) açılardan dolayı kırtasiyedeki alt kuzey çizgisiyle yapılan açı da 42° olur. Kırtasiyeden okula gidiş açısı da kuzeyle 56° olduğundan, kırtasiye noktasındaki toplam iç açı: 42° + 56° = 98° olur.
- İkizkenar Üçgen Özelliği: Ev-Kırtasiye arası (150 m) ile Kırtasiye-Okul arası (150 m) birbirine eşittir. Dolayısıyla bu üçgen bir ikizkenar üçgendir.
- Taban Açılarının Hesaplanması: Tepe açısı 98° olan ikizkenar üçgenin taban açıları: (180° - 98°) ÷ 2 = 41° olarak bulunur. Yani Ev köşesindeki iç açı 41°'dir.
- Kuzey Doğrultusuyla Yapılan Açı: Evden okula doğrudan çizilen çizgi, evdeki kuzey çizgisine göre kuzeybatı yönündeki 42°lik açı hattının 41° içerisine (sağına, yani kuzeydoğuya doğru) girer. Bu durumda kalan net açı: 42° - 41° = 1° olur. Başlangıçta kuzeybatıda olan rota 1° ile kuzeydoğu tarafına geçmiş olur.
1°
Kuzeydoğu Yönünde10. Soru: Kenar Orta Dikme Özelliği
Çoktan Seçmeli
ABC üçgeninde BC kenarına ait kenar orta dikme BA kenarını E'de, BC'yi D'de kesiyor.
|BE| = |AC| ve m(ABC) = 35° olduğuna göre m(BAC) kaç derecedir?
- [ED] çizgisi [BC]'nin kenar orta dikmesi olduğundan, E noktasından B ve C köşelerine çekilen doğrular eşittir: |BE| = |CE|.
- m(ABC) = 35° ise, EBC ikizkenar üçgeninden dolayı m(ECE') = 35° olur. İki iç açının toplamı dış açıyı vereceğinden m(AEC) = 35° + 35° = 70° olur.
- Soruda |BE| = |AC| verilmişti; |BE| = |CE| bulduğumuz için |CE| = |AC| olur (EAC üçgeni ikizkenar çıkar).
- EAC ikizkenar üçgeninde taban açıları eşittir: m(AEC) = m(EAC) = 70° olur. Buradan m(BAC) = 70° bulunur.
11. Soru: Sepetli Ağaç Budama Platformu
Katlama & ParalellikŞekil 1'de m(ABC) = 9/2 · m(BAD)'dir. Şekil 2'de [B'C'] // [BC] olacak şekilde dik konuma getirildiğinde m(BB'C') = 30° oluyor. m(BAD) = x kaç derecedir?
- m(BAD) = x ise m(ABC) = 4.5x olur. Şekil 2'de mekanizma dik konuma getirildiğinde A köşesinde bir dik açı (90°) oluşur.
- [B'C'] // [BC] paralelliği ve 30°lik katlanma açısı kullanılarak doğrusal eksenler üzerindeki yön açısı taşınır. Z ve U kuralları işletildiğinde:
- Mekanizmanın katlanma geometrisinden hareketle 5x = 90° denklemi elde edilir.
- Buradan x açısı 90° ÷ 5 = 18° olarak hesaplanır.
Sayfa 199: Ölçme ve Değerlendirme
Katlama Geometrisi, Mantıksal Önermeler ve Gerçek Yaşam Üçgen Eşitsizliği (12-14)
image_b6017b.png
12. Soru: Kağıt Katlama ve m(AB'D) Dış Açı Çözümü
Görselde verilen harflendirmeler ve katlama ekseni özellikleri kullanılarak m(AB'D) dış açısı üzerinden yapılan çözüm adımları aşağıdadır.
- Katlama Eşliği: Üçgen katlandığında ABD ve AB'D üçgenleri eştir. Bu yüzden |AB| = |AB'| ve m(ABD) = m(AB'D) = x olur.
- İkizkenarlık: Soruda |AD| = |AB'| verildiğinden, ABD üçgeni ikizkenardır ve m(ADB) = x olur. Katlamadan ötürü m(ADB') de x değerini alır.
- Dış Açı Bağıntısı: DB'C üçgeninde, B' köşesindeki dış açı m(AB'D) = x'tir. Kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamından: m(B'DC) + 48° = x ⇒ m(B'DC) = x - 48° olur.
- Doğrusal Açı Denklemi: D noktasındaki [BC] doğrusu üzerindeki açıların toplamı 180° olmalıdır:
x + x + (x - 48°) = 180°
3x - 48° = 180° ⇒ 3x = 228° ⇒ x = 76°
13. Soru: Üçgen Teoremleri ve İfadelerin Doğruluğu
Geometri MantıkÜçgenlerle ilgili verilen 4 ifadeden hangilerinin doğru olduğunun analiz edilmesi istenmektedir.
- I. Doğru: Her üçgenin iç açılar toplamı 180°'dir ve bu bir doğru açının ölçüsüne eşittir.
- II. Yanlış: Üçgen eşitsizliğine göre iki kenarın farkı (12-5=7), üçüncü kenarın (b) o açıyı görebilmesi için sınırları belirler. Sinüs teoremine veya kosinüs teoremine göre b kenarı tam sayı olmak zorunda olmasa da b² = 12² + 5² - 2·12·5·cos30° bağıntısından çizilebilirlik sınırları kurtarmaz.
- III. Doğru: İç açılar 1, 2, 3 ile orantılıysa: k + 2k + 3k = 180° ⇒ 6k = 180° ⇒ k = 30° olur. Açılar 30°, 60°, 90°'dir. En küçük dış açı, en büyük iç açının (90°) bütünleyenidir: 180° - 90° = 90° (Dik açıdır).
- IV. Yanlış: İkizkenar üçgende tepe açısına ait dış açıortay, taban kenarına paraleldir, tabanı asla kesmez.
14. Soru: Otobüs Ring Seferi Yol ve Zaman Analizi
Üçgen EşitsizliğiOtobüs Otel -> Lunapark -> Ören yeri -> Otel rotasını izliyor. Lunaparkta 10 dk, Ören yerinde 8 dk bekliyor. Toplam tur 1 saat (60 dk) sürdüğüne göre hangisi kesinlikle yanlıştır?
- Toplam hareket süresi: 60 dk - (10 dk + 8 dk bekleme) = 42 dakika yolda geçmiştir.
- Kroki incelendiğinde duraklar bir üçgen oluşturmaktadır. Üçgen eşitsizliği kuralına göre:
|Otel-Ören Yeri| + |Otel-Lunapark| > |Lunapark-Ören Yeri| olmalıdır. - Hız sabit olduğundan süreler mesafelerle doğru orantılıdır. Dolayısıyla:
(Otel-Ören Yeri süresi) + (Otel-Lunapark süresi) > (Lunapark-Ören Yeri süresi) olmalıdır. - B şıkkını inceleyelim: Lunapark ile Ören yeri arası yolculuk 16 dakika sürmüşse, geriye kalan iki yolun toplam süresi 42 - 16 = 26 dakika olur. 26 > 16 şartı sağlandığı için bu durum mümkündür.
- A şıkkını inceleyelim: Otelden hareketten 30 dk sonra ören yerine ulaştıysa; yolda geçen süre 30 dk - 10 dk (lunapark beklemesi) = 20 dakikadır. Bu durumda Otel-Lunapark ve Lunapark-Ören yeri yollarının toplamı 20 dakikadır. Geriye kalan Ören yeri-Otel yolu ise 42 - 20 = 22 dakika sürer. Bu durumda iki kenarın toplam süresi (20 dk), üçüncü kenardan (22 dk) küçük kalır. Bu durum üçgen eşitsizliğine kesinlikle aykırıdır.