Sayfalara Git
Alıştırmalar
Sayfa 192: Alıştırmalar
Üçgende Açı Bağıntıları, Paralellik ve Eşkenar Üçgen Özellikleri Soruları
1. Soru
Açı & Paralellik
Soru Tanımı: $ABC$ üçgen, $MLC$ eşkenar üçgen, $[KL] \parallel [BC]$ olarak veriliyor.
$m(\widehat{AKL}) = m(\widehat{KAM}) = m(\widehat{LAM})$ olduğuna göre $m(\widehat{LMA})$ kaç derecedir?
- $MLC$ eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açları $60^\circ$ 'dir. Buradan $m(\widehat{C}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{MLC}) = 60^\circ$ olur.
- $[KL] \parallel [BC]$ paralelliğinden dolayı, yöndeş açılardan $m(\widehat{ALK}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ$ elde edilir.
- Verilen eşit açılara $\alpha$ diyelim: $m(\widehat{AKL}) = m(\widehat{KAM}) = m(\widehat{LAM}) = \alpha$ olsun.
- $AKL$ üçgeninde iç açılar toplamından:
$\alpha + m(\widehat{ALK}) + m(\widehat{KAL}) = 180^\circ \implies \alpha + 60^\circ + 2\alpha = 180^\circ$
$3\alpha = 120^\circ \implies \mathbf{\alpha = 40^\circ}$ bulunur. (Yani $m(\widehat{LAM}) = 40^\circ$). - $[KL] \parallel [BC]$ paralelliği ve eşkenar üçgenin iç açısından ötürü iç ters (Z kuralı) açılardan $m(\widehat{KLM}) = m(\widehat{LMC}) = 60^\circ$ olur. Buradan $L$ köşesindeki toplam açı $m(\widehat{ALM}) = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$ olarak bulunur.
- Son olarak $AML$ üçgeninin iç açılar toplamını hesaplarsak:
$m(\widehat{LAM}) + m(\widehat{ALM}) + m(\widehat{LMA}) = 180^\circ$
$40^\circ + 120^\circ + m(\widehat{LMA}) = 180^\circ \implies m(\widehat{LMA}) = \mathbf{20^\circ}$ elde edilir.
2. Soru
Dış Açı Bağıntıları
Soru Tanımı: $ECF$ üçgen, $E, C \in [AB]$, $F \in [CD]$, $m(\widehat{EFD}) = 160^\circ$ ve
$5 \cdot m(\widehat{AEF}) = 6 \cdot m(\widehat{ECF})$ olduğuna göre $m(\widehat{FCB})$ kaç derecedir?
- Kat katsayı ilişkisinden açılara değer atayalım:
$m(\widehat{AEF}) = 6k$ ve $m(\widehat{ECF}) = 5k$ olsun. - $\widehat{AEF}$ açısı, $ECF$ üçgeninin $E$ köşesine ait bir **dış açısıdır**.
- $\widehat{EFD}$ açısı da $F$ köşesindeki doğrusal uzantıda dış açıyı temsil eder ve $160^\circ$ olarak verilmiştir.
- Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir kuralına göre $ECF$ üçgeninde:
$m(\widehat{AEF}) = m(\widehat{ECF}) + m(\widehat{EFC})$
$6k = 5k + m(\widehat{EFC}) \implies m(\widehat{EFC}) = k$ olur. - $F$ noktasındaki doğrusal bütünlükten: $m(\widehat{EFC}) + m(\widehat{EFD}) = 180^\circ \implies k + 160^\circ = 180^\circ \implies \mathbf{k = 20^\circ}$ bulunur.
- Bu durumda $m(\widehat{ECF}) = 5k = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$ olur.
- Bizden istenen $\widehat{FCB}$ açısı, $C$ noktasındaki doğru üzerinde $\widehat{ECF}$ açısının bütünleyenidir:
$m(\widehat{FCB}) = 180^\circ - m(\widehat{ECF}) = 180^\circ - 100^\circ = \mathbf{80^\circ}$ elde edilir.
Sayfa 193: Alıştırmalar (3-7)
Üçgende Kenar-Açı İlişkileri, Eşlik ve Açı Hesaplama Problemleri
3. Soru: Kenar-Açı Bağıntısı ve Maksimum Açı Hesabı
$m(\widehat{B}) = 2x + 5^\circ$, $m(\widehat{C}) = x + 15^\circ$, $|AC| > |AB|$ ve $x \in \mathbb{Z}$ veriliyor.
Buna göre $m(\widehat{A})$'nün alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.
- Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur. $|AC| > |AB|$ ise karşısındaki açılardan $m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ olmalıdır.
- $2x + 5 > x + 15 \implies \mathbf{x > 10}$ elde edilir.
- Üçgenin iç açıları toplamı: $m(\widehat{A}) + (2x + 5) + (x + 15) = 180^\circ$
- $m(\widehat{A}) + 3x + 20 = 180^\circ \implies m(\widehat{A}) = 160^\circ - 3x$ olur.
- $m(\widehat{A})$'nın en büyük tam sayı değerini alması için $x$'e verilebilecek en küçük değer seçilmelidir. $x > 10$ şartını sağlayan en küçük tam sayı $x = 11$'dir.
- $m(\widehat{A}) = 160^\circ - 3(11) = 160^\circ - 33^\circ = \mathbf{127^\circ}$ bulunur.
4. Soru: Geometrik Çizim ve İkizkenar Geçişleri
$A$ açısı geniş açı olan $ABC$ üçgeninde; $BC$ üzerinde $|AE| = |BE|$ olacak şekilde bir $E$, $|AF| = |FC|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor.
$m(\widehat{EAF}) = 24^\circ$ ise $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?
- $|AE| = |BE|$ ise $ABE$ ikizkenar üçgendir. Taban açılarına $m(\widehat{B}) = m(\widehat{BAE}) = \alpha$ diyelim. Dış açıdan $m(\widehat{AEC}) = 2\alpha$ olur.
- $|AF| = |FC|$ ise $AFC$ ikizkenar üçgendir. Taban açılarına $m(\widehat{C}) = m(\widehat{FAC}) = \beta$ diyelim. Dış açıdan $m(\widehat{AFB}) = 2\beta$ olur.
- Merkezdeki $AEF$ üçgeninin iç açıları: $2\alpha$, $2\beta$ ve $24^\circ$'dir.
$2\alpha + 2\beta + 24^\circ = 180^\circ \implies 2(\alpha + \beta) = 156^\circ \implies \mathbf{\alpha + \beta = 78^\circ}$ - Bizden istenen $m(\widehat{BAC}) = \alpha + 24^\circ + \beta$ toplamıdır.
- $m(\widehat{BAC}) = (\alpha + \beta) + 24^\circ = 78^\circ + 24^\circ = \mathbf{102^\circ}$ elde edilir.
5. Soru: Özdeş Kibrit Çöpleri ile Eşlik Analizi
Özdeş kibrit çöpleri $[AB], [BC], [CD], [DE]$ şeklinde dizilmiştir. $m(\widehat{BAC}) = a$, $m(\widehat{CBD}) = b$, $m(\widehat{DEC}) = c$ olduğuna göre verilen önermeleri inceleyiniz.
- $|AB| = |BC|$ olduğundan $ABC$ ikizkenardır: $m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{BAC}) = a$. Dış açıdan $m(\widehat{DBC}) = 2a$ olur.
- $|BC| = |CD|$ olduğicası $BCD$ ikizkenardır. $m(\widehat{CBD}) = b$ ise $m(\widehat{BDC}) = b$ olur. Tepe açısı $m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - 2b$'dir.
- $|CD| = |DE|$ olduğundan $CDE$ ikizkenardır: $m(\widehat{DCE}) = m(\widehat{DEC}) = c$. Dış açıdan $m(\widehat{BDC}) = 2c$ olur.
- Buradan $b = 2c$ bağıntısı bulunur (II. ifade DOĞRUDUR).
- $C$ noktasındaki doğrusallıktan ($A, C, E$) açılar toplanırsa: $a + (180^\circ - 2b) + c = 180^\circ \implies a + c = 2b$ elde edilir. $b = 2c$ yerine yazılırsa $a + c = 4c \implies \mathbf{a = 3c}$ yani $\mathbf{\frac{a}{3} = c}$ bulunur (I. ifade DOĞRUDUR).
- III. ifade ($b+c=a \implies 2c+c=3c$) incelendiğinde $3c=3c$ eşitliği sağlanır (III. ifade DOĞRUDUR).
6. Soru: Üçgende Kenar Uzunlukları Sıralaması
$ABC$ üçgeninde $D \in [BC]$, $m(\widehat{BAD}) = 80^\circ$, $m(\widehat{BDA}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{DAC}) = 20^\circ$'dir.
Buna göre $\mathbf{b, c, m, n, p}$ uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayınız.
- $ABD$ üçgeninde: $m(\widehat{B}) = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 40^\circ$.
Açılar: $40^\circ < 60^\circ < 80^\circ \implies \mathbf{m < c < n}$ - $ADC$ üçgeninde: $D$ noktasındaki doğrusallıktan $m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. O halde $m(\widehat{C}) = 180^\circ - (120^\circ + 20^\circ) = 40^\circ$ olur.
Açılar: $20^\circ < 40^\circ < 120^\circ \implies \mathbf{p < n < b}$ - İki üçgende ortak kenar olan $n$ köprü vazifesi görür. $m < c < n$ ve $p < n < b$ bağıntılarını birleştirmek için $p$ ve $m$ arasındaki ilişkiye bakarız: $ABC$ bütünsel üçgeninde $m(\widehat{B})=40^\circ$ ve $m(\widehat{C})=40^\circ$ olduğundan $ABC$ ikizkenardır, yani $\mathbf{c = b}$ olması beklenir fakat iç kollardan $c < n < b$ geçişi sırayı netleştirir:
7. Soru: Amblem Tasarımı ve Merkez Açı Paylaşımı
Tepe açısı 22° olan 4 adet özdeş ikizkenar üçgen karton birleştiriliyor (Şekil 2). Ortada kalan boşluğa taban açısı x olan kırmızı renkli bir ikizkenar üçgen yerleştirildiğine göre x kaçtır?
-
Özdeş kahverengi kartonların tepe açısı 22° olarak verilmiştir. Taban açısı hesaplaması:
(180° - 22°) ÷ 2 = 79°
- Şekil 2'deki ortak merkez incelendiğinde; 4 adet kahverengi kartonun her birinin birer adet taban açısı (79°) merkezde yan yana gelerek birleşmektedir.
-
Merkezdeki kahverengi kartonların kapladığı toplam açı:
4 × 79° = 316°
-
Merkezdeki tam açı 360° olduğundan, ortadaki kırmızı üçgenin merkeze bakan tepe açısına (α) kalan değer:
360° - 316° = 44°
-
Kırmızı üçgen bir ikizkenar üçgendir ve taban açılarının ölçüsü x olarak verilmiştir. İç açılar toplamından:
2x + 44° = 180° ⇒ 2x = 136° ⇒ x = 68°
x = 68°
Sayfa 194: Alıştırmalar (8-10)
Üçgen Eşitsizliği, Katlama Dönüşümleri ve Pusula Yön Problemleri
8. Soru: Üçgen Eşitsizliği ve Açı Şartı
Eşitsizlik
ABC üçgeninde |BC| = 11 cm, |AC| = 8 cm ve m(BAC) > m(ACB) olarak veriliyor.
Verilenlere göre |AB|'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulunuz.
- İstenen kenara |AB| = y diyelim. Temel üçgen eşitsizliğine göre bir kenar diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır:
11 - 8 < y < 11 + 8 ⇒ 3 < y < 19 - Ek olarak verilen açı bağıntısına bakalım: m(BAC) > m(ACB). Büyük açının karşısında büyük kenar bulunacağından dolayı:
|BC| > |AB| ⇒ 11 > y elde edilir. - Bulduğumuz iki eşitsizlik sınırını birleştirdiğimizde y için geçerli aralık:
3 < y < 11 olur. - Bu aralıktaki tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olmak üzere toplamda 7 farklı değer vardır.
9. Soru: Katlama Geometrisi ve Kenar Sıralaması
Katlama
ABC üçgeninde m(A) = 70°, m(B) = 50°, m(C) = 60°'dir. B köşesi A köşesinin üzerine gelecek biçimde katlandığında Şekil 2 oluşuyor.
Buna göre |AC|, |AE| ve |BD| uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayınız.
- Katlama işleminde [ED] kat çizgisi simetri eksenidir. B köşesi A'nın üzerine geldiği için |AE| = |BE| ve |BD| = |AD| olur. m(EAD) = m(B) = 50°'dir.
- ABC ana üçgeninde açı-kenar sıralamasına bakarsak: 50° < 60° < 70° olduğundan |AC| < |AB| bağıntısı bulunur.
- Şekil 2'deki ADC üçgeninin açılarını bulalım: m(DAC) = 70° - 50° = 20° olur. m(C) = 60° olduğundan, m(ADC) = 180° - (20° + 60°) = 100° yapar.
- ADC üçgeninde büyük açı karşısında büyük kenar kuralıyla: 20° < 60° < 100° olduğundan |DC| < |AC| < |AD| elde edilir.
- |AD| = |BD| olduğundan |AC| < |BD| ilişkisi netleşir. EAB üçgeninde tepe açısı m(AEB) geniş açı olduğundan yan kollar taban parçalarından küçüktür, yani |AE| < |AC|'dir.
10. Soru: Pusula Yön Açıları ve İkizkenar Üçgen Problemi
Gerçek Yaşam ProblemiA noktasındaki kamptan başlayarak sırasıyla B (filler) ve C (aslanlar) noktalarına giden safari grubunun pusula yön ibreleri Şekil 2'de verilmiştir. |AC| = |BC| olduğuna göre m(ACB) açısının kaç derece olduğunu bulunuz.
- A'dan B'ye Gidiş: Pusulada kuzey (K) çizgisi ile AB doğrultusu saat yönünde 150° açı yapmaktadır. Bu durum AB doğrusunun güneydoğu yönelimini belirtir.
- B'den C'ye Gidiş: Pusulada kuzey (K) çizgisi ile BC doğrultusu arasındaki açı 100° olarak ölçülmüştür.
- B Köşesindeki İç Açının Hesabı: Her iki noktada da kuzeyi gösteren doğrular birbirine paraleldir. A'dan B'ye gelen doğrunun B'deki iç ters (veya karşı durumlu) uzantısı ile BC doğrusu arasındaki geometrik ilişki kurulduğunda, ABC üçgeninin B köşesindeki iç açısının ölçüsü m(ABC) = 50° olarak bulunur.
-
İkizkenarlık Şartının Uygulanması: Soruda |AC| = |BC| olarak verildiğinden, bu üçgen bir ikizkenar üçgendir. Taban açıları eşit olmalıdır:
m(BAC) = m(ABC) = 50° -
Tepe Açısı m(ACB)'nin Bulunması: Üçgenin iç açılar toplamı 180° kuralını uygulayalım:
m(ACB) + 50° + 50° = 180° ⇒ m(ACB) = 80°