Sayfalara Git
Tema 2: Nicelikler ve Değişimler
Ölçme ve Değerlendirme
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 161
Ölçme ve Değerlendirme Uygulama Çözümleri
Sayfa 161: 1 ve 2. Soruların Ayrıntılı Analizleri
1. Soru: Silindir Su Tankı Modeli
Yüksekliği $200\text{ cm}$ olan boş tanka su dolduruluyor. Sabit hızla 1 dakikada su yüksekliği $1\text{ cm}$ olmaktadır. Zamana ($t$ veya $x$ dakika) bağlı yükseklik fonksiyonu $f$'dir.
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri:
Tank tamamen dolduğunda yükseklik $200\text{ cm}$ olur. Her dakikada $1\text{ cm}$ arttığı için dolma süresi $200\text{ dk}$ sürer.
Her dakikada $1\text{ cm}$ artış doğrusal bir modeldir: $f(x) = x$ c) Grafik Temsili:
$(0,0)$ noktasından başlayıp $(200, 200)$ noktasına kadar uzanan, eğimi $m=1$ olan birinci açıortay doğrusunun sınırlı bir parçasıdır. ç) Bire Birlik Analizi:
$f(x) = x$ doğrusal fonksiyonunda her farklı girdi farklı bir çıktıya gider ($x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$). Yatay doğru testi geçildiği için fonksiyon bire birdir. d) Sıfırı ve İşareti:
$f(x) = 0 \implies x = 0$ fonksiyonun sıfırıdır. Sıfır hariç tanım kümesindeki tüm $x \in (0, 200]$ değerleri için fonksiyon pozitif (+) işaretlidir.
Tank tamamen dolduğunda yükseklik $200\text{ cm}$ olur. Her dakikada $1\text{ cm}$ arttığı için dolma süresi $200\text{ dk}$ sürer.
- Tanım Kümesi (Zaman): $[0, 200]$
- Görüntü Kümesi (Yükseklik): $[0, 200]$
Her dakikada $1\text{ cm}$ artış doğrusal bir modeldir: $f(x) = x$ c) Grafik Temsili:
$(0,0)$ noktasından başlayıp $(200, 200)$ noktasına kadar uzanan, eğimi $m=1$ olan birinci açıortay doğrusunun sınırlı bir parçasıdır. ç) Bire Birlik Analizi:
$f(x) = x$ doğrusal fonksiyonunda her farklı girdi farklı bir çıktıya gider ($x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$). Yatay doğru testi geçildiği için fonksiyon bire birdir. d) Sıfırı ve İşareti:
$f(x) = 0 \implies x = 0$ fonksiyonun sıfırıdır. Sıfır hariç tanım kümesindeki tüm $x \in (0, 200]$ değerleri için fonksiyon pozitif (+) işaretlidir.
2. Soru: Dikdörtgen Çevre Modeli
Kenar uzunlukları $4\text{ cm}$ ve $x\text{ cm}$ olan bir dikdörtgen veriliyor ($x \ge 1$). $x$'e bağlı çevre uzunluğu değişimi fonksiyonu $f$'dir.
a) Tanım-Görüntü Kümeleri ve Cebirsel Temsil:
Çevre formülü: $2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar})$
$f(x) = 2(x + 4) = 2x + 8$ $x \ge 1$ koşulu verildiği için:
Görseldeki koordinat düzleminde, $(1, 10)$ kapalı noktasından başlayan ve sağa-yukarı doğru eğimi $m=2$ ile artarak giden bir ışındır.
c) İşaret İncelemesi:
Tanım kümesindeki tüm değerler ($x \ge 1$) için $2x + 8$ daima sıfırdan büyüktür. Dolayısıyla fonksiyon daima pozitif (+) işaretlidir. ç) Artan/Azalanlık Durumu:
Eğim $m = 2 > 0$ olduğundan fonksiyon tanımlı olduğu $[1, \infty)$ aralığında daima artandır. d) Bire Birlik Analizi:
Daima artan doğrusal bir fonksiyon olduğundan yatay doğrular grafiği tek bir noktada keser. Bu yüzden bire birdir.
Çevre formülü: $2 \cdot (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar})$
$f(x) = 2(x + 4) = 2x + 8$ $x \ge 1$ koşulu verildiği için:
- Tanım Kümesi: $[1, \infty)$
- Görüntü Kümesi: $f(1) = 2(1)+8 = 10 \implies [10, \infty)$
Görseldeki koordinat düzleminde, $(1, 10)$ kapalı noktasından başlayan ve sağa-yukarı doğru eğimi $m=2$ ile artarak giden bir ışındır.
Tanım kümesindeki tüm değerler ($x \ge 1$) için $2x + 8$ daima sıfırdan büyüktür. Dolayısıyla fonksiyon daima pozitif (+) işaretlidir. ç) Artan/Azalanlık Durumu:
Eğim $m = 2 > 0$ olduğundan fonksiyon tanımlı olduğu $[1, \infty)$ aralığında daima artandır. d) Bire Birlik Analizi:
Daima artan doğrusal bir fonksiyon olduğundan yatay doğrular grafiği tek bir noktada keser. Bu yüzden bire birdir.
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 162
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Devamı)
Sayfa 162: Doğrusal Fonksiyon Grafik Yorumları ve Gerçek Hayat Problemleri
3. Soru: Doğrusal Fonksiyon Grafik Analizi
Grafikte doğrunun eksenleri kestiği noktalar $(-1, 0)$ ve $(0, 2)$ olarak verilmiştir.
b) Grafiğin Eğimi:
Eğim ($m$) $= \frac{2 - 0}{0 - (-1)} = \mathbf{2}$
a) Cebirsel Temsili:
Eğimi $m=2$ olan ve $(0,2)$ noktasından geçen doğrunun denklemi:
$f(x) = 2x + 2$
Eğim ($m$) $= \frac{2 - 0}{0 - (-1)} = \mathbf{2}$
a) Cebirsel Temsili:
Eğimi $m=2$ olan ve $(0,2)$ noktasından geçen doğrunun denklemi:
$f(x) = 2x + 2$
c) Fonksiyonun Sıfırı:
$f(x) = 0 \implies 2x + 2 = 0 \implies \mathbf{x = -1}$
ç) Fonksiyonun İşareti:
$x = -1$ köküne göre işaret tablosu yapıldığında ($m=2>0$ olduğundan sağdan $+$ ile başlar):
$f(x) = 0 \implies 2x + 2 = 0 \implies \mathbf{x = -1}$
ç) Fonksiyonun İşareti:
$x = -1$ köküne göre işaret tablosu yapıldığında ($m=2>0$ olduğundan sağdan $+$ ile başlar):
- $x \in (-\infty, -1)$ için negatif (-)
- $x \in (-1, \infty)$ için pozitif (+)
4. Soru: Baraj Su Depolama Kapasitesi
Modelleme fonksiyonu: $f(x) = -10\,000x + b$, tanım kümesi: $x \in [0, 20]$. Grafiğe göre $20$. yılda kapasite sıfırlanmaktadır ($f(20) = 0$).
a) En Fazla Kaç $\text{m}^3$ Olduğu:
$f(20) = -10\,000(20) + b = 0 \implies b = 200\,000$
En fazla kapasite başlangıç anındadır ($x=0$).
$f(0) = b = \mathbf{200\,000\text{ m}^3}$
b) En Az Olduğu Yıl:
Fonksiyon azalan olduğundan, tanım kümesinin son elemanı olan 20. yılın sonunda kapasite en az ($\mathbf{0}$) olur.
c) Değişim Oranı:
Doğrusal fonksiyonlarda değişim oranı $x$'in katsayısı olan eğime eşittir:
Değişim Oranı $= \mathbf{-10\,000\text{ m}^3/\text{yıl}}$
$f(20) = -10\,000(20) + b = 0 \implies b = 200\,000$
En fazla kapasite başlangıç anındadır ($x=0$).
$f(0) = b = \mathbf{200\,000\text{ m}^3}$
b) En Az Olduğu Yıl:
Fonksiyon azalan olduğundan, tanım kümesinin son elemanı olan 20. yılın sonunda kapasite en az ($\mathbf{0}$) olur.
c) Değişim Oranı:
Doğrusal fonksiyonlarda değişim oranı $x$'in katsayısı olan eğime eşittir:
Değişim Oranı $= \mathbf{-10\,000\text{ m}^3/\text{yıl}}$
5. Soru: Boya Karışımı Değişken Analizi
$x$ = Mavi boya miktarı (bağımsız), $y$ = Beyaz boya miktarı (bağımlı).
a) Grafiklerin Fonksiyonlarla Eşleşmesi:
• L Rengi: Mavi = Beyaz $\implies$ **II numaralı grafik** ($g(x)$).
• K Rengi: Mavi < Beyaz $\implies$ **I numaralı grafik** ($f(x)$).
• M Rengi: Mavi > Beyaz $\implies$ **III numaralı grafik** ($h(x)$).
b) $b$ Katsayısının Değeri:
L renginde oranlar eşit olduğundan doğrusal eğim: $b = \mathbf{1}$
c) $a$ ve $c$ Katsayılarının Aralıkları:
Grafik eğimlerinin diklik derecelerine göre ($a > 1 > c$) sıralanışı:
• L Rengi: Mavi = Beyaz $\implies$ **II numaralı grafik** ($g(x)$).
• K Rengi: Mavi < Beyaz $\implies$ **I numaralı grafik** ($f(x)$).
• M Rengi: Mavi > Beyaz $\implies$ **III numaralı grafik** ($h(x)$).
b) $b$ Katsayısının Değeri:
L renginde oranlar eşit olduğundan doğrusal eğim: $b = \mathbf{1}$
c) $a$ ve $c$ Katsayılarının Aralıkları:
Grafik eğimlerinin diklik derecelerine göre ($a > 1 > c$) sıralanışı:
- a katsayısı aralığı: $\mathbf{(1, \infty)}$
- c katsayısı aralığı: $\mathbf{(0, 1)}$
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 163
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 163)
Sayfa 163: Parçalı Doğrusal Fonksiyonlar ve Mutlak Değer Hata Payı Modelleri
6. Soru: Güneş Paneli Enerji Üretimi
Grafikte zamana ($x$ ay) bağlı enerji üretim miktarı ($y$ kWh) doğrusal parçalarla ($f, g, h, k$) gösterilmiştir.
a) Enerji Üretiminin Arttığı Aylar:
Grafiğin yukarı yönlü (pozitif eğimli) olduğu aralıklar:
• $f$ parçası: $x \in [3, 5]$ aralığında ($220$ kwh'den $370$ kwh'e yükselmiş)
• $g$ parçası: $x \in [5, 7]$ aralığında ($370$ kwh'den $420$ kwh'e yükselmiş)
Birleşik Aralık: [3, 7] aylar arası
b) Enerji Üretiminin Azaldığı Aylar:
Grafiğin aşağı yönlü (negatif eğimli) olduğu aralıklar:
• $h$ parçası: $x \in [7, 8]$ aralığında ($420$ kwh'den $370$ kwh'e düşmüş)
• $k$ parçası: $x \in [8, 9]$ aralığında ($370$ kwh'den $250$ kwh'e düşmüş)
Birleşik Aralık: [7, 9] aylar arası
c) 7-8. Ay ile 8-9. Ay Karşılaştırması (Değişim Hızları):
• 7 ve 8. ay arası düşüş: $420 - 370 = \mathbf{50\text{ kWh}}$ azalma.
• 8 ve 9. ay arası düşüş: $370 - 250 = \mathbf{120\text{ kWh}}$ azalma.
Yorum: 8 ve 9. aylar arasındaki enerji üretimindeki düşüş (azalma hızı), 7 ve 8. aylar arasındaki düşüşe göre çok daha fazladır.
ç) Parçalı Fonksiyonun Cebirsel Temsili:
Her aralıktaki iki noktadan geçen doğru denklemleri hesaplandığında:
Grafiğin yukarı yönlü (pozitif eğimli) olduğu aralıklar:
• $f$ parçası: $x \in [3, 5]$ aralığında ($220$ kwh'den $370$ kwh'e yükselmiş)
• $g$ parçası: $x \in [5, 7]$ aralığında ($370$ kwh'den $420$ kwh'e yükselmiş)
Birleşik Aralık: [3, 7] aylar arası
b) Enerji Üretiminin Azaldığı Aylar:
Grafiğin aşağı yönlü (negatif eğimli) olduğu aralıklar:
• $h$ parçası: $x \in [7, 8]$ aralığında ($420$ kwh'den $370$ kwh'e düşmüş)
• $k$ parçası: $x \in [8, 9]$ aralığında ($370$ kwh'den $250$ kwh'e düşmüş)
Birleşik Aralık: [7, 9] aylar arası
c) 7-8. Ay ile 8-9. Ay Karşılaştırması (Değişim Hızları):
• 7 ve 8. ay arası düşüş: $420 - 370 = \mathbf{50\text{ kWh}}$ azalma.
• 8 ve 9. ay arası düşüş: $370 - 250 = \mathbf{120\text{ kWh}}$ azalma.
Yorum: 8 ve 9. aylar arasındaki enerji üretimindeki düşüş (azalma hızı), 7 ve 8. aylar arasındaki düşüşe göre çok daha fazladır.
ç) Parçalı Fonksiyonun Cebirsel Temsili:
Her aralıktaki iki noktadan geçen doğru denklemleri hesaplandığında:
- $[3, 5]$ için eğim $\frac{370-220}{5-3}=75 \implies 75(x-3)+220 = 75x - 5$
- $[5, 7]$ için eğim $\frac{420-370}{7-5}=25 \implies 25(x-5)+370 = 25x + 245$
- $[7, 8]$ için eğim $\frac{370-420}{8-7}=-50 \implies -50(x-7)+420 = -50x + 770$
- $[8, 9]$ için eğim $\frac{250-370}{9-8}=-120 \implies -120(x-8)+370 = -120x + 1330$
$$P(x) = \begin{cases}
75x - 5, & 3 \le x < 5 \\
25x + 245, & 5 \le x < 7 \\
-50x + 770, & 7 \le x < 8 \\
-120x + 1330, & 8 \le x \le 9
\end{cases}$$
7. Soru: Kutu Süt Hata Payı Modeli
Hedef dolum $180\text{ ml}$, gerçek hacim $x\text{ ml}$, hata payı fonksiyonu $f(x)$'dir. Gerçek hacim $[175, 185]$ aralığındadır.
a) Tanım ve Görüntü Kümeleri:
• Gerçek hacim bağımsız değişkendir: Tanım Kümesi = $[175, 185]$
• Maksimum hata payı $5\text{ ml}$, minimum $0\text{ ml}$ olabileceğinden: Görüntü Kümesi = $[0, 5]$
b) Mutlak Değer Fonksiyonu Cebirsel İfadesi:
Hata payı, gerçek hacmin $180\text{ ml}$'den olan sapma miktarıdır (uzaklığıdır): $f(x) = |x - 180|$
c) Fonksiyonun Sıfırı ve Parçalı Gösterimi:
• Sıfırı: $|x - 180| = 0 \implies \mathbf{x = 180}$ (Hatanın sıfır olduğu tam dolum noktası).
• Parçalı Gösterim ($x \in [175, 185]$ sınırlarında):
ç) Grafik Temsili Tanımı:
Uç noktaları $(175, 5)$ ve $(185, 5)$ olan, kırılma/köşe noktasını $(180, 0)$ noktasında yapan simetrik bir **"V"** grafiğidir. Kılavuz düzlemde birinci bölgede yer alır.
d) Bire Birlik Analizi:
Görüntü kümesindeki bir eleman (örneğin $f(x)=5$ hata payı) hem $x=175$ hem de $x=185$ için elde edilir ($f(175)=f(185)=5$). Yatay doğru testi grafiği iki noktada kestiği için fonksiyon bire bir değildir.
• Gerçek hacim bağımsız değişkendir: Tanım Kümesi = $[175, 185]$
• Maksimum hata payı $5\text{ ml}$, minimum $0\text{ ml}$ olabileceğinden: Görüntü Kümesi = $[0, 5]$
b) Mutlak Değer Fonksiyonu Cebirsel İfadesi:
Hata payı, gerçek hacmin $180\text{ ml}$'den olan sapma miktarıdır (uzaklığıdır): $f(x) = |x - 180|$
c) Fonksiyonun Sıfırı ve Parçalı Gösterimi:
• Sıfırı: $|x - 180| = 0 \implies \mathbf{x = 180}$ (Hatanın sıfır olduğu tam dolum noktası).
• Parçalı Gösterim ($x \in [175, 185]$ sınırlarında):
$$f(x) = \begin{cases}
180 - x, & 175 \le x < 180 \\
x - 180, & 180 \le x \le 185
\end{cases}$$
ç) Grafik Temsili Tanımı:
Uç noktaları $(175, 5)$ ve $(185, 5)$ olan, kırılma/köşe noktasını $(180, 0)$ noktasında yapan simetrik bir **"V"** grafiğidir. Kılavuz düzlemde birinci bölgede yer alır.
Görüntü kümesindeki bir eleman (örneğin $f(x)=5$ hata payı) hem $x=175$ hem de $x=185$ için elde edilir ($f(175)=f(185)=5$). Yatay doğru testi grafiği iki noktada kestiği için fonksiyon bire bir değildir.
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 164
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 164)
Sayfa 164: Doğrusal Hareket Modelleri, Mutlak Değer Kök Analizi ve Eşitsizlik Uygulamaları
8. Soru: Ayhan ve Bilge Bisiklet Hareketi Modeli
Başlangıçta aralarında $36\text{ m}$ mesafe olan iki bisikletliden arkadaki Ayhan $30\text{ m/dk}$, öndeki Bilge ise $27\text{ m/dk}$ hızla aynı yönde 24 dakika boyunca hareket etmektedir (Başlangıç saati: 12.05).
a) Zamana Bağlı Mesafe Fonksiyonu:
Ayhan her dakikada Bilge'ye $30 - 27 = 3\text{ m}$ yaklaşır. Başlangıç mesafesi $36\text{ m}$ olduğundan $t$ dakika sonra aralarındaki mesafe: $f(t) = |36 - 3t|, \quad t \in [0, 24]$ Cebirsel (Parçalı) Temsil:
$36 - 3t = 0 \implies t = 12$ yanyana gelme anıdır.
Ayhan her dakikada Bilge'ye $30 - 27 = 3\text{ m}$ yaklaşır. Başlangıç mesafesi $36\text{ m}$ olduğundan $t$ dakika sonra aralarındaki mesafe: $f(t) = |36 - 3t|, \quad t \in [0, 24]$ Cebirsel (Parçalı) Temsil:
$36 - 3t = 0 \implies t = 12$ yanyana gelme anıdır.
$$f(t) = \begin{cases}
36 - 3t, & 0 \le t < 12 \\
3t - 36, & 12 \le t \le 24
\end{cases}$$
Grafik Temsili: $(0, 36)$ noktasından başlayıp $(12, 0)$ noktasında eksene teğet geçen (kırılan) ve $(24, 36)$ noktasında sonlanan bir "V" grafiğidir.
b) Maksimum, Minimum ve Sıfırın Anlamı:
• Minimum Değer: $0$'dır ($t=12$). Anlamı: Harekete başladıktan 12 dakika sonra Ayhan, Bilge'yi yakalamış ve yan yana gelmişlerdir.
• Maksimum Değer: Hem $t=0$ hem de $t=24$ anında $36\text{ m}$'dir. Anlamı: Süreç boyunca aralarındaki mesafe en fazla başlangıçta ve hareketin sonunda gerçekleşir.
• Fonksiyonun Sıfırı: $t=12$'dir. Aralarındaki mesafenin tükendiği andır.
c) Mesafenin 12 Metre Olduğu Saatler:
$|36 - 3t| = 12$ denklemini çözeriz:
1. $36 - 3t = 12 \implies 3t = 24 \implies t = 8\text{ dk}$
2. $36 - 3t = -12 \implies 3t = 48 \implies t = 16\text{ dk}$
• 1. Durum Saat: $12.05 + 8\text{ dk} = \mathbf{12.13}$
• 2. Durum Saat: $12.05 + 16\text{ dk} = \mathbf{12.21}$
• Minimum Değer: $0$'dır ($t=12$). Anlamı: Harekete başladıktan 12 dakika sonra Ayhan, Bilge'yi yakalamış ve yan yana gelmişlerdir.
• Maksimum Değer: Hem $t=0$ hem de $t=24$ anında $36\text{ m}$'dir. Anlamı: Süreç boyunca aralarındaki mesafe en fazla başlangıçta ve hareketin sonunda gerçekleşir.
• Fonksiyonun Sıfırı: $t=12$'dir. Aralarındaki mesafenin tükendiği andır.
c) Mesafenin 12 Metre Olduğu Saatler:
$|36 - 3t| = 12$ denklemini çözeriz:
1. $36 - 3t = 12 \implies 3t = 24 \implies t = 8\text{ dk}$
2. $36 - 3t = -12 \implies 3t = 48 \implies t = 16\text{ dk}$
• 1. Durum Saat: $12.05 + 8\text{ dk} = \mathbf{12.13}$
• 2. Durum Saat: $12.05 + 16\text{ dk} = \mathbf{12.21}$
ç) Mesafenin 6 Metre ve Daha Fazla Olduğu Saat Aralıkları:
$|36 - 3t| \ge 6$ eşitsizliğini çözeriz:
• $36 - 3t \ge 6 \implies 30 \ge 3t \implies t \le 10\text{ dk}$ $\implies [0, 10]$ aralığı.
• $36 - 3t \le -6 \implies 42 \le 3t \implies t \ge 14\text{ dk}$ $\implies [14, 24]$ aralığı.
Saat Değerlerinin Aralığı: [12.05 - 12.15] ile [12.19 - 12.29] zaman aralıklarıdır.
$|36 - 3t| \ge 6$ eşitsizliğini çözeriz:
• $36 - 3t \ge 6 \implies 30 \ge 3t \implies t \le 10\text{ dk}$ $\implies [0, 10]$ aralığı.
• $36 - 3t \le -6 \implies 42 \le 3t \implies t \ge 14\text{ dk}$ $\implies [14, 24]$ aralığı.
Saat Değerlerinin Aralığı: [12.05 - 12.15] ile [12.19 - 12.29] zaman aralıklarıdır.
9. Soru: Mutlak Değer Fonksiyonlarında Katsayı Sıralaması
$g(x) = |-3x + b_1|$, $h(x) = |-3x + b_2|$, $k(x) = |-3x + b_3|$ fonksiyonlarının sıfırları (kökleri) sırasıyla $x_1, x_2, x_3$ olmak üzere $x_2 < x_1 < x_3$ sıralaması verilmiştir.
Çözüm Analizi:
Her fonksiyonun içini sıfır yapan $x$ değerlerini (sıfırlarını) bulalım:
Bulduğumuz değerleri bu eşitsizlikte yerine koyarsak:
Sonuç: $b_2 < b_1 < b_3$
Her fonksiyonun içini sıfır yapan $x$ değerlerini (sıfırlarını) bulalım:
- $-3x_1 + b_1 = 0 \implies x_1 = \frac{b_1}{3}$
- $-3x_2 + b_2 = 0 \implies x_2 = \frac{b_2}{3}$
- $-3x_3 + b_3 = 0 \implies x_3 = \frac{b_3}{3}$
Bulduğumuz değerleri bu eşitsizlikte yerine koyarsak:
$$\frac{b_2}{3} < \frac{b_1}{3} < \frac{b_3}{3}$$
Tüm terimleri $3$ ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez:Sonuç: $b_2 < b_1 < b_3$
10. Soru: Kolesterol Kısıtlaması Doğrusal Eşitsizlik Modeli
Maksimum kolesterol sınırı: $320\text{ mg}$.
• $100\text{ g}$ tereyağı $\implies 215\text{ mg}$ kolesterol ($1\text{ gramında } 2.15\text{ mg}$).
• $100\text{ g}$ kırmızı et $\implies 65\text{ mg}$ kolesterol ($1\text{ gramında } 0.65\text{ mg}$).
a) 200 g Et ve $x$ g Tereyağı İçin Eşitsizlik:
$200\text{ g}$ kırmızı etten gelen sabit kolesterol:
$2 \cdot 65 = 130\text{ mg}$
$x\text{ g}$ tereyağından gelen kolesterol: $2.15 \cdot x = \frac{215}{100}x$
Toplam kolesterol $320\text{ mg}$ değerini aşmamalıdır ($\le$): $130 + 2.15x \le 320$
b) 390 g Et Yanına En Fazla Kaç Gram Tereyağı:
$390\text{ g}$ kırmızı etten gelen kolesterol:
$3.9 \cdot 65 = 253.5\text{ mg}$
Geriye kalan izin verilen maksimum kolesterol payı:
$320 - 253.5 = 66.5\text{ mg}$
Maksimum tereyağı miktarı ($y$):
$2.15 \cdot y \le 66.5 \implies y \le \frac{66.5}{2.15} = \frac{6650}{215}$
Bölme işlemini virgülden sonra iki basamak olacak şekilde yaparsak:
$y \approx \mathbf{30.93\text{ g}}$ tereyağı tüketebilir.
$200\text{ g}$ kırmızı etten gelen sabit kolesterol:
$2 \cdot 65 = 130\text{ mg}$
$x\text{ g}$ tereyağından gelen kolesterol: $2.15 \cdot x = \frac{215}{100}x$
Toplam kolesterol $320\text{ mg}$ değerini aşmamalıdır ($\le$): $130 + 2.15x \le 320$
b) 390 g Et Yanına En Fazla Kaç Gram Tereyağı:
$390\text{ g}$ kırmızı etten gelen kolesterol:
$3.9 \cdot 65 = 253.5\text{ mg}$
Geriye kalan izin verilen maksimum kolesterol payı:
$320 - 253.5 = 66.5\text{ mg}$
Maksimum tereyağı miktarı ($y$):
$2.15 \cdot y \le 66.5 \implies y \le \frac{66.5}{2.15} = \frac{6650}{215}$
Bölme işlemini virgülden sonra iki basamak olacak şekilde yaparsak:
$y \approx \mathbf{30.93\text{ g}}$ tereyağı tüketebilir.
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 165
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 165)
Sayfa 165: Ekonomik Modeller (Arz-Talep Dengesi), Maliyet Fonksiyonları ve Bütçe Eşitsizlikleri
11. Soru: Kumaş Üretimi Arz ve Talep Dengesi
Arz fonksiyonu $f(x) = \frac{x}{2} - 3$ ve talep fonksiyonu $g(x) = 21 - x$ olarak modellenmiştir. $x$, kumaş fiyatını ($\times 50\,000\text{ TL}$ cinsinden), fonksiyon çıktıları ise miktarı (ton) göstermektedir.
a) Denge Durumu Çözümü:
Denge noktasında arz ve talep miktarları birbirine eşittir ($f(x) = g(x)$):
• Üretim Miktarı: Herhangi bir fonksiyonda $x=16$ yazılarak bulunur:
$g(16) = 21 - 16 = \mathbf{5\text{ ton}}$ kumaş üretilmelidir.
Denge noktasında arz ve talep miktarları birbirine eşittir ($f(x) = g(x)$):
$$\frac{x}{2} - 3 = 21 - x \implies \frac{x}{2} + x = 24 \implies \frac{3x}{2} = 24$$
$$3x = 48 \implies x = 16$$
• Kumaş Fiyatı: $16 \cdot 50\,000 = \mathbf{800\,000\text{ TL}}$ olmalıdır.• Üretim Miktarı: Herhangi bir fonksiyonda $x=16$ yazılarak bulunur:
$g(16) = 21 - 16 = \mathbf{5\text{ ton}}$ kumaş üretilmelidir.
b) Grafiğin Pozitif Yönde 3 Birim Ötelenmesi Durumu:
$f(x)$ grafiği $y$ ekseni boyunca $+3$ birim ötelenirse yeni arz fonksiyonu $f_{yeni}(x) = f(x) + 3$ olur:
• Yeni 1 Ton Kumaş Fiyatı: $14 \cdot 50\,000 = \mathbf{700\,000\text{ TL}}$ (İlk duruma göre $\mathbf{100\,000\text{ TL} \text{ azaldı}}$).
$f(x)$ grafiği $y$ ekseni boyunca $+3$ birim ötelenirse yeni arz fonksiyonu $f_{yeni}(x) = f(x) + 3$ olur:
$$f_{yeni}(x) = \left(\frac{x}{2} - 3\right) + 3 = \frac{x}{2}$$
Yeni denge noktasını bulmak için talep fonksiyonu ile tekrar eşitleyelim:
$$\frac{x}{2} = 21 - x \implies \frac{3x}{2} = 21 \implies 3x = 42 \implies x_{yeni} = 14$$
• Yeni Üretim Miktarı: $g(14) = 21 - 14 = \mathbf{7\text{ ton}}$ (İlk duruma göre $\mathbf{2\text{ ton arttı}}$).• Yeni 1 Ton Kumaş Fiyatı: $14 \cdot 50\,000 = \mathbf{700\,000\text{ TL}}$ (İlk duruma göre $\mathbf{100\,000\text{ TL} \text{ azaldı}}$).
12. Soru: Araç Kiralama Alternatif Maliyet Analizi
1. Şirket: $2000\text{ TL}$ sabit ücret + km başına $3\text{ TL}$.
2. Şirket: $1500\text{ TL}$ sabit ücret + km başına $5\text{ TL}$.
a) Cebirsel Maliyet Fonksiyonları:
$x$ gidilen kilometre olmak üzere toplam kiralama maliyetleri:
Dik koordinat sisteminde $y$ eksenini $(0, 2000)$ noktasında kesen ve eğimi $m=3$ olan bir doğru ile $y$ eksenini $(0, 1500)$ noktasında kesen ve eğimi $m=5$ olan daha dik bir doğrunun çizimidir. Bu iki grafik $(250, 2750)$ kesim noktasında birleşir.
$x$ gidilen kilometre olmak üzere toplam kiralama maliyetleri:
- 1. Şirket Fonksiyonu: $f(x) = 3x + 2000$
- 2. Şirket Fonksiyonu: $g(x) = 5x + 1500$
Dik koordinat sisteminde $y$ eksenini $(0, 2000)$ noktasında kesen ve eğimi $m=3$ olan bir doğru ile $y$ eksenini $(0, 1500)$ noktasında kesen ve eğimi $m=5$ olan daha dik bir doğrunun çizimidir. Bu iki grafik $(250, 2750)$ kesim noktasında birleşir.
c) Ücretlerin Eşit Olduğu Kilometre:
İki maliyet fonksiyonunu birbirine eşitleyip cebirsel olarak çözeriz:
ç) 1. Şirketin Daha Ekonomik Olduğu Kilometre:
1. Şirketin maliyetinin daha düşük olması istenir ($f(x) < g(x)$):
İki maliyet fonksiyonunu birbirine eşitleyip cebirsel olarak çözeriz:
$$3x + 2000 = 5x + 1500 \implies 2000 - 1500 = 5x - 3x$$
$$500 = 2x \implies x = \mathbf{250\text{ km}}$$
Grafik üzerinde bu durum, iki maliyet doğrusunun kesiştiği ortak koordinat olan $\mathbf{(250, 2750)}$ noktası ile gösterilir.
ç) 1. Şirketin Daha Ekonomik Olduğu Kilometre:
1. Şirketin maliyetinin daha düşük olması istenir ($f(x) < g(x)$):
$$3x + 2000 < 5x + 1500 \implies 500 < 2x \implies x > 250\text{ km}$$
Dolayısıyla, en az 250 km'nin üzerindeki kullanımlarda 1. şirket daha ekonomiktir.
13. Soru: Tatil Köyü Konaklama Bütçe Modellemesi
Gecelik kişi başı ücret: $8000\text{ TL}$, Sabit yolculuk gideri: $2000\text{ TL}$, Toplam belirlenen bütçe sınırı: $35000\text{ TL}$.
a) Gece Sayısına Bağlı Bütçe Planı Eşitsizliği:
Tatil köyünde kalacağı gece sayısı $x$ olsun.
Toplam harcama, sabit gider ile konaklama ücretinin toplamıdır ve bütçeyi aşmamalıdır ($\le 35000$): $8000x + 2000 \le 35000$
Tatil köyünde kalacağı gece sayısı $x$ olsun.
Toplam harcama, sabit gider ile konaklama ücretinin toplamıdır ve bütçeyi aşmamalıdır ($\le 35000$): $8000x + 2000 \le 35000$
b) En Fazla Konaklanabilecek Gece Sayısı:
Oluşturulan doğrusal eşitsizliği $x$ bağımsız değişkeni için çözeriz:
Oluşturulan doğrusal eşitsizliği $x$ bağımsız değişkeni için çözeriz:
$$8000x \le 35000 - 2000 \implies 8000x \le 33000$$
$$x \le \frac{33000}{8000} \implies x \le 4.125$$
Gece sayısı tam sayı olmak zorunda olduğundan, Orhan Bey bütçesini aşmadan bu tatil köyünde en fazla 4 gece konaklayabilir.
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 166
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 166)
Sayfa 166: Doğrusal Fonksiyon Modelleri ve Alternatif Maliyet Analizi (Tablo Veri İşleme)
14. Soru: Fotokopi Makinesi Kiralama ve Çalışma Maliyeti
Bir kırtasiyenin kiralayabileceği A ve B marka makinelerin sabit kiralama depozito bedelleri ve çalışma süresine (dk.) bağlı elektrik maliyetleri Tablo 1'de verilmiştir.
a) Çalışma Süresine ($x$ dk.) Bağlı Toplam Maliyet Fonksiyonları:
$x$, makinenin çalışma süresini dakika cinsinden göstermek üzere:
$x$, makinenin çalışma süresini dakika cinsinden göstermek üzere:
- A Makinesi Fonksiyonu: $f(x) = 0.25x + 5000$
- B Makinesi Fonksiyonu: $g(x) = 0.65x + 4000$
c) Grafik Temsili Tanımı:
Dik koordinat sisteminde $y$ ekseni maliyeti (TL), $x$ ekseni ise süreyi (dk.) gösterir. $f(x)$ doğrusu $(0, 5000)$ noktasından başlayıp $0.25$ eğimiyle yükselirken; $g(x)$ doğrusu $(0, 4000)$ noktasından başlayıp daha dik bir eğimle ($0.65$) yükselir.
ç) Grafik Gösteriminden Yararlanarak Eşitlenme Analizi:
İki maliyet doğrusunun grafik üzerinde kesiştiği ortak nokta, maliyetlerin ve sürelerin eşitlendiği andır. Grafik incelendiğinde bu kesişim noktasının apsisi $\mathbf{2500\text{ dk.}}$ ve ordinatı $\mathbf{5625\text{ TL}}$ olarak bulunur.
Dik koordinat sisteminde $y$ ekseni maliyeti (TL), $x$ ekseni ise süreyi (dk.) gösterir. $f(x)$ doğrusu $(0, 5000)$ noktasından başlayıp $0.25$ eğimiyle yükselirken; $g(x)$ doğrusu $(0, 4000)$ noktasından başlayıp daha dik bir eğimle ($0.65$) yükselir.
ç) Grafik Gösteriminden Yararlanarak Eşitlenme Analizi:
İki maliyet doğrusunun grafik üzerinde kesiştiği ortak nokta, maliyetlerin ve sürelerin eşitlendiği andır. Grafik incelendiğinde bu kesişim noktasının apsisi $\mathbf{2500\text{ dk.}}$ ve ordinatı $\mathbf{5625\text{ TL}}$ olarak bulunur.
b) Çalışma Sürelerine Göre Hesaplanan Maliyetler (Tablo 2):
| Çalışma Süresi (dk.) | $1000$ | $1500$ | $2000$ | $2500$ | $3000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| A Makinesinin Toplam Maliyeti (TL) | $5250$ | $5375$ | $5500$ | $5625$ | $5750$ |
| B Makinesinin Toplam Maliyeti (TL) | $4650$ | $4975$ | $5300$ | $5625$ | $5950$ |
d) Cebirsel Çözüm ile Eşitlenme Süresi:
İki fonksiyonun maliyetlerini birbirine eşitleyerek çözüm kümesini buluruz:
İki fonksiyonun maliyetlerini birbirine eşitleyerek çözüm kümesini buluruz:
$$0.25x + 5000 = 0.65x + 4000$$
$$5000 - 4000 = 0.65x - 0.25x$$
$$1000 = 0.40x \implies x = \frac{1000}{0.4} = \mathbf{2500\text{ dk.}}$$
Süre yerine yazıldığında eşitlenen ücret: $0.25(2500) + 5000 = \mathbf{5625\text{ TL}}$.
e) Ekonomiklik Karşılaştırması ve Seçim Stratejisi:
Tablo 2'deki veriler ve fonksiyon eğimleri analiz edildiğinde:
Tablo 2'deki veriler ve fonksiyon eğimleri analiz edildiğinde:
- $2500\text{ dk.}$ altındaki çalışma sürelerinde (1000, 1500, 2000 dk.) sabit ücreti daha düşük olan B makinesi daha ekonomiktir.
- $2500\text{ dk.}$ çalışma süresinde her iki makinenin maliyeti de birbirine eşittir ($5625\text{ TL}$).
- $2500\text{ dk.}$ üzerindeki çalışma sürelerinde (3000 dk. ve sonrası) dakika başına elektrik tüketimi daha az olan A makinesi daha ekonomiktir.
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 167
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 167)
Sayfa 167: Doğrusal Fonksiyon Dönüşümleri ve Su Sebilinde Yükseklik-Zaman Analizi
15. Soru: Silindir Kaplardaki Su Yüksekliği Değişimi
I ve II numaralı dik dairesel silindir kapların başlangıçtaki su yükseklikleri sırasıyla $40\text{ cm}$ ve $30\text{ cm}$'dir. Musluklar açıldıktan sonra geçen süreye ($t$ dakika) bağlı su yüksekliklerinin ($h$ cm) değişimi Tablo 1 ve Tablo 2'de verilmiştir.
a) Zamana ($t$ dk.) Bağlı Su Yüksekliği Fonksiyonları:
• I. Kap (Tablo 1): Her dakikada su yüksekliği $40 - 36 = 4\text{ cm}$ azalmaktadır. Başlangıç yüksekliği $40\text{ cm}$ olduğundan:
$h_I(t) = -4t + 40$ • II. Kap (Tablo 2): Her dakikada su yüksekliği $30 - 28 = 2\text{ cm}$ azalmaktadır. Başlangıç yüksekliği $30\text{ cm}$ olduğundan:
$h_{II}(t) = -2t + 30$
• I. Kap (Tablo 1): Her dakikada su yüksekliği $40 - 36 = 4\text{ cm}$ azalmaktadır. Başlangıç yüksekliği $40\text{ cm}$ olduğundan:
$h_I(t) = -4t + 40$ • II. Kap (Tablo 2): Her dakikada su yüksekliği $30 - 28 = 2\text{ cm}$ azalmaktadır. Başlangıç yüksekliği $30\text{ cm}$ olduğundan:
$h_{II}(t) = -2t + 30$
b) $f(x) = x$ Referans Fonksiyonuna Göre Dönüşümler:
b Şıkkı: Doğrusal Fonksiyon Dönüşümleri Grafiği
c) Suyun Daha Çabuk Tükeneceği Kap (Grafik Yorumu):
Kaplardaki suların tükenmesi, yükseklik doğrularının zaman ($t$) eksenini kestiği ($h(t) = 0$) anlardır:
• I. Kap için: $-4t + 40 = 0 \implies t = 10\text{. dakikada biter.}$
• II. Kap için: $-2t + 30 = 0 \implies t = 15\text{. dakikada biter.}$
Grafikte $t$ eksenine daha yakın olan (daha dik azalan) I numaralı kaptaki su daha çabuk tüketilir.
Kaplardaki suların tükenmesi, yükseklik doğrularının zaman ($t$) eksenini kestiği ($h(t) = 0$) anlardır:
• I. Kap için: $-4t + 40 = 0 \implies t = 10\text{. dakikada biter.}$
• II. Kap için: $-2t + 30 = 0 \implies t = 15\text{. dakikada biter.}$
Grafikte $t$ eksenine daha yakın olan (daha dik azalan) I numaralı kaptaki su daha çabuk tüketilir.
ç) Yüksekliklerin Eşit Olduğu Dakika:
İki doğrusal fonksiyonu birbirine eşitleyerek su yüksekliklerinin hangi dakikada eşitleneceğini buluruz:
İki doğrusal fonksiyonu birbirine eşitleyerek su yüksekliklerinin hangi dakikada eşitleneceğini buluruz:
$$-4t + 40 = -2t + 30$$
$$40 - 30 = 4t - 2t$$
$$10 = 2t \implies t = \mathbf{5\text{ . dakikada}}$$
Sağlama yapıldığında 5. dakikada her iki kaptaki su yüksekliği de $20\text{ cm}$ olur.
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 168
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 168)
Sayfa 168: Çoktan Seçmeli Sorular — Hız-Zaman Doğrusal Grafik Modelleri ve Parçalı Fonksiyon Grafik Analizi
16. Soru: Yürüyen Bant ve Kayakçı Hız Modelleri
Zeminde sabit hızla yürüyen 1. kayakçının hızı $v$ olsun. Yürüyen bandın hızı bu hızın 2 katı, yani $2v$ olur. Üç kayakçının hareket durumları ve hızları şu şekildedir:
• 1. Kayakçı ($f$ fonksiyonu): Sadece zeminde kendi hızıyla yürür.
$$\text{Hız}_1 = v$$ • 2. Kayakçı ($g$ fonksiyonu): Bant üzerinde, bant ile aynı yönde yürür. Hızlar toplanır:
$$\text{Hız}_2 = 2v + v = 3v$$ • 3. Kayakçı ($n$ fonksiyonu): Bant üzerinde durarak ilerler. Sadece bandın hızı etkilidir:
$$\text{Hız}_3 = 2v$$
Eğim (Hız) Sıralaması:
Konum-zaman (Alınan mesafe - Zaman) grafiklerinde doğrunun eğimi hızı verir. Hızlar kıyaslandığında $\text{Hız}_2 > \text{Hız}_3 > \text{Hız}_1$ olduğundan eğim sıralaması da $g > n > f$ olmalıdır.
Doğru Cevap: A şıkkı
$$\text{Hız}_1 = v$$ • 2. Kayakçı ($g$ fonksiyonu): Bant üzerinde, bant ile aynı yönde yürür. Hızlar toplanır:
$$\text{Hız}_2 = 2v + v = 3v$$ • 3. Kayakçı ($n$ fonksiyonu): Bant üzerinde durarak ilerler. Sadece bandın hızı etkilidir:
$$\text{Hız}_3 = 2v$$
Eğim (Hız) Sıralaması:
Konum-zaman (Alınan mesafe - Zaman) grafiklerinde doğrunun eğimi hızı verir. Hızlar kıyaslandığında $\text{Hız}_2 > \text{Hız}_3 > \text{Hız}_1$ olduğundan eğim sıralaması da $g > n > f$ olmalıdır.
Doğru Cevap: A şıkkı
17. Soru: Oda Sıcaklığı Zaman Değişim Grafiği
Grafikte zamana ($sa.$) bağlı olarak iklimlendirilen bir odanın sıcaklık ($^\circ\text{C}$) değerlerindeki değişim doğrusal parçalar halinde verilmiştir.
Seçeneklerin Matematiksel Analizi:
• A) Sıcaklık $8$ ile $14$. saatler arasında ($14 - 8 = 6$ saat boyunca) $0^\circ\text{C}$'nin altındadır. (Yanlış, 7 saat değil).
• B) Sıcaklık $[0, 8]$ aralığında (8 saat) ve $[14, 22]$ aralığında (8 saat) olmak üzere toplam $8 + 8 = 16$ saat boyunca $0^\circ\text{C}$ veya üzerindedir. (Yanlış, 18 saat değil).
• C) Grafik başlangıçtan ($t=0$) dip noktaya ($t=10$) kadar azalmaktadır. Dolayısıyla sıcaklık 10 saat boyunca azalmıştır. (Yanlış, 11 saat değil).
• D) Grafik dip noktadan ($t=10$) son ölçüm anına ($t=22$) kadar sürekli artmaktadır. Artış süresi: $22 - 10 = 12$ saattir. (Kesinlikle Doğru)
• E) İlk ölçüm ($t=0$ iken $8^\circ\text{C}$) ile son ölçüm ($t=22$ iken $4^\circ\text{C}$) arasındaki fark $8 - 4 = 4^\circ\text{C}$'tir. (Yanlış, $10^\circ\text{C}$ değil).
Doğru Cevap: D şıkkı
• A) Sıcaklık $8$ ile $14$. saatler arasında ($14 - 8 = 6$ saat boyunca) $0^\circ\text{C}$'nin altındadır. (Yanlış, 7 saat değil).
• B) Sıcaklık $[0, 8]$ aralığında (8 saat) ve $[14, 22]$ aralığında (8 saat) olmak üzere toplam $8 + 8 = 16$ saat boyunca $0^\circ\text{C}$ veya üzerindedir. (Yanlış, 18 saat değil).
• C) Grafik başlangıçtan ($t=0$) dip noktaya ($t=10$) kadar azalmaktadır. Dolayısıyla sıcaklık 10 saat boyunca azalmıştır. (Yanlış, 11 saat değil).
• D) Grafik dip noktadan ($t=10$) son ölçüm anına ($t=22$) kadar sürekli artmaktadır. Artış süresi: $22 - 10 = 12$ saattir. (Kesinlikle Doğru)
• E) İlk ölçüm ($t=0$ iken $8^\circ\text{C}$) ile son ölçüm ($t=22$ iken $4^\circ\text{C}$) arasındaki fark $8 - 4 = 4^\circ\text{C}$'tir. (Yanlış, $10^\circ\text{C}$ değil).
Doğru Cevap: D şıkkı
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME
Sayfa 169
Ölçme ve Değerlendirme Çözümleri (Sayfa 169)
Sayfa 169: Çoktan Seçmeli Sorular — Sayı Doğrusunda Mutlak Değer Fonksiyonu Modellemesi ve Doğrusal Hareket Fonksiyonları
18. Soru: Kütüphane-Market Arası Mesafe Fonksiyonu Analizi
Can'ın evi $O(0)$ noktasında, kütüphane $K(-5)$ ve market $M(3)$ noktalarındadır. Yol üzerindeki bir $x$ konumunun evine ($O$ noktasına) olan mesafesini metre cinsinden ifade eden fonksiyon $f(x)$'tir.
1. Tanım ve Değer Kümesinin Belirlenmesi:
• Konum $x$, kütüphane ile market arasındaki yol üzerinde hareket etmektedir. Bu nedenle tanım aralığı $[-5, 3]$ olur.
$$\text{Tanım Kümesi: } (a, b) \implies a = -5, \quad text{ve} \quad b = 3$$ • Bir noktanın evine ($0$ noktasına) uzaklığı en az $0$ metre (evdeyken) ve en fazla kütüphanedeyken $5 \text{ birim} \times 100 \text{ m} = 500 \text{ m}$ olur. Değer aralığı $[0, 500]$ biçimindedir.
$$\text{Değer Kümesi: } [c, d] \implies c = 0, \quad text{ve} \quad d = 500$$
• Konum $x$, kütüphane ile market arasındaki yol üzerinde hareket etmektedir. Bu nedenle tanım aralığı $[-5, 3]$ olur.
$$\text{Tanım Kümesi: } (a, b) \implies a = -5, \quad text{ve} \quad b = 3$$ • Bir noktanın evine ($0$ noktasına) uzaklığı en az $0$ metre (evdeyken) ve en fazla kütüphanedeyken $5 \text{ birim} \times 100 \text{ m} = 500 \text{ m}$ olur. Değer aralığı $[0, 500]$ biçimindedir.
$$\text{Değer Kümesi: } [c, d] \implies c = 0, \quad text{ve} \quad d = 500$$
2. Cebirsel Temsil ve İfade Değeri:
• Sayı doğrusundaki $x$ birimlik konumun başlangıç noktasına uzaklığı metre cinsinden $f(x) = 100|x|$ olarak modellenir.
$$f(x) = |100x + 0| \implies k = 100, \quad n = 0$$ • Bizden istenen $a + b - c - n + \frac{d}{k}$ ifadesini hesaplayalım:
• Sayı doğrusundaki $x$ birimlik konumun başlangıç noktasına uzaklığı metre cinsinden $f(x) = 100|x|$ olarak modellenir.
$$f(x) = |100x + 0| \implies k = 100, \quad n = 0$$ • Bizden istenen $a + b - c - n + \frac{d}{k}$ ifadesini hesaplayalım:
$$-5 + 3 - 0 - 0 + \frac{500}{100}$$
$$-2 + 5 = \mathbf{3}$$
Doğru Cevap: D şıkkı
19. Soru: Fadime Hanım ve Derya'nın Doğrusal Hareket Analizi
Fadime Hanım'ın aldığı yol $f(t) = 70t$, kızı Derya'nın aldığı yol ise $d(t) = 90t - 360$ fonksiyonları ile modellenmiştir ($t$, Fadime Hanım'ın evden çıkışından itibaren geçen süredir).
Öncüllerin Matematiksel İspatı:
• I. Öncül Kontrolü: Derya'nın harekete başlama zamanı, aldığı yolun sıfırdan büyük olmaya başladığı andır. $d(t) = 0 \implies 90t - 360 = 0 \implies t = 4\text{. dakikadır}$. Yani Derya, annesinden 4 dakika sonra yola çıkmıştır. (I. İfade Doğru)
• II. ve III. Öncül Kontrolü: Derya'nın annesine yetiştiği anda aldıkları mesafeler eşitlenir ($f(t) = d(t)$):
• Yetiştikleri yerin eve olan uzaklığı: $f(18) = 70 \times 18 = \mathbf{1260\text{ m}}$ olarak bulunur. (II. İfade Doğru)
• I. Öncül Kontrolü: Derya'nın harekete başlama zamanı, aldığı yolun sıfırdan büyük olmaya başladığı andır. $d(t) = 0 \implies 90t - 360 = 0 \implies t = 4\text{. dakikadır}$. Yani Derya, annesinden 4 dakika sonra yola çıkmıştır. (I. İfade Doğru)
• II. ve III. Öncül Kontrolü: Derya'nın annesine yetiştiği anda aldıkları mesafeler eşitlenir ($f(t) = d(t)$):
$$70t = 90t - 360 \implies 20t = 360 \implies t = 18\text{ . dakika}$$
• Yetişme anı Fadime Hanım evden çıktıktan 18 dakika sonradir (Dolayısıyla 12. dakika diyen III. İfade Yanlıştır).• Yetiştikleri yerin eve olan uzaklığı: $f(18) = 70 \times 18 = \mathbf{1260\text{ m}}$ olarak bulunur. (II. İfade Doğru)
Sonuç Paneli
- I. öncül: Doğru
- II. öncül: Doğru
- III. öncül: Yanlış