Sayfalara Git
Ölçme ve Değerlendirme
7. Tema: Veriden Olasılığa
Ölçme ve Değerlendirme
Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, Bayes Teoremi, koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız olaylar konularını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Peynir Beğeni Anketi
Koşullu Olasılık – Tablo ile ÇözümBir firma ürettiği peynirler hakkında tüketicinin beğenisini araştırmak için 200 kişilik bir gruba ürünün ilk çeşidini tattırmış, tüketicinin ürün hakkındaki düşüncelerini aşağıdaki tabloda göstermiştir.
| Beğeniyorum | Fikrim yok | Beğenmiyorum | Toplam | |
|---|---|---|---|---|
| Kadın | 70 | 30 | 20 | 120 |
| Erkek | 40 | 25 | 15 | 80 |
| Toplam | 110 | 55 | 35 | 200 |
Satış temsilcisi aynı ürünün ikinci çeşidini tüketiciye sunduğunda ilk ürünü beğenmeyen kadınların yarısı, fikri olmadığını belirten erkeklerin \( \frac{1}{5} \)'i ürünü beğendiklerini söylemiştir. Diğer tüketiciler ürün hakkındaki fikirlerini değiştirmemişlerdir.
Son duruma göre tüketici grubundan seçilen birinin ürünü beğendiği bilindiğine göre bu kişinin kadın olmasının olasılık değerini bulunuz.
Değişimler:
- Beğenmeyen kadın: 20 → yarısı beğendi (10 kişi)
- Fikri olmayan erkek: 25 → \( \frac{1}{5} \)'i beğendi (5 kişi)
Yeni Durum Tablosu:
| Beğeniyorum | Fikrim yok | Beğenmiyorum | Toplam | |
|---|---|---|---|---|
| Kadın | 80 | 30 | 10 | 120 |
| Erkek | 45 | 20 | 15 | 80 |
| Toplam | 125 | 50 | 25 | 200 |
- Beğenen kadın: 80
- Toplam beğenen: 125
- P(Kadın | Beğenir) = \( \dfrac{80}{125} = \dfrac{16}{25} \)
Performans ve Proje Ödevi
Koşullu OlasılıkEyüp Öğretmen sınıfındaki öğrencilere matematik ve fizik dersinin sadece birinden performans görevi ya da proje ödevi vermiştir. Matematikten performans görevi ile fizikten proje ödevi alanların sayısı eşit ve altışar kişidir. Fizikten ödev alanların arasından seçilen bir kişinin performans görevi alma olasılık değeri \( \frac{1}{4} \)'tür.
Sınıftan seçilen bir kişinin performans görevi aldığı bilindiğine göre bu görevi matematik dersinden almasının olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- Matematik Performans (MP) = 6 kişi
- Fizik Proje (FP) = 6 kişi
- Fizikten ödev alanlar = Fizik Performans (FP) + Fizik Proje (FP)
- P(Performans | Fizik) = \( \frac{1}{4} \)
Fizik Performans sayısını bulalım:
- Fizik Performans = FP + FP = 6 + x
- \( \dfrac{x}{6 + x} = \frac{1}{4} \)
- 4x = 6 + x → 3x = 6 → x = 2
- Fizik Performans (FP) = 2 kişi
Son durum:
- Matematik Performans: 6 kişi
- Matematik Proje: ?
- Fizik Performans: 2 kişi
- Fizik Proje: 6 kişi
- Toplam Performans: 6 + 2 = 8 kişi
- P(Matematik | Performans) = \( \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \)
Zar ve Çark Oyunu
Bağımlı Olaylar – Toplam OlasılıkZeynep bir oyunda üzerinde 1'den 6'ya kadar sayıların bulunduğu hilesiz küpü havaya atıyor. Küp yere düştüğünde küpün üst yüzüne 4'ten büyük bir sayı gelirse aşağıdaki 1. çarkı, aksi halde 2. çarkı çeviriyor.
Zeynep'in çevirdiği çarkta ibrenin kırmızı bölümü gösterme olasılık değerini bulunuz. (Çarklar eşit bölmelere ayrılmıştır.)
1. Küp Atılması ve Çark Seçimi
- Olası tüm sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Toplam 6 durum)
- 1. Çarkın seçilme şartı: Üst yüze 4'ten büyük sayı gelmesi ({5, 6})
- P(1. Çark) = \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- 2. Çarkın seçilme şartı: Aksi halde, yani 4'ten büyük sayı gelmemesi ({1, 2, 3, 4})
- P(2. Çark) = \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
2. Çarklardaki Kırmızı Bölge Olasılıkları
- 1. Çark: Kırmızı dilim sayısı = 3, Beyaz dilim sayısı = 5
- P(Kırmızı | 1. Çark) = \( \frac{3}{8} \)
- 2. Çark: Kırmızı dilim sayısı = 6, Beyaz dilim sayısı = 2
- P(Kırmızı | 2. Çark) = \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
3. Toplam Olasılığın Hesaplanması
- P(Kırmızı) = P(1.Çark)·P(Kırmızı|1.Çark) + P(2.Çark)·P(Kırmızı|2.Çark)
- P(Kırmızı) = \( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} + \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{8} \)
- P(Kırmızı) = \( \frac{3}{24} + \frac{12}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \)
Tekstil Atölyesi – Bayes Teoremi
Bayes Teoremi ile Hatalı Ürün OlasılığıTürkiye'nin tekstil sektöründe önemli bir merkezi olan Denizli ilinin tekstil endüstrisi özellikle pamuklu ürünler, ev tekstili ve hazır giyim alanlarında öne çıkmaktadır. Denizli'de bir havlu atölyesinde günlük üretilen havluların %30'u A tezgahında, %50'si B tezgahında, %20'si de C tezgahında dokunmaktadır. Ancak A, B ve C tezgahlarında dokunan bu havluların sırasıyla %1, %2 ve %3'lük kısmı hatalı ürün olmaktadır.
Bir günlük üretim sonunda alınan bir havlunun hatalı ürün olduğu bilindiğine göre bu havlunun B tezgahında dokunmuş olmasının olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(A) = 0,30 , P(B) = 0,50 , P(C) = 0,20
- P(Hatalı | A) = 0,01
- P(Hatalı | B) = 0,02
- P(Hatalı | C) = 0,03
1. Adım: P(Hatalı) değerini bulalım:
- P(Hatalı) = P(H|A)·P(A) + P(H|B)·P(B) + P(H|C)·P(C)
- P(Hatalı) = 0,01·0,30 + 0,02·0,50 + 0,03·0,20 = 0,003 + 0,01 + 0,006 = 0,019
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(B | Hatalı):
- P(B | Hatalı) = \( \dfrac{P(H|B) \cdot P(B)}{P(Hatalı)} \)
- P(B | Hatalı) = \( \dfrac{0,02 \cdot 0,50}{0,019} = \dfrac{0,01}{0,019} \approx \mathbf{0,5263} \)
Ölçme ve Değerlendirme
Sayfa 411 – 3 soruluk değerlendirme
Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, Bayes Teoremi, koşullu olasılık ve bağımlı olaylar konularını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Otomobil Fabrikası
Bayes Teoremi – Vites Türü ve ModelBir otomobil fabrikasında üretilen arabaların %70'i A, kalanı B model arabalardır. Üretilen arabaların \( \frac{3}{5} \)'i otomatik vites, kalanı da manuel viteslidir. A araçlarının %50'si manuel viteslidir.
Buna göre fabrikadan otomatik vites araç alan Efe'nin B model aracı almış olma olasılık değerini bulunuz.
Verilenler:
- P(A) = 0,70 = \( \frac{7}{10} \)
- P(B) = 0,30 = \( \frac{3}{10} \)
- P(Otomatik) = \( \frac{3}{5} \)
- P(Manuel) = \( \frac{2}{5} \)
- P(Manuel | A) = 0,50 = \( \frac{1}{2} \)
1. Adım: P(Otomatik | A) değerini bulalım:
- P(Manuel | A) = \( \frac{1}{2} \) → P(Otomatik | A) = \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
2. Adım: P(Otomatik | B) değerini bulalım:
- P(Otomatik) = P(Otomatik | A)·P(A) + P(Otomatik | B)·P(B)
- \( \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} + P(Otomatik|B) \cdot \frac{3}{10} \)
- \( \frac{3}{5} = \frac{7}{20} + P(Otomatik|B) \cdot \frac{3}{10} \)
- \( \frac{12}{20} - \frac{7}{20} = \frac{5}{20} = P(Otomatik|B) \cdot \frac{3}{10} \)
- \( \frac{1}{4} = P(Otomatik|B) \cdot \frac{3}{10} \) → P(Otomatik|B) = \( \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)
3. Adım: Bayes Teoremi ile P(B | Otomatik):
- P(B | Otomatik) = \( \dfrac{P(Otomatik|B) \cdot P(B)}{P(Otomatik)} \)
- P(B | Otomatik) = \( \dfrac{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}}{\frac{3}{5}} = \dfrac{\frac{15}{60}}{\frac{3}{5}} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{12} \)
Akademisyenler – Bayes Teoremi
Ders veren doçent olma olasılığıBir üniversitenin matematik bölümünde doktor öğretim üyesi, doçent ve profesör kadrosunda çalışan toplam 42 akademisyen vardır. Bu akademisyenlerin 20 tanesi doktor öğretim üyesi, 12 tanesi doçent, diğerleri de profesördür. Doktor öğretim üyesi ve doçentlerin dörtte biri, profesörlerin %20'si içinde bulunulan eğitim öğretim yılında lisans öğrencilerine ders vermemektedir.
Matematik bölümünde okuyan İlknur, koridorda selam verdiği akademisyenin dersine giren bir akademisyen olduğunu bildiğine göre bu kişinin doçent olmasının olasılık değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Verilenler:
- Doktor Öğretim Üyesi (DÖ) = 20 kişi
- Doçent (DO) = 12 kişi
- Profesör (P) = 42 - 20 - 12 = 10 kişi
- Ders vermeyen DÖ = 20 × \( \frac{1}{4} \) = 5 kişi
- Ders vermeyen DO = 12 × \( \frac{1}{4} \) = 3 kişi
- Ders vermeyen P = 10 × %20 = 2 kişi
Ders Verenler:
- Ders veren DÖ = 20 - 5 = 15 kişi
- Ders veren DO = 12 - 3 = 9 kişi
- Ders veren P = 10 - 2 = 8 kişi
- Toplam ders veren = 15 + 9 + 8 = 32 kişi
- P(Doçent | Ders Veren) = \( \dfrac{9}{32} \)
Tiyatro Salonu – Koltuk Düzeni
Koşullu Olasılık – Arkalıklı KoltukAşağıda bir tiyatro salonuna ait 1'den 24'e kadar numaralandırılmış tek kişilik koltuklardan oluşan bölümün yerleşim planı verilmiştir.
Dila ile Ela üzerinde bu koltukların numaraları yazan iki ayrı bilet alıyorlar ve numaralara karşılık gelen koltuklara oturuyorlar. Her ikisinin de aldığı biletlerin numarasının 3 ile tam bölünemediği bilinmektedir.
Buna göre Dila'nın oturduğu koltuğun Ela'nın hemen arkasında bulunma olasılık değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1. Koşula Uygun Koltukların Belirlenmesi
- 1'den 24'e kadar toplam 24 koltuk vardır.
- 3'ün katı olan koltuklar (3 ile tam bölünenler): {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} → 8 adet
- 3 ile tam bölünemeyen koltuklar: 24 - 8 = 16 adet
- Bu koltuklar:
- 1. Sıra (1-8): 1, 2, 4, 5, 7, 8 (6 koltuk)
- 2. Sıra (9-16): 10, 11, 13, 14, 16 (5 koltuk)
- 3. Sıra (17-24): 17, 19, 20, 22, 23 (5 koltuk)
2. Tüm Olası Durumların Sayısı (Örnek Uzay)
- Dila 16 koltuktan birini seçer, Ela kalan 15 koltuktan birini seçer.
- Tüm olası (Dila, Ela) sıralı ikili durumlarının sayısı: 16 × 15 = 240
3. İstenen Durum Sayısı
- Bir koltuğun "hemen arkası", numarasının 8 fazlasına karşılık gelir.
- D = E + 8 olmalıdır ve hem D hem de E 3 ile bölünememelidir.
- Ela 1. Sırada ise:
- E = 1 → D = 9 (9 bölünür → Olamaz)
- E = 2 → D = 10 (10 bölünmez → Uygun: (10, 2))
- E = 4 → D = 12 (12 bölünür → Olamaz)
- E = 5 → D = 13 (13 bölünmez → Uygun: (13, 5))
- E = 7 → D = 15 (15 bölünür → Olamaz)
- E = 8 → D = 16 (16 bölünmez → Uygun: (16, 8))
- Ela 2. Sırada ise:
- E = 10 → D = 18 (18 bölünür → Olamaz)
- E = 11 → D = 19 (19 bölünmez → Uygun: (19, 11))
- E = 13 → D = 21 (21 bölünür → Olamaz)
- E = 14 → D = 22 (22 bölünmez → Uygun: (22, 14))
- E = 16 → D = 24 (24 bölünür → Olamaz)
- Ela 3. Sırada ise: Arkasında koltuk olmadığı için durum gelmez.
- Toplam İstenen Durum Sayısı: 3 + 2 = 5
4. Olasılık Hesabı
- Olasılık = \( \dfrac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \dfrac{5}{240} \)
- Kesri 5 ile sadeleştirirsek: \( \dfrac{5}{240} = \dfrac{1}{48} \)
Doğru Cevap: E) \( \dfrac{1}{48} \)
Banka Kredisi – Bayes Teoremi
Sabit oranlı kredi veren bankaA, B ve C harfleri ile simgelenen üç farklı banka, müşterilerine sabit oranlı veya değişken oranlı olmak üzere iki çeşit taşıt kredisi teklif etmektedir. Burak Bey'in taşıt kredisi için A bankasını seçme olasılığı %20, B bankasını seçme olasılığı %30 ve C bankasını seçme olasılığı %50'dir. A, B ve C bankaları sırasıyla %40, %50 ve %30 oranında sabit oranlı kredi; %60, %50 ve %70 oranında değişken oranlı kredi vermektedir.
Burak Bey'in sabit oranlı kredi kullandığı bilindiğine göre bu krediyi C bankasından alma olasılık değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Verilenler:
- P(A) = 0,20 , P(B) = 0,30 , P(C) = 0,50
- P(Sabit | A) = 0,40
- P(Sabit | B) = 0,50
- P(Sabit | C) = 0,30
1. Adım: P(Sabit) değerini bulalım:
- P(Sabit) = P(Sabit|A)·P(A) + P(Sabit|B)·P(B) + P(Sabit|C)·P(C)
- P(Sabit) = 0,40·0,20 + 0,50·0,30 + 0,30·0,50 = 0,08 + 0,15 + 0,15 = 0,38
2. Adım: Bayes Teoremi ile P(C | Sabit):
- P(C | Sabit) = \( \dfrac{P(Sabit|C) \cdot P(C)}{P(Sabit)} \)
- P(C | Sabit) = \( \dfrac{0,30 \cdot 0,50}{0,38} = \dfrac{0,15}{0,38} = \dfrac{15}{38} \)