Sayfalara Git
Ön Değerlendirme
7.1. Koşullu Olasılık, Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
7.1. Koşullu Olasılık, Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
Ön Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, olasılık türlerini (deneysel ve teorik), basit olayların olasılıklarını ve günlük hayattaki olasılık uygulamalarını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Deneysel ve Teorik Olasılık
Olasılık yaklaşımlarını belirlemeSoru: Aşağıda verilen olayların olasılık değerlerinin deneysel veya teorik olasılık yaklaşımından hangisi ile hesaplandığını cümlelerin başında yer alan yay ayraç içerisine olasılık yaklaşımı deneysel ise "D", teorik ise "T" yazarak belirleyiniz.
Çözüm:
- 1. cümle: Tüm seçenekler eşit olasılıklı olduğu için Teorik (T)
- 2. cümle: 8 deney sonucunda elde edilen veriye dayandığı için Deneysel (D)
- 3. cümle: 12 ay eşit olasılıklı olduğu için Teorik (T)
- 4. cümle: 10 deney sonucunda elde edilen veriye dayandığı için Deneysel (D)
Ekmek Fabrikası – Deneysel Olasılık
Tablo verilerine göre olasılık hesaplamaSoru: Bir ekmek fabrikası 500 gramlık ekmekler üretmektedir. Üretimde her ekmekte en fazla 20 gram eksik veya 20 gram fazla olabilecek bir hata payı bulunmaktadır. Bu fabrikada bir günde üretilen ekmeklerin adet ve gramaj bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Ekmeğin Gramajı | 480 gram | 490 gram | 500 gram | 510 gram | 520 gram |
|---|---|---|---|---|---|
| Ekmek Adedi | 50 | 120 | 26 | 64 | 40 |
Buna göre 301. ekmeğin gramajının 500 gram olmasının deneysel olasılık değerini bulunuz.
Çözüm:
- Toplam ekmek sayısı: 50 + 120 + 26 + 64 + 40 = 300
- 500 gram olan ekmek sayısı: 26
- Deneysel olasılık = \( \dfrac{26}{300} = \dfrac{13}{150} \)
- P(500 gram) = \( \dfrac{13}{150} \)
Büşra'nın Yarışması – Olasılık Hesaplama
Birini doğru, diğerini yanlış cevaplama olasılığıSoru: Büşra bir yarışmada kendisine sorulan sorulara doğru ya da yanlış cevaplar vermekte, bilmediği soruları da yanıtlamadan geçmektedir.
Yarışmada Büşra'ya art arda 2 soru sorulduğunda Büşra'nın sorulan iki sorudan birini doğru, diğerini yanlış cevaplama olasılık değerini bulunuz.
Çözüm:
- Her soru için 3 olasılık vardır: Doğru (D), Yanlış (Y), Boş (B)
- 2 soru için toplam: 3 × 3 = 9 eşit olası durum
- Birini doğru, diğerini yanlış olma durumları: (D,Y) ve (Y,D) → 2 durum
- Olasılık = \( \dfrac{2}{9} \)
Günlük Hayatta Olasılık
Olasılık hesabı gerektiren olaylarSoru: Günlük hayatta karşılaşılan birçok olay, olasılık hesapları temelinde gerçekleşir. Şehir içinde trafik ışıklarından kırmızı ışığa denk gelme, hava durumunun tahmini gibi olaylar birer olasılık örneğidir.
Günlük hayatta karşılaşılan olasılık hesabı gerektiren olayları sınıf arkadaşlarınızla tartışarak üç örnek belirleyiniz.
Örnekler:
- 1. Örnek: Bir maçta takımınızın galip gelme olasılığı (maç öncesi istatistiklere göre)
- 2. Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 5'ten büyük olma olasılığı
- 3. Örnek: Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı
Konuya Başlarken
Sayfa 393 – Hilesiz Sayı Küpü Deneyleri ve Koşullu Olasılık
Hilesiz Sayı Küpü Deneyleri
Hilesiz sayı küpü deneyleri, olasılık ve istatistik çalışmalarında sıkça başvurulan yöntemlerden biridir. Bu deneylerde her yüzü eşit olasılıkla gelme şansına sahip altı yüzlü bir küp kullanılır. Küpün her bir yüzüne 1'den 6'ya kadar sayılar yazılır. Küp bir kez havaya atıldığında üst yüze küpte bulunan herhangi bir sayının gelme olayının teorik olasılık değeri \( \frac{1}{6} \)'dır.
Deneyde iki küp kullanılırsa olası tüm çıktı sayısı 36 olur. Bu deneyde birinci küp ve ikinci küpün üst yüzüne küpte bulunan herhangi bir sayı gelmesi istenirse bu olayın teorik olasılık değeri \( \frac{1}{36} \) olacaktır.
İki Durumun İncelenmesi
Üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olması
Üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olduğu bilindiğinde küplerin üst yüzündeki sayıların aynı olması
Örnek Uzay (Tüm Çıktılar): 36 eşit olasılıklı durum
1. Tartışma Sorusu
Olayların birbiri üzerine etkisi olup olmadığını sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Değerlendirme:
- 1. Durum: Toplamın 6 olması olayı. Bu olayın gerçekleşme olasılığı \( \frac{5}{36} \)'dır.
- 2. Durum: Toplamın 6 olduğu bilindiğinde sayıların aynı olması olayı. Bu koşullu olasılık örneğidir.
- Toplamın 6 olduğu bilgisi, örnek uzayı 5 duruma indirger. Bu durumda sayıların aynı olma olasılığı \( \frac{1}{5} \) olur.
- Sonuç: 2. durum, 1. duruma bağlıdır (koşulludur). Olaylar birbirini etkilemektedir.
2. Tartışma Sorusu
Olayların olasılık değerlerinin nasıl hesaplanabileceği hakkındaki fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
Olasılık Hesaplamaları:
1. Durum (Toplam = 6):
- Toplamı 6 yapan durumlar: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 durum
- Örnek uzay: 36 durum
- \( P(\text{toplam} = 6) = \dfrac{5}{36} \)
2. Durum (Toplam = 6 ve aynı sayılar):
- Toplamı 6 yapan ve aynı sayılar: (3,3) → 1 durum
- \( P(\text{toplam} = 6 \text{ ve aynı}) = \dfrac{1}{36} \)
Koşullu Olasılık (Toplam = 6 iken aynı olma):
- \( P(\text{aynı} \mid \text{toplam} = 6) = \dfrac{P(\text{toplam}=6 \text{ ve aynı})}{P(\text{toplam}=6)} = \dfrac{1/36}{5/36} = \dfrac{1}{5} \)
- Koşullu olasılık formülü: \( P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
1. Uygulama
Sayfa 393-394 – Koşullu Olasılık ile Çıkarım Yapabilme
Problem Durumu
Bir kutuda renkleri dışında özdeş kırmızı, beyaz, mavi ve yeşil 4 top bulunmaktadır. Aslı bu kutudan önce bir top alır, sonra bu topu geri atmadan bir top daha alır. Aslı'nın aldığı ikinci topun beyaz renkte olmasının olasılık değerini bulunuz.
1. Soru
Aslı'nın aldığı birinci topun rengi, alacağı ikinci topun renginin beyaz olma olasılığını nasıl etkiler? Bu durumla ilgili varsayımlarda bulunup sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Değerlendirme:
- Toplar geri atılmadığı için birinci topun rengi, ikinci topun beyaz olma olasılığını etkiler.
- Eğer birinci top beyaz ise, ikinci topun beyaz olma olasılığı 0 olur.
- Eğer birinci top beyaz değil ise, ikinci topun beyaz olma olasılığı \( \frac{1}{3} \) olur.
- Bu durum olayların bağımlı olduğunu gösterir.
2. Soru
a) Tabloda verilen örneklerden yararlanarak boş bırakılan alanları uygun şekilde doldurunuz.
| 1. Top ↓ / 2. Top → | Kırmızı (K) | Beyaz (B) | Mavi (M) | Yeşil (Y) |
|---|---|---|---|---|
| Kırmızı (K) | Çıktı yok. | KB | KM | KY |
| Beyaz (B) | BK | Çıktı yok. | BM | BY |
| Mavi (M) | MK | MB | Çıktı yok. | MY |
| Yeşil (Y) | YK | YB | YM | Çıktı yok. |
b) Yukarıdaki tablodan yararlanarak bulduğunuz olası tüm çıktıları ve ikinci topun beyaz olma durumuna ait çıktıları listeleyiniz.
Tüm Çıktılar (12 durum):
- KB, KM, KY
- BK, BM, BY
- MK, MB, MY
- YK, YB, YM
2. Top Beyaz (3 durum):
- KB
- MB
- YB
3. Soru
Bulduğunuz olası tüm çıktıları ve ikinci topun beyaz olma durumuna ait çıktıları karşılaştırınız. Mevcut olasılık bilginizi kullanarak Aslı'nın alacağı ikinci topun beyaz olması olasılık değerini bulunuz.
- Tüm çıktı sayısı: 12
- 2. topun beyaz olduğu çıktı sayısı: 3
- \( P(\text{2. top beyaz}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \)
4. Soru
Problem durumunda birinci çekilen top geri konulup daha sonra ikinci top çekilirse ikinci topun beyaz olma olayında olası tüm çıktıları bir tablo ile görselleştirip listeleyiniz.
| 1. Top ↓ / 2. Top → | Kırmızı (K) | Beyaz (B) | Mavi (M) | Yeşil (Y) |
|---|---|---|---|---|
| Kırmızı (K) | KK | KB | KM | KY |
| Beyaz (B) | BK | BB | BM | BY |
| Mavi (M) | MK | MB | MM | MY |
| Yeşil (Y) | YK | YB | YM | YY |
2. Top Beyaz (4 durum):
- KB, MB, YB, BB
- Tüm çıktı sayısı: 16
- 2. topun beyaz olduğu çıktı sayısı: 4
- \( P(\text{2. top beyaz}) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \)
5. Soru
3 ve 4. sorularda oluşturduğunuz çıktı listelerini karşılaştırınız. Ortak olan çıktıları belirleyiniz.
Karşılaştırma:
- 3. soru (Geri atılmadan): 12 çıktı, 2. top beyaz → 3 çıktı (KB, MB, YB)
- 4. soru (Geri atılarak): 16 çıktı, 2. top beyaz → 4 çıktı (KB, MB, YB, BB)
Ortak çıktılar:
- KB, MB, YB
- Farklı çıktı: BB (geri atılan durumda)
6. Soru
İkinci topun beyaz olma olasılığının alınan birinci topun rengine bağlı olduğu gerçeğinden yola çıkarak bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu durumların olasılığını hesaplamaya yönelik matematiksel bir önerme oluşturunuz.
Önerme (Koşullu Olasılık Formülü):
- \( P(A|B) \): B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı
- \( P(A \cap B) \): A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı
- \( P(B) \): B olayının gerçekleşme olasılığı
7. Soru
Verilen problemi oluşturduğunuz önerme yardımı ile çözünüz.
Çözüm:
- Olay A: "2. top beyaz"
- Olay B: "1. top herhangi bir renk"
- \( P(B) = 1 \) (her zaman 1. top çekilir)
- 1. top beyaz olmadığında (K, M, Y) 2. top beyaz olabilir.
- \( P(A \cap B) = P(\text{1. top K, M veya Y}) \times P(\text{2. top beyaz | 1. top beyaz değil}) \)
- \( P(\text{1. top K, M veya Y}) = \dfrac{3}{4} \)
- \( P(\text{2. top beyaz | 1. top beyaz değil}) = \dfrac{1}{3} \)
- \( P(A) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4} \)
1-2-3. Sıra Sizde
Sayfa 398 – Koşullu Olasılık Problemleri
1. Sıra Sizde
Turistleri taşıyan bir tur otobüsünde şoför ve rehber haricinde İngiliz ve Alman toplam 54 yolcu vardır. Bu yolcuların 26'sı kadındır. Kadınların 18'i Alman, erkeklerin 16'sı İngiliz'dir. Tur rehberi, tur hakkında kısa bir görüş almak üzere turistlerden birini seçer.
| İngiliz | Alman | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Kadın | 8 | 18 | 26 |
| Erkek | 16 | 12 | 28 |
| Toplam | 24 | 30 | 54 |
1) Seçilen bir turistin İngiliz olduğu bilindiğine göre kadın olma olasılık değerini bulunuz.
- İngiliz olan turist sayısı: 24
- İngiliz ve kadın olan turist sayısı: 8
- \( P(\text{Kadın} \mid \text{İngiliz}) = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} \)
2) Seçilen bir turistin erkek olduğu bilindiğine göre Alman olma olasılık değerini bulunuz.
- Erkek olan turist sayısı: 28
- Erkek ve Alman olan turist sayısı: 12
- \( P(\text{Alman} \mid \text{Erkek}) = \dfrac{12}{28} = \dfrac{3}{7} \)
2. Sıra Sizde
Özgür ile Mehmet birlikte tavla oynuyorlar. Oyunda bir oyuncu rakibi kendi taşlarından hiçbirini almadan bütün taşlarını toplarsa 2 puan, rakibi kendi taşlarından en az birini aldığında bütün taşlarını toplarsa 1 puan alıyor. Herhangi bir oyuncu en az 2 puan aldığında ise karşılaşma tamamlanıyor.
Her oyunda dört olası sonuç vardır (eş olasılıklı):
| Sonuç | Özgür | Mehmet |
|---|---|---|
| Özgür 2 puan alır | 2 | 0 |
| Özgür 1 puan alır | 1 | 0 |
| Mehmet 2 puan alır | 0 | 2 |
| Mehmet 1 puan alır | 0 | 1 |
Bu dört sonucun eş olasılıklı olduğu kabul edilir. Karşılaşma, bir oyuncu en az 2 puana ulaştığında biter.
1) Karşılaşmayı Mehmet'in kazanmasının olasılık değerini bulunuz.
Çözüm:
İlk oyunda Mehmet 2 puan alır:
- Karşılaşma hemen biter.
- Olasılık: \( \dfrac{1}{4} \)
İlk oyunda Mehmet 1 puan alır:
- Puan durumu: M = 1, O = 0
- İkinci oyunda:
- Mehmet 2 puan alır → kazanır
- Mehmet 1 puan alır → 2 puana ulaşır, kazanır
- Özgür 2 puan alır → Özgür kazanır
- Özgür 1 puan alır → puanlar (1,1) olur, süreç devam eder
Denklem çözümü:
- Mehmet'in kazanma olasılığına \( P \) diyelim.
- \( P = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}P\right) + \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}P\right) \)
- Daha kolay yol: İki oyuncu tamamen eşit koşullardadır.
- \( P(\text{Mehmet}) = P(\text{Özgür}) \) ve \( P(\text{Mehmet}) + P(\text{Özgür}) = 1 \)
- \( P(\text{Mehmet kazanır}) = \dfrac{1}{2} \)
2) Karşılaşmayı Mehmet'in kazandığı bilindiğine göre ilk oyunda Özgür'ün 1 puan almasının olasılık değerini bulunuz.
Çözüm (Koşullu Olasılık):
İstenen:
- \( P(\text{İlk oyun Özgür 1 puan} \mid \text{Mehmet kazandı}) \)
Mehmet'in kazandığı yollar:
- M2
- M1–M2
- M1–M1
- O1–M2
- O1–M1
- O1–O1–...
Koşullu olasılık hesabı:
- İlk oyunda Özgür'ün 1 puan alma olasılığı: \( \dfrac{1}{4} \)
- Bu durumda puanlar (1,0) olur.
- Bu durumdan sonra Mehmet'in maçı kazanma olasılığı: \( \dfrac{1}{2} \)
- \( P(\text{ilk oyun O1 ve Mehmet kazanır}) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
- Koşullu olasılık: \( \dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{4} \)
3. Sıra Sizde
Bir ilde avukat ve doktor farklı iki meslek grubundan kişiler bir araya gelerek sürdürülebilir yaşamı destekleyen bir dernek kurmuşlardır. Dernekte 120 avukat, 80 doktor çalışmaktadır. Dernek yönetimi 'Çevresel Sürdürülebilirliğe Mesleki Katkı' projesi çerçevesinde üyelerine anket uygulamış, anket sonucunda avukatların %80'inin, doktorların %90'ının çevreye karşı duyarlı olduğu saptanmıştır.
Buna göre etkinlikte konuşma yapması için seçilen üyenin çevreye karşı duyarlı olduğu bilindiğine göre doktor olma olasılık değerini bulunuz.
Veriler:
- Toplam üye: 120 + 80 = 200
- Duyarlı avukat: 120 × 0,80 = 96
- Duyarlı doktor: 80 × 0,90 = 72
- Toplam duyarlı: 96 + 72 = 168
| Duyarlı | Duyarsız | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Avukat | 96 | 24 | 120 |
| Doktor | 72 | 8 | 80 |
| Toplam | 168 | 32 | 200 |
Koşullu Olasılık:
- \( P(\text{Doktor} \mid \text{Duyarlı}) = \dfrac{P(\text{Doktor} \cap \text{Duyarlı})}{P(\text{Duyarlı})} \)
- \( P(\text{Doktor} \mid \text{Duyarlı}) = \dfrac{72}{168} = \dfrac{3}{7} \)
2. Uygulama
Sayfa 399 – Bağımlı ve Bağımsız Olayların Tespiti
Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
İki olaydan herhangi birinin olasılığı diğer olayın gerçekleşmesine bağlı olarak değişmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar, değişiyorsa bağımlı olaylar denir.
1. Tablo Doldurma
Tabloda verilen örnekten yararlanarak boş alanları uygun şekilde doldurunuz.
| Olasılık Cümlesi | A Olayı | B Olayı | Bağımlı Olay | Bağımsız Olay |
|---|---|---|---|---|
| Ehliyet sınavına giren Kaan ve Mehmet'in sınavı kazanma olayının olasılık değerleri sırasıyla \( \frac{1}{4} \) ve \( \frac{1}{3} \)'tür. Buna göre bu sınavı Kaan'ın kazanıp Mehmet'in kazanmama olayının olasılık değeri kaçtır? | Kaan'ın sınavı kazanması | Mehmet'in sınavı kazanmaması | — | ✓ |
| Bir torbada renkleri dışında özdeş 3 kırmızı ve 4 yeşil top vardır. Geri koymamak şartıyla art arda seçilen iki toptan birincinin kırmızı, ikincinin yeşil olmasının olasılık değerini bulunuz. | 1. topun kırmızı olması | 2. topun yeşil olması | ✓ | — |
| Bir kutuda 1'den 10'a kadar numaralandırılmış özdeş on adet kart vardır. Geri koymak şartıyla art arda seçilen iki kartın birincisinin asal sayı ile numaralandırılmış kart, ikincisinin tek sayı ile numaralandırılmış kart olmasının olasılık değerini bulunuz. | 1. kartın asal olması | 2. kartın tek olması | — | ✓ |
| (Bağımlı olay örneği) Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Geri koymadan art arda iki top çekiliyor. Birincinin kırmızı, ikincinin mavi olma olasılığı nedir? | 1. topun kırmızı olması | 2. topun mavi olması | ✓ | — |
| (Bağımsız olay örneği) Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın 6 gelmesi ve paranın yazı gelmesi olasılığı nedir? | Zarın 6 gelmesi | Paranın yazı gelmesi | — | ✓ |
2. Tablonun son iki satırına bağımlı ve bağımsız olaya örnek olabilecek iki olasılık cümlesi yazınız.
- Bağımlı Olay Örneği: Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Geri koymadan art arda iki top çekiliyor. Birincinin kırmızı, ikincinin mavi olma olasılığı nedir?
- Bağımsız Olay Örneği: Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın 6 gelmesi ve paranın yazı gelmesi olasılığı nedir?
Örnek Çözümler
1. Kaan ve Mehmet Örneği (Bağımsız):
- P(Kaan kazanır) = \( \frac{1}{4} \)
- P(Mehmet kazanmaz) = \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
- Bağımsız olay olduğu için: \( P = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \)
2. Kırmızı ve Yeşil Top Örneği (Bağımlı):
- Toplam top: 3 + 4 = 7
- P(1. top kırmızı) = \( \frac{3}{7} \)
- P(2. top yeşil | 1. top kırmızı) = \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- Bağımlı olay: \( P = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{7} \)
3. Kart Örneği (Bağımsız):
- Asal sayılar: 2, 3, 5, 7 → 4 adet
- Tek sayılar: 1, 3, 5, 7, 9 → 5 adet
- P(1. kart asal) = \( \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
- P(2. kart tek) = \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
- Bağımsız olay (geri koymalı): \( P = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \)
3. Uygulama
Sayfa 400 – Bağımsız Olayların Olasılıklarını Hesaplama
Problem Durumu
Bir torbada üzerinde 1'den 10'a kadar numaraların bulunduğu özdeş 10 adet kart vardır. Çekilen kart geri atılmak koşulu ile torbadan art arda iki kart çekildiğinde birinci kartın üzerindeki sayının 6'dan küçük, diğerinin asal sayı olma olasılığını bulunuz.
1. Soru
Bağımsız olayların olasılık değerinin hesaplanması ile ilgili varsayımlarda bulununuz.
Varsayımlar:
- Bağımsız olaylarda bir olayın sonucu diğerini etkilemez.
- Çekilen kart geri atıldığı için her çekilişte torbadaki kart sayısı ve koşullar değişmez.
- Bu durumda iki olayın olasılıkları çarpılarak bileşik olayın olasılığı bulunur.
- \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
2. Soru
Birinci kartın 6'dan küçük olması A olayı, ikinci kartın asal olması B olayı olarak adlandırıldığında A ile B olaylarının olası çıktılarını listeleyiniz.
A Olayı (6'dan küçük):
- 1, 2, 3, 4, 5
- Toplam: 5 çıktı
B Olayı (Asal sayı):
- 2, 3, 5, 7
- Toplam: 4 çıktı
3. Soru
A ve B olaylarının olası çıktıları ile tüm olayın olası çıktısını karşılaştırınız.
| Olay | Çıktılar | Eleman Sayısı |
|---|---|---|
| A (6'dan küçük) | {1, 2, 3, 4, 5} | 5 |
| B (Asal) | {2, 3, 5, 7} | 4 |
| Tüm Örnek Uzay | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} | 10 |
- A olayının eleman sayısı: 5
- B olayının eleman sayısı: 4
- Tüm örnek uzay: 10 eleman
- \( P(A) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \), \( P(B) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \)
4. Soru
A ve B bağımsız olaylarının olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayarak \( A \cap B \) olayının olasılığına ilişkin matematiksel bir önerme oluşturunuz. Bağımsız olayların olasılık değerinin hesaplanması ile ilgili önermenizi sununuz. Önermenizi matematik temsili ile ifade ediniz.
A ve B Olaylarının Olasılıkları:
- \( P(A) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \)
- \( P(B) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \)
A ∩ B Olayı (6'dan küçük ve asal):
- Ortak elemanlar: {2, 3, 5} → 3 eleman
- \( P(A \cap B) = \dfrac{3}{10} \)
Kontrol (Bağımsızlık testi):
- \( P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} \)
- \( P(A \cap B) = \dfrac{3}{10} \)
- \( \dfrac{3}{10} \neq \dfrac{2}{10} \) → A ve B bağımsız değil!
Matematiksel Önerme (Bağımsız Olaylar İçin):
- Tanım: A ve B bağımsız olaylar ise \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
- Eğer \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \) ise olaylar bağımlıdır.
Bu problem için doğru çözüm:
- 1. kartın 6'dan küçük olması: \( \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \)
- 2. kartın asal olması (geri atmalı): \( \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \)
- İstenen: \( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5} \)
4-5. Sıra Sizde
Sayfa 402 – Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılık Problemleri
4. Sıra Sizde
Okçuluk turnuvasında yarışan Fırat'ın her atış yaptığında hedefi vurmasının olasılık değeri \( \frac{3}{5} \)'tir. Fırat 3 atış yapıyor.
a) İlk iki atışta hedefi vurup üçüncü atışta vuramama olayının olasılık değerini bulunuz.
- P(V) = \( \frac{3}{5} \), P(V') = \( \frac{2}{5} \)
- İstenen: V, V, V' (bağımsız atışlar)
- \( P = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{18}{125} \)
b) Üç atıştan en az birinde hedefi vurma olayının olasılık değerini bulunuz.
- En az bir vuruş = Tüm durumlar - Hiç vuramama
- P(Hiç vuramama) = \( \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} \)
- P(En az bir vuruş) = \( 1 - \frac{8}{125} = \frac{117}{125} \)
c) Fırat'ın sadece bir atışta hedefi vurduğu bilindiğine göre hedefi vurduğu atışın ikinci atış olma olasılık değerini bulunuz.
- Sadece bir vuruş durumları: (V,V',V'), (V',V,V'), (V',V',V)
- Her birinin olasılığı: \( \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{12}{125} \)
- P(Sadece bir vuruş) = \( 3 \cdot \frac{12}{125} = \frac{36}{125} \)
- P(2. atış vuruş ve sadece bir vuruş) = \( \frac{12}{125} \)
- P(2. atış | sadece bir vuruş) = \( \dfrac{12/125}{36/125} = \dfrac{1}{3} \)
5. Sıra Sizde
Tamir edilmek üzere servise getirilen 50 aracı inceleyen ustalar araçların %40'ının motorunda, diğerlerinin de yazılımında arıza olduğunu tespit etmiştir. Motor arızası olan araçların 7 tanesi, yazılım arızası olan araçların yarısı garanti kapsamında olmak üzere tüm araçlar tamir edilmiştir. Garanti kapsamı dışında kalan araçların tamir ücreti araç sahiplerinden tahsil edilmiştir.
| Motor Arızası | Yazılım Arızası | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Garanti Kapsamında | 7 | 15 | 22 |
| Garanti Kapsamı Dışında | 13 | 15 | 28 |
| Toplam | 20 | 30 | 50 |
Motor arızası: 50 × %40 = 20 araç | Yazılım arızası: 50 - 20 = 30 araç
a) Aracın motor arızası olan ve garanti kapsamında tamir edilen araç olmasının olasılık değerini bulunuz.
- Motor arızası ve garanti kapsamında olan araç sayısı: 7
- Toplam araç: 50
- \( P = \dfrac{7}{50} \)
b) Aracın yazılım arızasına sahip olduğu bilindiğine göre garanti kapsamı dışında tamir edilmiş olmasının olasılık değerini bulunuz.
- Yazılım arızası olan araç sayısı: 30
- Yazılım arızası ve garanti dışı: 15
- \( P(\text{Garanti dışı} \mid \text{Yazılım}) = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2} \)
Alıştırmalar
Sayfa 403 – 4 alıştırma sorusu
1. Alıştırma
Melek ile Nihat bir yarışmaya katılmak için bulundukları ilden İstanbul'a otobüs ile seyahat edeceklerdir. Bilet alacakları otobüsün web sitesinde koltuklarının boş veya dolu olma durumunu gösteren görsel aşağıda verilmiştir.
1. Koltuk Durumlarının İncelemesi
- Kırmızı: Kadın dolu
- Mavi: Erkek dolu
- Sarı: Boş koltuk (Alınabilir)
- Gri: Koltuk seçilemez
2. Nihat için Uygun Koltuk Seçenekleri
- Nihat tek kişilik koltuklardan birini tercih etmektedir.
- Tekli sıradaki boş (sarı) koltuklar: 26, 29, 32, 38
- Nihat için olası durum sayısı: 4 adet
- Nihat'ın boş koltukları içinde asal olan: 29 (1 adet)
- \( P(\text{Nihat Asal}) = \dfrac{1}{4} \)
3. Melek için Uygun Koltuk Seçenekleri
- Melek ikili koltuk sırasından bilet alacaktır.
- Kurallar:
- Yan yana ve ikisi de boş olan ikili koltuklardan birini tercih edebilir.
- Veya ikili koltuklardan yanında kadın oturan (kırmızı dolu olanın yanındaki boş) koltuğu tercih edebilir.
- Melek'in seçebileceği tüm koltuklar: {8, 9, 11, 17, 18, 20, 21, 24, 25, 30, 31, 36, 37, 39, 40}
- Melek için olası toplam durum sayısı: 15 adet
- Melek'in seçebileceği koltuklar içindeki asal sayılar: 11, 17, 31, 37 (4 adet)
- \( P(\text{Melek Asal}) = \dfrac{4}{15} \)
4. Her İkisinin de Koltuk Numarasının Asal Sayı Olma Olasılığı
- Nihat ve Melek'in koltuk seçimleri bağımsız olaylardır.
- \( P(\text{Her İkisi de Asal}) = P(\text{Nihat Asal}) \cdot P(\text{Melek Asal}) \)
- \( P = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{1}{15} \)
2. Alıştırma
Teknolojik ürünlerin üretildiği bir fabrikada her gün 80 adet cep telefonu, 120 adet tablet üretilmektedir. Üretim sonunda yapılan kontrollerde bir günde üretilen cep telefonlarının %5'inin ve tabletlerin %10'unun hatalı olduğu tespit edilmiştir.
| Telefon | Tablet | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Hatalı | 4 | 12 | 16 |
| Hatalsız | 76 | 108 | 184 |
| Toplam | 80 | 120 | 200 |
Telefon hatalı: 80 × %5 = 4 | Tablet hatalı: 120 × %10 = 12
a) Gün sonunda seçilen bir ürünün cep telefonu olduğu bilindiğine göre hatalı olması olasılık değerini bulunuz.
- P(Hatalı | Telefon) = \( \dfrac{4}{80} = \dfrac{1}{20} \)
b) Seçilen bir ürünün hatasız ve tablet olması olasılık değerini bulunuz.
- P(Hatasız ∩ Tablet) = \( \dfrac{108}{200} = \dfrac{27}{50} \)
c) Fabrika hatalı ürün sayısını azaltmak için günlük cep telefonu ve tablet üretim miktarını yarıya indirmiş ancak hatalı ürün oranında değişiklik olmamıştır. Bu durumda seçilen bir ürünün hatalı bir cep telefonu olması olasılık değerini bulunuz.
- Yeni üretim: Telefon = 40, Tablet = 60 → Toplam = 100
- Hatalı telefon = 40 × %5 = 2
- P(Hatalı Telefon) = \( \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{50} \)
3. Alıştırma
İki bloktan oluşan bir sitede binaların dış cepheleri boyanacaktır. Site yöneticisinin binaların bir haftada boyanması için görüştüğü iki boyacıdan birincisi %80, ikincisi %75 oranında işi zamanında bitirebileceğini söylemiştir.
Yönetici binalardan birini birinci boyacıya, diğerini ikinci boyacıya boyatmaya karar verdiğine göre
a) İki binanın da istenen zamanda boyanma olasılık değerini bulunuz.
- P(1. bina zamanında) = 0,80 = \( \frac{4}{5} \)
- P(2. bina zamanında) = 0,75 = \( \frac{3}{4} \)
- Bağımsız olaylar: P = \( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5} \)
b) Binalardan sadece birinin zamanında boyanma olasılık değerini bulunuz.
- P(1. zamanında, 2. değil) = \( \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5} \)
- P(1. değil, 2. zamanında) = \( \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{20} \)
- P(sadece biri) = \( \frac{1}{5} + \frac{3}{20} = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20} \)
c) Binalardan sadece birinin zamanında boyandığı bilindiğine göre bu binanın ikinci bina olmasının olasılık değerini bulunuz.
- P(2. bina | sadece biri) = \( \dfrac{P(2. zamanında, 1. değil)}{P(sadece biri)} \)
- \( P = \dfrac{3/20}{7/20} = \dfrac{3}{7} \)
4. Alıştırma
Bir şarküteri sahibi dükkânında satmak için iki farklı peynir üreticisinin birincisinden 50 kg, ikincisinden 100 kg peynir almıştır. Aldığı peynirlerden birinci üreticinin ürününün \( \frac{1}{10} \)'u koyun, kalanı inek; ikinci üreticinin ürününün \( \frac{1}{5} \)'i koyun, kalanı inek peyniridir.
Buna göre şarküteriden rastgele 1 kg peynir alan tüketicinin inek peyniri aldığı bilindiğine göre bu peynirin birinci üreticinin ürünü olmasının olasılık değerini bulunuz.
| 1. Üretici (50 kg) | 2. Üretici (100 kg) | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Koyun | 5 | 20 | 25 |
| İnek | 45 | 80 | 125 |
| Toplam | 50 | 100 | 150 |
- İnek peyniri toplam: 125 kg
- 1. üretici inek: 45 kg
- P(1. üretici | İnek) = \( \dfrac{45}{125} = \dfrac{9}{25} \)