Sayfalara Git
Ölçme ve Değerlendirme
Sayfa 386 – 4 soruluk temel değerlendirme
Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, dik koordinat sisteminde noktalar arası uzaklık, orta nokta, ağırlık merkezi ve doğru denklemi konularını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Atlas & Burcu – Eşit Uzaklık
A(−7, 3) ve B(5, −3) noktalarından C(0, y)'ye eşit hızla ulaşmaSoru: A(−7, 3) noktasında Atlas, B(5, −3) noktasında Burcu bulunuyor. C(0, y) noktasındaki arkadaşları Cengiz'in yanına eşit hızlarla aynı anda yola çıkıyorlar. Doğrusal bir rotada ilerleyip aynı anda C'ye ulaşıyorlar. Buna göre C noktasının ordinatı y kaçtır?
Çözüm:
- Eşit hız ve aynı anda ulaştıklarına göre |AC| = |BC|.
- |AC| = √[(0+7)² + (y−3)²] = √[49 + (y−3)²]
- |BC| = √[(0−5)² + (y+3)²] = √[25 + (y+3)²]
- 49 + (y−3)² = 25 + (y+3)² → 49 + y² − 6y + 9 = 25 + y² + 6y + 9
- 58 − 6y = 34 + 6y → 24 = 12y → y = 2
İzohips – Doğrusal Noktalar
A(−4, −1), B(x, y) ve C(2, 11) doğrusal
Soru: İzohips haritasında A(−4, −1), B(x, y) ve C(2, 11) noktaları aynı doğrultuda (doğrusal) işaretlenmiştir.
İzohips Bilgileri:
- Kıyı çizgisi 0 m kabul edilir.
- A(−4, −1) noktası kıyı çizgisindedir (yükselti = 0 m).
- B noktası 1. izohips halkası üzerinde (1 birim yükseklikte).
- C(2, 11) noktası 3. izohips halkası üzerinde (3 birim yükseklikte).
- Bu durumda B, AC doğru parçasını 1 : 2 oranında böler: |AB| : |BC| = 1 : 2
Buna göre B noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
- A 0. seviye, B 1. seviye, C 3. seviye olduğundan B, AC doğru parçasını 1 : 2 oranında böler.
- |AB| : |BC| = 1 : 2 olduğu için B, A'dan C'ye giderken yolun 1/3'ünde bulunur.
- Δx (toplam) = 2 - (-4) = 6 birim
- Δy (toplam) = 11 - (-1) = 12 birim
- B'nin x koordinatı: -4 + (1/3)·6 = -4 + 2 = -2
- B'nin y koordinatı: -1 + (1/3)·12 = -1 + 4 = 3
- B(−2, 3)
Ağırlık Merkezi – Üçgen ve Çubuk
A(−5, 5), B(−7, −1), C(3, y) ve D(x, 0), E(6, 4)Soru: Üçgen levha ve özdeş çubuk, ağırlık merkezi G'den asılıyor. Köşe koordinatları: A(−5, 5), B(−7, −1), C(3, y); çubuk uçları D(x, 0) ve E(6, 4). Buna göre x ve y değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- Üçgen G'si: Gx = (−5−7+3)/3 = −3, Gy = (5−1+y)/3 = (4+y)/3
- Çubuk G'si (orta nokta): Gx = (x+6)/2, Gy = (0+4)/2 = 2
- Eşitleme: (4+y)/3 = 2 → 4+y = 6 → y = 2
- (x+6)/2 = −3 → x+6 = −6 → x = −12
Paralel Yollar – Doğru Denklemi
Kırmızı: y = 3x − 4, Mavi: B(b, −5) ve C(7, 10)Soru: Kırmızı doğru \( y = 3x - 4 \) üzerinde A(5, a) noktası, mavi doğru üzerinde B(b, -5) ve C(7, 10) noktaları veriliyor. Yollar birbirine paraleldir.
a) a ve b değerlerini bulunuz.
b) Mavi doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
- a) A(5, a) kırmızı doğru üzerinde → a = 3·5 − 4 = 15 − 4 = 11
- Mavi doğru kırmızıya paralel → eğim m = 3
- C(7, 10) mavi üzerinde → 10 = 3·7 + n → 10 = 21 + n → n = −11
- Mavi denklem: y = 3x − 11
- B(b, −5) mavi üzerinde → −5 = 3b − 11 → 3b = 6 → b = 2
Mavi doğru denklemi: y = 3x − 11
Ölçme ve Değerlendirme
Sayfa 387 – 2 soruluk ileri düzey değerlendirme
Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, dik koordinat sisteminde noktanın doğruya uzaklığı, dik izdüşüm, doğru denklemi ve eğim konularını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Uçak Hareketi – Kuleye En Yakın Nokta
A(14, 2) ve B(−10, 10) noktalarından geçen doğruSoru: Bir hava kontrol mühendisi, uçuş güvenliği ve planlaması için uçakların hareketini izlemektedir. Kontrol kulesi O(0, 0) başlangıç noktası olarak alınmaktadır. Aynı doğrultuda ilerleyen bir uçağın kontrol kulesine göre bulunduğu iki konum A(14, 2) ve B(−10, 10) olarak hesaplanmıştır.
a) Uçağın bu hareketi sırasında kuleye en yakın olduğu andaki konumunu belirleyiniz.
b) Uçağın bu doğrultuda ilerlerken bulunduğu bir konum C(5, y) ise y değerini bulunuz.
Çözüm:
a) Kuleye en yakın nokta (dik izdüşüm):
- AB doğrusunun eğimi: \( m = \dfrac{10-2}{-10-14} = \dfrac{8}{-24} = -\dfrac{1}{3} \)
- AB doğrusunun denklemi: \( y - 2 = -\dfrac{1}{3}(x - 14) \) → \( y = -\dfrac{x}{3} + \dfrac{20}{3} \)
- O'dan geçen ve AB'ye dik doğrunun eğimi: \( m_d = 3 \)
- Dik doğru denklemi: \( y = 3x \)
- Kesişim noktası (H): \( 3x = -\dfrac{x}{3} + \dfrac{20}{3} \)
- \( 9x = -x + 20 \) → \( 10x = 20 \) → \( x = 2 \)
- \( y = 3·2 = 6 \)
- H(2, 6)
b) C(5, y) noktası:
- C, AB doğrusu üzerinde olduğu için denklemi sağlar.
- \( y = -\dfrac{5}{3} + \dfrac{20}{3} = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \)
- C(5, 5)
Genel Ağ Hattı – En Kısa Kablo
y = −2x − 3 doğrusu ve P(4, 1) noktasıSoru: Yüksek hızlı genel ağ hattının geçtiği ve denklemi \( y = -2x - 3 \) olan AB ana hat doğrusu ile bir binayı temsil eden P(4, 1) noktası verilmiştir. Binaya genel ağ bağlamak için ana hat ile bina arasına doğrusal bir kablo hattı döşenecektir.
a) Kablo hattının maliyetinin en az olması için üzerinde bulunması gereken doğrunun denklemini yazınız.
b) Döşenecek kablonun ana hat üzerinde bağlanacağı noktanın koordinatlarını belirleyiniz.
Çözüm:
a) En kısa kablo hattı (dik doğru):
- Ana hat eğimi: \( m_{AB} = -2 \)
- Kablo hattı AB'ye dik olmalıdır: \( m_{kablo} = \dfrac{1}{2} \)
- P(4, 1) noktasından geçen dik doğru: \( y - 1 = \dfrac{1}{2}(x - 4) \)
- Kablo hattı denklemi: \( y = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
b) Ana hatta bağlanma noktası (kesişim):
- \( -2x - 3 = \dfrac{1}{2}x - 1 \)
- \( -2x - \dfrac{1}{2}x = -1 + 3 \) → \( -\dfrac{5}{2}x = 2 \)
- \( x = -\dfrac{4}{5} \)
- \( y = -2\left(-\dfrac{4}{5}\right) - 3 = \dfrac{8}{5} - 3 = \dfrac{8}{5} - \dfrac{15}{5} = -\dfrac{7}{5} \)
- H\( \left(-\dfrac{4}{5}, -\dfrac{7}{5}\right) \)
Ölçme ve Değerlendirme
Sayfa 388 – 2 soruluk ileri düzey değerlendirme
Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, dik koordinat sisteminde doğru denklemi, eğim, eğim açısı ve doğrusal ilişki konularını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Dairesel Saat – Akrep ve Yelkovan
Merkezi orijin, yarıçapı 6 birimSoru: Merkezi orijin ve yarıçapı 6 birim olan dairesel saatin kırmızı renkli yelkovanı 4 birim, yeşil renkli akrebi 2 birim uzunluğunda doğru parçalarından oluşmaktadır.
a) Saat 09.00'da akrep ile yelkovanın uç noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
b) Saat 13.30'da akrebin üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini bulunuz.
c) Saat 19.20'de akrep ve yelkovanın üzerinde bulunduğu doğruların eğim açılarının ölçülerini bulunuz.
ç) Saat kaçı gösterdiğinde akrebin üzerinde bulunduğu doğrunun eğim açısının ölçüsünün 120° olacağını bulunuz.
d) Tabloyu doldurunuz.
Çözüm:
Saat yönünde açı α için matematiksel açı: θ = 90° − α
a) Saat 09.00:
- Yelkovan: α = 0° → θ = 90° → Y = (4·cos90°, 4·sin90°) = (0, 4)
- Akrep: α = 9×30° = 270° → θ = 90° − 270° = −180° = 180°
- A = (2·cos180°, 2·sin180°) = (-2, 0)
- Eğim: m = (0−4)/(-2−0) = -4/-2 = 2
- Denklem: y − 4 = 2(x − 0) → y = 2x + 4
b) Saat 13.30 (1:30):
- Akrep: 1,5 saat → α = 1,5×30° = 45°
- θ = 90° − 45° = 45°
- A = (2·cos45°, 2·sin45°) = (√2, √2)
- Orijinden geçen doğru: m = tan45° = 1
- y = x
c) Saat 19.20 (7:20):
- Yelkovan: 20 dakika → α = 20×6° = 120°
- θ = 90° − 120° = -30° → m = tan(-30°) = -1/√3
- Doğrunun eğim açısı: 150°
- Akrep: 7 saat 20 dk = 22/3 saat → α = (22/3)×30° = 220°
- θ = 90° − 220° = -130° ≡ 230° → m = tan230° = tan50°
- Doğrunun eğim açısı: 50°
ç) Eğim açısı 120° olduğunda:
- θ = 120° için: 90° − α = 120° → α = -30° ≡ 330° → 11.00
- θ = -60° için: 90° − α = -60° → α = 150° → 5.00
- 05.00, 11.00, 17.00 ve 23.00
d) Tablo:
| Saatin Gösterdiği Zaman | Doğrunun Eğim İşareti |
|---|---|
| 18.14 | Pozitif (+) |
| 15.52 | Negatif (−) |
| 11.40 | Pozitif (+) |
| 20.20 | Negatif (−) |
Geri Dönüşüm Tesisi – Doğrusal İlişki
Atık miktarı (x) ile geri dönüştürülen malzeme (y) arasında doğrusal ilişkiSoru: Bir geri dönüşüm tesisi, aldığı atıkların %60'ını geri dönüştürebilmektedir. Tesiste günlük toplanan atık miktarı (x kilogram) ile geri dönüştürülen malzeme miktarı (y kilogram) arasında doğrusal bir ilişki vardır.
a) Atık miktarı (x) ile geri dönüştürülen malzeme miktarı (y) arasındaki ilişkiyi ifade eden bir denklem oluşturunuz.
b) Günlük 500 kg atık toplandığında geri dönüştürülen malzeme miktarının kaç kg olduğunu bulunuz.
c) 240 kg geri dönüştürülen malzeme elde edilebilmesi için kaç kilogram atık toplanması gerektiğini hesaplayınız.
ç) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Çözüm:
a) Denklem:
- Geri dönüşüm oranı %60 = 0,6
- y = 0,6x
b) 500 kg atık için:
- y = 0,6 · 500 = 300 kg
c) 240 kg geri dönüşüm için:
- 240 = 0,6x → x = 240/0,6 = 400 kg
ç) Grafik:
- Orijinden geçen, eğimi 0,6 olan doğru
- Örnek noktalar: (0,0), (100,60), (200,120), (500,300)
Ölçme ve Değerlendirme
Sayfa 389 – 2 soruluk doğrusal ilişki ve hareket problemi
Ölçme ve Değerlendirme
Aşağıdaki sorular, dik koordinat sisteminde doğrusal ilişki, doğru denklemi, eğim ve grafik çizimi konularını içermektedir. Her sorunun çözümü adım adım gösterilmiştir.
Üretici Maliyet – Doğrusal İlişki
Ürün başına 20 TL maliyet + 100 TL sabit maliyetSoru: Bir üretici, ürün başına maliyeti 20 TL olan bir üründen belirli sayıda üretmektedir. Aynı zamanda üretimin başlaması için 100 TL sabit maliyet bulunmaktadır.
a) Ürün sayısı (x) ile toplam maliyet (y) arasında ilişkiyi ifade eden denklemi yazınız.
b) 50 ürün üretildiğinde toplam maliyetin kaç TL olacağını bulunuz.
c) Toplam maliyet 600 TL olduğunda kaç ürün üretilmiş olacağını bulunuz.
d) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Çözüm:
a) Denklem:
- Sabit maliyet: 100 TL
- Ürün başına maliyet: 20 TL
- y = 20x + 100
b) 50 ürün için:
- y = 20·50 + 100 = 1000 + 100 = 1100 TL
c) 600 TL maliyet için:
- 600 = 20x + 100 → 20x = 500 → x = 25 ürün
d) Grafik:
- Eğim = 20, y-kesim = 100
- Örnek noktalar: (0,100), (10,300), (20,500)
Doğrusal Hareket – Sabit Hız
Başlangıçta 5 metre, hız: 2 m/snSoru: Bir cisim, sabit bir hızla doğrusal bir yol boyunca hareket etmektedir. Cisim başlangıçta referans noktasından 5 metre uzaklıkta (x = 0 anında y = 5 metre) bulunmaktadır ve sabit 2 m/sn. hızla hareket etmektedir.
a) Zaman (x) ile konum (y) arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
A) y = 2x + 10 B) y = 2x + 5 C) y = 3x + 5 D) y = 3x + 10 E) y = 2x + 15
b) Cismin 10 saniye sonra bulunduğu konumu hesaplayınız.
c) Cisim y = 21 metre konumuna ulaştığında kaç saniye geçtiğini bulunuz.
d) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Çözüm:
a) Denklem:
- Başlangıç konumu: 5 metre (y-kesim)
- Hız: 2 m/sn (eğim)
- Denklem: y = 2x + 5
- Doğru cevap: B) y = 2x + 5
b) 10 saniye sonra:
- y = 2·10 + 5 = 20 + 5 = 25 metre
c) y = 21 metre için:
- 21 = 2x + 5 → 2x = 16 → x = 8 saniye
d) Grafik:
- Eğim = 2, y-kesim = 5
- Örnek noktalar: (0,5), (5,15), (10,25)
