Sayfalara Git
Sayfa 372: Konuya Başlarken
Rampa Eğimi ve Doğrunun Analitik İncelenmesi
Rampa Eğimi
Doğrusal bir yolun eğimi, o yolun ne kadar dik olduğunun bir ölçüsüdür. Matematiksel olarak eğim dikey eksendeki değişimin yatay eksendeki değişime oranıdır.
Yan yüzeyi BAC dik üçgeni biçiminde olan bir rampanın görseli verilmiştir.
BAC Dik Üçgeni – Rampa
Eğim = Dikey değişim / Yatay değişim = \( \tan \theta \)
1. Soru
Rampanın eğimini veren oranı BAC dik üçgeninin kenar uzunluklarını kullanarak yazınız. Bu oranın dik üçgenin açıları ile olan ilişkisi hakkında ne söylenebilir?
- Eğim = \( \dfrac{|AC|}{|AB|} \) (dikey / yatay)
- Bu oran, B açısının tanjantına eşittir.
- \( \text{Eğim} = \tan(\angle B) \)
- Açı büyüdükçe eğim artar, açı küçüldükçe eğim azalır.
2. Soru
BAC dik üçgeni dik koordinat sistemine yerleştirildiğinde B(1,2) ve C(5,4) olarak belirlenmiştir.
a) Eğimin hesaplanması:
- \( \text{Eğim} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{4-2}{5-1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)
b) Hipotenüs üzerindeki noktalar arasındaki ilişki:
- Doğru denklemi: \( y - 2 = \dfrac{1}{2}(x - 1) \)
- \( y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \)
- Her nokta bu denklemi sağlar. Sabit bir ilişki vardır.
Sayfa 373-374: 3. Uygulama
Bir Doğrunun Eğim Açısı, Eğimi ve Üzerindeki Noktaların Özellikleri
1. Eğimin Cebirsel Temsili
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi:
- Yatay değişim: \( \Delta x = x_2 - x_1 \)
- Dikey değişim: \( \Delta y = y_2 - y_1 \)
- Eğim = Dikey değişim / Yatay değişim
2. Eğim ve Eğim Açısı
a) Eğim Hesaplamaları:
- Şekil-1, (A(0,2), B(-3,0)): \( m = \dfrac{0-2}{-3-0} = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3} \)
- Şekil-2, (C(0,4), D(6,0)): \( m = \dfrac{0-4}{6-0} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3} \)
- Şekil-3, y=4 doğrusu (x eksenine paralel). Dikey değişim 0'dır.
- Şekil-4, x=6 doğrusu (y eksenine paralel). Yatay değişim 0'dır (sıfıra bölünme tanımlı değildir). m = Tanımsız.
b) Eğim ve Eğim Açısı İlişkisi:
- \( m = \tan \alpha \) (α: eğim açısı)
- m > 0 → dar açı (0° < α < 90°)
- m < 0 → geniş açı (90° < α < 180°)
c) Eğimin Pozitif/Negatif Olması:
- m > 0: Doğru sağa yukarı doğru artar (I. ve III. bölge)
- m < 0: Doğru sağa aşağı doğru azalır (II. ve IV. bölge)
- m = 0: Yatay doğru
- m tanımsız: Dikey doğru (x = sabit)
3. Doğru Denklemi
Verilen: m = 2, y-kesim noktası A(0,4)
a) Doğru denklemi:
b) B noktası (A'dan farklı):
- x = 1 → y = 2·1 + 4 = 6 → B(1,6)
c) B noktası ile denklem ilişkisi:
- B(1,6) denklemi sağlar: 6 = 2·1 + 4 ✓
ç) x-kesim noktası (y = 0):
- 0 = 2x + 4 → 2x = -4 → x = -2
- C(-2, 0) denklemi sağlar: 0 = 2·(-2) + 4 = 0 ✓
d) K(3,10) noktası kontrolü:
- 10 = 2·3 + 4 = 10 ✓ → K noktası doğru üzerindedir.
- Bir nokta doğru üzerinde ise denklemi sağlar.
e) M(4,y) ve N(x, -2):
- M(4,y): y = 2·4 + 4 = 12 → M(4,12)
- N(x, -2): -2 = 2x + 4 → 2x = -6 → x = -3 → N(-3, -2)
f) Grafik kontrolü:
- M(4,12) ve N(-3,-2) noktaları y = 2x + 4 doğrusu üzerindedir.
- Her iki nokta da denklemi sağlar.
Sayfa 375: 4. Sıra Sizde
Doğru Üzerinde Hareket – Hız ve Zaman Hesabı
Araç Hareketi
Konumların dik koordinat sistemindeki noktalarla gösterildiği ve birimin santimetre cinsinden hesaplandığı haritada bir aracın hareketi denklemi
\( 4y = 3x - 1 \) olan doğru ile modellenmiştir.
Araç, doğru üzerinde saatte 50 km/sa. sabit hızla ilerlerken bulunduğu iki noktanın koordinatları
\( A(3, y) \) ve \( B(x, 8) \) olarak belirlenmiştir.
Haritanın ölçeği 1:100 000 olduğuna göre aracın A ile B noktaları arasındaki mesafeyi kaç dakikada gittiğini hesaplayınız.
Çözüm
1. A(3, y) noktasını bulalım:
- 4y = 3·3 - 1 = 9 - 1 = 8
- y = 8/4 = 2
- A(3, 2)
2. B(x, 8) noktasını bulalım:
- 4·8 = 3x - 1 → 32 = 3x - 1
- 3x = 33 → x = 11
- B(11, 8)
3. A ve B arası uzaklık (harita üzerinde):
- |AB| = √[(11-3)² + (8-2)²] = √(64 + 36) = √100 = 10 cm
4. Gerçek uzaklık (ölçek 1:100.000):
- 10 cm × 100.000 = 1.000.000 cm = 10 km
5. Geçen süre (hız = 50 km/sa):
- Süre = 10 km / 50 km/sa = 0,2 saat
- 0,2 saat = 12 dakika
Sayfa 376: 4. Uygulama
Doğruların Birbirine Göre Durumları – Dik Kesişen Doğrular
4. Uygulama – Dik Kesişen Doğrular (Çözüm)
1. Doğrular ve Eğimleri
- d₁: y = 2x + 6 → m₁ = 2
- d₂: y = 2x - 4 → m₂ = 2
- d₃: y = x + 1 → m₃ = 1
- d₄: 2y = 2x + 2 → y = x + 1 → m₄ = 1
2. Doğruların Durumu ve Eğim Açıları
- d₁ ve d₂: Eğimler eşit (2) → Paralel (θ ≈ 63,43°)
- d₃ ve d₄: Denklemler aynı → Çakışık (θ = 45°)
- d₁ ile d₃: Eğimler farklı → Kesişen
3. d₃ ve d₄ Üzerindeki Noktalar
- Aynı apsis (x=2): d₃→(2,3), d₄→(2,3) → Aynı nokta
- Aynı ordinat (y=5): d₃→(4,5), d₄→(4,5) → Aynı nokta
- Tüm noktalar ortak → Çakışık doğrular
4. Dik Kesişen Doğrularda Eğim İlişkisi
- \( y = ax + b \) ve \( y = mx + n \) dik kesişiyorsa:
- \( a \cdot m = \mathbf{-1} \)
- \( m = -\dfrac{1}{a} \) (çarpmaya göre tersi, zıt işaretli)
- Benzerlikten türetilir: \( \tan \alpha \cdot \tan(90° + \alpha) = -1 \)
5. Örnek Doğrular: y = 2x + 1 ve y = -½x + 2
- m₁ = 2, m₂ = -½
- m₁ · m₂ = 2 · (-½) = -1
- Doğrular diktir (90°)
- Kural doğrulanmıştır.
Sayfa 377: 5. Sıra Sizde
Paralel Yollar – Eğim Eşitliği ile Bilinmeyen Bulma
Uçangöz Trafik Takibi
Bir şehrin trafiğini takip eden uçangöz, birbirine paralel uzanan düz iki yol üzerinde trafik yoğunluğu tespit etmiştir.
Yoğunluğun yaşandığı bölümler yolların birinde A(2, -4) ile B(7, 6) noktaları arasındaki kısım ve diğeri ise C(0, -1) ile D(3, y) noktaları arasındaki kısımdır.
Buna göre D noktasının ordinatını gösteren y değerini bulunuz.
Çözüm
1. Yollar paralel olduğu için eğimleri eşittir:
- AB doğrusunun eğimi: \( m_{AB} = \dfrac{6 - (-4)}{7 - 2} = \dfrac{10}{5} = \mathbf{2} \)
- CD doğrusunun eğimi: \( m_{CD} = \dfrac{y - (-1)}{3 - 0} = \dfrac{y + 1}{3} \)
2. Eğimler eşit olduğu için:
- \( \dfrac{y + 1}{3} = 2 \)
- \( y + 1 = 6 \)
- \( y = \mathbf{5} \)
3. D noktası:
- D(3, 5)
Sayfa 378: 5. Uygulama
Doğru Denkleminin Yazılması – İki Nokta, Eğim ve Gerçek Hayat Uygulamaları
1. İki Noktadan Doğru Denklemi
a) İki noktası bilinen doğru denklemi:
b) A(2,3) ve B(4,7) için:
- m = (7-3)/(4-2) = 4/2 = 2
- y - 3 = 2(x - 2) → y = 2x - 1
- Denklem: \( y = 2x - 1 \)
- Kontrol: A(2,3): 3 = 2·2-1=3 ✓, B(4,7): 7 = 2·4-1=7 ✓
2. Eğim Açısı ile Doğru Denklemi
a) Eğim açısından faydalanma:
- m = tan α
- α verildiğinde m hesaplanır, sonra doğru denklemi yazılır.
b) A(x₁,y₁)'den geçen, eğim açısı α olan doğru:
c) Özel durumlar:
- α = 0°: m = 0 → \( y = y_1 \) (yatay)
- α = 90°: m tanımsız → \( x = x_1 \) (dikey)
ç) A(-1,2) için:
- α = 0°: \( y = 2 \)
- α = 45°: m = 1 → \( y - 2 = 1(x+1) \) → \( y = x + 3 \)
- α = 90°: Tnımsız dikey doğru.
3. Gerçek Hayat Uygulamaları
a) Telefon Pil Kapasitesi
- I. Denklem: 5 saatte tam şarj → saatte %20 azalma
- \( y = -20x + 100 \) (x: saat, y: kalan pil %)
- II. Grafik: (0,100) ve (5,0) noktalarından geçen doğru
b) Yakıt Tüketimi
- I. Denklem: 100 km'de 6 L → 1 km'de 0.06 L
- \( y = 0.06x \) (x: km, y: litre)
- II. Grafik: (0,0) ve (100,6) noktalarından geçen doğru
c) İşletme Gelir-Gider
- Gelir = 200x, Gider = 3000 (sabit)
- Kâr = 200x - 3000
| Ürün Sayısı | Gelir (TL) | Gider (TL) | Kâr/Zarar |
|---|---|---|---|
| 5 | 1000 | 3000 | -2000 |
| 10 | 2000 | 3000 | -1000 |
| 25 | 5000 | 3000 | 2000 |
| 50 | 10000 | 3000 | 7000 |
| 80 | 16000 | 3000 | 13000 |
| 100 | 20000 | 3000 | 17000 |
- II. Denklem: Kâr = 200x - 3000
- III. Kâr etme noktası: 200x - 3000 = 0 → x = 15
- 15 üründen fazla satıldığında kâr edilir.
Sayfa 382: 6. Sıra Sizde
Ses Hızı ve Sıcaklık İlişkisi – Doğrusal Modelleme
Ses Hızı ve Sıcaklık
Atmosferde havadaki ses hızı, ortam sıcaklığına bağlı olarak değişir. 0 °C sıcaklıkta ses hızı 331,3 m/sn. olarak ölçülmüştür. Her 1 °C sıcaklık artışında ses hızı 0,6 m/sn. artmaktadır.
Çözüm
a) Sıcaklık (x) ile ses hızı (y) arasındaki denklem:
x: sıcaklık (°C), y: ses hızı (m/sn)
b) 5000 metre yükseklikteki sıcaklık ve ses hızı:
- Deniz seviyesi: 15 °C
- Her 100 m'de 0,65 °C azalır → 5000 m'de: 50 × 0,65 = 32,5 °C azalır
- Yükseklikteki sıcaklık: \( 15 - 32,5 = \mathbf{-17,5\ °C} \)
- Ses hızı: \( y = 0,6(-17,5) + 331,3 = -10,5 + 331,3 = \mathbf{320,8\ m/sn} \)
c) Grafik:
a) \( y = 0,6x + 331,3 \)
b) 5000 m'de sıcaklık: -17,5 °C, ses hızı: 320,8 m/sn
Sayfa 384: Alıştırmalar
Doğru Denklemi ve Eğim Problemleri
1. Alıştırma
Teleferik: A(16,-5), B(10,-3), C(x,1) noktaları doğrusal.
a) C noktasının apsisi (x):
- A ve B arası eğim: m = (-3 - (-5)) / (10 - 16) = 2 / (-6) = -1/3
- B ve C arası eğim: (1 - (-3)) / (x - 10) = 4 / (x - 10)
- 4 / (x - 10) = -1/3 → x - 10 = -12 → x = -2
b) B'den C'ye dikey yükselme:
- B'den C'ye: Δy = 1 - (-3) = 4 birim
- Ölçek: 1 birim = 24/6 = 4 metre (A→B yatayda 6 birim → 24 m)
- Dikey yükselme = 4 × 4 = 16 metre
c) x ile y arasındaki denklem:
- m = -1/3, A(16,-5) kullanarak: y + 5 = (-1/3)(x - 16)
- y = -x/3 + 1/3
ç) Grafik:
2. Alıştırma
Tablo asma: A(2,3) ve B(8,7). Çivi orta dikme üzerinde.
- AB doğrusunun eğimi: m = (7-3)/(8-2) = 4/6 = 2/3
- Orta dikmenin eğimi: m₂ = -1/(2/3) = -3/2
- AB'nin orta noktası: M = ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5)
- Orta dikme denklemi: y - 5 = (-3/2)(x - 5)
- y = -3x/2 + 25/2
Sayfa 385: Alıştırmalar
Doğrusal İlişkiler – Güneş Paneli ve Kalori Harcama
3. Alıştırma
Güneş paneli: Ekvator'da (x=0) eğim 3°, her 1° enlem artışında 0,9° artar.
a) Enlem (x) ile eğim (y) arasındaki denklem:
b) Grafik:
c) Türkiye için (36°-42° enlem):
- x=36 → y = 0,9·36 + 3 = 32,4 + 3 = 35,4°
- x=42 → y = 0,9·42 + 3 = 37,8 + 3 = 40,8°
- Eğim açısı 35,4° ile 40,8° arasında olmalıdır.
4. Alıştırma
Sporcu: dakikada 12 kalori + başlangıçta 30 kalori.
a) Denklem:
(x: dakika, y: toplam kalori)
b) 45 dakikada harcanan kalori:
- y = 12·45 + 30 = 540 + 30 = 570 kalori
c) 150 kalori için süre:
- 150 = 12x + 30 → 12x = 120 → x = 10 dakika
ç) Grafik:
