Sayfalara Git
Sayfa 313: Konuya Başlarken
Eski Çağ'da Sayma – Kaya Çizimleri ve Hayvancılık
Eski Çağ'da Sayma
Sayıların kullanılmadığı dönemlerde hayvancılıkla uğraşan Eski Çağ göçebe topluluklarında her hayvan grubunun ayrı bir sorumlusu vardır. Bu kişiler, belirli zaman aralıklarında kendi sorumluluğunda bulunan hayvan sayısındaki azalma ve artmayı tespit ederlerdi. Bu sorumluların dışında toplulukta bir de tüm hayvanlardan sorumlu bir başka kişi daha bulunurdu.
Görsel 5.1: Antik Kaya Çizimleri
Antik dönemde hayvan sayıları çizimlerle takip edilirdi.
Tartışma Soruları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Sorumlu kişilerin hayvanlardaki artma ve azalmayı sayıları kullanamadan tespit edebilecekleri yönteme dair görüşlerinizi söyleyiniz.
- İşaretleme: Her hayvan için bir çizgi veya sembol kullanma.
- Taş veya çubuk biriktirme: Her hayvan için bir taş veya çubuk.
- Grup karşılaştırması: Önceki ve sonraki durumu kıyaslama.
Bu olay bugün yaşansaydı sorumlu olan kişiler hayvan sayısını nasıl hesaplayabilirdi?
- Sayma: Doğrudan sayma yöntemi.
- Veritabanı: Dijital kayıt sistemleri.
- Etiketleme: RFID veya barkod ile takip.
- Yazılım: Çiftlik yönetim yazılımları.
Tüm hayvanlardan sorumlu kişi sayma yöntemini kullanmadan tüm hayvanların sayısını nasıl hesaplayabilirdi?
- Toplama: Her sorumludan gelen raporları toplama.
- Grup karşılaştırması: Grupları karşılaştırarak toplamı bulma.
Her sorumluda eşit sayıda hayvan bulunmuş olsaydı tüm hayvanların sayısını tespit etmek için nasıl bir yol izlenebilirdi?
- Çarpma: Sorumlu sayısı × her gruptaki hayvan sayısı.
- Eşit gruplama: Grupları eşitleyip toplama.
Hayvanların dağılımı ve düzenlenmesiyle ilgili iki farklı durumu inceleyiniz.
5 farklı hayvan sorumlusu, 3 farklı hayvan grubuna atanacak.
5 farklı koyun, 3 farklı ağıla yerleştirilecek.
Sayfa 313: 1. Uygulama
Eşleştirme Yoluyla Sayma – Otopark Problemi
Otopark Görevlisi
Bir otopark görevlisi, araçların park edileceği alanları belirlemek için sayı kartları kullanacaktır. Görevli, her park yerine bir sayı kartı yapıştırarak park düzenini oluşturacaktır.
Otopark Sayı Kartları
Sorular
Aşağıda bir otoparkın görseli verilmiştir. Görselin yanında numaralandırılmış olan sayı kartlarını her bir park yeri ile eşleştiriniz.
- Park Yeri 1 → 1
- Park Yeri 2 → 6
- Park Yeri 3 → 3
- Park Yeri 4 → 2
- Park Yeri 5 → 4
- Park Yeri 6 → 5
Yapılan eşleştirmeden yararlanarak otoparktaki araç park yeri sayısına nasıl ulaşılabileceğine dair çıkarımlarınızı yazınız.
- Her park yeri birebir bir sayı kartı ile eşleştirilmiştir.
- En büyük kart numarası (5) toplam park yeri sayısını verir.
- Bu yöntem eşleştirme yoluyla sayma olarak adlandırılır.
- 1'den 5'e kadar olan sayılar, 5 park yerinin varlığını gösterir.
Sayfa 314-315: 2. Uygulama
Toplama Yoluyla Sayma – Kitap Bağış Problemi
Kitap Bağış Problemi
Eylül yukarıda görselde verilen roman, hikâye ve şiir kitaplarından bir tanesini "Bir Kitap, Bin Hayal" projesi kapsamında bir köy okuluna bağışlayacaktır. Eylül'ün bu köy okuluna bağışlayacağı kitap için kaç farklı seçeneği olduğunu bulunuz.
Sorular
1. Verilen sayma problemindeki nesneleri belirleyiniz.
- Roman kitapları: 4 adet
- Hikâye kitapları: 5 adet
- Şiir kitapları: 3 adet
2. Kitap türlerine göre sayılacak nesneler arasındaki ilişkileri belirleyiniz.
- Farklı türler birbirini dışlayan kategorilerdir.
- Bir kitap yalnızca bir türe aittir.
3. Türlerine göre kitap sayıları:
| Tür | Adet |
|---|---|
| Roman | 4 |
| Hikâye | 5 |
| Şiir | 3 |
4. Renklerine göre kitap sayıları:
| Renk | Adet |
|---|---|
| Kırmızı (Hikaye) | 1 |
| Turuncu (Roman-Şiir) | 2 |
| Mavi (Roman-Hikâye) | 2 |
| Mor (R - H - Ş) | 3 |
| Siyah (R - H - Ş) | 4 |
5. Çözüm stratejisi oluşturunuz.
- Farklı türlerdeki kitap sayıları toplanır.
- Toplam = Roman + Hikâye + Şiir
6. Toplam farklı seçenek sayısı:
7. Olası çözüm stratejileri:
- Toplama yöntemi: Farklı kategorilerdeki eleman sayılarını toplama.
- Eşleştirme yöntemi: Her kitabı bir sayı ile eşleştirme.
- Görsel sayma: Doğrudan kitapları sayma.
8. Kullanışlılık değerlendirmesi:
- Toplama yöntemi en hızlı ve pratiktir.
- Büyük sayılarda da kullanışlıdır.
- Kategoriler birbirini dışlamalıdır.
Sayfa 315-317: 3. Uygulama
Çarpma Yoluyla Sayma – Kıyafet Eşleştirme
1. Soru
Sayma problemindeki nesneleri belirleyiniz.
- Pantolonlar: Yeşil, Mavi (2 adet)
- Gömlekler: Yeşil, Kırmızı, Turuncu (3 adet)
2. Soru
Nesneler arasındaki ilişkileri belirleyiniz.
- P = {Yeşil, Mavi} (2 elemanlı)
- G = {Yeşil, Kırmızı, Turuncu} (3 elemanlı)
- Her iki gruptan aynı anda birer tane seçilecek.
- Seçimler bağımsızdır.
3. Soru: Tablo Yöntemi
| Pantolon \ Gömlek | Yeşil | Kırmızı | Turuncu |
|---|---|---|---|
| Yeşil | Y - Y | Y - K | Y - T |
| Mavi | M - Y | M - K | M - T |
4. Soru: Görsel Temsiller
- Ağaç Şeması: Dallara ayırarak gösterme
- Kartezyen Koordinat: (P, G) sıralı ikilileri
- Matris/Tablo: Satır-sütun kesişimleri
5. Soru: Çizge Yöntemi
6-7. Sorular
6. Toplam eşleşme sayısı:
- 6 farklı eşleşme
7. Farklı yöntem (Çarpma Yoluyla Sayma):
- 2 × 3 = 6
- Bağımsız seçimlerde seçenek sayıları çarpılır.
8-9. Sorular
8. Stratejinin uygulanması ve kontrolü:
- 2 × 3 = 6 (tablo ve çizge ile tutarlı)
9. Olası stratejiler ve çıkarımlar:
- Stratejiler: Liste, ağaç şeması, çarpma
- Çıkarım: Bağımsız seçimlerde çarpma kullanılır.
10. Soru: Kullanışlılık Değerlendirmesi
- Eşleştirme/Çizge: Az sayıda eleman için iyidir, büyük sayılarda zorlaşır.
- Çarpma Yöntemi: Büyük veri kümelerinde en hızlı ve pratiktir.
- Öneri: Çarpma yöntemi en kullanışlıdır.
Sayfa 317: 1. Sıra Sizde
Kombinasyon – Tablo, Çizge ve Çarpma Yöntemleri
1. Sıra Sizde
Mete 2 farklı renkte ayakkabı, 3 farklı renkte pantolon, 4 farklı renkte gömlek ile kaç farklı kombin yapabileceğini hesaplamak istemektedir.
Buna göre
a) Tablo ve Çizge Yöntemi
Verilenler:
- Ayakkabı: 2 farklı renk
- Pantolon: 3 farklı renk
- Gömlek: 4 farklı renk
Tablo Yöntemi:
Çizge Yöntemi (Ağaç Şeması):
b) Çarpma Yoluyla Sayma
Hesaplama:
Karşılaştırma:
- Tablo yöntemi: 24
- Çizge yöntemi: 24
- Çarpma yöntemi: 24
- Her üç yöntem de aynı sonucu vermiştir.
- Çarpma yöntemi en hızlı ve pratiktir.
Sayfa 319: 2. Sıra Sizde
Şifreli Kilit – Tekrarlı ve Tekrarsız Permütasyon
2. Sıra Sizde
Atakan, bisikleti için üzerinde 1'den 5'e kadar numaralar olan 3 haneli şifreli kilit kullanmaktadır.
Atakan'ın bu kilit ile
3 Haneli Şifreli Kilit
a) Kaç farklı şifre oluşturulabilir? (Tekrarlı)
Çözüm:
- Her hane için 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5)
- Rakamlar tekrarlanabilir (aynı rakam birden fazla kez kullanılabilir)
- Toplam şifre sayısı = 5 × 5 × 5 = 5³
b) Her seferinde farklı rakamlar kullanılarak kaç farklı şifre oluşturulabilir? (Tekrarsız)
Çözüm:
- 1. hane: 5 seçenek (1, 2, 3, 4, 5)
- 2. hane: 4 seçenek (bir önceki kullanıldı)
- 3. hane: 3 seçenek (önceki iki rakam kullanıldı)
- Rakamlar tekrarlanamaz
- Toplam şifre sayısı = 5 × 4 × 3 = P(5,3)
Bu sayı, 5 elemanlı kümeden 3'lü permütasyon sayısıdır: \( P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)
Sayfa 319-320: 4. Uygulama
Nesnelerin Sıralanışı – Permütasyon
Kardeşlerin Sıralanışı
Arda, Berra ve Can isimli üç kardeş yan yana oturacaktır. Bu kardeşlerin kaç farklı şekilde sıralanabileceklerini bulunuz.
3 Kardeşin Sıralanışı
Sorular
Yukarıdaki örnek problem durumunu hangi sayma yöntemi ile çözebilirsiniz?
- Permütasyon (Sıralama) Yöntemi
- Farklı nesnelerin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplar.
- Bu problemde 3 kişinin sıralanışı incelenir.
Belirlediğiniz sayma yöntemi ile soruyu çözünüz.
- 3 kişi = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
- 6 farklı sıralama:
- Arda-Berra-Can, Arda-Can-Berra
- Berra-Arda-Can, Berra-Can-Arda
- Can-Arda-Berra, Can-Berra-Arda
Bu üç kardeşin, anne ve babaları ile yan yana kaç farklı şekilde oturabileceğini bulunuz.
- Toplam kişi sayısı: 3 + 2 = 5
- Sıralama sayısı: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Kişi sayısı ile yan yana sıralanma sayıları arasında nasıl bir ilişki olduğunu belirleyiniz.
- n kişi → n! farklı sıralama
- 1 kişi → 1! = 1
- 2 kişi → 2! = 2
- 3 kişi → 3! = 6
- 4 kişi → 4! = 24
- 5 kişi → 5! = 120
Sayfa 321: 3. Sıra Sizde
Öğretmen-Öğrenci Sıralaması – Faktöriyel ile Sayma
3. Sıra Sizde
2 öğretmen ve 5 öğrenciden oluşan bir grup, tiyatro gösterisine gidecektir.
Buna göre bu 7 kişinin yan yana sıralanmış 7 koltuğa öğretmenler sıranın başında ve sonunda bulunmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabileceğini bulunuz.
7 Kişilik Sıralama
Çözüm
Adım 1: Öğretmenlerin yerleşimi:
- 2 öğretmen, sıranın başında ve sonunda oturacak.
- Baş ve son pozisyonlarına 2 öğretmen 2! = 2 farklı şekilde oturabilir.
- Ö1 - ... - Ö2 veya Ö2 - ... - Ö1
Adım 2: Öğrencilerin yerleşimi:
- 5 öğrenci, kalan 5 koltuğa oturacak.
- 5 öğrenci 5! = 120 farklı şekilde sıralanabilir.
Adım 3: Toplam:
- Çarpma kuralı: 2! × 5! = 2 × 120 = 240
Sayfa 322: 4. Sıra Sizde
ASCII ve Extended ASCII – Bit Sayısı ile Karakter Hesaplama
ASCII ve Extended ASCII
ASCII bilgisayarların metin karakterlerini sayısal değerler olarak temsil etmesi için oluşturulmuştur. İlk kez 1960'larda geliştirilen ASCII, bilgisayarlar ve iletişim cihazları arasında uyumu sağlamak için 1963 yılında standart hâle getirilmiştir. ASCII 7 bitlik bir karakter kümesidir ve karakterlerin ikili sistemde nasıl temsil edileceğini tanımlar.
Extended ASCII (Genişletilmiş ASCII) ise 8 bitlik bir yapıya sahip bir kodlama sistemidir. Bu genişletme özel karakterler (ç, ğ, ş gibi) ve çizim sembolleri için ek karakterler içerir.
ASCII vs Extended ASCII
a) ASCII 7-bit
Çözüm:
- ASCII 7 bitlik bir karakter kümesidir.
- Her bit 2 durum alabilir (0 veya 1).
- Toplam karakter sayısı = 2⁷
b) Extended ASCII 8-bit
Çözüm:
- Extended ASCII 8 bitlik bir yapıya sahiptir.
- Her bit 2 durum alabilir (0 veya 1).
- Toplam karakter sayısı = 2⁸
Sayfa 322-323: 5. Uygulama
Plaka Harf Sıralaması – Permütasyon
Araç Plaka Problemi
Tuna, yeni aldığı aracın plakasındaki harf bölümünü kendi belirleyecektir. Bunun için isminde yer alan harfleri yalnızca bir kez kullanarak ikili gruplar oluşturuyor. Tuna'nın aracının plakası için kaç farklı ikili grup oluşturabileceğini bulunuz.
1-2. Sorular
1. Nesneler:
- Tuna ismindeki harfler: T, U, N, A (4 harf)
2. Nesneler arası ilişki:
- 4 harf arasından sıralı ve tekrarsız 2'li gruplar oluşturulacak.
- Sıra önemlidir (TU ≠ UT).
3. Tablo Doldurma
| Tuna İsminden Oluşturulan İkili Gruplar | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| UT | TU | NT | TN | NU | UN |
| AT | TA | AN | NA | AU | UA |
4. Tan İsmi ile İkili Gruplar
- Tan ismindeki harfler: T, A, N (3 harf)
| Tan İsminden Oluşturulan İkili Gruplar | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| TA | AT | TN | NT | AN | NA |
| TA | AT | TN | NT | AN | NA |
5-6. Stratejiler ve 3'lü Gruplar
5. Çözüm Stratejileri:
- Permütasyon formülü: P(n, r) = n! / (n-r)!
- Ağaç şeması: Dallanarak tüm olasılıkları gösterme
- Tablo yöntemi: Satır-sütun eşleştirme
6. Tuna isminden 3'lü gruplar:
- 4 harften 3'lü sıralı gruplar: P(4,3) = 4! / (4-3)! = 24 / 1 = 24
7. Tablo ile Kontrol
- 4 harften 3'lü grupların tamamı tabloda gösterilebilir.
- Örnek: TUN, TNA, TUA, TAN, TNU, TAU, ...
- Toplam 24 grup listelenebilir.
- Sonuç, permütasyon formülü ile tutarlıdır.
8-9. Çıkarımlar ve Değerlendirme
- Çıkarım: n farklı nesneden r tanesinin sıralanma sayısı P(n,r) = n!/(n-r)! ile bulunur.
- Kullanışlılık: Permütasyon formülü büyük sayılarda en hızlı yöntemdir.
- Tablo ve ağaç şeması küçük sayılar için görsel anlamda faydalıdır.
Sayfa 324: 5. Sıra Sizde
TEKNOFEST Takımı – Permütasyon ile Oturma Düzeni
TEKNOFEST Takımı
Arda, Beril, Cihan ve Dilek'ten oluşan takım TEKNOFEST yarışmasına katılmıştır. Yarışmada her takıma proje sunumları için bir masa ve masanın arkasında yan yana sıralanmış iki sandalye verilmiştir. Takım üyeleri kendilerine verilen iki sandalyeye oturarak sunumlarını gerçekleştireceklerdir.
Sunum Takvimi
| Saat | 1. Sandalye | 2. Sandalye | Saat | 1. Sandalye | 2. Sandalye |
|---|---|---|---|---|---|
| 7.00 - 8.00 | A | B | 13.00 - 14.00 | A | C |
| 8.00 - 9.00 | A | D | 14.00 - 15.00 | B | C |
| 9.00 - 10.00 | B | C | 15.00 - 16.00 | C | D |
| 10.00 - 11.00 | B | D | 16.00 - 17.00 | D | A |
| 11.00 - 12.00 | B | A | 17.00 - 18.00 | C | A |
| 12.00 - 13.00 | C | A | 18.00 - 19.00 | D | B |
a) Tabloyu Doldurunuz
Tüm olası 2'li sıralamalar (4 kişi, 2 sandalye):
- A-B, A-C, A-D
- B-A, B-C, B-D
- C-A, C-B, C-D
- D-A, D-B, D-C
Toplam:
b) 5 Üye ile Kaç Farklı Oturma Düzeni?
Çözüm:
- 5 üye, 2 sandalye → sıralı seçim
- 1. sandalye: 5 seçenek
- 2. sandalye: 4 seçenek (bir önceki seçildi)
- Toplam = 5 × 4 = 20
Bu sayı, 5 elemanlı kümeden 2'li permütasyon sayısıdır: \( P(5,2) = 5 \times 4 = 20 \)
Sayfa 324-325: 6. Uygulama
Özdeş Nesnelerin Sıralanması – Kelime Harfleri
Kelime Harfleri ile Sıralama
Aysun Öğretmen sınıfta sıralama konusunu anlatırken bir uygulama yaptırmış ve sınıfı iki gruba ayırmıştır. Grupların birincisinden NİSA, ikincisinden LALE kelimesinin harflerini yer değiştirerek dörtlü gruplar oluşturmalarını ve bu grupları alt alta yazıp listelemelerini istemiştir.
1. Soru
NİSA Kelimesi:
- Harfler: N, İ, S, A (4 harf, hepsi farklı)
LALE Kelimesi:
- Harfler: L, A, L, E (4 harf, L 2 kez tekrarlıyor)
2. Tablolar
NİSA (4! = 24 grup)
| Örnek Gruplar | |||
|---|---|---|---|
| NİSA | NİAS | NSİA | NSAI |
| NAİS | NASİ | İNSA | İNAS |
| İSNA | İSAN | İANS | İASN |
| SİNA | SİAN | SNİA | SNAİ |
| SAİN | SANİ | ANİS | ANSİ |
| AİNS | AİSN | ASNİ | ASİN |
LALE (4!/2! = 12 grup)
| Örnek Gruplar | |||
|---|---|---|---|
| LALE | LAEL | LLAE | LLEA |
| LEAL | LELA | ALLE | ALEL |
| AELL | ELLA | ELAL | EALL |
3-4. Karşılaştırma ve Strateji
3. Karşılaştırma:
- NİSA: 24 farklı grup (4! = 24)
- LALE: 12 farklı grup (4! / 2! = 12)
- L'deki tekrar nedeniyle grup sayısı yarıya inmiştir.
4. Strateji (Özdeş Nesneler):
- n elemanlı kümede, bazı elemanlar özdeş ise:
- \( \dfrac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \cdots} \)
- Örnek: LALE → \( \dfrac{4!}{2!} = 12 \)
5. BABA Kelimesi
- BABA: B(2), A(2) → 4 harf, 2'şer tekrar
- Farklı sıralama sayısı: \( \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{24}{4} = 6 \)
| BABA Harfleri ile Oluşturulan 6 Farklı Grup | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| BABA | BAAB | BBAA | ABBA | ABAB | AABB |
6-7. Önerme ve Değerlendirme
6. Önerme (Cebirsel İfade):
- n nesne içinde a tane özdeş nesne varsa:
- \( \text{Sıralama Sayısı} = \dfrac{n!}{a!} \)
- Birden fazla özdeş grup varsa: \( \dfrac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \cdots} \)
7. Kullanışlılık Değerlendirmesi:
- Formül, büyük kelimelerde en hızlı ve pratiktir.
- Tablo yöntemi küçük kelimeler için görsel anlamda faydalıdır.
- Özdeş nesne tekrarı olduğunda formül kullanmak zorunludur.
Sayfa 326: 6. Sıra Sizde
Futbol Maçı Gol Sıralaması – Permütasyon ile Tahmin
6. Sıra Sizde
Fatih ve arkadaşı Taha arasındaki konuşma:
Fatih: Akşam oynanan Türkiye Millî Futbol Takımı'nın maçını izledin mi?
Taha: Evet, izledim.
Fatih: Maçın sonucu nedir?
Taha: Maçı 3-2 Türkiye Millî Futbol Takımı kazandı.
Fatih: Maçta ilk golü hangi takım attı?
Taha: Maçtaki gollerin takımlara göre sıralamasını mı istiyorsun? Bence sen tahmin etmelisin.
Fatih'in atılan tüm gollerin takımlara göre sıralamasını doğru söyleyebilmesi için en az kaç tahmin yapması gerektiğini bulunuz.
Gol Sıralama Olasılıkları
Çözüm
Verilenler:
- Toplam gol sayısı: 3 + 2 = 5 gol
- Türkiye (T) golleri: 3 adet (özdeş)
- Rakip (R) golleri: 2 adet (özdeş)
Çözüm:
- 5 golün sıralanma sayısı (özdeşlerle birlikte):
- \( \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = \dfrac{120}{12} = \mathbf{10} \)
- Fatih'in doğru sıralamayı bulmak için en az:
- 10 - 1 = 9 tahmin
Sayfa 327-331: 7. Uygulama
Kombinasyon – Seçim Sayısının Belirlenmesi
Problem 1: Pizza Malzemeleri
4 malzeme (Mantar, Sucuk, Biber, Zeytin) arasından 3 malzeme seçilecek.
a) Nesneler:
- Mantar (M), Sucuk (S), Biber (B), Zeytin (Z)
b) İlişki:
- 4 malzeme arasından 3'ü seçilecek, sıra önemli değil.
- Kombinasyon: C(4,3) = 4
c) Tablo Yöntemi:
| 4 Malzemeden 3'lü Seçimler | ||
|---|---|---|
| 1. Seçim | 2. Seçim | 3. Seçim |
| Mantar | Sucuk | Biber |
| Mantar | Sucuk | Zeytin |
| Mantar | Biber | Zeytin |
| Sucuk | Biber | Zeytin |
d) Çözüm Stratejisi:
- Tüm sıralamalar: P(4,3) = 4 × 3 × 2 = 24
- Her seçim kendi içinde 3! = 6 kez tekrarlanır.
- Seçim sayısı = 24 / 6 = 4
e) Sonuç:
Problem 2: Masa Tenisi Takımı
4 öğrenci (Ayşe, Banu, Ceyda, Derya) arasından 2 kişilik takım seçilecek.
a) Nesneler:
- A, B, C, D
b) İlişki:
- 4 kişi arasından 2'si seçilecek, sıra önemli değil.
- Kombinasyon: C(4,2) = 6
c) Tablo Yöntemi:
ç) Çizge Yöntemi:
d-e) Strateji ve Sonuç:
- Tüm sıralamalar: P(4,2) = 4 × 3 = 12
- Her seçim 2! = 2 kez tekrarlanır.
- Seçim sayısı = 12 / 2 = 6
Problem 3: Bilyeler
3 özdeş mavi, 2 özdeş kırmızı bilye 5 bölmeli standa yerleştirilecek.
a) Nesneler:
- 3 mavi (özdeş), 2 kırmızı (özdeş)
b) İlişki:
- 5 bölmeden 3'ü mavi için seçilecek.
- Kalan 2 bölme kırmızı olacak.
c) Bilyelerin Standa Yerleştirilme Görselleri (5 Bölme, 3 Mavi - 2 Kırmızı):
| Stant Sırası | 1. Sıra | 2. Sıra | 3. Sıra | 4. Sıra | 5. Sıra |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | K | M | M | K | M |
| 2 | M | M | M | K | K |
| 3 | M | M | K | M | K |
| 4 | M | M | K | K | M |
| 5 | M | K | M | M | K |
| 6 | M | K | M | K | M |
| 7 | M | K | K | M | M |
| 8 | K | M | M | M | K |
| 9 | K | K | M | M | M |
| 10 | K | M | K | M | M |
d-e) Strateji ve Sonuç:
- Bilyeler özdeş olduğu için stant üzerindeki yerlerine hangi sırayla konulduklarının görsel görünüme hiçbir etkisi yoktur.
- Sadece mavilerin (veya sadece kırmızıların) konulacağı bölme numaralarını seçmek tüm stant düzenini belirlemek için yeterlidir; çünkü kalan bölmelere otomatik olarak diğer renkteki bilyeler yerleşir.
d) Çözüm Stratejisi:
- 5 bölmeden 3'ü mavi bilyeler için seçilecek.
- Mavi bilyeler özdeş olduğu için seçim sırası önemli değil.
- Kırmızı bilyeler de özdeş olduğu için kalan 2 bölme otomatik olarak kırmızı olur.
- Bu nedenle problem, 5 bölmeden 3'ünün seçilmesine indirgenir.
e) Sonuç:
- Seçim sayısı: \( C(5,3) \)
- \( C(5,3) = \dfrac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = \dfrac{120}{12} = \mathbf{10} \)
f) Özdeş Nesnelerin Sıralanması (Tekrarlı Permütasyon) İle Kontrol
- Toplam 5 bilye: 3 mavi (özdeş), 2 kırmızı (özdeş)
- Tekrarlı permütasyon formülü:
Sonucun doğruluğu tekrarlı permütasyon kuralı ile onaylanmış olur.
g) Çıkarımlar
- Özdeş nesne problemlerinde yer belirlemek bir kombinasyon (seçim) işlemidir.
- İstenen renkten birinin yerlerinin seçilmesi, diğer özdeş nesnelerin yerlerini de kendiliğinden sabitler.
- Örneğin: 5 bölmeden 3'ünün mavi olarak seçilmesi, kalan 2 bölmenin otomatik olarak kırmızı olmasını sağlar.
h) Kullanışlılık Değerlendirmesi
- Tekrarlı permütasyon veya kombinasyon formülleri, tablo ile tek tek listelemeye göre çok daha hızlı ve hatasız sonuç verir.
- Büyük sayılarda (örneğin 10 bilye, 100 bölme) listelemek imkânsız hale gelir.
- Formül kullanımı, problem çözüm süresini kısaltır ve doğruluk oranını artırır.
2. Genel Çözüm Stratejisi
- Adım 1: n tane farklı nesnenin r'li sıralanma sayısı: P(n,r)
- Adım 2: Her seçim r! farklı sıralama oluşturur.
- Adım 3: Seçim sayısı = P(n,r) / r! = C(n,r)
Kombinasyon (Seçim): Sıralamanın önemli olmadığı seçimlerde kullanılır.
Sayfa 333: 7. Sıra Sizde
Sıralama – Koşullu Permütasyon
7. Sıra Sizde
Aralarında Yavuz, Ayten ve Serkan'ın da bulunduğu 5 çocuk düz bir sırada yan yana durarak fotoğraf çektirmek istiyorlar.
Yavuz, Ayten'in sol tarafında Serkan ise sağ tarafında bulunmak şartıyla 5 çocuğun kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Yavuz, Ayten ve Serkan'ın Sıralaması
- Yavuz, Ayten'in solunda olmalı → Yavuz - Ayten
- Serkan, Ayten'in sağında olmalı → Ayten - Serkan
- Bu üç kişinin sıralaması sabit: Yavuz - Ayten - Serkan
- Bu üç kişi arasında başka bir sıralama olamaz (koşul nedeniyle).
Adım 2: Diğer 2 Kişinin Yerleşimi
- Yavuz, Ayten, Serkan üçlüsü tek bir blok olarak düşünülür.
- Blok + diğer 2 kişi = toplam 3 nesne sıralanır.
- 3 nesne 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Adım 3: Toplam
- Toplam = 3! = 6
Sayfa 333-335: Pascal Üçgeni
Belirli Sayıda Nesneden Farklı Sayılarda Nesne Seçimi
1. Tablo
| Gruptaki Kişi Sayısı | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Olası İncelenme Sayıları | 0 - 1 | 0 - 2 | 0 - 3 | 0 - 4 | ... | 0 - n |
İlişki: n kişilik grupta tabloyu inceleyen kişi sayısı 0'dan n'ye kadar her değeri alabilir.
| Sergiyi Gezen Ressam Sayısı | İncelemiş Olası Kişi Sayıları | Cebirsel Temsilleri | Elde Edilen Sonuçlar |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | \( \binom{0}{0} \) | 1 |
| 1 | 0, 1 | \( \binom{1}{0}, \binom{1}{1} \) | 1, 1 |
| 2 | 0, 1, 2 | \( \binom{2}{0}, \binom{2}{1}, \binom{2}{2} \) | 1, 2, 1 |
| 3 | 0, 1, 2, 3 | \( \binom{3}{0}, \binom{3}{1}, \binom{3}{2}, \binom{3}{3} \) | 1, 3, 3, 1 |
| 4 | 0, 1, 2, 3, 4 | \( \binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \binom{4}{2}, \binom{4}{3}, \binom{4}{4} \) | 1, 4, 6, 4, 1 |
| 5 | 0, 1, 2, 3, 4, 5 | \( \binom{5}{0}, \binom{5}{1}, \binom{5}{2}, \binom{5}{3}, \binom{5}{4}, \binom{5}{5} \) | 1, 5, 10, 10, 5, 1 |
| 6 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 | \( \binom{6}{0}, \binom{6}{1}, \binom{6}{2}, \binom{6}{3}, \binom{6}{4}, \binom{6}{5}, \binom{6}{6} \) | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 |
| ... | ... | ... | ... |
| n | 0, 1, 2, ..., n | \( \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, ..., \binom{n}{n} \) | Pascal üçgeni n. satır |
2. Model
| Satır Sayısı | Eleman Sayıları |
|---|---|
| 1. satır | 0 |
| 2. satır | 1 |
| 3. satır | 2 |
| 4. satır | 3 |
| 5. satır | 4 |
| 6. satır | 5 |
| 7. satır | 6 |
| 8. satır | n |
Kural: k. satırda k-1 eleman bulunur.
3. Pascal Üçgeni Sonuçları
| Satır Sayısı | Eleman Sayıları (Pascal Üçgeni) |
|---|---|
| 1. satır | 1 |
| 2. satır | 1, 1 |
| 3. satır | 1, 2, 1 |
| 4. satır | 1, 3, 3, 1 |
| 5. satır | 1, 4, 6, 4, 1 |
| 6. satır | 1, 5, 10, 10, 5, 1 |
| 7. satır | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 |
| 8. satır | \( \binom{n}{0}, \binom{n}{1}, ..., \binom{n}{n} \) |
4. Pascal Üçgeni İlişkisi
Sözel İfade:
- Pascal üçgeninde her sayı, bir üst satırdaki iki sayının toplamına eşittir.
- Kenarlardaki sayılar her zaman 1'dir.
Cebirsel İfade:
Bu özdeşlik, Pascal üçgeninin temel yapı taşıdır ve kombinasyon hesaplamalarında kullanılır.
Sayfa 335-336: 9. Uygulama
Güvercin Yuvası İlkesi (Dirichlet İlkesi)
1. Soru
4 yuva, 5 güvercin.
a) Bir yuvayı kullanan güvercin sayısı:
- 5 güvercin 4 yuvaya dağıtıldığında, en az bir yuvada en az 2 güvercin bulunur.
b) Yuva ve güvercin arasındaki ilişki:
- Güvercin sayısı, yuva sayısından fazla olduğunda en az bir yuvada birden fazla güvercin olur.
c) Güvercinlerin yuvalara göre sayı dağılımını gösteren görsel temsili
1ç) Tablo 1
| Toplam Güvercin Yuvası Sayısı | Toplam Güvercin Sayısı | En Az Bir Yuvada Kesin Olarak Bulunan En Az Güvercin Sayısı |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 (⌈3/2⌉ = 2) |
| 3 | 4 | 2 (⌈4/3⌉ = 2) |
| 4 | 5 | 2 (⌈5/4⌉ = 2) |
| 5 | 6 | 2 (⌈6/5⌉ = 2) |
| 6 | 8 | 2 (⌈8/6⌉ = 2) |
| 7 | 10 | 2 (⌈10/7⌉ = 2) |
| 8 | 15 | 2 (⌈15/8⌉ = 2) |
Formül: \( \left\lceil \dfrac{\text{Güvercin Sayısı}}{\text{Yuva Sayısı}} \right\rceil \)
1d) Tablo 2
| Toplam Güvercin Yuvası Sayısı | Toplam Güvercin Sayısı | En Az Bir Yuvada Kesin Olarak Bulunan En Az Güvercin Sayısı |
|---|---|---|
| 2 | 5 | 3 (⌈5/2⌉ = 3) |
| 3 | 8 | 3 (⌈8/3⌉ = 3) |
| 4 | 10 | 3 (⌈10/4⌉ = 3) |
| 5 | 17 | 4 (⌈17/5⌉ = 4) |
| 6 | 27 | 5 (⌈27/6⌉ = 5) |
| 7 | 50 | 8 (⌈50/7⌉ = 8) |
| 8 | 100 | 13 (⌈100/8⌉ = 13) |
2-3. Çıkarımlar ve Doğum Günü Problemi
2. Çözüm Stratejisi:
- Güvercin sayısı, yuva sayısından fazla ise en az bir yuvada birden fazla güvercin vardır.
- En az bir yuvada bulunan en az güvercin sayısı: \( \left\lceil \dfrac{\text{Güvercin Sayısı}}{\text{Yuva Sayısı}} \right\rceil \)
- Bu ilke, dağıtım problemlerinde alt sınır belirlemek için kullanılır.
3. Doğum Günü Problemi (365 gün):
| Gruptaki İnsan Sayısı | Aynı Gün Doğmuş En Az İnsan Sayısı |
|---|---|
| 400 | 2 (⌈400/365⌉ = 2) |
| 750 | 3 (⌈750/365⌉ = 3) |
| 1500 | 5 (⌈1500/365⌉ = 5) |
| 3000 | 9 (⌈3000/365⌉ = 9) |
Sayfa 337: 8. Sıra Sizde
Güvercin Deliği İlkesi – Doğum Ayları Problemi
8. Sıra Sizde
"Düzenlenen bir toplantıya 28 kişi katılmıştır. Toplantıya katılanlar arasında en az kaç kişinin aynı ayda doğduğunu belirleyiniz."
Çözüm
a) Sayılacak nesneler:
- Nesneler: Toplantıya katılan 28 kişi
b) Nesneler arasındaki ilişki:
- Her kişi 12 aydan birinde doğmuştur.
- Kişiler doğum aylarına göre gruplandırılabilir.
c) Görsel temsil:
ç) Çözüm stratejisi ve sonuç:
- Strateji: Güvercin deliği ilkesi (pigeonhole principle)
- 12 ay (güvercin deliği), 28 kişi (güvercin)
- \( \lceil \frac{28}{12} \rceil = \lceil 2,33 \rceil = \mathbf{3} \)
- En az 3 kişi aynı ayda doğmuştur.
Sayfa 338: Alıştırmalar
Permütasyon, Kombinasyon ve Pascal Üçgeni Problemleri
1. Soru
A masasında 7 küp, B masasında 5 küp. Eren her defasında farklı 2 küpü yan yana, Efe farklı 3 küpü yan yana sıralıyor.
- Eren (A masası - 7 küp, 2'li sıralama):
- P(7,2) = 7·6 = 42 puan
- Efe (B masası - 5 küp, 3'lü sıralama):
- P(5,3) = 5·4·3 = 60 puan
2. Soru
2'si sadece başkan, 3'ü sadece başkan yardımcısı, 4'ü her ikisine aday. Biri başkan, ikisi başkan yardımcısı seçilecek.
Aday Grupları:
- A Grubu (Sadece Başkan): 2 kişi
- B Grubu (Sadece Başkan Yardımcısı): 3 kişi
- C Grubu (Hem Başkan Hem Yardımcı): 4 kişi
1. Durum: Başkan A Grubu'ndan Seçilirse
- Başkan: \( \binom{2}{1} = 2 \) yol
- Yardımcı adayları: B (3) + C (4) = 7 kişi
- Yardımcı seçimi: \( \binom{7}{2} = 21 \) yol
- Toplam: \( 2 \times 21 = \mathbf{42} \)
2. Durum: Başkan C Grubu'ndan Seçilirse
- Başkan: \( \binom{4}{1} = 4 \) yol
- Kalan yardımcı adayları: B (3) + C'den kalan (3) = 6 kişi
- Yardımcı seçimi: \( \binom{6}{2} = 15 \) yol
- Toplam: \( 4 \times 15 = \mathbf{60} \)
Toplam Seçim Sayısı:
- \( 42 + 60 = \mathbf{102} \)
3. Soru
5 kapalı (1), 3 açık (0) anahtar → 8 basamaklı sayı.
Verilenler:
- 5 adet 1 (kapalı anahtar)
- 3 adet 0 (açık anahtar)
- Toplam 8 basamaklı sayı
Adım 1: Tüm permütasyonlar
- \( \dfrac{8!}{5! \cdot 3!} = \dfrac{40320}{120 \cdot 6} = \dfrac{40320}{720} = \mathbf{56} \)
Adım 2: İlk basamağı 0 olan durumlar
- İlk basamak 0 sabitlenirse: kalan 5 tane 1, 2 tane 0
- \( \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{5040}{120 \cdot 2} = \dfrac{5040}{240} = \mathbf{21} \)
Adım 3: Sonuç
- \( 56 - 21 = \mathbf{35} \)
4. Soru
Pascal üçgeni sorusu.
- a) n + m: n. satır = 5. satır (\( \binom{5}{0} \)), m. satır = 6. satır (\( \binom{6}{2} \))
- n = 5, m = 6 → n + m = 11
- b) Cebirsel temsiller:
- A = \( \binom{5}{0} = 1 \), D = \( \binom{5}{5} = 1 \), L = \( \binom{6}{6} = 1 \)
- c) B + K + T: B = \( \binom{5}{1} = 5 \), K = \( \binom{6}{3} = 20 \), T = \( \binom{6}{5} = 6 \)
- 5 + 20 + 6 = 31
a) n + m = 11
b) A = 1, D = 1, L = 1
c) B + K + T = 31