Sayfalara Git
Sayfa 180: Ön Değerlendirme
Temel İşlemler – Üslü, Köklü ve Cebirsel İfadeler
Soru 1
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a) $10^{-1} + 10^{-2}$
- $10^{-1} = \dfrac{1}{10}$, $10^{-2} = \dfrac{1}{100}$
- $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{100} = \dfrac{10}{100} + \dfrac{1}{100} = \dfrac{11}{100}$
b) $\dfrac{25^3 \cdot 5^{-2}}{125}$
- $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$, $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$, $125 = 5^3$
- $\dfrac{5^6 \cdot 5^{-2}}{5^3} = 5^{6-2-3} = 5^1 = 5$
c) $\dfrac{4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5}{2^{10} + 2^{10}}$
- $4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 = 4 \cdot 4^5 = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$
- $2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11}$
- $\dfrac{2^{12}}{2^{11}} = 2^{1} = 2$
d) $\sqrt{27} - 2\sqrt{12} + 5\sqrt{3}$
- $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
- $3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (3-4+5)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
e) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}$
- Kök dereceleri: 2 ve 3 → EKOK(2,3) = 6
- $\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$
- $\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}$
- $\sqrt[6]{27} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{27 \cdot 4} = \sqrt[6]{108}$
f) $(a + b)^2 - (a - b)^2$
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab$
Sayfa 180: Ön Değerlendirme (Soru 2)
Elektrik Faturası – Fonksiyon Modelleme
Soru 2
Bir evin elektrik faturası, sabit bir aylık ücret ve kullanılan elektrik miktarına bağlı olarak hesaplanmaktadır. Bu tarifede sabit aylık ücret 72 TL, birim elektrik fiyatı ise 4,5 TL/kWh'tir.
Buna göre
Çözüm
Verilenler:
- Sabit ücret: 72 TL
- Birim elektrik fiyatı: 4,5 TL/kWh
- x: kullanılan elektrik miktarı (kWh)
a) Fonksiyonun cebirsel ifadesi:
b) Fonksiyonun grafiği:
- Doğrusal fonksiyon (eğim = 4,5)
- x = 0 için f(0) = 72
- x = 20 için f(20) = 4,5·20 + 72 = 162
c) Tanım kümesi:
- \( D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\} = [0, +\infty) \)
ç) Görüntü kümesi:
- En küçük değer: f(0) = 72
- \( G_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 72\} = [72, +\infty) \)
d) Fonksiyonun pozitif olduğu bölgeler:
- f(x) = 4,5x + 72 > 0 → x > -16
- Tanım kümesi x ≥ 0 olduğu için tüm tanım kümesinde pozitiftir.
- Sonuç: f(x) ≥ 72 > 0, her x ≥ 0 için pozitiftir.
e) Fonksiyonun artanlığı-azalanlığı:
- \( f(x) = 4,5x + 72 \) doğrusal fonksiyon, eğim \( m = 4,5 > 0 \)
- Eğim pozitif olduğu için fonksiyon tüm tanım kümesinde artandır.
- \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) < f(x_2) \)'dir.
f) Maksimum-minimum değer:
- Tanım kümesi \( x \ge 0 \) olduğu için en küçük değer \( x=0 \)'da alınır.
- \( f(0) = 72 \) → minimum değer 72'dir.
- Fonksiyon artan olduğu için \( x \to \infty \)'a giderken \( f(x) \to \infty \)'a gider.
- Bu nedenle maksimum değer yoktur (sınırsız artar).
g) Fonksiyonun sıfırı:
- \( f(x) = 0 \) için: \( 4,5x + 72 = 0 \)
- \( 4,5x = -72 \) → \( x = -16 \)
- Tanım kümesi \( x \ge 0 \) olduğu için \( x = -16 \) tanım kümesinde değildir.
- Bu nedenle fonksiyonun tanım kümesinde sıfırı yoktur.
ğ) Fonksiyonun bire birliği:
- Doğrusal fonksiyon \( f(x) = mx + n \) (m ≠ 0) bire birdir.
- \( f(x_1) = f(x_2) \) → \( 4,5x_1 + 72 = 4,5x_2 + 72 \)
- \( 4,5x_1 = 4,5x_2 \) → \( x_1 = x_2 \)
- Bu nedenle fonksiyon bire birdir.
• Artandır (eğim > 0)
• Minimum: 72 (x=0'da), maksimum yok
• Sıfırı yoktur (x=-16 tanım kümesi dışında)
• Bire birdir
• \( f(x) = 4,5x + 72 \), \( x \ge 0 \) için her zaman pozitiftir.
Sayfa 180: Ön Değerlendirme (Soru 3)
Doğrusal Referans Fonksiyonunun Ötelenmesi
Soru 3
\( f(x) = x \) şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenmesi ile \( g \) fonksiyonunun grafiği elde edilmiştir. \( g \) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca 3 birim aşağıya ötelenmesi ile \( h \) fonksiyonunun grafiği oluşturulmuştur.
Buna göre g ve h fonksiyonlarının cebirsel ifadelerini yazıp grafiklerini çiziniz.
Çözüm
f(x) = x (Doğrusal Referans Fonksiyonu)
- Orijinden geçen, eğimi 1 olan doğru.
g(x): x ekseni boyunca 2 birim sağa öteleme
- Sağa öteleme: \( g(x) = f(x - 2) \)
- \( g(x) = x - 2 \)
h(x): y ekseni boyunca 3 birim aşağıya öteleme
- Aşağıya öteleme: \( h(x) = g(x) - 3 \)
- \( h(x) = (x - 2) - 3 = x - 5 \)
Cebirsel İfadeler:
Grafikler:
\( h(x) = x - 5 \) (y ekseninde aşağı 3)
Sayfa 180: Ön Değerlendirme (Soru 4)
Doğrusal Referans Fonksiyonuna Dönüşümler
Soru 4
Gerçek sayılarda tanımlı \( f(x) = x \) doğrusal referans fonksiyonuna göre \( g(x) = 2 \cdot f(x+1) + 4 \) şeklinde tanımlı \( g \) fonksiyonuna hangi dönüşümlerin uygulandığını bulunuz.
Dönüşümlerden faydalanarak g fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Verilenler:
- \( f(x) = x \) (doğrusal referans fonksiyonu)
- \( g(x) = 2 \cdot f(x+1) + 4 \)
Dönüşümlerin Sırası:
- 1. Adım: \( f(x+1) \) → x ekseninde 1 birim sola öteleme
- 2. Adım: \( 2 \cdot f(x+1) \) → y ekseninde 2 kat genişleme (dikey ölçekleme)
- 3. Adım: \( 2 \cdot f(x+1) + 4 \) → y ekseninde 4 birim yukarı öteleme
Cebirsel İfade:
- \( f(x+1) = x+1 \)
- \( g(x) = 2(x+1) + 4 = 2x + 2 + 4 = 2x + 6 \)
Grafik:
Dönüşüm sırası: Sola 1 → Dikey 2 kat → Yukarı 4