Sayfalara Git
Sayfa 306: Ölçme ve Değerlendirme
Fonksiyon Kavramı ve Nitel Özellikler
Soru 1: Elektrik Faturası
Sabit ücret: 75 TL, kWh başına: 12 TL.
a) Cebirsel temsil:
b) Grafik:
c) Fonksiyon olma şartı:
- Her \( x \) değerine tek bir \( f(x) \) karşılık gelir.
- Fonksiyondur.
Soru 2: Meteoroloji Balonu
Balonun süreye bağlı yükseklik grafiği.
- a) Fonksiyon mu? Evet, her süreye tek bir yükseklik karşılık gelir.
- b) Tanım kümesi: \( [0, 45] \) | Görüntü kümesi: \( [0, 600] \)
- c) Artan/Azalan: Azalan olduğu aralıklar: [20, 23] ve [28, 45]
Artan olduğu aralıklar: [0, 20] ve [23, 28] - ç) Maksimum Yükseklik: 600 m (t=28), Minimum: 0 m (t=45)
- d) Sıfırı: x = 45 (yükseklik 0)
- e) Bire bir mi? Birebir değildir.Gerekçe: Yatay doğru testi uygulandığında (örneğin $y = 450$ seviyesinden çizilen yatay bir doğru) grafik birden fazla noktada ($t = 20$ ve $t = 28$ civarı gibi) kesilir. Bu da farklı sürelerde balonun aynı yükseklikte bulunabildiğini gösterir.
Sayfa 307: Ölçme Değerlendirme
Karesel Fonksiyon Problemleri
3. Soru: Seramik Fabrikası
Kare fayans: maliyet = 3x², satış = 48x (çevre × 12).
- Fayans kenarı = x olsun. Alan = x², Çevre = 4x
- Maliyet = 3x², Satış = 12·4x = 48x
- Kâr = 48x - 3x² = -3x² + 48x
a) Kârın maksimum olduğu kenar uzunluğu:
- Tepe noktası: \( x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{48}{2(-3)} = \mathbf{8} \) birim
b) Maksimum kâr:
- Kâr(8) = -3·64 + 48·8 = -192 + 384 = 192 TL
c) Üretim ve satış maliyetleri:
- Maliyet: 3·8² = 3·64 = 192 TL
- Satış: 48·8 = 384 TL
4. Soru: Asma Köprü
Köprü merkezi orijin, ayaklar arası 160 m, yükseklik 200 m, en yakın mesafe 40 m.
a) Halatın cebirsel ifadesi:
- Parabolün tepe noktası: (0, 40)
- Ayak noktaları: (-80, 200) ve (80, 200)
- \( f(x) = a(x-0)^2 + 40 = ax^2 + 40 \)
- \( 200 = a·80^2 + 40 \) → \( 160 = 6400a \) → \( a = \dfrac{1}{40} \)
- \( f(x) = \dfrac{1}{40}x^2 + 40 \)
b) Teklik-Çiftlik Durumu:
- \( f(-x) = \dfrac{1}{40}(-x)^2 + 40 = \dfrac{1}{40}x^2 + 40 = f(x) \)
- Çift fonksiyondur. (y eksenine göre simetrik)
- Grafik y eksenine göre simetriktir.
5. Soru: Ev Planı
Dikdörtgen ev, çevre 40 m, mutfak uzun/kısa = 3, oturma odası kare.
Değişken Tanımları:
- Oturma odası kenarı: \( x \)
- Mutfak kısa kenarı: \( y_m = \dfrac{a}{3} \), uzun kenarı: \( a \)
- Yatak odası kısa kenarı: \( y_y = x - y_m \)
- Evin genişliği: \( x + a \), yüksekliği: \( x \)
Çevre Denklemi:
- \( 2[(x+a) + x] = 40 \) → \( 2x + a = 20 \) → \( a = 20 - 2x \)
Yatak Odası Alan Fonksiyonu:
- \( y_y = x - \dfrac{a}{3} = x - \dfrac{20-2x}{3} = \dfrac{5x-20}{3} \)
- \( A(x) = a \cdot y_y = (20-2x) \cdot \dfrac{5x-20}{3} \)
- \( A(x) = \dfrac{1}{3}(-10x^2 + 140x - 400) \)
a) Maksimum alan için oturma odası kenarı:
- Tepe noktası: \( x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{140}{2(-10)} = \mathbf{7\ m} \)
b) Maksimum yatak odası alanı:
- \( a = 20 - 2(7) = 6\ m \)
- \( y_y = \dfrac{5(7)-20}{3} = \dfrac{15}{3} = 5\ m \)
- \( A_{\text{maks}} = 6 \cdot 5 = \mathbf{30\ m^2} \)
a) Oturma odası kenarı: 7 m
b) Maksimum yatak odası alanı: 30 m²
Sayfa 308: Ölçme Değerlendirme (6-7)
Televizyon Ekranı ve Titreşim Frekansı Problemleri
6. Soru: Televizyon Ekranı
Kısa kenar 70 cm, uzun kenar √x cm, köşegen f(x).
a) Cebirsel temsil:
- Pisagor: \( f(x) = \sqrt{70^2 + (\sqrt{x})^2} = \sqrt{4900 + x} \)
- \( f(x) = \sqrt{x + 4900} \)
b) Grafik:
c) x = 576·10² için ekran büyüklüğü:
- \( x = 57600 \), \( f(x) = \sqrt{57600 + 4900} = \sqrt{62500} = 250 \) cm
- İnç: \( 250 / 2,54 \approx \mathbf{98,4 \text{ inç}} \)
7. Soru: Titreşim Frekansı
Frekans (f) = 1/Periyot (T).
a) Frekansın periyoda bağlı fonksiyonu:
- \( f(T) = \dfrac{1}{T} \) (Hertz, T saniye cinsinden)
b) Taş kırma makinesi (T = 0,002 sn.):
- \( f = \dfrac{1}{0,002} = \mathbf{500 \text{ Hz}} \)
- 440 Hz üzeri rahatsız edici kabul ediliyor.
- 500 Hz > 440 Hz → Rahatsız edicidir.
Sayfa 309: Ölçme Değerlendirme (8-10)
Güç, Yoğunluk ve Kutu Problemleri
8. Soru: Güç
W = 10 joule, P = 10/t.
a) f(t) = 10/t grafiği:
b) t ∈ [5, 50] için:
- Maksimum: t=5 → f(5) = 10/5 = 2 watt
- Minimum: t=50 → f(50) = 10/50 = 0,2 watt
- Görüntü kümesi: [0,2 , 2]
9. Soru: Yoğunluk
d = m/V, A: m=1, B: m=2, V_B = V_A + 1.
a) Yoğunluk fonksiyonları:
- A: \( d_A(V) = \dfrac{1}{V} \)
- B: \( V_B = V_A + 1 \), \( d_B(V) = \dfrac{2}{V+1} \)
b) Dönüşümler:
- \( d_A(V) = 1/V \) → \( d_B(V) = 2/(V+1) \)
- 1. Yatayda 1 birim sola öteleme (V → V+1)
- 2. Dikeyde 2 kat genişleme (×2)
c) Grafikler:
10. Soru: Kutu
40×60 cm karton, köşelerden x cm kare kesiliyor.
- Yan yüz alanı = 2x(40-2x) + 2x(60-2x) = 200x - 8x²
- Maksimum için tepe noktası: \( x = -\dfrac{200}{2(-8)} = \mathbf{12,5\ cm} \)