Sayfalara Git
Sayfa 264: Konuya Başlarken
İnç - Santimetre Dönüşümü ve Ters Fonksiyon
İnç - Santimetre Dönüşümü
Bir uzunluk ölçüsü olan inç (inch), birçok ülkede yaygın şekilde kullanılmaktadır. Dünya genelinde elektronik cihazların ekran boyut ölçülerinde, bisiklet tekerleği ölçüsünde, boru çapları vb. alanlarda kullanılmaktadır. 1 inç = 2,54 santimetredir ve çift tırnak sembolü (") ile gösterilir.
Televizyon ekranları köşegen uzunluklarının inç veya santimetre karşılığı cinsinden isimlendirilir. Örneğin bir televizyon ekranının köşegen uzunluğu 32" ise 32 inçlik ekran veya santimetre cinsinden karşılığı 81,28 cm yerine 81 cm'lik ekran şeklinde ifade edilir.
TV Ekranı ve Köşegen Uzunluğu
32 inç = 32 × 2,54 = 81,28 cm ≈ 81 cm
Tartışma Soruları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Bir TV ekranının köşegen uzunluğunu inç ve cm cinsinden birbirine dönüştüren cebirsel temsillerin doğrusal fonksiyon olup olmadığı hakkındaki görüşlerinizi paylaşınız.
- \( f(x) = 2,54x \) (inç → cm) doğrusal fonksiyondur.
- \( g(x) = x/2,54 \) (cm → inç) de doğrusal fonksiyondur.
- Her ikisi de doğrusal'dır.
İnç cinsinden verilen bir TV ekranının köşegen uzunluğunu santimetreye çeviren ifadenin cebirsel temsilinde bağımlı ve bağımsız değişkenler yer değiştirdiğinde oluşacak yeni cebirsel temsilin ifadesini paylaşınız.
- \( f(x) = 2,54x \) → inç bağımsız, cm bağımlı
- Değişkenler yer değiştirince: \( x = 2,54y \) → \( y = x/2,54 \)
- Bu, ters fonksiyon'dur.
Sayfa 264-267: 12. Uygulama
Doğrusal Referans Fonksiyonun ve Ters Fonksiyonlarının Bulunması
1. Soru Adımları ve Çözümleri
1. adım: Tablo 1'i Doldurma
\( f(x) = 2x + 4 \) fonksiyonunda verilen bağımsız değişken (x) değerlerini yerine koyarak bağımlı değişken (y) değerlerini bulalım:
- \( x = -1 \implies y = 2(-1) + 4 = 2 \)
- \( x = 0 \implies y = 2(0) + 4 = 4 \)
- \( x = 1 \implies y = 2(1) + 4 = 6 \)
- \( x = 2 \implies y = 2(2) + 4 = 8 \)
| Tablo 1: \( f(x) = 2x + 4 \) | ||||
|---|---|---|---|---|
| Bağımsız Değişken (x) | -1 | 0 | 1 | 2 |
| Bağımlı Değişken (y) | 2 | 4 | 6 | 8 |
3. ve 5. adım: Tablo 2'yi Doldurma ve Cebirsel Temsili
Tablo 1'deki bağımlı (y) ve bağımsız (x) değişkenlerin yer değiştirilmesiyle Tablo 2 elde edilir:
| Tablo 2 | Cebirsel Temsili | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Bağımsız Değişken (x) | 2 | 4 | 6 | 8 | \( f^{-1}(x) = \frac{x-4}{2} \) |
| Bağımlı Değişken (y) | -1 | 0 | 1 | 2 | |
a) Oluşan yeni fonksiyonun doğrusal fonksiyon olup olmadığı:
Oluşan yeni fonksiyon \( f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - 2 \) formundadır. Derecesi 1 olduğu ve eğimi sabit (\( \frac{1}{2} \)) olduğu için bir doğrusal fonksiyondur.
b) Verilen doğrusal fonksiyon ile oluşan yeni fonksiyonun ilişkisi:
- İki fonksiyon birbirinin tersidir.
- Grafikleri \( y = x \) (birinci açıortay) doğrusuna göre simetriktir.
- Fonksiyonların x ve y eksenlerini kestiği noktalar yer değiştirmiştir.
2. Soru: Tablonun Doldurulması
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) | Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) | Oluşan Yeni Fonksiyonun Cebirsel Temsili |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) = x \) | -1 | -1 | -1 | -1 | \( f^{-1}(x) = x \) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 2 | 2 | 2 | ||
| \( g(x) = 4x \) | -1 | -4 | -4 | -1 | \( g^{-1}(x) = \frac{x}{4} \) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 4 | 4 | 1 | ||
| 2 | 8 | 8 | 2 | ||
| \( h(x) = x - 2 \) | -1 | -3 | -3 | -1 | \( h^{-1}(x) = x + 2 \) |
| 0 | -2 | -2 | 0 | ||
| 1 | -1 | -1 | 1 | ||
| 2 | 0 | 0 | 2 | ||
| \( k(x) = 3x + 1 \) | -1 | -2 | -2 | -1 | \( k^{-1}(x) = \frac{x-1}{3} \) |
| 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 4 | 4 | 1 | ||
| 2 | 7 | 7 | 2 |
b) Genelleme:
Bir doğrusal fonksiyonun tersinin de bir fonksiyon belirtebilmesi için fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir. Eğimi \( a \neq 0 \) olan tüm \( f(x) = ax + b \) şeklindeki doğrusal fonksiyonlar \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) kümesinde bire bir ve örten olduğundan, tersleri de daima bir doğrusal fonksiyondur.
3-8. Soruların Yanıtları
3. Soru: Grafik ve Ters Cebirsel Temsiller
- \( f(x) = x \) → \( f^{-1}(x) = x \)
- \( g(x) = 4x \) → \( g^{-1}(x) = \frac{x}{4} \)
- \( h(x) = x - 2 \) → \( h^{-1}(x) = x + 2 \)
4. Soru:
Yapılan gözlemler sonucunda, bir doğrusal fonksiyonun tersinin grafiği ile kendisinin grafiğinin \( y = x \) (1. açıortay) doğrusuna göre simetrik olduğu doğrulanmıştır.
5. Soru (Matematiksel Doğrulama):
\( f(x) = ax + b \) (\( a \neq 0 \)) fonksiyonu verilsin.
1. \( y = ax + b \) ise \( x = \frac{y-b}{a} \).
2. Değişkenler yer değiştirir: \( f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a} \).
3. Bileşke kontrolü: \( (f \circ f^{-1})(x) = f(\frac{x-b}{a}) = a \cdot \frac{x-b}{a} + b = x - b + b = x = I(x) \).
6. Soru:
- \( g(x) = x - 4 \) → \( g^{-1}(x) = x + 4 \)
- \( h(x) = 3x \) → \( h^{-1}(x) = \frac{x}{3} \)
- \( k(x) = 2x + 1 \) → \( k^{-1}(x) = \frac{x-1}{2} \)
7. Soru:
Bir doğrusal fonksiyonun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriği alındığında elde edilen grafik, doğrudan o fonksiyonun tersinin grafiğidir.
8. Soru (Değerlendirme):
Tanım ve değer kümesi \( \mathbb{R} \) olan \( f(x) = ax + b \) (\( a \neq 0 \)) biçimindeki doğrusal fonksiyonlar bire bir ve örten oldukları için tersleri tanımlıdır ve ters fonksiyonları da yine doğrusal bir fonksiyondur. Grafiksel boyutta tanım kümesi (X) ile değer kümesinin (Y) yer değiştirmesi, koordinat düzleminde \( y = x \) doğrusuna göre eksenel simetri oluşturur.
Sayfa 269: 14. Sıra Sizde
Taksimetre – Doğrusal Fonksiyon ve Tersi
Taksimetre Problemi
Ticari taksilerde yolcunun gideceği mesafeye göre ödeyeceği ücreti hesaplayan cihaza taksimetre denir. Bir taksimetre çalıştırıldığında önceden belirlenmiş bir açılış ücretine ek olarak kilometre başına belli bir ücreti hesaplayarak yolcunun ödeyeceği ücreti belirler. Bir ticari takside taksimetre açılış ücreti 80 TL, kilometre başına ücret 25 TL olarak belirlenmiştir.
Çözüm
a) Ücret fonksiyonu (mesafeye göre):
x: kilometre, f(x): TL cinsinden ücret
b) Mesafe fonksiyonu (ücrete göre – ters fonksiyon):
- \( y = 25x + 80 \) → \( x = \frac{y-80}{25} \)
- Değişkenler yer değiştirir: \( f^{-1}(x) = \frac{x-80}{25} \)
x: TL cinsinden ücret, f⁻¹(x): kilometre
c) Grafik ilişkisi:
\( f(x) \) ve \( f^{-1}(x) \) grafikleri, \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.
d) Ücret 680 TL ile 1080 TL arasında ise mesafe aralığı:
- \( 680 \le 25x + 80 \le 1080 \)
- \( 600 \le 25x \le 1000 \)
- \( 24 \le x \le 40 \)
- Mesafe aralığı: \( [24, 40] \) km
- Tanım-Görüntü ilişkisi: f(x)'in görüntü kümesi \( [680, 1080] \), ters fonksiyonun tanım kümesi de aynı aralıktır.
Sayfa 269-272: 13. Uygulama
Rasyonel Referans Fonksiyonun ve Türetilen Fonksiyonların Tersleri
Soru 1: f: ℝ - {0} → ℝ, f(x) = 1/x
| Fonksiyon | x | y | x (yer değişmiş) | y (yer değişmiş) | Ters İlişki |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x)=\frac{1}{x} \) | -2 | -1/2 | -1/2 | -2 | \( x = \frac{1}{y} \) → Fonksiyon değil |
| -1 | -1 | -1 | -1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 1/2 | 1/2 | 2 |
- a) x ve y yer değiştirince \( y = \frac{1}{x} \) elde edilir. Ancak tanım kümesi ℝ olduğunda x=0 için tanımsızdır → Fonksiyon değildir.
- b) Değer kümesinde 0 elemanı boşta kaldığı için fonksiyon olma şartı bozulur.
Soru 2: f: ℝ - {0} → ℝ - {0}, f(x) = 1/x
| Fonksiyon | x | y | x (yer değişmiş) | y (yer değişmiş) | Ters Fonksiyon |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x)=\frac{1}{x} \) | -2 | -1/2 | -1/2 | -2 | \( f^{-1}(x)=\frac{1}{x} \) |
| -1 | -1 | -1 | -1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 1/2 | 1/2 | 2 |
- a) 0 çıkarıldığı için her elemanın tek karşılığı vardır → Fonksiyondur.
- b) Bire bir ve örten olduğu için tersi fonksiyondur.
Soru 3: Türetilmiş Rasyonel Fonksiyonlar
| Fonksiyon | x=-1 | x=0 | x=1 | x=2 | Ters Fonksiyon |
|---|---|---|---|---|---|
| \( g(x)=\frac{1}{x}+2 \) | y=1 → x=1, y=-1 | Tanımsız → x=Tanımsız, y=2 | y=3 → x=3, y=1 | y=5/2 → x=5/2, y=2 | \( g^{-1}(x)=\frac{1}{x-2} \), \( \mathbb{R}-\{2\} \to \mathbb{R}-\{0\} \) |
| \( h(x)=\frac{2}{x}-4 \) | y=-6 → x=-6, y=-1 | Tanımsız → x=Tanımsız, y=-4 | y=-2 → x=-2, y=1 | y=-3 → x=-3, y=2 | \( h^{-1}(x)=\frac{2}{x+4} \), \( \mathbb{R}-\{-4\} \to \mathbb{R}-\{0\} \) |
| \( k(x)=\frac{1}{x-4} \) | y=-1/5 → x=-1/5, y=-1 | y=-1/4 → x=-1/4, y=0 | y=-1/2 → x=-1/2, y=1 | y=-1/2 → x=-1/2, y=2 | \( k^{-1}(x)=\frac{1}{x}+4 \), \( \mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}-\{4\} \) |
| \( m(x)=\frac{1}{x+2}-1 \) | y=-3/2 → x=-3/2, y=-4 | y=-1/2 → x=-1/2, y=0 | y=0 → x=0, y=-1 | y=-3/4 → x=-3/4, y=2 | \( m^{-1}(x)=\frac{1}{x+1}-2 \), \( \mathbb{R}-\{-1\} \to \mathbb{R}-\{-2\} \) |
Soru 4 & 6: Ters Fonksiyon Tabloları
| Fonksiyon | Tanım ve Değer Kümesi | Ters Fonksiyon | Tersin Tanım ve Değer Kümesi | Grafik Temsili |
|---|---|---|---|---|
| \( h(x)=\frac{1}{x+1} \) | \( \mathbb{R}-\{-1\} \to \mathbb{R}-\{0\} \) | \( h^{-1}(x)=\frac{1}{x}-1 \) | \( \mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}-\{-1\} \) |
.png)
|
| \( k(x)=\frac{1}{x-2}-1 \) | \( \mathbb{R}-\{2\} \to \mathbb{R}-\{-1\} \) | \( k^{-1}(x)=\frac{1}{x+1}+2 \) | \( \mathbb{R}-\{-1\} \to \mathbb{R}-\{2\} \) |
.png)
|
Soru 5: Önerme / Matematiksel Doğrulama
Teorem:
\( f: A \to B \) olmak üzere \( f(x) \) fonksiyonunun \( f^{-1}: B \to A \) ters fonksiyonunun var olması için gerek ve yeter şart \( f \)'nin bire bir (injective) ve örten (surjective) olmasıdır.
\( f(x)=\frac{a}{x-h}+k \) şeklinde tanımlı bir rasyonel fonksiyon için:
- Paydayı 0 yapan \( x=h \) değeri tanım kümesinden çıkarılır: \( A = \mathbb{R}-\{h\} \)
- Fonksiyonun hiçbir zaman alamayacağı \( y=k \) değeri değer kümesinden çıkarılır: \( B = \mathbb{R}-\{k\} \)
Soru 7: Değerlendirme Raporu
- Tanım-Değer Kümesi: \( f \)'nin tanım kümesi \( f^{-1} \)'in değer kümesine, \( f \)'nin değer kümesi \( f^{-1} \)'in tanım kümesine eşittir.
- Artanlık-Azalanlık: Fonksiyon ve tersi aynı aralıklarda monotonluk korur. Rasyonel fonksiyonlar tanımlı oldukları aralıklarda azalandır.
- Maksimum-Minimum: Rasyonel referans fonksiyonların yerel veya mutlak maksimum/minimum noktaları yoktur (asimptotlara doğru sonsuza gider).
- Simetri: \( f(x) \) ve \( f^{-1}(x) \) grafikleri \( y=x \) doğrusuna göre simetriktir. Dikey asimptot \( x=a \) ise tersinin yatay asimptotu \( y=a \) olur.
Sayfa 273: 15. Sıra Sizde
Rasyonel Fonksiyonların Tersleri ve Tanım-Görüntü Kümeleri
Rasyonel Fonksiyonların Tersleri
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tersinin Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tanım Kümesi | Fonksiyonun Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|
| \( f(x) = \frac{1}{x} - 6 \) | \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x+6} \) | \( \mathbb{R} - \{0\} \) | \( \mathbb{R} - \{-6\} \) |
| \( g(x) = \frac{1}{x+8} \) | \( g^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 8 \) | \( \mathbb{R} - \{-8\} \) | \( \mathbb{R} - \{0\} \) |
| \( h(x) = \frac{2}{x-5} - 4 \) | \( h^{-1}(x) = \frac{2}{x+4} + 5 \) | \( \mathbb{R} - \{5\} \) | \( \mathbb{R} - \{-4\} \) |
Çözüm Detayları:
- f(x) = 1/x - 6: y = 1/x - 6 → y+6 = 1/x → x = 1/(y+6) → f⁻¹(x) = 1/(x+6)
- g(x) = 1/(x+8): y = 1/(x+8) → x+8 = 1/y → x = 1/y - 8 → g⁻¹(x) = 1/x - 8
- h(x) = 2/(x-5) - 4: y = 2/(x-5) - 4 → y+4 = 2/(x-5) → x-5 = 2/(y+4) → x = 2/(y+4) + 5 → h⁻¹(x) = 2/(x+4) + 5
Sayfa 273: 14. Uygulama
Karesel Referans Fonksiyonun ve Türetilen Fonksiyonların Tersleri
1. Soru: f(x) = x²
| Fonksiyon | x | y | x (yer değişmiş) | y (yer değişmiş) | Yeni Fonksiyon |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x)=x^2 \) | -1 | 1 | 1 | {-1, 1} | Fonksiyon değil |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | {-1, 1} | ||
| 2 | 4 | 4 | {-2, 2} |
- a) x=1 için y=-1 ve y=1 olmak üzere iki değer → Fonksiyon değil
- b) \( f(x)=x^2 \) bire bir değildir (f(-1)=f(1)=1). Tersin fonksiyon olması için bire bir ve örten olmalıdır.
2. Soru: f: [0, ∞) → [0, ∞)
| Fonksiyon | x | y | x (yer değişmiş) | y (yer değişmiş) | Ters Fonksiyon |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x)=x^2 \) | 0 | 0 | 0 | 0 | \( f^{-1}(x)=\sqrt{x} \) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 4 | 4 | 2 | ||
| 3 | 9 | 9 | 3 |
- a) Tanım kümesi [0,∞) kısıtlandığında bire bir olur → Fonksiyondur
- b) Karesel fonksiyonun tersi için tanım kümesi tepe noktasına göre ikiye bölünmelidir.
3. Soru: Türetilmiş Karesel Fonksiyonlar
| Fonksiyon | x=-1 | x=0 | x=1 | x=2 | Ters Fonksiyon (kısıtlı) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( g(x)=x^2-4 \) | y=-3 → x=-3, y={-1,1} | y=-4 → x=-4, y=0 | y=-3 → x=-3, y={-1,1} | y=0 → x=0, y={-2,2} | \( [0,\infty) \to [-4,\infty) \) : \( g^{-1}(x)=\sqrt{x+4} \) \( (-\infty,0] \to [-4,\infty) \) : \( g^{-1}(x)=-\sqrt{x+4} \) |
| \( h(x)=(x-3)^2 \) | y=16 → x=16, y={-1,7} | y=9 → x=9, y={0,6} | y=4 → x=4, y={1,5} | y=1 → x=1, y={2,4} | \( [3,\infty) \to [0,\infty) \) : \( h^{-1}(x)=\sqrt{x}+3 \) \( (-\infty,3] \to [0,\infty) \) : \( h^{-1}(x)=-\sqrt{x}+3 \) |
| \( k(x)=(x+2)^2+1 \) | y=2 → x=2, y={-1,-3} | y=5 → x=5, y={0,-4} | y=10 → x=10, y={1,-5} | y=17 → x=17, y={2,-6} | \( [-2,\infty) \to [1,\infty) \) : \( k^{-1}(x)=\sqrt{x-1}-2 \) \( (-\infty,-2] \to [1,\infty) \) : \( k^{-1}(x)=-\sqrt{x-1}-2 \) |
| \( m(x)=4(x-1)^2+2 \) | y=18 → x=18, y={-1,3} | y=6 → x=6, y={0,2} | y=2 → x=2, y=1 | y=6 → x=6, y={2,0} | \( [1,\infty) \to [2,\infty) \) : \( m^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x-2}{4}}+1 \) \( (-\infty,1] \to [2,\infty) \) : \( m^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{x-2}{4}}+1 \) |
\( [r,\infty) \) için: \( f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x-k}{a}}+r \)
\( (-\infty,r] \) için: \( f^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{x-k}{a}}+r \)
4. Soru: Grafik ve Ters Temsiller
| Fonksiyon | Ters Fonksiyon | Grafik Açıklaması |
|---|---|---|
| \( g(x)=x^2-4 \) | \( g^{-1}(x)=\sqrt{x+4} \) (sağ kol) \( g^{-1}(x)=-\sqrt{x+4} \) (sol kol) |
Tepe noktası (0,-4), sağ kol \( [0,\infty) \), sol kol \( (-\infty,0] \) |
| \( h(x)=(x-3)^2 \) | \( h^{-1}(x)=\sqrt{x}+3 \) (sağ kol) \( h^{-1}(x)=-\sqrt{x}+3 \) (sol kol) |
.png)
Tepe noktası (3,0), sağ kol \( [3,\infty) \), sol kol \( (-\infty,3] \) |
| \( k(x)=(x+2)^2+1 \) | \( k^{-1}(x)=\sqrt{x-1}-2 \) (sağ kol) \( k^{-1}(x)=-\sqrt{x-1}-2 \) (sol kol) |
Tepe noktası (-2,1), sağ kol \( [-2,\infty) \), sol kol \( (-\infty,-2] \) |
5. Soru: Matematiksel Doğrulama
Teorem:
\( f: A \to B, f(x)=a(x-r)^2+k \) karesel fonksiyonunun \( f^{-1}: B \to A \) ters fonksiyonunun var olması için \( f \)'nin \( A \) tanım kümesinde bire bir ve örten olması şarttır.
- \( x_1,x_2 \in A \) için \( f(x_1)=f(x_2) \implies (x_1-r)^2=(x_2-r)^2 \)
- \( |x_1-r|=|x_2-r| \) → aynı işaretli olmalı → \( x_1=x_2 \)
- Tanım kümesi \( [r,\infty) \) veya \( (-\infty,r] \) kısıtlanmalıdır.
6. Soru: Tablo Tamamlama
| Fonksiyon | Tanım ve Değer Kümesi | Ters Fonksiyon |
|---|---|---|
.png)
\( h(x)=9x^2 \) |
\( h: (-\infty,0] \to [0,\infty) \) | \( h^{-1}(x)=-\frac{\sqrt{x}}{3} \) |
.png)
\( k(x)=(x-4)^2 \) |
\( k: [4,\infty) \to [0,\infty) \) | \( k^{-1}(x)=\sqrt{x}+4 \) |
- Simetri: Karesel fonksiyon ile tersinin grafiği \( y=x \) doğrusuna göre simetriktir.
- \( (a,b) \) noktası \( (b,a) \) noktasına dönüşür.
7. Soru: Değerlendirme Raporu
- Tanım-Değer Kümesi: \( f \)'nin tanım kümesi \( f^{-1} \)'in değer kümesi; \( f \)'nin değer kümesi \( f^{-1} \)'in tanım kümesidir.
- Artanlık-Azalanlık: \( [r,\infty) \) aralığında artan ise tersi de artandır. \( (-\infty,r] \) aralığında azalan ise tersi de azalandır.
- Maksimum-Minimum: Tepe noktası \( (r,k) \) → tersin başlangıç noktası \( (k,r) \) olur.
- Simetri: Grafikler \( y=x \) doğrusuna göre simetriktir. Simetri ekseni \( x=r \) → tersinde \( y=r \) yatay doğrusu olur.
Sayfa 278: 16. Sıra Sizde
Uçurtma Yüksekliği – Karesel Fonksiyon ve Tersi
Uçurtma Problemi
Bir uçurtmanın t saniyede ulaştığı yerden yüksekliği (m), \( h(t) = t^2 + 2t \) ile modellenmiştir.
Çözüm
a) Cebirsel temsil (ters fonksiyon):
- \( h(t) = t^2 + 2t \)
- \( h(t) = (t+1)^2 - 1 \) (tepe noktasına göre düzenleme)
- \( h + 1 = (t+1)^2 \)
- \( t = \sqrt{h+1} - 1 \) (t ≥ 0 için)
- Ters fonksiyon: \( t(h) = \sqrt{h+1} - 1 \)
b) h(t) ile ilişkisi:
- \( h(t) = t^2 + 2t \) karesel bir fonksiyondur (parabol).
- t ≥ 0 için bire bir ve artandır.
- Tersi \( t(h) = \sqrt{h+1} - 1 \) karekök fonksiyonudur.
- Bu iki fonksiyon birbirinin tersidir.
c) Grafik (440 m yüksekliğe kadar):
- \( 440 = t^2 + 2t \) → \( t^2 + 2t - 440 = 0 \)
- \( t = \frac{-2 \pm \sqrt{4+1760}}{2} = \frac{-2 \pm 42}{2} \)
- Pozitif kök: \( t = 20 \) saniye
d) Tanım-Görüntü Kümesi ve Özellikler:
- Görüntü kümesi: [0, 440)
- Tanım kümesi: [0, 20)
- Artanlık: [0,20] aralığında daimaartan'dır.
- Bire birlik: t ≥ 0 için bire birdir (her yüksekliğe tek bir zaman değeri).
Sayfa 278-280: 15. Uygulama
Karekök Referans Fonksiyonunun ve Türetilen Fonksiyonların Tersleri
1. Soru Çözümü
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) | Bağımsız Değişken (x) | Bağımlı Değişken (y) | Oluşan Yeni Fonksiyonun Cebirsel Temsili |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = √x | 0 | 0 | 0 | 0 | f⁻¹(x) = x² (x ≥ 0, y ≥ 0) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 4 | 2 | 2 | 4 | ||
| 9 | 3 | 3 | 9 |
a) Görüş / Değerlendirme:
- Değişkenler yer değiştirdiğinde elde edilen yeni bağıntı (y = x², x ≥ 0) bir fonksiyondur.
- Tanım kümesindeki her eleman tek bir elemana eşlenir.
b) Varsayım:
- Karekök fonksiyonunun tersinin fonksiyon olması için orijinal fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır.
- Tanım ve değer kümeleri yer değiştirmelidir.
2. Soru Çözümü
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | x | y | x | y | Farklı Tanım ve Değer Kümesine Göre Oluşan Yeni Fonksiyonun Cebirsel Temsili |
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) = √x + 4 | 0 | 4 | 4 | 0 |
g: ℝ → ℝ → Fonksiyon değildir. g: [0, ∞) → [4, ∞) → g⁻¹(x) = (x-4)² |
| 1 | 5 | 5 | 1 | ||
| 4 | 6 | 6 | 4 | ||
| 9 | 7 | 7 | 9 | ||
| h(x) = √(x-2) | 0 | Tanımsız | — | — |
h: ℝ → ℝ → Fonksiyon değildir. h: [2, ∞) → [0, ∞) → h⁻¹(x) = x² + 2 |
| 2 | 0 | 0 | 2 | ||
| 6 | 2 | 2 | 6 | ||
| 11 | 3 | 3 | 11 | ||
| k(x) = √(x+3) - 1 | -3 | -1 | -1 | -3 |
k: ℝ → ℝ → Fonksiyon değildir. k: [-3, ∞) → [-1, ∞) → k⁻¹(x) = (x+1)² - 3 |
| -2 | 0 | 0 | -2 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 6 | 2 | 2 | 6 |
3. Soru Çözümü
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tersinin Cebirsel Temsili | Fonksiyonun ve Tersinin Grafik Temsili (Açıklamalı) |
|---|---|---|
| g(x) = √x - 1 g: [0, ∞) → [-1, ∞) |
g⁻¹(x) = (x+1)² [-1, ∞) → [0, ∞) |
(0,-1)'den başlayan karekök eğrisi, tersi (-1,0)'dan başlayan parabol |
| h(x) = √(x+8) h: [-8, ∞) → [0, ∞) |
h⁻¹(x) = x² - 8 [0, ∞) → [-8, ∞) |
.png)
|
| k(x) = 4√(x-2) k: [2, ∞) → [0, ∞) |
k⁻¹(x) = (x/4)² + 2 [0, ∞) → [2, ∞) |
.png)
|
4. Soru Çözümü
\( A = [r, \infty), \quad B = [k, \infty) \)
\( f^{-1}(x) = \left(\dfrac{x-k}{a}\right)^2 + r, \quad x \ge k \)
Matematiksel Doğrulama:
- 1. Tanımlılık: x ≥ r olmalıdır (kök içi negatif olmaz).
- 2. Bire Birlik: f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂ (a > 0).
- 3. Örtenlik: f(x) ≥ k olduğu için B = [k, ∞) kısıtlanır.
- 4. Ters Fonksiyon: Bire bir ve örten olduğu için tersi fonksiyondur.
5. Grafiklerle Ters Fonksiyon İlişkisi
Matematik yazılımları ile grafik çizimi ve y=x doğrusuna göre simetri.
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tersinin Cebirsel Temsili | Fonksiyonun ve Tersinin Grafik Temsili |
|---|---|---|
| g(x) = √x + 4 g: [0, ∞) → [4, ∞) |
g⁻¹(x) = (x-4)² g⁻¹: [4, ∞) → [0, ∞) |
.png)
|
| h(x) = √(x-2) h: [2, ∞) → [0, ∞) |
h⁻¹(x) = x² + 2 h⁻¹: [0, ∞) → [2, ∞) |
.png)
|
| k(x) = 2√(x+1) k: [-1, ∞) → [0, ∞) |
k⁻¹(x) = (x/2)² - 1 k⁻¹: [0, ∞) → [-1, ∞) |
.png)
|
6. Önerme Değerlendirmesi
| Özellik | f(x) = √(x-r) + k (a>0) | f⁻¹(x) = ((x-k)/a)² + r |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | [r, ∞) | [k, ∞) |
| Görüntü Kümesi | [k, ∞) | [r, ∞) |
| Artan/Azalan | Artan (a>0) | Artan |
| Maksimum | Yok | Yok |
| Minimum | (r, k) | (k, r) |
| Simetri | Grafikler y = x doğrusuna göre simetriktir | |
Sayfa 282: 17. Sıra Sizde
Karekök Fonksiyonlarının Tersleri – Tanım ve Değer Kümeleri
17. Sıra Sizde
Aşağıdaki tabloda verilen fonksiyonların tersinin cebirsel temsilini, fonksiyonun tersinin fonksiyon olmasını sağlayan tanım ve değer kümelerini bularak tablodaki uygun alanları doldurunuz.
Çözüm
| Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tersinin Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tanım Kümesi | Fonksiyonun Değer Kümesi |
|---|---|---|---|
| f(x) = √x - 16 |
f⁻¹(x) = (x + 16)²
x ≥ -16 |
[0, ∞)
(kök içi negatif olmaz) |
[-16, ∞)
(f(0) = -16) |
| g(x) = √x - 4 |
g⁻¹(x) = (x + 4)²
x ≥ -4 |
[4, ∞)
(kök içi negatif olmaz) |
[0, ∞)
(g(0) = -4) |
| k(x) = √(x+5) - 3 |
k⁻¹(x) = (x + 3)² - 5
x ≥ -3 |
[-5, ∞)
(x+5 ≥ 0) |
[-3, ∞)
(k(-5) = -3) |
Sayfa 283: Alıştırmalar
Ters Fonksiyon Problemleri
1. Alıştırma
Elektronik cihaz garanti süresi uzatma.
a) Garanti süresi uzatılmış fiyat:
- \( f(x) = x + 50 \), \( 250 \le x \le 750 \)
- Tanım: [250, 750] | Görüntü: [300, 800]
b) İlk fiyatı garanti süresi uzatılmış fiyata bağlı:
- \( f^{-1}(x) = x - 50 \), \( 300 \le x \le 800 \)
- Tanım: [300, 800] | Görüntü: [250, 750]
c) Grafik ilişkisi:
- İki fonksiyon y = x doğrusuna göre simetriktir.
- Birbirlerinin tersidir.
2. Alıştırma
Ters fonksiyon tanım ve değer kümeleri.
| Tanım ve Değer Kümeleri | Fonksiyonun Cebirsel Temsili | Fonksiyonun Tersinin Cebirsel Temsili | a ve b Değeri |
|---|---|---|---|
| f: ℝ - {a} → ℝ - {b} | f(x) = 4/(x-7) + 2 | f⁻¹(x) = 4/(x-2) + 7 | a = 7, b = 2 |
| g: [-5, ∞) → [b, ∞) | g(x) = (x+5)² - 1 | g⁻¹(x) = √(x+1) - 5 | b = -1 |
| h: [a, ∞) → [b, ∞) | h(x) = √(x-6) + 4 | h⁻¹(x) = (x-4)² + 6 | a = 6, b = 4 |
3. Alıştırma
Ters fonksiyon grafikleri.
a) f(x) = (x+3)² - 2
- f: [-3, ∞) → [-2, ∞)
- f⁻¹(x) = √(x+2) - 3
- Grafik: (-3,-2)'den başlayan parabol, tersi √(x+2)-3
b) g(x) = √(x+3) - 1
- g: [-3, ∞) → [-1, ∞)
- g⁻¹(x) = (x+1)² - 3
- Grafik: (-3,-1)'den başlayan √ eğrisi, tersi (x+1)²-3
4. Alıştırma
g(x) = 1/x + 8 rasyonel fonksiyonunun tersi.
- g(x) = 1/x + 8 → g: ℝ - {0} → ℝ - {8}
- Tersi: g⁻¹(x) = 1/(x-8)
- Görüntü kümesi: ℝ - {0}
- Artan/Azalan: Her iki aralıkta da azalan
- Maksimum/Minimum: Yok