Sayfalara Git
Sayfa 224: Konuya Başlarken
Bir Şirketin Haftalık Kazanç–Kâr İlişkisi – Karekök Modeli
Kampanya ve Kâr İlişkisi
Bir şirket satışlarını artırmak için ürünlerinde farklı kampanyalar düzenlemiş, bu kampanyaları hazırladığı reklamlarla halka duyurmuştur. Bir haftalık kampanya sonunda şirketin sürekli kâr elde ettiği saptanmış; ancak satılan ürün sayısı arttıkça reklam masrafları ve diğer masraflar da arttığından kâr oranının değiştiği gözlenmiştir.
x: Türk lirası cinsinden günlük satıştan elde edilen kazanç
f(x): Türk lirası cinsinden x kazancından elde edilen günlük kâr
olmak üzere şirketin bir haftalık kazancı ve bu kazanca bağlı olarak elde ettiği kâr arasındaki ilişki aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Haftalık Kazanç (x) – Kâr (f(x)) Tablosu
| Pazartesi | Salı | Çarşamba | Perşembe | Cuma | Cumartesi | Pazar | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 10 000 | 40 000 | 90 000 | 160 000 | 250 000 | 360 000 | 490 000 |
| f(x) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
Kazanç–Kâr Noktalarının Grafiği
Noktalar \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği üzerindedir; eğri orijinden başlar ve giderek yavaşlayan bir hızla artar.
1. Soru
Şirketin günlük kazancı ile kârı arasında doğrusal bir ilişki olup olmadığını tartışınız.
- Doğrusal ilişki testi: Doğrusal bir ilişkide \( x \) sabit bir miktar arttığında \( f(x) \) de sabit bir miktar (veya sabit bir oranda) artmalıdır: \( f(x) = mx + n \) formunda olmalıdır.
- Pazartesi'den Salı'ya \( x \) değeri 4 katına çıkarken (10 000 → 40 000), \( f(x) \) yalnızca 2 katına çıkmıştır (100 → 200).
- Çarşamba'dan Perşembe'ye \( x \) yaklaşık 1,78 katına çıkarken (90 000 → 160 000), \( f(x) \) yalnızca 1,33 katına çıkmıştır (300 → 400).
- Artış oranları sabit olmadığından ve noktalar bir doğru üzerinde yer almadığından (grafikte görüldüğü gibi eğri, artış hızı giderek azalan içbükey bir yapıya sahiptir) bu ilişki doğrusal değildir.
2. Soru
x ile f(x) niceliklerini karşılaştırarak f fonksiyonunun cebirsel ifadesini bulunuz. Bu fonksiyonun nasıl tanımlanabileceğini ve nitel özelliklerinin neler olabileceğini tartışınız.
Cebirsel ifadenin bulunması:
- \( \sqrt{10\,000} = 100 \), \( \sqrt{40\,000} = 200 \), \( \sqrt{90\,000} = 300 \), \( \sqrt{160\,000} = 400 \)
- \( \sqrt{250\,000} = 500 \), \( \sqrt{360\,000} = 600 \), \( \sqrt{490\,000} = 700 \)
- Her bir gün için \( f(x) = \sqrt{x} \) eşitliği sağlanmaktadır.
Nasıl tanımlanabilir?
\( f(x) = \sqrt{x} \) şeklinde, karekök fonksiyonu olarak tanımlanır. Gerçek sayılarda karekök ifadesinin tanımlı olabilmesi için kök içindeki değerin negatif olmaması gerekir; ayrıca burada x bir kazanç miktarı olduğundan zaten negatif olamaz.
Tanım Kümesi:
\( [0, +\infty) \) — negatif kazanç söz konusu olmadığından ve karekök negatif sayılarda gerçek sayı değeri vermediğinden.
Görüntü Kümesi:
\( [0, +\infty) \) — karekök hiçbir zaman negatif bir değer üretmez.
Sıfırı:
\( x = 0 \) noktasında \( f(0) = 0 \) (tek sıfır).
İşareti:
\( x = 0 \) için sıfır, \( x > 0 \) için pozitiftir. Tanım kümesinde hiçbir zaman negatif değer almaz.
Artan/Azalan:
Tanım kümesinin tamamında (\( [0,+\infty) \)) artandır; ancak artış hızı x büyüdükçe giderek yavaşlar.
Maksimum/Minimum:
Minimum: 0 (x=0'da)
Maksimum: Yok (sınırsız artar, ancak yavaşlayarak)
Bire bir mi?
Evet — tanım kümesindeki farklı her x değeri farklı bir f(x) değeri verir (fonksiyon kesin artan olduğundan).
Tek/Çift mi?
Tanım kümesi \( [0,+\infty) \) orijine göre simetrik olmadığından (negatif x değerleri tanımsız), fonksiyon ne tektir ne de çifttir.
Sayfa 224-225: 8. Uygulama
f(x) = √x Kareköklü Referans Fonksiyonu
1. Tablo Doldurma
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 9 | 16 | 25 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = f(x) = √x | 0 | 1 | √2 | √3 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
2. Grafik Çizimi
3. Nitel Özellikler
a) Tanım Kümesi:
\( [0, \infty) \)
b) Görüntü Kümesi:
\( [0, \infty) \)
c) Sıfırı:
\( x = 0 \)
d) İşareti:
\( x > 0 \) için pozitif, \( x = 0 \) için sıfır
e) Artan/Azalan:
Artan: \( [0, \infty) \) (tüm tanım kümesinde artan)
f) Maksimum/Minimum:
Minimum: 0 (x=0'da)
Maksimum: Yok (sınırsız artar)
g) Bire bir mi?
Evet (artan fonksiyon)
h) Örten mi?
Evet (görüntü kümesi = [0,∞))
i) Tek/Çift Fonksiyon:
- Ne tek ne çift
- Tanım kümesi \( [0, \infty) \) olduğu için simetri yoktur.
- \( f(-x) \) tanımlı değildir (negatif sayılar için).
Sayfa 227: 9. Sıra Sizde
f: [0,5] → ℝ, f(x) = √x Fonksiyonunun Nitel Özellikleri
9. Sıra Sizde
f: \([0, 5] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\) şeklinde tanımlı karekök fonksiyonu veriliyor.
Çözüm
a) Tanım ve Görüntü Kümesi:
- Tanım Kümesi: \( [0, 5] \) (verilmiş)
- Görüntü Kümesi: \( [0, \sqrt{5}] \) (f(0)=0, f(5)=√5)
b) Grafik:
c) Bire bir ve Örtenlik:
- Bire bir: Evet (artan fonksiyon)
- Örten: Evet (görüntü kümesi = [0,√5])
ç) Artan-Azalan:
- Artan: \( [0, 5] \) aralığında artan
- Azalan olduğu aralık yoktur.
d) Maksimum-Minimum:
- Minimum: 0 (x=0 noktasında)
- Maksimum: \( \sqrt{5} \) (x=5 noktasında)
Sayfa 227-238: 9. Uygulama
Kareköklü Fonksiyonlarda Dönüşümler
Tablo 1: r = 0, k = 0 iken a Sürgüsündeki Değişim
| Fonksiyon | a Değeri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşümü |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | -1 | h(x) = -√x | -1 ile çarpma | x eksenine göre yansıma |
| m(x) | 2 | m(x) = 2√x | 2 ile çarpma | 2 kat dikey daralma |
| n(x) | 4 | n(x) = 4√x | 4 ile çarpma | 4 kat dikey daralma |
| s(x) | -3 | s(x) = -3√x | -3 ile çarpma | x eksenine göre yansıma + 3 kat dikey daralma |
Tablo 2: k = 0 iken a ve r Sürgülerindeki Değişim
| Fonksiyon | a, r Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşümü |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1/2, r=2 | h(x) = ½·√(x+2) | x'e 2 ekleme, ½ ile çarpma | 2 birim sola öteleme, ½ kat dikey daralma |
| m(x) | a=1, r=-3 | m(x) = √(x-3) | x'ten 3 çıkarma | 3 birim sağa öteleme |
| n(x) | a=2, r=3 | n(x) = 2·√(x+3) | x'e 3 ekleme, 2 ile çarpma | 3 birim sola öteleme, 2 kat dikey daralma |
| s(x) | a=-2, r=-3 | s(x) = -2·√(x-3) | x'ten 3 çıkarma, -2 ile çarpma | 3 birim sağa öteleme, x eksenine yansıma, 2 kat dikey daralma |
Tablo 3: r = 0 iken a ve k Sürgülerindeki Değişim
| Fonksiyon | a, k Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşümü |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1, k=2 | h(x) = √x + 2 | kareköküne 2 ekleme | 2 birim yukarı öteleme |
| m(x) | a=1, k=-1 | m(x) = √x - 1 | karekökünden 1 çıkarma | 1 birim aşağı öteleme |
| n(x) | a=4, k=3 | n(x) = 4√x + 3 | 4 ile çarpma, 3 ekleme | 4 kat dikey daralma, 3 birim yukarı öteleme |
| s(x) | a=-2, k=-2 | s(x) = -2√x - 2 | -2 ile çarpma, 2 çıkarma | x eksenine yansıma, 2 kat dikey daralma, 2 birim aşağı öteleme |
Tablo 4: a, r ve k Sürgülerindeki Değişim
| Fonksiyon | a, r, k Değerleri | Cebirsel Temsil | Cebirsel İşlem | Grafik Dönüşümü |
|---|---|---|---|---|
| h(x) | a=1, r=1, k=3 | h(x) = √(x+1) + 3 | x'e 1 ekleme, kareköküne 3 ekleme | 1 birim sola öteleme, 3 birim yukarı öteleme |
| m(x) | a=1, r=-2, k=-1 | m(x) = √(x-2) - 1 | x'ten 2 çıkarma, karekökünden 1 çıkarma | 2 birim sağa öteleme, 1 birim aşağı öteleme |
| n(x) | a=2, r=3, k=-4 | n(x) = 2√(x+3) - 4 | x'e 3 ekleme, 2 ile çarpma, 4 çıkarma | 3 birim sola öteleme, 2 kat dikey daralma, 4 birim aşağı öteleme |
| s(x) | a=-1, r=-1, k=1 | s(x) = -√(x-1) + 1 | x'ten 1 çıkarma, -1 ile çarpma, 1 ekleme | 1 birim sağa öteleme, x eksenine yansıma, 1 birim yukarı öteleme |
2. Soru: Dönüşüm Tablosu
Kareköklü referans fonksiyonuna uygulanan dönüşümlerle elde edilen fonksiyonlar.
| Karekök Referans Fonksiyonunun Grafiğine Uygulanan Dönüşümler | Cebirsel Temsili | Grafik Temsili |
|---|---|---|
| 3 kat dikey daralma | g(x) = 3√x |
.png)
|
| x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme | k(x) = -√(x+4) |
.png)
|
| x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim, y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme | m(x) = √(x-2) + 3 |
.png)
|
| 3 kat dikey daralma, x eksenine göre yansıma, x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim ve y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim öteleme | n(x) = -3√(x-2) + 1 |
.png)
|
3. Soru: Varsayımların Tabloya Yazılması
| Nitel Özellikler | a > 0 Varsayımı | a < 0 Varsayımı |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | x + r ≥ 0 → [-r, ∞) | x + r ≥ 0 → [-r, ∞) |
| Görüntü Kümesi | [k, ∞) | (-∞, k] |
| İşareti | Daima pozitif (a > 0, k > 0) | Kök noktasında sıfır, solunda pozitif, sağında negatif |
| Artanlığı-Azalanlığı | Daima Artan | Daima Azalan |
| Maksimum-Minimum | Min: (-r, k), Max yok | Max: (-r, k), Min yok |
4. Soru: Fonksiyonların Nitel Özellikleri
m(x) = -2·√(x-2)
.png)
n(x) = 3·√(x-1) + 2
.png)
m(x) = -3·√(x+2)
_2.png)
n(x) = 3·√(x-1) - 2
_2.png)
5. Soru: Grafik Çizimi ve Nitel Özellikler
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi | İşareti | Artan/Azalan | Max/Min |
|---|---|---|---|---|---|
| h(x) = 4√x | [0, ∞) | [0, ∞) | 0'da sıfır, x>0 pozitif | Artan | Min (0,0) |
| m(x) = -3√(x+2) | [-2, ∞) | (-∞, 0] | -2'de sıfır, x>-2 negatif | Azalan | Max (-2,0) |
| n(x) = 3√(x-1) - 2 | [1, ∞) | [-2, ∞) | Kök: x=13/9 | Artan | Min (1,-2) |
6. Soru: Karşılaştırma ve Değerlendirme
- El ile çizim ve dinamik yazılım sonuçları birebir aynıdır.
- Başlangıç noktalarının (x-ötelemesi ve y-ötelemesi) doğru belirlenmesi grafiklerin doğru konumlandırılmasını sağlar.
7. Soru: Genel Önermeler ve Genellemeler
| Nitel Özellikler | a > 0, r > 0, k > 0 Genellemesi | a < 0, r > 0, k > 0 Genellemesi |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | [-r, ∞) | [-r, ∞) |
| Görüntü Kümesi | [k, ∞) | (-∞, k] |
| İşareti | Daima pozitif | Kök: ((k/a)² - r), solunda pozitif, sağında negatif |
| Artanlığı-Azalanlığı | Daima artan | Daima azalan |
| Maksimum-Minimum | Min: (-r, k), Max yok | Max: (-r, k), Min yok |
8. Soru: Basit Sarkaç
f(x) = (2π/3)·√x, x ∈ [1, 9]
a) Grafik:
b) Boy arttıkça periyot nasıl değişir?
- Artan: f(x) = (2π/3)√x, x ∈ [1,9] aralığında artandır.
- √x arttıkça f(x) de artar. Yani boy arttıkça periyot artar.
c) Maksimum-Minimum:
- Minimum: x=1 için f(1) = (2π/3)·1 = 2π/3 ≈ 2,09 s
- Maksimum: x=9 için f(9) = (2π/3)·3 = 2π ≈ 6,28 s
9. Soru: Nitel Özellikler Tablosu
| Nitel Özellikler | Grafik ile Doğrulama | Cebirsel İspat |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | Grafik x = -r'den başlayıp sağa doğru gider → [-r, ∞) | x + r ≥ 0 → x ≥ -r → [-r, ∞) |
| Görüntü Kümesi | Grafik y = k'den başlayıp yukarı gider → [k, ∞) | a > 0 olduğu için a√(x+r) ≥ 0 → g(x) ≥ k → [k, ∞) |
| İşareti | Grafik x ekseninin üzerinde (k > 0) → Pozitif | a > 0, k > 0 → g(x) > 0 (daima pozitif) |
| Artanlığı-Azalanlığı | Grafik x arttıkça yukarı gidiyor → Artan | x₁ < x₂ için g(x₁) < g(x₂) → Artan |
| Maksimum-Minimum | En düşük nokta (-r, k), yukarı sınırsız → Min var, Max yok | Min: g(-r) = a·0 + k = k → (-r, k), Max yok |
10. Soru: g(x) = 2·√(x-3) + 1
Fonksiyon: g(x) = 2·√(x-3) + 1
- Tanım: [3, ∞)
- Görüntü: [1, ∞)
- Minimum: (3, 1) → g(3) = 2·0 + 1 = 1
- Maksimum: Yok (sınırsız artar)
- Artan: [3, ∞) aralığında artan
- İşaret: Daima pozitif (≥ 1)
Yöntem Değerlendirmesi: Grafik ile doğrulama görsel ve sezgisel, cebirsel ispat ise kesin ve genellenebilirdir. İkisi birlikte kullanıldığında en etkili sonuç verir.
Sayfa 241: 10. Sıra Sizde
Kareköklü Fonksiyonların Nitel Özellikleri
Nitel Özellikler Tablosu
| Nitel Özellikleri | f(x) = √(x+2) - 5 | g(x) = 3√(x-1) + 2 | h(x) = -2√(x+4) + 3 |
|---|---|---|---|
| Tanım Kümesi | [-2, ∞) | [1, ∞) | [-4, ∞) |
| Görüntü Kümesi | [-5, ∞) | [2, ∞) | (-∞, 3] |
| İşareti |
Sıfır: x=23 (kök) [-2,23) negatif (23,∞) pozitif |
Pozitif : [1, ∞] Negatif : Yok |
Pozitif : [-4, 7/4] Negatif : [-7/4, ∞] |
| Artanlığı-Azalanlığı | [-2, ∞) aralığında artan | [1, ∞) aralığında artan | [-4, ∞) aralığında azalan |
| Maksimum-Minimum Değeri |
Min: -5 (x=-2) Max: yok |
Min: 2 (x=1) Max: yok |
Max: 3 (x=-4) Min: yok |
| Sıfırları | x = 23 | Yok | -7/4 |
| Bire Birliği | Evet | Evet | Evet |
| Tekliği-Çiftliği | Ne tek ne çift | Ne tek ne çift | Ne tek ne çift |
| Örtenliği | Evet | Evet | Evet |
Sayfa 242: Alıştırmalar
Karekök Fonksiyonları – Grafik, Tanım/Görüntü, Nitel Özellikler
1. Alıştırma
f(x) = √(x+1) ve g(x) = -√(x+1) grafikleri, ABCD dörtgeni alanı.
İstenen Noktaların Bulunması:
- f(x) = √(x+1) ve g(x) = -√(x+1)
- A(0, f(0)): f(0) = √(0+1) = 1 → A(0, 1)
- B(0, g(0)): g(0) = -√(0+1) = -1 → B(0, -1)
- C(8, g(8)): g(8) = -√(8+1) = -√9 = -3 → C(8, -3)
- D(8, f(8)): f(8) = √(8+1) = √9 = 3 → D(8, 3)
ABCD Dörtgeninin Yapısı ve Alanı:
- A(0,1) ve B(0,-1) → y-ekseni üzerinde → |AB| = 1 - (-1) = 2 birim
- D(8,3) ve C(8,-3) → x=8 doğrusu üzerinde → |CD| = 3 - (-3) = 6 birim
- [AB] ve [CD] paralel → dik yamuk
- Yükseklik: h = 8 - 0 = 8 birim
- Alan = (|AB| + |CD|)/2 · h = (2 + 6)/2 · 8 = 4 · 8 = 32 birimkare
2. Alıştırma
f(x) = √(x+200) - 10, kâr fonksiyonu.
| Üretim Maliyeti (x) | 25 | 200 | 700 | 1400 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = √(x+200) - 10 | √225 - 10 = 15 - 10 = 5 | √400 - 10 = 20 - 10 = 10 | √900 - 10 = 30 - 10 = 20 | √1600 - 10 = 40 - 10 = 30 |
- a) Kâr miktarları: 5, 10, 20, 30 TL
- b) Grafik: Yukarıda verilmiştir.
3. Alıştırma
Fonksiyonların tanım ve görüntü kümelerini eşleştiriniz.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| f(x) = √(x+4) - 3 | [-4, ∞) → Ç | [-3, ∞) → G |
| g(x) = √(x-2) + 1 | [2, ∞) → H | [1, ∞) → D |
| h(x) = 2·√(x+1) | [-1, ∞) → F | [0, ∞) → E |
| k(x) = 3·√(x-3) + 4 | [3, ∞) → A | [4, ∞) → K |
| m(x) = -2·√(x+5) - 6 | [-5, ∞) → B | (-∞, -6] → J |
| Fonksiyon | Artanlık / Azalanlık | Maksimum / Minimum | Sıfırları | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| a) f(x) = √(x+5) - 1 | Artan |
Min: -1 (x=-5) Max: 2 (x=4) |
x = -4 | Katsayı pozitif → artan |
| b) g(x) = 2√(x+1) + 3 | Artan |
Min: 3 (x=-1) Max: 9 (x=8) |
Yok | √(x+1) = -3/2 → çözüm yok |
| c) h(x) = -√(x+2) | Azalan |
Max: 0 (x=-2) Min: -4 (x=14) |
x = -2 | Katsayı negatif → azalan |
| ç) k(x) = -2√(x+3) - 6 | Azalan |
Max: -6 (x=-3) Min: -12 (x=6) |
Yok | √(x+3) = -3 → çözüm yok |
Sıfırlar: f: -4, h: -2 (g ve k'da yok).