Sayfalara Git
Sayfa 181: Konuya Başlarken
Doğrusal Olmayan Fonksiyonlar ve Serbest Düşme Hareketi
Mühendislik ve Mimaride Fonksiyonlar
Mühendislik ve mimaride birçok yapı fonksiyonlarla modellenebilir. 15 Temmuz Şehitler Köprüsü'nün direklerini birbirine bağlayan halatlar ve Ayasofya Camisi'nin kubbesi bu tür modellere örnektir. Bu modellerin doğrusal fonksiyon ile modellenmediği görülmektedir.
Bu yapılar doğrusal olmayan (parabolik) fonksiyonlarla modellenebilir.
Soru 2: Serbest Düşme Hareketi
200 m yükseklikten serbest bırakılan cismin yerden yüksekliği.
| Süre (sn.) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ≈6,39 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Yerden Yükseklik (m) | 200 | 195,1 | 180,4 | 155,9 | 121,6 | 77,5 | 23,6 | 0 |
Fonksiyonun İfadesi:
Bu fonksiyon doğrusal değil, paraboliktir (ikinci dereceden). Grafiği bir paraboldür. Zaman arttıkça cisim hızlanarak düşer, bu nedenle yükseklik azalma hızı zamanla artar.
Sayfa 183-184: 1. Uygulama
Verilen Bir Doğrusal İlişkinin Fonksiyon Olma Şartı
Yakıt Tankeri Problemi
Deposunda 600 litre yakıt bulunan bir tankerin altındaki vana açıldığında depodan dakikada 20 litre yakıt akmaktadır. Vana açıldıktan sonra depo tamamen boşalana kadar vana açık bırakılıyor.
1. Soru
a) Zaman ve yakıt miktarı aralıkları:
- Zaman: \( 0 \le t \le 30 \) dakika
- Kalan yakıt: \( 0 \le y \le 600 \) litre
b) Tanım ve görüntü kümeleri:
- Tanım kümesi: \( D_f = [0, 30] \)
- Görüntü kümesi: \( G_f = [0, 600] \)
c) Her zaman değeri için hesaplanabilir mi?
- Evet, \( y = 600 - 20t \) ile her t için tek bir y değeri hesaplanır.
ç) Zaman ve yakıt miktarı arasındaki ilişki:
- Doğrusal azalan ilişki: \( y = 600 - 20t \)
d) Fonksiyon olma şartları:
- Her girdiye (zaman) tek bir çıktı (yakıt) karşılık gelmeli.
- Her zaman değeri için bir yakıt miktarı hesaplanabilmeli.
2. Tablo Doldurma
| Kalan Yakıt Miktarı (l) | 600 | 400 | 200 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| Süre (dk.) | 0 | 10 | 20 | 30 |
400 litre için: (600-400)/20 = 10 dk, 200 litre için: (600-200)/20 = 20 dk, 0 litre için: 600/20 = 30 dk
3. Fonksiyonun Cebirsel İfadesi
x: zaman (dk.), f(x): kalan yakıt (l)
4. Grafik
5-6. Sorular
5. Fonksiyon olma koşulları:
- Her girdi değeri için tek bir çıktı değeri olmalı.
- Girdi-çıktı eşleşmesi tutarlı olmalı.
- Bu durumda her zaman değeri için tek bir yakıt miktarı hesaplanır.
6. Tüm doğrusal ilişkiler fonksiyon mudur?
- Her doğrusal ilişki fonksiyon değildir.
- Örneğin: \( x^2 + y^2 = 1 \) doğrusal değildir.
- Doğrusal ilişkilerde, her x değerine tek bir y değeri karşılık geliyorsa fonksiyondur.
Sayfa 185: 1. Sıra Sizde
Fonksiyon Olma Koşulları – Grafik Yorumlama
1. Sıra Sizde
Aşağıdaki gerçek yaşam durumlarından türetilmiş doğrusal ilişkiye ait grafiklerin fonksiyon olma koşullarını sağlayıp sağlamadığını belirleyiniz. Fonksiyon şartını sağlayan grafiklerin tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
a) Fidanın Boyu - Zaman
- ✓ Fonksiyondur. Her zaman değerine tek bir boy değeri karşılık gelir.
- Tanım Kümesi: \( [0, 5] \) (mavi sınırlar)
- Görüntü Kümesi: \( [150, 600] \) (kırmızı sınırlar)
b) Eve Olan Mesafe - Zaman
- ✓ Fonksiyondur. Her zaman değerine tek bir mesafe değeri karşılık gelir.
- Tanım Kümesi: \( [0, 5] \) (mavi sınırlar)
- Görüntü Kümesi: \( [80, 200] \) (kırmızı sınırlar)
- Not: Grafik V şeklinde olsa da her x değerine tek bir y değeri karşılık geldiği için fonksiyondur.
Sayfa 185-187: 2. Uygulama
Hava Sıcaklığı Grafiği – Fonksiyonun Nitel Özellikleri
1. Soru
a) Her zaman değerine tek bir sıcaklık karşılık gelir mi?
- Evet, grafikte her saat için tek bir sıcaklık değeri vardır.
- Bu nedenle grafik fonksiyondur.
b) Cebirsel ifade fonksiyon olma şartlarını sağlıyor mu?
- Evet, her x değerine tek bir y değeri karşılık gelir.
- Fonksiyon olma koşulu sağlanır.
2. Soru
Tanım Kümesi:
- Grafik 0 ile 24 saat arasını kapsamaktadır.
- Tanım Kümesi: \( [0, 24] \)
3. Soru
Görüntü Kümesi:
- En düşük sıcaklık: -8°C, en yüksek: 12°C
- Görüntü Kümesi: \( [-8, 12] \)
4. Soru
Pozitif Değer Aldığı Aralıklar (f(x) > 0):
- Grafiğin x ekseninin üstünde kaldığı aralıklar
- \( [0, 2) \cup (9, 21) \)
Negatif Değer Aldığı Aralıklar (f(x) < 0):
- Grafiğin x ekseninin altında kaldığı aralıklar
- \( (2, 9) \cup (21, 24] \)
5. Soru
a) Önerme hangi nitel özellik ile ilgilidir?
- Bu önerme fonksiyonun artanlık ve azalanlık (monotonluk) nitel özelliği ile ilgilidir.
- \( x_1 < x_2 \) iken \( f(x_1) < f(x_2) \) ise fonksiyon artan,
- \( x_1 < x_2 \) iken \( f(x_1) > f(x_2) \) ise fonksiyon azalandır.
b) Artan ve azalan aralıklar:
- Azalan Olduğu Aralıklar: \( [0, 6] \) ve \( [14, 24] \) (grafiğin aşağı doğru indiği kısımlar)
- Artan Olduğu Aralıklar: \( [6, 14] \) (grafiğin yukarı doğru çıktığı kısım)
6. Soru
a) Maksimum ve Minimum Değerler:
- Maksimum: Grafiğin en yüksek noktasıdır.
- Minimum: Grafiğin en düşük noktasıdır.
b) En düşük ve en yüksek sıcaklık:
- En düşük: -8°C → Fonksiyon bu değeri t=6 anında (saat 06.00'da) alır: (6,−8) noktası.
- En yüksek: 12°C → Fonksiyon bu değeri t=14 anında (saat 14.00'te) alır: (14,12) noktası.
7. Soru
a) Sıfırlar (f(x) = 0):
- Grafiğin 0°C çizgisini kestiği noktalar sıfırlardır.
- Yaklaşık: saat 1.5 ve 13.5
b) 0°C olduğu saatler:
- Hava sıcaklığı saat 2.00, 9.00 ve 21.00'de 0 C olmuştur (t=2,9,21). Fonksiyonun sıfırları: {2,9,21} kümesidir.
8. Soru
a) Önerme hangi nitel özellik ile ilgilidir?
- Bire birlik (injective) ile ilgilidir.
b) Fonksiyon bire bir midir?
- Hayır, aynı sıcaklık değeri farklı saatlerde tekrarlanır.
- Örneğin 0°C, iki farklı saatte ölçülmüştür.
- Bu nedenle fonksiyon bire bir değildir.
9. Soru
a) Tüm ölçümler (-10, 16) vs grafik (-8, 12):
- Değer kümesi: \( [-10, 16] \)
- Görüntü kümesi: \( [-8, 12] \)
- Görüntü kümesi, değer kümesinin alt kümesidir.
b) Son 5 yıl (-8, 12) vs grafik (-8, 12):
- Değer kümesi: \( [-8, 12] \)
- Görüntü kümesi: \( [-8, 12] \)
- İki küme eşittir. Fonksiyon örtendir (surjective).
c) Örtenlik ilişkisi:
- Değer kümesindeki her elemanın bir karşılığı varsa fonksiyon örtendir.
Sayfa 193: 3. Uygulama
Tek ve Çift Fonksiyonlar – Grafik ve Cebirsel İnceleme
1. Tabloların Doldurulması
| f(x) Fonksiyonu Tablosu | |||
|---|---|---|---|
| x | f(x) | x | f(x) |
| 2 | 1 | -2 | -1 |
| 3 | 3 | -3 | -3 |
| 5 | 4 | -5 | -4 |
| g(x) Fonksiyonu Tablosu | |||
|---|---|---|---|
| x | g(x) | x | g(x) |
| 2 | 1 | -2 | 1 |
| 3 | 3 | -3 | 3 |
| 5 | 4 | -5 | 4 |
2. Simetri Durumları
- f(x) Fonksiyonu: Grafik O(0,0) Orijine göre simetriktir.
- (Grafik orijine göre 180° döndürüldüğünde kendisiyle çakışır)
- g(x) Fonksiyonu: Grafik y eksenine (düşey eksene) göre simetriktir.
- (Grafik y ekseni boyunca katlandığında sağ ve sol taraftaki kollar çakışır)
3. Cebirsel İfadeler
- f(x) için (Tek Fonksiyon):
- f(-x) = -f(x)
- (İçerideki eksi işaretini dışarı çıkarır; orijine göre simetriktir)
- g(x) için (Çift Fonksiyon):
- g(-x) = g(x)
- (İçerideki eksi işaretini yutar; y eksenine göre simetriktir)
Sayfa 194: 3 ve 4. Sıra Sizde
Tek/Çift Fonksiyonlar ve Fonksiyonun İşlevsel Boyutu
3. Sıra Sizde
f çift fonksiyon, g tek fonksiyon olduğuna göre eksik kısımları tamamlayınız.
f(x) Çift Fonksiyon (y eksenine göre simetrik)
g(x) Tek Fonksiyon (orijine göre simetrik)
4. Sıra Sizde
Fonksiyonun işlevsel boyutuna ait disiplinleri örneklerle eşleştiriniz.
| Disiplin | Örnek | Ek Örnek |
|---|---|---|
| Fizik | Bir cismin hızı veya ivmesinin zamana bağlı değişimi | Serbest düşme: h(t) = h₀ - ½gt² |
| Mühendislik | Köprü tasarımında yük ve dayanıklılık arasındaki ilişki | Elektrik devrelerinde V = I·R (Ohm Kanunu) |
| Ekonomi | Bir ürünün fiyatı ve talebi arasındaki ilişki | Arz-talep dengesi, maliyet fonksiyonu |
| Eğitim | Ders çalışma süresi ile başarı düzeyi arasındaki ilişki | Öğrenme eğrisi, sınav puanı-zaman grafiği |
| Matematik | Kare şeklinde verilen bir arazinin kenarı ile alanı arasındaki ilişki | Fonksiyonların grafiksel yorumu, türev ve integral |
| Teknoloji | Yapay zekada aktivasyon fonksiyonları (sigmoid, ReLU) | Algoritmalarda zaman karmaşıklığı, veri sıkıştırma |
Sayfa 193: Alıştırmalar
Fonksiyon Grafikleri ve Nitel Özellikler
1. Alıştırma - a) Grafik Doldurma
Yavuz'un okula yürüyüş grafiği - boş bırakılan kutucukları doldurunuz.
Verilenler:
- İlk 10 dakika: sabit hızla dakikada 15 m → 10 × 15 = 150 m
- Sonraki 5 dakika: arkadaşıyla sohbet (duruyor) → 0 m (mesafe değişmiyor)
- Sonraki 15 dakika: hız iki katına çıkıyor (30 m/dk) → 15 × 30 = 450 m
- Toplam süre: 10 + 5 + 15 = 30 dakika
- Toplam mesafe: 150 + 450 = 600 m
a) Eksenlerdeki kutucuklar:
- 0
- 150
- 300
- 450
- 600
- 0
- 5
- 10
- 15
- 20
- 25
- 30
- a) Grafik: 0-10 dk: 150 m, 10-15 dk: bekleme, 15-30 dk: 300 m
- b) Tanım kümesi: [0, 30], Görüntü kümesi: [0, 600]
- c) Fonksiyondur. Her zaman değerine tek bir mesafe karşılık gelir.
2. Alıştırma
Verilen şartlara uygun fonksiyon grafiği.
- a) Grafik: (-3,5] aralığında artan, (-1,4] aralığında değer alan, sıfırı -2 olan bir doğru.
- b) Sonsuz farklı grafik çizilebilir (eğim değişebilir).
3. Alıştırma
Motosiklet yarış parkuru yükseklik grafiği.
Grafikten Okunan Noktalar:
- (0, 500) başlangıç → (300, 150) minimum → (900, 750) maksimum
- Plato: 900-1200 arası 750'de sabit
- (1800, 100) bitiş (220 değeri bu düşüş sırasında bir ara nokta)
a) Tanım ve görüntü kümeleri:
- \( D_f = [0, 1800] \) (metre)
- \( G_f = [100, 750] \) (metre)
b) Artan ve azalan aralıklar:
- Artan: \( (300, 900) \)
- Azalan: \( (0, 300) \) ve \( (1200, 1800) \)
- Sabit: \( [900, 1200] \) (plato)
c) Maksimum ve minimum değerler:
- Maksimum: 750 m → \( x \in [900, 1200] \) aralığında (plato)
- Minimum: 100 m → \( x = 1800 \) noktasında
ç) Bire bir olma durumu:
- Bire bir değildir.
- 750 yüksekliği, plato boyunca birden fazla x değerinde elde edilir.
- 500 yüksekliği, \( x = 0 \) ve \( x \approx 1400 \)'de tekrarlanır.
- Yatay doğru testi başarısız olur.
Artan: (300, 900), Azalan: (0, 300) ∪ (1200, 1800), Sabit: [900, 1200]
Maks: 750 (900-1200 arası), Min: 100 (x=1800)
Bire bir değil (plato ve tekrar eden y değerleri)
4. Alıştırma
f tek fonksiyon olduğuna göre grafiği tamamlayınız ve f(-5) + f(-4) + f(-2) değerini bulunuz.
Verilen (Sağ) Kısımdan Okunan Noktalar:
- \( f(2) = 3 \) (tepe noktası)
- \( f(4) = 0 \) (x eksenini kestiği nokta)
- \( f(5) = -2 \) (çukur noktası)
Tek Fonksiyon Özelliği:
- \( f(-x) = -f(x) \) → orijine göre simetri
- Sağ taraftaki her (x, y) noktasının simetriği sol tarafta (-x, -y) olur.
b) f(-5) + f(-4) + f(-2) Değerinin Hesaplanması:
- \( f(-5) = -f(5) = -(-2) = \mathbf{2} \)
- \( f(-4) = -f(4) = -(0) = \mathbf{0} \)
- \( f(-2) = -f(2) = -(3) = \mathbf{-3} \)
- Toplam: \( 2 + 0 + (-3) = \mathbf{-1} \)