Sayfalara Git
3.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EN KÜÇÜK ORTAK KAT
Sayfa 149
Sayfa 149: Konuya Başlarken
Tahin ve Pekmez Şişeleme Problemi
Gıda İmalathanesi
Tahin ve pekmez satışı yapılan bir gıda imalathanesinde bidonlarda 12 litre pekmez ile 18 litre tahin vardır.
Bidonlar ve Şişeleme
Sorular
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
1. Soru
12 L pekmez ve 18 L tahin eşit hacimli şişelere ayrılmak istendiğinde şişe hacimleri kaçar litre olabilir?
Cevap:
- 12 ve 18'in ortak bölenleri (EBOB) bulunur.
- EBOB(12, 18) = 6
- Şişe hacimleri: 1, 2, 3, 6 litre
- 4 farklı şişe hacmi kullanılabilir.
2. Soru
4 L tahin ve 5 L pekmez bidonlarındaki ürünler eşit hacimli daha büyük kaplarda taşınmak isteniyor. Kap hacmi kaçar litre olabilir?
Cevap:
- 4 ve 5'in ortak katları (EKOK) bulunur.
- EKOK(4, 5) = 20
- Kap hacimleri: 20, 40, 60, 80, ... litre
- 20'nin katları (sonsuz sayıda)
Temel Kavram:
- EBOB: Ortak bölenlerin en büyüğü (şişe hacmi için)
- EKOK: Ortak katların en küçüğü (kap hacmi için)
3.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EN KÜÇÜK ORTAK KAT
Sayfa 149-153
Sayfa 149-153: 2. Uygulama
Birden Çok Doğal Sayının Ortak Bölenleri ve Ortak Katları
1. Sayıların Pozitif Tam Sayı Bölenleri
| Sayı | Pozitif Bölenleri | Sayı | Pozitif Bölenleri | Sayı | Pozitif Bölenleri | Sayı | Pozitif Bölenleri |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 1, 2, 4 | 5 | 1, 5 | 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 | 1, 2, 4 |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | 6 | 1, 2, 3, 6 | 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 9 | 1, 3, 9 |
Varsayımlar: EBOB ortak bölenlerin en büyüğüdür. Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir. Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB'u küçük sayıdır.
2. Sayıların Katları
| 4'ün Katları | 6'nın Katları | 12'nin Katları | 5'in Katları | 9'un Katları |
|---|---|---|---|---|
| 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40... | 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60... | 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120... | 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50... | 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90... |
Varsayımlar: En büyük ortak kat sonsuzdur. EKOK, ortak katların en küçüğüdür.
Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına, biri diğerinin katı olanların EKOK'u büyük sayıya eşittir.
3. Asal Çarpanlar ve Pozitif Bölenler
| Sayı | Asal Çarpanları | Asal Çarpanlara Ayrılmış Biçimi | Pozitif Bölenleri |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 2¹ | 1, 2 |
| 3 | 3 | 3¹ | 1, 3 |
| 4 | 2 | 2² | 1, 2, 4 |
| 6 | 2, 3 | 2¹·3¹ | 1, 2, 3, 6 |
Varsayımlar: EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımıdır.
EKOK, ortak asal çarpanların en büyük üsleri ile ortak olmayanların çarpımıdır.
4. EBOB ve EKOK Tabloları
Tablo 1 (EBOB):
| Sayı | Asal Çarpanları | EBOB | EBOB Asal | 2. Sayı |
|---|---|---|---|---|
| 15 | 3·5 | 3 | 3 | 3, 6, 9, 12... |
| 24 | 2³·3 | 8 | 2³ | 8, 16, 32... |
Tablo 2 (EKOK):
| Sayı | Asal Çarpanları | EKOK | EKOK Asal | 2. Sayı |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 2² | 12 | 2²·3 | 3, 6, 12 |
| 9 | 3² | 45 | 3²·5 | 5, 15, 45 |
| 14 | 2·7 | 42 | 2·3·7 | 3, 6, 21, 42 |
Tablo 3 (Karma):
| Sayı | Asal Çarpanları | EBOB | EBOB Asal | EKOK | EKOK Asal | 2. Sayı |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 12 | 2²·3 | 4 | 2² | 24 | 2³·3 | 8, 24 |
| 15 | 3·5 | 3 | 3 | 30 | 2·3·5 | 6, 30 |
| 8 | 2³ | 1 | 1 | 72 | 2³·3² | 9 |
5 & 6. Genellemelerin Sınanması
| Sayılar | Asal Çarpanlara Ayrılmış Biçimi | EBOB | EKOK |
|---|---|---|---|
| 18, 24 | 2·3², 2³·3 | 6 | 72 |
| 7, 21 | 7, 3·7 | 7 | 21 |
| 20, 45 | 2²·5, 3²·5 | 5 | 180 |
| 12, 15 | 2²·3, 3·5 | 3 | 60 |
| 18, 24 | 2·3², 2³·3 | 6 | 72 |
7 & 8. Önermeler ve Problem Çözümü
7. Önermeler:
- EKOK, ortak katların en küçüğüdür. Ortak katlar EKOK'un katlarıdır.
- Parçadan bütüne gidilen problemlerde EKOK, bütünden parçaya gidilen problemlerde EBOB kullanılır.
8. Problem Çözümü (12 m ve 21 m tomruklar):
- a) Yolun uzunluğu: EKOK(12, 21) = 2²·3·7 = 84 m
- b) Kazık uzunluğu: EBOB(12, 21) = 3 m
9. Karşılaştırmalı EBOB/EKOK Tablosu
| Sayılar | Listeleme | Asal Çarpan Algoritması | Cebirsel Gösterim | EBOB | EKOK |
|---|---|---|---|---|---|
| 12, 16 | Katlar: 12,24,36,48 / 16,32,48 Bölenler: 1,2,4,6,12 / 1,2,4,8,16 |
12 16 | 2 6 8 | 2 3 4 | 2 3 2 | 2 3 1 | 3 1 |
2²·3, 2⁴ | 4 | 48 |
| 9, 18 | Katlar: 9,18 / 18 Bölenler: 1,3,9 / 1,2,3,6,9,18 |
9 18 | 2 9 9 | 3 3 3 | 3 1 |
3², 2·3² | 9 | 18 |
| 12, 25 | Katlar: 12,24,...,300 / 25,50,...,300 Bölenler: 1,2,3,4,6,12 / 1,5,25 |
12 25 | 2 6 25 | 2 3 25 | 3 1 25 | 5 5 | 5 1 |
2²·3, 5² | 1 | 300 |
Değerlendirme: Cebirsel gösterim (asal çarpan üsleri metodu) büyük sayılarda en kullanışlı yöntemdir.
3.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EN KÜÇÜK ORTAK KAT
Sayfa 154
Sayfa 154: 3. Sıra Sizde
EBOB ve EKOK Hesaplama Yöntemleri
EBOB ve EKOK Hesaplama Tablosu
| Sayılar | Listeleme | Asal Çarpan Algoritması | Asal Çarpan Ağacı | Cebirsel Gösterim | EBOB | EKOK |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10, 20 |
10: 1, 2, 5, 10 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Ortak: 1, 2, 5, 10 Katlar: 20, 40, 60... |
10 20 | 2 5 10 | 2 5 5 | 5 1 1 |
10 → 2·5 20 → 2²·5 |
10 = 2·5 20 = 2²·5 |
10 | 20 |
| 4, 5, 9 |
4: 1, 2, 4 5: 1, 5 9: 1, 3, 9 Ortak: 1 Katlar: 180, 360... |
4 5 9 | 2 2 5 9 | 2 1 5 9 | 3 1 5 3 | 3 1 5 1 | 5 1 1 1 |
4 → 2² 5 → 5 9 → 3² |
4 = 2² 5 = 5 9 = 3² |
1 | 180 |
| 8, 12, 18 |
8: 1, 2, 4, 8 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Ortak: 1, 2 Katlar: 72, 144... |
8 12 18 | 2 4 6 9 | 2 2 3 9 | 2 1 3 9 | 3 1 1 3 | 3 1 1 1 |
8 → 2³ 12 → 2²·3 18 → 2·3² |
8 = 2³ 12 = 2²·3 18 = 2·3² |
2 | 72 |
Sorular
a) Soru
10 ve 20 sayıları için bulduğunuz EBOB ve EKOK ile sayılar arasındaki ilişki nedir?
Cevap:
- EBOB(10, 20) = 10 (küçük sayı)
- EKOK(10, 20) = 20 (büyük sayı)
- Biri diğerinin katı olan sayılarda EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir.
b) Soru
8, 12 ve 18 sayılarının pozitif ortak bölenlerinin en küçüğünü bulunuz.
Cevap:
- Ortak bölenler: 1, 2
- En küçük pozitif ortak bölen: 1
- Not: 1 tüm sayıların ortak bölenidir.
c) Soru
4, 5 ve 9 sayıları arasındaki ilişkiyi göz önüne alarak EKOK ve EBOB hakkında çıkarımlarda bulununuz.
Cevap:
- 4, 5 ve 9 aralarında asaldır (ortak asal çarpanları yoktur).
- EBOB(4, 5, 9) = 1
- EKOK(4, 5, 9) = 4·5·9 = 180
- Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına eşittir.
Özet: Biri diğerinin katı ise EBOB=küçük sayı, EKOK=büyük sayı.
Aralarında asal ise EBOB=1, EKOK=çarpım.
3.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EN KÜÇÜK ORTAK KAT
Sayfa 156-158
Sayfa 156-158: 3. Uygulama
EKOK ile EBOB Arasındaki İlişki
1. A=60, B=126
- 60 = 2²·3·5
- 126 = 2·3²·7
- EBOB(60, 126) = 2·3 = 6
- EKOK(60, 126) = 2²·3²·5·7 = 1260
- Kontrol: 60 · 126 = 7560 = 6 · 1260 ✓
2-4. Varsayım, Genelleme ve Tablo
2. Varsayım:
İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'un çarpımına eşittir.
| Sayılar | EBOB | EKOK |
|---|---|---|
| 4, 9 | 1 | 36 |
| 6, 12 | 6 | 12 |
| 8, 4 | 4 | 8 |
| 20, 14 | 2 | 140 |
| 16, 15 | 1 | 240 |
| 20, 30 | 10 | 60 |
Genelleme: \( \text{Sayı}_1 \times \text{Sayı}_2 = \text{EBOB} \times \text{EKOK} \)
5. Tablo Doğrulama
| Sayılar | EBOB | EKOK |
|---|---|---|
| 12, 16 | 4 | 48 |
| 14, 16 | 2 | 112 |
| 60, 96 | 12 | 480 |
6. Önerme
\( \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) = a \times b \)
7. Problem: Fayans
210 cm kare taban, fayans alanı 630 cm², kenar ≤ 40 cm.
- 210 = 2·3·5·7
- Fayans alanı 630 = 2·3²·5·7
- Fayans kenarları: x ve y, x·y = 630, x ≤ 40, y ≤ 40
- Olası kenarlar: 21 ve 30 (21·30 = 630, her ikisi ≤ 40)
- a) Kenar uzunlukları: 21 cm ve 30 cm
- b) Fayans sayısı: (210/21) × (210/30) = 10 × 7 = 70 adet
8. EBOB-EKOK ile Sayı Bulma
| EBOB | EKOK | Sayılar | Listeleme | Cebirsel | 2. Sayı |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 30 | 6, A | A = 3k, 6·A = 3·30 → A=15 | 6=2·3, 30=2·3·5 → A=3·5 | 15 |
| 5 | 60 | 15, B | B = 5k, 15·B = 5·60 → B=20 | 15=3·5, 60=2²·3·5 → B=2²·5 | 20 |
| 12 | 48 | 24, C | C = 12k, 24·C = 12·48 → C=24 | 24=2³·3, 48=2⁴·3 → C=2⁴ | 16 |
9. Yöntem Değerlendirme
- Listeleme: Küçük sayılarda kolay, büyük sayılarda zor.
- Asal Çarpan: Her sayıda uygulanabilir, sistematiktir.
- Cebirsel: En hızlı ve güvenilir yöntemdir.
- Öneri: Cebirsel yöntem en kullanışlıdır.
3.2. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EN KÜÇÜK ORTAK KAT
Sayfa 160
Sayfa 160: Alıştırmalar
EBOB ve EKOK Problemleri
1. Alıştırma
105 cm kare zemine fayans döşeme.
- 5a = 3b → a/b = 3/5 → a = 3k, b = 5k
- 105 = EKOK(a, b) = EKOK(3k, 5k) = 15k
- 15k = 105 → k = 7
- a = 21 cm, b = 35 cm
- Çevre = 2(21+35) = 112 cm
2. Alıştırma
Yürüyüş yolu taşları (40, 60 cm ve 50, 76 cm). Her iki yol da 17 m'den büyük.
Verilerin Analizi:
- Görsel 1: 40 cm (turuncu) ve 60 cm (gri) → EKOK(40, 60) = 120 cm
- Görsel 2: 50 cm (turkuaz) ve 76 cm (yeşil) → EKOK(50, 76) = 1900 cm
- Sınır: 17 m = 1700 cm
a) Her iki yolun en az uzunluğu:
- Görsel 1: 120·k > 1700 → k = 15 → 120·15 = 1800 cm = 18 m
- Görsel 2: 1900 cm > 1700 cm → 1900 cm = 19 m
b) Görsel 1 için taş sayıları (1800 cm):
- Gri (60 cm): 1800/60 = 30 adet
- Turuncu (40 cm): 1800/40 = 45 adet
Sonuçlar:
a) Görsel 1: 18 m, Görsel 2: 19 m
b) Gri: 30 adet, Turuncu: 45 adet
a) Görsel 1: 18 m, Görsel 2: 19 m
b) Gri: 30 adet, Turuncu: 45 adet
3. Alıştırma
Mısır ve buğday (toplam 45 kg, poşet 5 kg, her çuval > 10 kg).
- Mısır = m, Buğday = b, m+b = 45, b > m, m > 10, b > 10
- 5 kg poşet → m ve b, 5'in katı
- Olasılıklar: 20 ve 25 (b > m)
- Mısır: 20 kg, Buğday: 25 kg
4. Alıştırma
Üçgen bahçe (24, 40, 48 m) etrafına ağaç dikme.
- EBOB(24, 40, 48) = 8
- Toplam ağaç = (24+40+48) / 8 = 112/8 = 14 ağaç
5. Alıştırma
Lale sayısı: 3'e bölüm 2, 4'e bölüm 3, 5'e bölüm 4 kalan, 200-250 arası.
Denklem Kurulumu:
- L = 3a + 2
- L = 4b + 3
- L = 5c + 4
Adım 1: Her tarafa 1 ekleyelim:
- L + 1 = 3(a+1) = 4(b+1) = 5(c+1)
- L + 1 sayısı 3, 4 ve 5'in ortak katıdır.
Adım 2: EKOK(3, 4, 5) = 60
- L + 1 = 60·k
Adım 3: 200 < L < 250
- k = 3 → 180 (aralık dışı)
- k = 4 → 240 (aralık içi)
- k = 5 → 300 (aralık dışı)
Adım 4: Lale sayısı:
- L + 1 = 240 → L = 239
Sonuç: Dükkândaki lale sayısı 239'dur.