Sayfalara Git
Sayfa 143: Konuya Başlarken
Un Paketleme Problemi – Bölenler ve Çarpanlar
Un Paketleme Problemi
Bir çiftçi kütlesi 72 kg olan unu aşağıda verilen koşullara göre paketleyecektir.
- Her bir paketteki unun kütlesi birbirine eşit olmalıdır.
- Her bir paketteki unun kütlesi kilogram türünden tam sayı olmalıdır.
72 kg Un ve Paketleme
Sorular
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Paketlere konacak un miktarının alacağı değerlerin nasıl belirlenebileceğini tartışınız.
- 72 sayısının pozitif bölenleri bulunur.
- Her bir bölen, bir pakete konabilecek un miktarını verir.
- 72 = 1·72, 2·36, 3·24, 4·18, 6·12, 8·9
- Bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Tablo: Paket miktarı ve paket sayısı ilişkisi.
| Paket Miktarı (kg) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 18 | 24 | 36 | 72 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Paket Sayısı | 72 | 36 | 24 | 18 | 12 | 9 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
5 ve 7 kilogramlık paketler kullanılabilir mi?
- 5 kg: 72 sayısı 5'e tam bölünmez (72/5 = 14,4). Bu nedenle kullanılamaz.
- 7 kg: 72 sayısı 7'ye tam bölünmez (72/7 ≈ 10,28). Bu nedenle kullanılamaz.
- Bir sayının böleni olmayan değerler paket miktarı olamaz.
Sayfa 143-144: 1. Uygulama
Bir Doğal Sayının Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısını Bulma
Tablo 1: Bir Doğal Sayının Pozitif Tam Sayı Bölenleri
| Sayı | Asal Çarpanlara Ayrılmış Hâli | Asal Çarpanlarının Sayısı | Pozitif Tam Sayı Bölenleri | Bölen Sayısı |
|---|---|---|---|---|
| 24 | 2·2·2·3 = 2³·3¹ | 3 tane 2, 1 tane 3 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 28 | 2·2·7 = 2²·7¹ | 2 tane 2, 1 tane 7 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 6 |
| 36 | 2·2·3·3 = 2²·3² | 2 tane 2, 2 tane 3 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 9 |
| 40 | 2·2·2·5 = 2³·5¹ | 3 tane 2, 1 tane 5 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 | 8 |
| 49 | 7·7 = 7² | 2 tane 7 | 1, 7, 49 | 3 |
| 73 | 73 (asal sayı) | 1 tane 73 | 1, 73 | 2 |
| 100 | 2·2·5·5 = 2²·5² | 2 tane 2, 2 tane 5 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
Tablo 2: Bir Doğal Sayının Pozitif Bölen Sayısı (Genelleme)
| Sayı | Asal Çarpanlara Ayrılmış Hâli | Pozitif Bölenleri | Pozitif Bölen Sayısı |
|---|---|---|---|
| 18 | 2¹·3² | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | (1+1)·(2+1) = 2·3 = 6 |
| 25 | 5² | 1, 5, 25 | (2+1) = 3 |
| 30 | 2¹·3¹·5¹ | 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 | (1+1)·(1+1)·(1+1) = 2·2·2 = 8 |
| 36 | 2²·3² | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | (2+1)·(2+1) = 3·3 = 9 |
| 48 | 2⁴·3¹ | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 | (4+1)·(1+1) = 5·2 = 10 |
| 53 | 53 (asal) | 1, 53 | (1+1) = 2 |
3. Önerme
4. Problem: TÜBİTAK Bilim Fuarı
24 öğrenci, her grupta en az 2 kişi ve en az 2 grup olacak şekilde gruplara ayrılacaktır.
Çözüm:
- 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- En az 2 kişi ve en az 2 grup şartıyla: 2, 3, 4, 6, 8, 12
a) Grup sayısı (öğrenci sayısı) kaç farklı şekilde belirlenebilir?
- 2, 3, 4, 6, 8, 12 → 6 farklı şekilde
b) Proje sayısı (grup sayısı) kaç farklı şekilde belirlenebilir?
- Her grup sayısı için farklı proje sayısı: 12, 8, 6, 4, 3, 2 → 6 farklı şekilde
c) Grup öğrenci sayısı ile proje sayısı arasındaki ilişki:
- Öğrenci sayısı × Proje sayısı = 24 (toplam öğrenci)
- Bunlar 24'ün çarpan çiftleridir.
Sayfa 146: 1. Sıra Sizde
Pozitif ve Negatif Tam Sayı Bölenleri
Pozitif ve Negatif Tam Sayı Bölenleri Tablosu
| Sayı | Pozitif Tam Sayı Bölenleri | Negatif Tam Sayı Bölenleri |
|---|---|---|
| 6 | 6, 3, 2, 1 | -6, -3, -2, -1 |
| 12 | 12, 6, 4, 3, 2, 1 | -12, -6, -4, -3, -2, -1 |
| 24 | 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 | -24, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1 |
| 14 | 14, 7, 2, 1 | -14, -7, -2, -1 |
| 15 | 15, 5, 3, 1 | -15, -5, -3, -1 |
Sorular
Bir doğal sayının pozitif tam sayı bölenleri ile negatif tam sayı bölenleri arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.
- Her pozitif bölenin negatif işaretlisi de bir bölendir.
- Pozitif bölen sayısı ile negatif bölen sayısı eşittir.
x, y, z, t harflerinin yerine gelmesi gereken değerleri belirleyiniz.
- x = 2 (7, x pozitif bölenleri → 14'ün bölenleri: 14, 7, 2, 1)
- y = -14 (negatif bölenler → -14, -7, -2, -1)
- z = 15 (pozitif bölenler: 15, 5, 3, 1)
- t = 1 (z, 5, 3, t → 15, 5, 3, 1)
Bir doğal sayının negatif tam sayı bölenlerinin sayısı pozitif tam sayı bölenlerinin sayısından yararlanılarak nasıl bulunabilir?
- Negatif bölen sayısı = Pozitif bölen sayısı
- Pozitif bölen sayısı bulunur, aynısı negatif için de geçerlidir.
Pozitif tam sayı bölen sayısı 5 olan bir sayı belirleyerek c seçeneğindeki cevabı test ediniz.
- Bölen sayısı 5 olan sayı: \( p^4 \) formunda (örnek: 2⁴ = 16)
- 16'nın pozitif bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16 (5 tane)
- Negatif bölenleri: -1, -2, -4, -8, -16 (5 tane)
- Test başarılı: Negatif bölen sayısı = Pozitif bölen sayısı = 5
Sayfa 147: 2. Sıra Sizde
Sayı Kodlama ve Şifreleme
1. Sayıların Kodları
Bir sayının asal çarpanlarının üsleri sırayla yazılarak kodu oluşturulur.
| Sayı | Asal Çarpanları | Kodu |
|---|---|---|
| 14 | 2¹ · 3⁰ · 5⁰ · 7¹ | 1001 |
| 20 | 2² · 3⁰ · 5¹ | 201 |
| 30 | 2¹ · 3¹ · 5¹ | 111 |
| 45 | 2⁰ · 3² · 5¹ | 021 |
2. DEFTER Kelimesinin Şifrelenmesi
Alfabetik sıraya göre harfler 2'den başlayarak numaralandırılır ve kodlanır.
| Harf | D | E | F | T | E | R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sıra No | 5 | 6 | 7 | 22 | 6 | 19 |
| Harf | Sayı | Asal Çarpanları | Kod |
|---|---|---|---|
| D | 5 | 5¹ | 001 |
| E | 6 | 2¹·3¹ | 11 |
| F | 7 | 7¹ | 0001 |
| T | 22 | 2¹·11¹ | 10001 |
| E | 6 | 2¹·3¹ | 11 |
| R | 19 | 19¹ | 0000001 |
Sayfa 148: Alıştırmalar
Bölenler ve Çarpanlar ile İlgili Problemler
1. Alıştırma
36 elmayı her sırada eşit sayıda olacak şekilde dizmek.
- 36'nın pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- 9 farklı sıra düzeni (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 elma/sıra)
2. Alıştırma
Kemal ve İpek'in yaşları.
- Kemal: Bölen sayısı 3 olan 1000'den küçük sayılar → \( p^2 \) formunda (4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961) → 11 adet
- İpek: Kemalin yaşı 11 ise, 11 den büyük en küçük asal sayı 13olur.
- Kemal 11 yaşında, İpek 13 yaşında.
3. Alıştırma
40 kişilik etkinlik masa düzeni.
- 40'ın bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
- 8 farklı planlama (masa başına 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 kişi)
- En kolay: 8 masa × 5 kişi veya 5 masa × 8 kişi (denge)
4. Alıştırma
120 cm tel, parça sayısı ≥ 3, uzunluk ≥ 3 cm.
- 120'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
- Parça sayısı ≥ 3 → 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
- Uzunluk ≥ 3 cm → parça sayısı ≤ 40
- 13 farklı parça sayısı (3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60)
5. Alıştırma
60 m² dikdörtgen alan çevreleme.
- 60 = 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10
- 6 farklı boyut
- En az çit: 6×10 → çevre = 32 m (en küçük çevre)
6. Alıştırma
Mükemmel Sayılar (Öklit-Euler).
- p = 2 → 2² - 1 = 3 (asal) → 2¹·3 = 6
- p = 3 → 2³ - 1 = 7 (asal) → 2²·7 = 28
- p = 5 → 2⁵ - 1 = 31 (asal) → 2⁴·31 = 496
- p = 7 → 2⁷ - 1 = 127 (asal) → 2⁶·127 = 8128 (4 basamaklı)
- İki basamaklı: 28, Üç basamaklı: 496
7. Alıştırma: Kartlarla Sayı Oluşturma
Kartlar: 1, 2, 2, 2, 3, 3 (6 kart)
a) En Büyük ve En Küçük Sayı:
- En Büyük: Tüm kartlar çarpılır → 1·2·2·2·3·3 = 72
- En Küçük: Sadece 1 kartı seçilir → 1
b) Kaç Farklı Sayı Oluşturulabilir?
- 2'ler: 0, 1, 2, 3 adet (4 durum)
- 3'ler: 0, 1, 2 adet (3 durum)
- 4 × 3 = 12 farklı sayı
| Oluşturulabilecek 12 Farklı Sayı | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 18 | 24 | 36 | 72 |
| 2⁰·3⁰ | 2¹·3⁰ | 2⁰·3¹ | 2²·3⁰ | 2¹·3¹ | 2³·3⁰ | 2⁰·3² | 2²·3¹ | 2¹·3² | 2³·3¹ | 2²·3² | 2³·3² |
c) Oluşturulan Sayılar ile En Büyük Sayı Arasındaki İlişki:
- En büyük sayı = 72
- Oluşturulan tüm sayılar (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72), 72'nin pozitif bölenleridir.
- Her sayı, 72'yi oluşturan kartların bir alt kümesi ile elde edilir.