Sayfalara Git
Sayfa 89: Ölçme Değerlendirme
Soru 1 – Merdiven Problemi
Soru 1
16 özdeş basamağı olan taşınabilir bir merdiven, alt ucu düz bir zemindeki A noktasına; üst ucu zemine dik olan duvardaki B noktasına temas edecek şekilde konumlandırılmıştır.
A ile B noktaları arasındaki uzaklık 8 metre ve merdivenin zeminle yaptığı açının ölçüsü α olmak üzere \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \)'tür.
Soru Metni
Verilenlere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Soru Metni (Görseldeki):
16 özdeş basamağı olan taşınabilir bir merdiven, alt ucu düz bir zemindeki A noktasına;
üst ucu zemine dik olan duvardaki B noktasına temas edecek şekilde konumlandırılmıştır.
A ile B noktaları arasındaki uzaklık 8 metre ve merdivenin zeminle yaptığı açının ölçüsü α olmak üzere
\( \tan \alpha = \frac{3}{4} \)'tür.
Çözüm:
- \( \tan \alpha = \dfrac{3}{4} \) → dik üçgende karşı/komşu = 3/4
- \( |AB| = 8 \) m (hipotenüs)
- Pisagor: \( 3k^2 + 4k^2 = 8^2 \) → \( 25k^2 = 64 \) → \( k = \dfrac{8}{5} \)
- Duvar yüksekliği (karşı): \( 3k = \dfrac{24}{5} = \mathbf{4,8\ m} \)
- Zemindeki uzaklık (komşu): \( 4k = \dfrac{32}{5} = \mathbf{6,4\ m} \)
- Bir basamak yüksekliği: \( 4,8 / 16 = \mathbf{0,3\ m} \)
- Bir basamak genişliği: \( 6,4 / 16 = \mathbf{0,4\ m} \)
• Duvar yüksekliği: 4,8 m
• A noktasının duvara uzaklığı: 6,4 m
• Bir basamak yüksekliği: 0,3 m
• Bir basamak genişliği: 0,4 m
Sayfa 89: Soru 2
Kontrol Kulesi – Uçak Yüksekliği
Soru 2
K noktasındaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden belirli bir yükseklikte yere paralel uçan bir uçağın, A noktasından B noktasına kadar 12 kilometrelik hareketini radarla izliyor.
\( m(\angle AKH) = m(\angle AKB) = 30^\circ \) olduğuna göre uçağın yerden yüksekliği olan \( h \) değerinin kaç kilometre olduğunu bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
- |AB| = 12 km
- ∠AKH = 30°, ∠AKB = 30°
- ∠BKH = 30° + 30° = 60°
- AB yatay, AH = h (uçak yüksekliği)
1. A noktasını kullanarak (AKH dik üçgeni):
- \( \tan 30^\circ = \dfrac{h}{KH} \) → \( \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h}{KH} \) → KH = √3 · h
2. B noktasını kullanarak (BKJ dik üçgeni):
- \( \tan 60^\circ = \dfrac{h}{KJ} \) → \( \sqrt{3} = \dfrac{h}{KJ} \) → KJ = h/√3
3. Uçağın aldığı yol (AB = KH - KJ):
- 12 = √3·h - h/√3
- 12 = \( \dfrac{3h - h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} \)
- h = \( \dfrac{12\sqrt{3}}{2} = \mathbf{6\sqrt{3}\ km} \)
- h ≈ 6 · 1,732 = ≈ 10,4 km
Sayfa 89: Soru 3
Bahçe ve Açıortay Problemi
Soru 3
\( |AC| = 120 \, \text{m} \) ve \( |BC| = 160 \, \text{m} \) olan ABC üçgeni biçiminde bir bahçe görseli verilmiştir. Bahçenin A köşesinde bulunan Eren, bahçenin AB kenarındaki yolu kullanarak B köşesine doğru sabit hızla yürümeye başlıyor. Eren, 3 dakika sonra bahçenin AC ve BC kenarlarına eşit uzaklıkta olan bir D noktasına geldiğinde 10 metre daha yürürse gideceği yolun yarısını yürümüş olacaktır.
Çözüm
Verilenler:
- |AC| = 120 m, |BC| = 160 m
- D noktası AC ve BC kenarlarına eşit uzaklıkta → CD, C açısının açıortayıdır.
- AD + 10 = AB/2
a) |AB| Uzunluğu:
- Açıortay Teoremi: \( \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{120}{160} = \dfrac{3}{4} \)
- AD = 3k, DB = 4k → AB = 7k
- AD + 10 = AB/2 → 3k + 10 = 7k/2
- 6k + 20 = 7k → k = 20
- |AB| = 7 · 20 = 140 m
b) AB yolunu tamamlama süresi:
- AD = 3k = 60 m, 3 dakikada → hız = 60/3 = 20 m/dk
- Toplam süre = 140/20 = 7 dakika
c) A'dan C'ye doğru yürürse:
- AB ve BC kenarlarına eşit uzaklıktaki nokta, B açısının açıortayı üzerindedir.
- \( \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{140}{160} = \dfrac{7}{8} \)
- Toplam AC = 120 → AE = \( \dfrac{7}{15} \cdot 120 = 56 \) m
- Süre = 56/20 = 2,8 dakika = 168 saniye
a) |AB| = 140 m
b) Toplam süre: 7 dakika
c) Süre: 168 saniye
Sayfa 90: Soru 4
Dağ Tırmanışı – Trigonometri ile Halat Uzunluğu
Soru 4
Hakan; dağın düz yamacına tırmanırken kullandığı kırmızı ve mavi renkteki halatların bir ucunu dağın B noktasına, diğer ucunu 6 metre uzaklıktaki zeminde bulunan bir A noktasına sabitliyor.
B noktasından tırmanmaya başlayan Hakan, 4 metre tırmandıktan sonra mavi halatın diğer ucunu C noktasına, 14 metre tırmandıktan sonra da kırmızı halatın diğer ucunu D noktasına sabitliyor.
Kırmızı halatın zeminle yaptığı açının ölçüsü, mavi halatın zeminle yaptığı açının ölçüsünün iki katı olduğuna göre kırmızı halatın uzunluğunun kaç metre olduğunu bulunuz.
Çözüm (Açıortay Teoremi)
Verilenler:
- |AB| = 6 m
- |BC| = 4 m, |BD| = 14 m
- ∠DAB = 2α, ∠CAB = α
- B, C, D noktaları aynı doğru üzerinde (dağ yamacı)
1. Açıortay Çizimi:
- ∠DAB = 2α ve ∠CAB = α olduğu için [AC], ∠DAB açısının açıortayıdır.
- ∠DAC = α = ∠CAB
2. |CD| Uzunluğu:
- |CD| = |BD| - |BC| = 14 - 4 = 10 m
3. İç Açıortay Teoremi:
- DAB üçgeninde [AC] iç açıortay olduğu için:
- \( \dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|CD|}{|BC|} \)
- \( \dfrac{|AD|}{6} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} \)
- \( 2 \cdot |AD| = 30 \) → \( |AD| = \mathbf{15\ metre} \)
Sayfa 90: Soru 5
Sosyal Tesis Konumu – Eşit Uzaklık Problemi
Soru 5
Belediye parkın içerisine Kütüphane ve Müze bulvarlarından eşit uzaklıkta olacak şekilde bir sosyal tesis kurmayı planlamaktadır. Şehirde yaşayanlar kurulacak sosyal tesisinin müze ve kütüphaneye de eşit uzaklıkta olmasını istemektedir.
Buna göre taslak çizim üzerinde sosyal tesisin inşa edilmesi gereken noktayı belirleyip gerekçesini açıklayınız.
Çözüm
Gereken Koşullar:
- 1. koşul: Kütüphane ve Müze bulvarlarına eşit uzaklıkta → Açıortay üzerinde olmalıdır.
- 2. koşul: Kütüphane ve Müze'ye eşit uzaklıkta → Kenar orta dikme üzerinde olmalıdır.
İnşa Edilecek Nokta:
- Kütüphane Bulvarı ile Müze Bulvarı arasındaki açının açıortayı çizilir.
- Kütüphane ile Müze arasındaki doğru parçasının orta dikmesi çizilir.
- Bu iki doğrunun kesişim noktası X sosyal tesisin konumudur.
- Bu nokta, her iki koşulu da sağlar.
Sayfa 90: Soru 6
Birimkareli Kâğıt – Üçgen Alanları
Soru 6
Kareli kâğıt üzerinde bir kenarı [AB] ve diğer köşesi C, D, E, F ve G noktalarından biri seçilerek oluşturulan üçgenler çizilecektir.
Buna göre
Çözüm
Taban [AB] = 5 birim
| Nokta | [AB]'ye Uzaklık (h) | Alan = (5·h)/2 |
|---|---|---|
| D | 4 birim (yukarı) | 10 br² |
| C | 2 birim (yukarı) | 5 br² |
| F | 2 birim (aşağı) | 5 br² |
| G | 3 birim (aşağı) | 7,5 br² |
| E | 1 birim (aşağı) | 2,5 br² |
a) En büyük alan:
- \( h_D = 4 \) br en büyük → \( \text{Alan}(ABD) = \dfrac{5 \times 4}{2} = \mathbf{10\ br^2} \)
b) Eşit alanlı üçgenler:
- \( h_C = h_F = 2 \) → \( \text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABF) = \mathbf{5\ br^2} \)
c) Alan oranı 1/3 olan üçgenler:
- \( \dfrac{h_E}{h_G} = \dfrac{1}{3} \) → \( \dfrac{\text{Alan}(ABE)}{\text{Alan}(ABG)} = \dfrac{2,5}{7,5} = \mathbf{\dfrac{1}{3}} \)
- ABE ve ABG üçgenleri
a) En büyük alan: D noktası ile (10 br²)
b) Eşit alanlı: ABC = ABF (5 br²)
c) Oran 1/3: ABE ve ABG
Sayfa 91: Soru 7
Doğal Gaz Boru Hattı – Dikme ile En Kısa Uzaklık
Soru 7
Eş karesel bölgelere ayrılmış haritalı bir kâğıt üzerinde bir yerleşim yerindeki doğal gaz boru hattının geçtiği [BC] ana hattı ile bir binayı temsil eden A noktası gösterilmiştir. Binaya doğal gaz bağlamak için ana hat ile bina arasına borular döşenecektir.
Çözüm
1. Adım: Üçgenin Kenar Uzunluklarının Bulunması
- |AC| = 5 birim
- |BC| = √(3² + 4²) = 5 birim
- |AB| = 2√5 birim
2. Adım: Birinci Yol ile Alan Hesaplama
- |EC| = 2√5 birim
- \( \text{Alan}(ABC) = \dfrac{|AB| \cdot |EC|}{2} = \dfrac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} = \mathbf{10\ br^2} \)
3. Adım: İkinci Yol ile Alan Bağıntısı
- \( \text{Alan}(ABC) = \dfrac{|BC| \cdot |AH|}{2} \)
- 10 = \( \dfrac{5 \cdot |AH|}{2} \)
4. Adım: |AH| = h Yüksekliği
- 20 = 5 · |AH| → |AH| = 4 birim
- Boru hattı uzunluğu = 4 birim
Sayfa 91: Soru 8
YOL VER Levhası – Boya Miktarı Problemi
Soru 8
Kenarları birbirine paralel iki eşkenar üçgenden oluşan "YOL VER" trafik levhasının görseli verilmiştir.
Levhayı oluşturan üçgenlerin çevreleri oranı \( \frac{2}{3} \)'tür. Levha üzerindeki kırmızı bölgeyi boyamak için kullanılan boya, beyaz bölgeyi boyamak için kullanılan boya miktarından 150 ml fazladır.
Buna göre tüm şekli boyamak için kullanılan beyaz ve kırmızı boya miktarı kaç mililitredir?
Çözüm
Verilenler:
- Küçük üçgen çevresi / Büyük üçgen çevresi = 2/3
- Benzer üçgenlerde alan oranı = (çevre oranı)² = (2/3)² = 4/9
- Kırmızı bölge (iç üçgen) / Beyaz bölge (dış - iç) = 4 / (9 - 4) = 4/5
- Kırmızı boya = Beyaz boya + 150 ml
Çözüm:
- Beyaz boya = 5k, Kırmızı boya = 4k olsun
- 4k - 5k = 150 → k = 150 (mutlak değer alınır)
- Kırmızı = 4 · 150 = 600 ml
- Beyaz = 5 · 150 = 750 ml
Beyaz boya: 750 ml
Kırmızı boya: 600 ml
Sayfa 91: Soru 9
Reklam Panosu – Kesişim Alanı
Soru 9
Dikdörtgen biçimindeki reklam panosunda |AD| = 6 metre, |CD| = 8 metre.
A köşesindeki mavi ışık yayan led ile C köşesindeki sarı ışık yayan ledin aydınlattığı alanlar Şekil 2 ve Şekil 3'de verilmiştir.
Buna göre A ve C köşelerindeki ledlerin reklam panosunda aydınlattığı ortak bölgenin alanı kaç metrekaredir?
Çözüm
1. Adım: |DE| = x Değerinin Bulunması
- \( x^2 + 4^2 = (8 - x)^2 \)
- \( x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2 \)
- 16 = 64 - 16x → 16x = 48 → x = 3 m
- |DE| = 3 m, |EC| = 8 - 3 = 5 m
2. Adım: İlk Alan Eşitliği (ADE Üçgeni)
- Alan(ADE) = \( \dfrac{3 \times 6}{2} = 9 \)
- \( 6A + 3S = 9 \) → \( 2A + S = 3 \) → S = 3 - 2A
3. Adım: İkinci Alan Eşitliği (ADC Üçgeni)
- Alan(ADC) = \( \dfrac{3 \times 8}{2} = 12 \)
- \( 3A + 8S = 12 \)
- \( 3A + 8(3 - 2A) = 12 \)
- \( 3A + 24 - 16A = 12 \) → 24 - 13A = 12 → A = 12/13
4. Adım: S Değerinin Hesaplanması
- S = 3 - 2 · (12/13) = 3 - 24/13 = (39 - 24)/13 = 15/13
5. Adım: Ortak Bölgenin Alanı
- Ortak Alan = 5S = 5 · (15/13) = 75/13 ≈ 5,77 m²
Sayfa 92: Soru 10
Sınıflandırma Piramidi – Boya Miktarı
Soru 10
Birbirine paralel ve eşit aralıklar ile çizilmiş doğrulardan oluşan piramit, canlıların sınıflandırılma basamaklarını ifade etmektedir.
Piramidin âlem, şube, sınıf bölümlerinin boyanması için 66 desilitre boya kullanılmıştır.
Buna göre piramitteki tür ve familya bölümleri için kaç desilitre boya kullanılmıştır?
Çözüm
Benzerlik ve Alan İlişkisi:
- Aşağıdan yukarıya: 1S, 3S, 5S, 7S, 9S, 11S, 13S
- Tür: 1S, Cins: 3S, Familya: 5S, Takım: 7S, Sınıf: 9S, Şube: 11S, Âlem: 13S
1. S Değerinin Bulunması:
- Âlem + Şube + Sınıf = 13S + 11S + 9S = 33S
- 33S = 66 dl → S = 66/33 = 2 dl
2. Tür ve Familya Boya Miktarı:
- Tür: 1S, Familya: 5S → Toplam = 6S
- 6 · 2 = 12 dl
Sayfa 92: Soru 11
Park Çiti – Benzerlik ile Uzunluk Hesaplama
Soru 11
Yeşil alan ve çocuk oyun alanı üçgensel bölge şeklinde tasarlanmış; A, K, D ve B, K, C noktaları doğrusal olan bir park görseli verilmiştir.
|AB| = 40 m, |BK| = 20 m, |AK| = 30 m, |KD| = 40 m ve |KC| = 80 m olarak ölçülmüştür.
Buna göre |CD| uzunluğunu nasıl hesaplayabileceğini açıklayınız ve |CD|'nun kaç metre olduğunu bulunuz.
Çözüm
Yöntem (Benzerlik):
- ABK ve DCK üçgenleri benzerdir (A-K-D ve B-K-C doğrusal).
- Benzerlik oranı: \( \dfrac{|BK|}{|KC|} = \dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4} \)
- \( \dfrac{|AK|}{|KD|} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4} \)
- Benzerlik oranı eşit olmadığı için kosinüs teoremi kullanılmalıdır.
Kosinüs Teoremi ile Çözüm:
- AKB üçgeninde: |AB|² = |AK|² + |BK|² - 2·|AK|·|BK|·cos(∠AKB)
- 40² = 30² + 20² - 2·30·20·cosθ → 1600 = 900 + 400 - 1200cosθ
- 1600 = 1300 - 1200cosθ → 300 = -1200cosθ → cosθ = -1/4
- DKC üçgeninde: |CD|² = |KD|² + |KC|² - 2·|KD|·|KC|·cosθ
- |CD|² = 40² + 80² - 2·40·80·(-1/4) = 1600 + 6400 + 1600 = 9600
- |CD| = √9600 = 40√6 ≈ 97,98 m
Sayfa 93: Soru 12
Kauçuk Kaplama Maliyeti – Açıortay Teoremi
Soru 12
BAC dik üçgeni şeklindeki beton zemin B köşesinden B açısının açıortayı olacak şekilde bir hat ile iki parçaya ayrılıyor. Kahverengi ile gösterilen BCD üçgeni biçimindeki parça zemini kauçuk ile kaplanıyor.
|AD| = 5 metre, |BC| = 12 metre.
Bir zeminin kauçuk kaplamasının maliyeti metrekare başına 2500 TL olduğuna göre kahverengi bölgenin kauçuk kaplama maliyetinin kaç TL olacağını bulunuz.
Çözüm
1. Verilenler ve Geometrik Kurallar:
- ∠BAC = 90° (BAC dik üçgen)
- [BD], B açısının açıortayıdır.
- |AD| = 5 m, |BC| = 12 m
- Maliyet: 2500 TL/m²
2. Açıortay Dikme Özelliği:
- D noktasından [BC] kenarına dikme indirilir (DH ⊥ BC).
- Açıortay üzerindeki noktanın kollara uzaklığı eşittir:
- |DH| = |AD| = 5 m
3. BCD Üçgeninin Alanı:
- Taban: |BC| = 12 m
- Yükseklik: |DH| = 5 m
- \( \text{Alan}(BCD) = \dfrac{12 \times 5}{2} = \mathbf{30\ m^2} \)
4. Kaplama Maliyeti:
- Maliyet = 30 × 2500 = 75.000 TL
Sayfa 93: Soru 13
Ahşap Blok Maliyeti – Toplam Alan ve Fiyat
Soru 13
Mehmet Bey evinin verandasının üstünü aşağıdaki görselde planladığı şekilde birbirine eş ahşap blokları kesip birleştirerek kapatmak istemektedir.
4 numaralı parça için 2800 TL ödeyen Mehmet Bey'in tüm parçalar için ödeyeceği toplam tutar aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 000 B) 12 000 C) 14 000 D) 16 000 E) 18 000
Çözüm
1. Geometrik Model ve Alan Dağılımı:
- 1. parça: 1S
- 2. parça: 3S
- 3. parça: 5S
- 4. parça: 7S
- 5. parça: 9S
2. S Birim Alanının Ücreti:
- 4. parça = 7S = 2800 TL
- S = 2800 / 7 = 400 TL
3. Tüm Parçaların Toplam Ücreti:
- Toplam alan = 1S + 3S + 5S + 7S + 9S = 25S
- Toplam tutar = 25 × 400 = 10.000 TL
- Doğru seçenek: A) 10 000
Sayfa 93: Soru 14
Katlama ve Yardımcı Elemanlar
Soru 14
Ön yüzü turuncu, arka yüzü mavi renkli ABC üçgeni biçimindeki kâğıt, A köşesi BC kenarı üzerindeki A' noktasına gelecek biçimde katlanıyor. Kâğıt tekrar açıldığında oluşan DE katlama izinin BC kenarına paralel olduğu görülüyor.
Çözüm
a) [AA'] hangi yardımcı elemandır?
- A köşesinden BC kenarına indirilen dikmedir.
- A' noktası BC üzerinde ve AA' ⊥ BC'dir.
- Bu nedenle [AA'] yükseklik'tir.
b) K noktası hangi özel noktadır?
- DE, BC'ye paralel ve orta noktadan geçer.
- BE ve CD, üçgenin kenarortaylarıdır.
- K noktası, bu kenarortayların kesişim noktasıdır.
- Bu nokta ağırlık merkezi (G)'dir.
a) [AA'] yükseklik'tir.
b) K noktası ağırlık merkezi (G)'dir.