Sayfalara Git
Sayfa 76: Konuya Başlarken
Okyanus Dibi Araştırmaları – Sinüs ve Kosinüs Teoremleri
Okyanus Dibi Araştırmaları
Okyanus dibi araştırmaları yapan bir grup bilim insanı, bir çukurun şeklini ortaya çıkarmak için yüzey tarayıcılarıyla donatılmış bir denizaltı kullanarak derin bir dalış gerçekleştiriyor.
Elde edilen veriler ışığında çukurun en dip noktası ile başlangıcındaki iki uç birleştirildiğinde yandaki görselde verildiği gibi bir ABC üçgeninin oluştuğu görülüyor.
ABC Üçgeni (Çukur Profili)
1. Soru
a) B ve C açılarının ölçülerinin bilinmesi durumunda AB ve AC kenar uzunluklarının bulunabilmesi için hangi ek bilgilere ihtiyaç duyulur?
Açılar B ve C biliniyorsa A açısı da bulunabilir (A = 180° - B - C). Ancak kenar uzunluklarını bulmak için en az bir kenar uzunluğu bilinmelidir. Sinüs teoremi (\( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} \)) kullanılarak diğer kenarlar hesaplanabilir.
b) AB ve BC kenar uzunluklarının bilinmesi durumunda \( \dfrac{\sin A}{\sin C} \) değerini bulma yöntemleri nelerdir?
Sinüs teoreminden \( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C} \) → \( \dfrac{\sin A}{\sin C} = \dfrac{a}{c} = \dfrac{|BC|}{|AB|} \). Ayrıca kosinüs teoremi ile açılar hesaplanarak da oran bulunabilir.
c) AB kenar uzunluğunun ve \( \dfrac{\sin B}{\sin C} \) değerlerinin bilinmesi durumunda AC kenar uzunluğu nasıl bulunur?
Sinüs teoreminden \( \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} \) → \( b = c \cdot \dfrac{\sin B}{\sin C} \). Yani \( |AC| = |AB| \cdot \dfrac{\sin B}{\sin C} \) ile AC kenarı hesaplanır.
2. Soru
a) |AB| kenarının bulunabileceği yöntem:
AH ⊥ BC olduğu için AHC dik üçgeninde Pisagor teoremi kullanılabilir. |AH| = √(b² - |CH|²) bulunur. |BH| = |BC| - |CH| olduğu için ABH dik üçgeninde |AB| = √(|AH|² + |BH|²) ile hesaplanır.
b) Kullanılan ön bilgiler:
- Pisagor teoremi (dik üçgenlerde)
- Dikme (AH ⊥ BC) ve dik üçgen oluşumu
- |BH| = |BC| - |CH| (B, H, C doğrusal)
- Dik üçgende kenar uzunlukları arası ilişki
Sayfa 77: 21. Uygulama
Ek Çizimler Yardımıyla Uzunluk Bulma ve Sinüs Teoremi
Arsa ve Çocuk Parkı
Bir arsanın içine ABC üçgeni şeklinde bir çocuk parkı inşa edilmek isteniyor. A ile B noktaları arası çekilen şeridin uzunluğu 200 metre, \( m(\widehat{A}) = 64^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 37^\circ \) olarak bulunuyor.
\( \sin 64^\circ \approx 0,9 \) ve \( \sin 37^\circ \approx 0,6 \) alınız.
Çözüm
1. Soru: Tartışma
Sorunun çözümünün ek çizimler yardımıyla nasıl yapılabileceğine ilişkin fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
- Yükseklik çizme: A noktasından BC kenarına bir dikme indirilerek iki dik üçgen oluşturulabilir.
- Benzer üçgenler: Ek çizimlerle benzer üçgenler oluşturularak orantı kurulabilir.
- Trigonometrik oranlar: Dik üçgenlerde sinüs, kosinüs veya tanjant kullanılabilir.
- Sinüs teoremi: Ek çizim yapmadan da sinüs teoremi ile çözülebilir.
Verilenler:
- c = |AB| = 200 m
- A = 64°, C = 37°
- sin 64° ≈ 0,9, sin 37° ≈ 0,6
- İstenen: a = |BC| = ?
2. Ek Çizim Yöntemi (Dikme ile):
- B noktasından AC kenarına BH dikmesi indirilir.
- ABH dik üçgeninde: \( \sin 64^\circ = \dfrac{|BH|}{|AB|} \)
- \( |BH| = 200 \cdot 0,9 = \mathbf{180\ metre} \)
- BHC dik üçgeninde: \( \sin 37^\circ = \dfrac{|BH|}{|BC|} \)
- \( 0,6 = \dfrac{180}{|BC|} \) → \( |BC| = \dfrac{180}{0,6} = \mathbf{300\ metre} \)
3. Sinüs Teoremi ile Çözüm:
- \( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C} \)
- \( \dfrac{a}{\sin 64^\circ} = \dfrac{200}{\sin 37^\circ} \)
- \( \dfrac{a}{0,9} = \dfrac{200}{0,6} \)
- \( 0,6 \cdot a = 200 \cdot 0,9 = 180 \)
- \( a = \dfrac{180}{0,6} = \mathbf{300\ metre} \)
Sayfa 77-78: 22. Uygulama
Sinüs Teoreminin Üçgen Çeşitlerine Uygulanması
Soru 1: KLM Dik Üçgeni
a) Trigonometrik Oranlar ile:
- \( \sin 37^\circ = \dfrac{|KL|}{|LM|} \) → \( 0,6 = \dfrac{|KL|}{10} \) → |KL| = 6
- \( \cos 37^\circ = \dfrac{|KM|}{|LM|} = \sin 53^\circ \) → \( 0,8 = \dfrac{|KM|}{10} \) → |KM| = 8
b) Sinüs Teoremi ile:
- \( \angle L = 53^\circ \), \( \dfrac{|KL|}{\sin 37^\circ} = \dfrac{|LM|}{\sin 90^\circ} \) → \( \dfrac{|KL|}{0,6} = \dfrac{10}{1} \) → |KL| = 6
- \( \dfrac{|KM|}{\sin 53^\circ} = \dfrac{10}{1} \) → \( |KM| = 10 \cdot 0,8 = \mathbf{8} \)
Soru 2: PNR İkizkenar Üçgeni
a) Ek Çizim ile:
- P'den NR'ye dikme indirilir. Yükseklik: \( h = 8\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 4\sqrt{3} \)
- PN = \( \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{4\sqrt{3}}{0,5} = \mathbf{8\sqrt{3}} \)
b) Sinüs Teoremi ile:
- \( \angle P = 120^\circ \), \( \dfrac{|PN|}{\sin 30^\circ} = \dfrac{|PR|}{\sin 120^\circ} \)
- \( \dfrac{|PN|}{0,5} = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 16 \) → |PN| = 8
Soru 3: ABC Üçgeni
a) Ek Çizim ile:
- A'dan BC'ye dikme indirilir. |AH| = 48 · sin 48° = 48 · 0,74 = 35,52
- |AB| = \( \dfrac{|AH|}{\sin 58^\circ} \) = \( \dfrac{35,52}{0,84} \) ≈ 42,29
- |AC| = \( \dfrac{|AH|}{\sin 48^\circ} \) = 48 (verilen)
b) Sinüs Teoremi ile:
- \( \angle A = 74^\circ \), \( \dfrac{|AB|}{\sin 58^\circ} = \dfrac{48}{\sin 74^\circ} \)
- \( |AB| = \dfrac{48 \cdot 0,84}{0,96} = \mathbf{42} \)
- \( |AC| = \dfrac{48 \cdot \sin 48^\circ}{\sin 74^\circ} = \dfrac{48 \cdot 0,74}{0,96} = \mathbf{37} \)
4. Soru: Tartışma
İlk üç maddede yapılanlar dikkate alındığında sinüs teoreminin her üçgen için geçerli olup olmadığını tartışınız.
- Evet, sinüs teoremi her üçgen için geçerlidir.
- Dik üçgen, ikizkenar üçgen, geniş açılı üçgen ve dar açılı üçgenlerde de kullanılabilir.
- Tek koşul: Üçgenin en az bir kenarı ve bu kenarın karşısındaki açısı bilinmelidir.
- Sinüs teoremi, her tür üçgende kenar-açı ilişkisini veren evrensel bir bağıntıdır.
Sayfa 80: 18. Sıra Sizde
Şehir Haritası – Sinüs Teoremi ile Uzaklık Hesaplama
18. Sıra Sizde
Begüm, Piraye ve Neva adlı üç arkadaşın bulunduğu konumlar şehir haritası üzerinde sırasıyla B, P ve N noktaları ile gösterilmiştir.
\( m(\angle BPN) = 65^\circ \), \( m(\angle BNP) = 46^\circ \) ve Piraye (P) ile Neva (N) arasındaki uzaklık 744 metre'dir.
\( \sin 46^\circ \approx 0,72 \), \( \sin 65^\circ \approx 0,91 \), \( \sin 69^\circ \approx 0,93 \) alınız.
Çözüm
Verilenler:
- |PN| = 744 m
- ∠BPN = 65°, ∠BNP = 46°
- ∠PBN = 180° - 65° - 46° = 69°
a) Piraye (P) ile Begüm (B) arasındaki uzaklık (|PB|):
- Sinüs teoreminden: \( \dfrac{|PB|}{\sin 46^\circ} = \dfrac{|PN|}{\sin 69^\circ} \)
- \( |PB| = \dfrac{744 \cdot \sin 46^\circ}{\sin 69^\circ} \)
- \( |PB| = \dfrac{744 \cdot 0,72}{0,93} = \dfrac{535,68}{0,93} \approx \mathbf{576\ metre} \)
b) Neva (N) ile Begüm (B) arasındaki uzaklık (|BN|):
- \( \dfrac{|BN|}{\sin 65^\circ} = \dfrac{744}{\sin 69^\circ} \)
- \( |BN| = \dfrac{744 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 69^\circ} = \dfrac{744 \cdot 0,91}{0,93} = \dfrac{677,04}{0,93} \approx \mathbf{728\ metre} \)
a) |PB| ≈ 576 metre
b) |BN| ≈ 728 metre
Sayfa 80: 23. Uygulama
Sinüs Teoreminin İspatı – Alan Formülü ile
1. Soru: Tartışma
Sinüs kavramı hakkındaki önceki öğrenmelerinizden yararlanarak yandaki üçgende ne gibi eşitlikler yazılabileceğini tartışınız.
Tartışma Sonuçları:
- Dik üçgende sinüs oranları yazılabilir.
- Yükseklik çizilerek dik üçgen oluşturulabilir.
- Alan formülü \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \) kullanılabilir.
- Farklı kenar-açı çiftleri için alan eşitlikleri yazılabilir.
2. Soru: İspat Tamamlama
Sinüs teoremi ispatında alan formülünden yararlanarak boş bırakılan yerleri doldurunuz.
ABC üçgeninin alanı:
I ve II eşitliğinden:
I ve III eşitliğinden:
Sonuç:
Sinüs Teoremi ispatlanmıştır. Her üçgen için geçerlidir.
Sayfa 81: 19. Sıra Sizde
Ordu-Giresun Havalimanı – Sinüs Teoremi ve Üçgen Türü
19. Sıra Sizde
Ordu–Giresun Havalimanı üzerindeki hava yolu trafiğine ait anlık görüntü yandaki gibidir. Uçakların bulunduğu konumlar birleştirildiğinde ABC üçgeni şeklinin oluştuğu görülüyor.
Çözüm
a) Üçüncü Uçağın Uzaklığının Bulunması:
- Sinüs teoremi kullanılır: \( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} \)
- Örneğin |AB| (c) ve tüm açıların sinüs değerleri biliniyorsa:
- \( a = \dfrac{c \cdot \sin A}{\sin C} \) ile |BC| bulunur.
- \( b = \dfrac{c \cdot \sin B}{\sin C} \) ile |AC| bulunur.
- Böylece üçüncü uçağın diğer uçaklara uzaklığı hesaplanır.
b) \( \sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C \) eşitliği:
- Sinüs teoreminden: \( \sin A = \dfrac{a}{2R}, \sin B = \dfrac{b}{2R}, \sin C = \dfrac{c}{2R} \)
- Eşitlikte yerine yazılırsa: \( \left(\dfrac{a}{2R}\right)^2 = \left(\dfrac{b}{2R}\right)^2 + \left(\dfrac{c}{2R}\right)^2 \)
- \( \dfrac{a^2}{4R^2} = \dfrac{b^2}{4R^2} + \dfrac{c^2}{4R^2} \) → \( a^2 = b^2 + c^2 \)
- Pisagor bağıntısı (\( a^2 = b^2 + c^2 \)) → ABC üçgeni dik üçgen'dir.
- A açısı 90°'dir.
a) Sinüs teoremi ile uzaklıklar hesaplanabilir.
b) \( \sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C \) durumunda ABC üçgeni dik üçgen'dir (A = 90°).
Sayfa 83-84: 24. Uygulama
Göktürk Uyduları – Kosinüs Teoremi ile Uzunluk Bulma
Göktürk Uyduları
Ankara'daki yer istasyonunun Göktürk 1 uydusu ile arasındaki mesafe 1200 km, Göktürk 2 uydusu ile arasındaki mesafe 1500 km'dir. Oluşan ölçüm çizgileri arasındaki açının ölçüsü 120°'dir.
Uydular arası mesafenin 2300 – 2400 km arasında olması istenmektedir.
Çözüm
Verilenler:
- |AB| = 1200 km (Ankara - Göktürk 1)
- |AC| = 1500 km (Ankara - Göktürk 2)
- ∠BAC = 120°
- İstenen aralık: 2300 – 2400 km
1. Dikme ile Çözüm:
- Dış açı = 180° - 120° = 60°
- B'den AC uzantısına dikme indirilir → 30°-60°-90° üçgeni
2. |BK| = h Uzunluğu:
- \( h = 1200 \cdot \sin 60^\circ = 1200 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{600\sqrt{3}\ km} \)
3. |AK| = n Uzunluğu:
- \( n = 1200 \cdot \cos 60^\circ = 1200 \cdot \dfrac{1}{2} = \mathbf{600\ km} \)
4. |BC| = x Uzunluğu (Pisagor):
- |CK| = |AC| + |AK| = 1500 + 600 = 2100 km
- \( x^2 = (600\sqrt{3})^2 + 2100^2 = 1.080.000 + 4.410.000 = 5.490.000 \)
- \( x = \sqrt{5.490.000} = 300\sqrt{61} \approx \mathbf{2343\ km} \)
5. Aralık Değerlendirmesi:
- 2343 km, 2300 – 2400 km aralığındadır.
- İstenen şart sağlanmaktadır.
6. Kosinüs Teoremi ile Çözüm:
- \( x^2 = 1500^2 + 1200^2 - 2 \cdot 1500 \cdot 1200 \cdot \cos 120^\circ \)
- \( \cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2} \)
- \( x^2 = 2.250.000 + 1.440.000 - 2 \cdot 1500 \cdot 1200 \cdot (-\dfrac{1}{2}) \)
- \( x^2 = 3.690.000 + 1.800.000 = 5.490.000 \)
- \( x = \sqrt{5.490.000} = 300\sqrt{61} \approx \mathbf{2343\ km} \)
Sayfa 84: 20. Sıra Sizde
Japonya Adaları – Kosinüs Teoremi ile Uzaklık
Japonya Adaları
Kuba Adası'nda K noktasında bulunan Kenan, elindeki lazer metre ile Tobise Adası'nda bir A noktası belirleyip ölçüm yaptığında bulunduğu nokta ile arasındaki uzaklığı 60 mil olarak ölçüyor. Lazer metreyi 30° kadar saatin tersi yönünde çevirdiğinde Taisho Adası üzerindeki bir B noktasının bulunduğu noktaya uzaklığını 50√3 mil olarak ölçüyor.
Çözüm
a) Yöntemler:
- Kosinüs Teoremi: İki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenar bulunur.
- Ek Çizim: K noktasından dikme indirilerek dik üçgen oluşturulabilir.
b) Kosinüs Teoremi ile:
- \( |AB|^2 = |AK|^2 + |BK|^2 - 2 \cdot |AK| \cdot |BK| \cdot \cos 30^\circ \)
- \( |AB|^2 = 60^2 + (50\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 60 \cdot 50\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( |AB|^2 = 3600 + 7500 - 2 \cdot 60 \cdot 50 \cdot \dfrac{3}{2} \)
- \( |AB|^2 = 11100 - 9000 = 2100 \)
- \( |AB| = \sqrt{2100} = 10\sqrt{21} \approx \mathbf{45,8\ mil} \)
c) Ek Çizim ile:
- K'den AB'ye dikme indirilir.
- 30°-60°-90° üçgeni oluşturulur.
- Dik kenarlar ve Pisagor ile \( |AB| = 10\sqrt{21} \approx \mathbf{45,8\ mil} \) bulunur.
Sayfa 85-86: 25. Uygulama
Kosinüs Teoreminin İspatı – Ek Çizim ile
1-2. Tartışma ve Ortak Karar
1. Ek Çizim Fikri:
Bir köşeden karşı kenara dikme indirilerek iki dik üçgen oluşturulur. Pisagor teoremi ve trigonometrik oranlar kullanılarak ispat yapılır.
2. Ortak Karar:
- Pisagor teoremi dik üçgenlerde geçerlidir.
- Dikme ile oluşan üçgenlerde h² ve x² ifadeleri yazılabilir.
- Kosinüs tanımı: \( \cos A = \dfrac{x}{c} \) kullanılır.
- Bu eşitlikler birleştirilerek kosinüs teoremi elde edilir.
3. İspat Adımları
1. adım: [BH] ⊥ [AC] dikmesi indirilir.
- a) Dikme indirilerek iki dik üçgen oluşturulur: ABH ve BHC.
- b) Evet, herhangi bir köşeden indirilebilir. Fakat kenar uzunlukları ve açı ifadeleri değişir.
2. adım: |BH| = h, |AH| = x, |HC| = b - x
3. adım: ABH dik üçgeninde Pisagor:
4. adım: BHC dik üçgeninde Pisagor:
5. adım: Eşitlikler birleştirilir:
6. adım: ABH dik üçgeninde cos A:
7. adım: Sonuç (Kosinüs Teoremi):
6.adımda bulunan x değeri 5.adımda ki x yerine konulursa,
Kosinüs teoremi ispatlanmıştır. Her üçgen için geçerlidir.
Sayfa 87: 21. Sıra Sizde
Taşlar ve Açılar – Kosinüs Teoremi ile Uzunluk Bulma
21. Sıra Sizde
Yukarıdaki görselde 1'den 12'ye kadar numaralandırılmış taşlar ve bu taşlar arasındaki açılar verilmiştir.
Buna göre 2 ve 4 numaralı taşlar arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
- |AD| = 36 cm, |CD| = 30 cm
- ∠DAB = 72°, ∠DBA = 35°, ∠BDC = 75°
- sin 72° ≈ 0,95, sin 35° ≈ 0,57, cos 75° ≈ 0,2
1. Adım: Sinüs Teoremi ile |BD| Uzunluğu:
- ABD üçgeninde: \( \dfrac{|BD|}{\sin 72^\circ} = \dfrac{|AD|}{\sin 35^\circ} \)
- \( \dfrac{|BD|}{0,95} = \dfrac{36}{0,57} \) → \( |BD| = \dfrac{36 \cdot 0,95}{0,57} = \dfrac{34,2}{0,57} = \mathbf{60\ cm} \)
2. Adım: Kosinüs Teoremi ile |BC| = x Uzunluğu:
- BCD üçgeninde: \( x^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos 75^\circ \)
- \( x^2 = 60^2 + 30^2 - 2 \cdot 60 \cdot 30 \cdot 0,2 \)
- \( x^2 = 3600 + 900 - 720 = 3780 \)
- \( x = \sqrt{3780} \approx \mathbf{61,48\ cm} \)
b) Uygulanan Adımlar ve Teoremler:
- 1. Aşama (Sinüs Teoremi): ABD üçgeninde iki açı ve bir kenar biliniyor. BD kenarı bulundu.
- 2. Aşama (Kosinüs Teoremi): BCD üçgeninde iki kenar ve aralarındaki açı biliniyor. BC kenarı bulundu.
c) Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin Kullanım Durumları:
- Sinüs Teoremi: İki açı ve bir kenar biliniyorsa veya iki kenar ile bir açı verilip diğer açı aranıyorsa.
- Kosinüs Teoremi: İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa (karşı kenar için) veya üç kenar biliniyorsa (açı için).
Sayfa 88: Alıştırmalar
Arkeoloji Kazısı ve Harita Mühendisliği Problemleri
Soru 1: Arkeoloji Kazısı
Verilenler:
- |AB| = 24 m, |AD| = 10 m, |BE| = 12 m
- ∠A = 49°, ∠B = 75°
- sin 49° ≈ 0,7, sin 56° ≈ 0,8, sin 75° ≈ 0,9
∠C = 180° - (49° + 75°) = 56°
a) |DC| Uzunluğu:
- Sinüs teoremi ile |AC|: \( \dfrac{|AC|}{\sin 75^\circ} = \dfrac{24}{\sin 56^\circ} \)
- \( |AC| = \dfrac{24 \cdot 0,9}{0,8} = \mathbf{27\ m} \)
- |DC| = |AC| - |AD| = 27 - 10 = 17 m
b) |CE| Uzunluğu:
- \( \dfrac{|BC|}{\sin 49^\circ} = \dfrac{24}{0,8} \) → \( |BC| = \dfrac{24 \cdot 0,7}{0,8} = \mathbf{21\ m} \)
- |CE| = |BC| - |BE| = 21 - 12 = 9 m
c) Kazı Süresi ve Ücret:
- Kalan duvar: |DC| + |CE| = 17 + 9 = 26 m
- 1 m için 4 işçi × 8 saat = 32 işçi-saat
- Toplam işçi-saat: 26 × 32 = 832 saat
- Gerçek süre (4 işçi): 832 / 4 = 208 saat
- Toplam ücret: 832 × 100 = 83.200 TL
a) |DC| = 17 m
b) |CE| = 9 m
c) Süre: 208 saat, Ücret: 83.200 TL
Soru 2: Harita Mühendisliği
a) |BC| = a Uzunluğu için Gerekenler:
| Açılar | Kenarlar | Teorem |
|---|---|---|
| ∠A, ∠B | |AC| veya |AB| | Sinüs Teoremi |
| ∠A, ∠C | |AB| veya |AC| | Sinüs Teoremi |
| ∠A | |AB|, |AC| | Kosinüs Teoremi |
b) Alan Biliniyorsa Gerekenler:
| Açılar | Kenarlar | Teorem |
|---|---|---|
| ∠A | |AB|, |AC|, Alan | Alan Formülü + Kosinüs |
| ∠B, ∠C | |AB|, Alan | Alan + Sinüs Teoremi |