Sayfalara Git
Sayfa 59: Konuya Başlarken
Yelkenli Tasarımları ve Üçgen Alan İlişkisi
Yelkenli Tasarımları
Yanda iki farklı yelkenli tasarım görseli verilmiştir. Görsel 1'deki yelkenli taban uzunlukları birbirine eşit, yükseklikleri 6 m ve 4 m olan dik üçgen şeklindeki iki yelkenden; Görsel 2'deki yelkenli yükseklikleri birbirine eşit, taban uzunlukları 1 ve 5 m olan dik üçgen şeklindeki iki yelkenden oluşmaktadır. Yelken bezinin maliyeti üretilen yelkenin alanı ile belirlenmektedir.
Görsel 1
Tabanlar eşit (4 m), yükseklikler 6 m ve 4 m
Görsel 2
Yükseklikler eşit (5 m), tabanlar 1 m ve 5 m
Tartışma Soruları
Öğretmeninizin rehberliğinde sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Görsel 1 ve Görsel 2'deki yelkenlerden herhangi birinin maliyet fiyatı verildiğinde diğer yelkenin maliyetinin hesaplanması için hangi yöntem veya yöntemler kullanılabilir?
- Orantı kurma: Alanların oranı, maliyetlerin oranına eşittir.
- Doğru Orantı: Alan arttıkça maliyet de aynı oranda artar.
Görsel 1'de yüksekliği 4 m olan yelkenin maliyetinin 18.000 TL olduğu bilindiğine göre yüksekliği 6 m olan yelkenin maliyeti kaç TL'dir?
- Alan₁ = (4·4)/2 = 8 m² → 18.000 TL
- Alan₂ = (6·4)/2 = 12 m²
- Orantı: 8/18.000 = 12/x → x = 12·18.000/8 = 27.000 TL
Görsel 2'de verilen iki yelkenin toplam maliyetinin 48.000 TL olduğu bilindiğine göre her bir yelkenin maliyeti kaç TL'dir?
- Alan₁ = (5·1)/2 = 2,5 m²
- Alan₂ = (5·5)/2 = 12,5 m²
- Toplam alan = 15 m² → 48.000 TL
- 1 m² = 48.000/15 = 3.200 TL
- Yelken 1: 2,5·3.200 = 8.000 TL
- Yelken 2: 12,5·3.200 = 40.000 TL
Sayfa 59-61: 15. Uygulama
Yükseklikleri Eşit Olan Üçgenlerin Alanları ile Tabanları Arasındaki İlişki
1-3. Adım: Alan-Taban İlişkisi
Yüksekliği sabit tutulan üçgenlerde taban değiştikçe alanın değişimi.
| Üçgen | Yükseklik (h) | Taban (a) | Alan |
|---|---|---|---|
| Üçgen 1 | h₁ = 6 | a₁ = 4 | 12 |
| Üçgen 2 | h₂ = 6 | a₂ = 6 | 18 |
| Üçgen 3 | h₃ = 6 | a₃ = 8 | 24 |
| Taban Uzunlukları Oranı | Alanlar Oranı | Sonuç |
|---|---|---|
| a₁ / a₂ = 4/6 = 2/3 | Alan₁ / Alan₂ = 12/18 = 2/3 | Eşit |
| a₂ / a₃ = 6/8 = 3/4 | Alan₂ / Alan₃ = 18/24 = 3/4 | Eşit |
| a₁ / a₃ = 4/8 = 1/2 | Alan₁ / Alan₃ = 12/24 = 1/2 | Eşit |
4-5. Genelleme ve Önerme
Genelleme:
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunluklarıyla doğru orantılıdır.
Önerme:
Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile doğru orantılıdır; yükseklik sabit tutulduğunda taban arttıkça alan da aynı oranda artar.
6. Problem: Bahçe Bölme
a) Tasarım:
Oturma alanı : Spor alanı : Yeşil alan = 1 : 3 : 6
Yükseklikler eşit olduğu için tabanlar da aynı oranda olmalıdır.
Tabanlar: 1 : 3 : 6
b) Alan Hesaplama:
- Bahçenin toplam alanı: \( \dfrac{60 \cdot 80}{2} = 2400 \, \text{m}^2 \)
- Toplam oran: 1 + 3 + 6 = 10
- Oturma: \( \dfrac{1}{10} \cdot 2400 = 240 \, \text{m}^2 \)
- Spor: \( \dfrac{3}{10} \cdot 2400 = 720 \, \text{m}^2 \)
- Yeşil: \( \dfrac{6}{10} \cdot 2400 = 1440 \, \text{m}^2 \)
c) Karşılaştırma:
Farklı bölmelerde de alanlar oranı, tabanlar oranına eşittir. Bu, "yükseklikler eşit olduğunda alanlar tabanlarla doğru orantılıdır" önermesini doğrular.
Sayfa 62: 12. Sıra Sizde
Koşu Yolu Platformları – Alan ve Maliyet İlişkisi
12. Sıra Sizde
Koşu yolundaki parkurları ayıran ve birbirine paralel olan ardışık düz çizgiler eşit aralıklarla çizilmiştir. Platformların köşeleri çizgilerin üzerindedir ve üretim maliyetleri alanlarına göre belirlenmektedir.
Beyaz renkli platformun maliyeti 120 TL olduğuna göre tüm platformların toplam maliyetinin kaç TL olduğunu bulunuz.
Koşu Yolu Platformları
S: Sarı, M: Mavi, B: Beyaz (120 TL), Y: Yeşil, T: Turuncu
Çözüm
1. Her Platformun Alanını Hesaplayalım:
- A Platformu: taban = 2 m, yükseklik = 3 m → Alan = 2·3/2 = 3 m² → 120 TL
- B Platformu: taban = 6 m, yükseklik = 3 m → Alan = 6·3/2 = 9 m²
- C Platformu: taban = 6 m, yükseklik = 3 m → Alan = 6·3/2 = 9 m²
- D Platformu: taban = 4 m, yükseklik = 3 m → Alan = 4·3/2 = 6 m²
- E Platformu: taban = 4 m, yükseklik = 3 m → Alan = 4·3/2 = 6 m²
- F Platformu: taban = 3 m, yükseklik = 3 m → Alan = 3·3/2 = 4,5 m²
2. Birim Alan Maliyeti:
- Beyaz platform: 3 m² → 120 TL
- 1 m² = 120 / 3 = 40 TL
3. Her Platformun Maliyeti:
- A : 3 · 40 = 120 TL
- B : 9 · 40 = 360 TL
- C : 9 · 40 = 360 TL
- D : 6 · 40 = 240 TL
- E : 6 · 40 = 240 TL
- F : 4,5 · 40 = 180 TL
4. Toplam Maliyet:
Cevap: Tüm platformların toplam maliyeti 1500 TL'dir.
Sayfa 62-63: 16. Uygulama
Taban Uzunlukları Eşit Olan Üçgenlerin Alanları ile Yükseklikleri Arasındaki İlişki
1-3. Adım: Alan-Yükseklik İlişkisi
Tabanı sabit tutulan üçgenlerde yükseklik değiştikçe alanın değişimi.
| Üçgen | Taban (a) | Yükseklik (h) | Alan |
|---|---|---|---|
| Üçgen 1 | a₁ = 6 | h₁ = 2 | 6 |
| Üçgen 2 | a₂ = 6 | h₂ = 4 | 12 |
| Üçgen 3 | a₃ = 6 | h₃ = 6 | 18 |
| Yükseklikler Oranı | Alanlar Oranı | Sonuç |
|---|---|---|
| h₁ / h₂ = 2/4 = 1/2 | Alan₁ / Alan₂ = 6/12 = 1/2 | Eşit |
| h₂ / h₃ = 4/6 = 2/3 | Alan₂ / Alan₃ = 12/18 = 2/3 | Eşit |
| h₁ / h₃ = 2/6 = 1/3 | Alan₁ / Alan₃ = 6/18 = 1/3 | Eşit |
4-5. Genelleme ve Önerme
Genelleme:
Taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanları, yükseklikleriyle doğru orantılıdır.
Önerme:
Bir üçgenin alanı, yüksekliği ile doğru orantılıdır; taban sabit tutulduğunda yükseklik arttıkça alan da aynı oranda artar.
6. Problem: Flamalar
Verilenler:
- Tüm flamaların tabanları eşit: x
- Yükseklik oranı: \( \dfrac{h_K}{h_M} = \dfrac{2}{3} \)
- 1 kırmızı flama = 120 TL
- Toplam 29 flama, dizilim: M, K, M, K, ..., M
a) Bir mavi flamanın maliyeti:
- Alan oranı = yükseklik oranı = 2/3
- \( \dfrac{A_K}{A_M} = \dfrac{2}{3} \) → \( \dfrac{120}{\text{Mavi Ücreti}} = \dfrac{2}{3} \)
- Mavi Ücreti = \( \dfrac{120 \cdot 3}{2} = \mathbf{180\ TL} \)
b) Toplam maliyet:
- Dizilim M, K, M, K, ..., M olduğu için:
- Mavi sayısı = n + 1, Kırmızı sayısı = n
- (n+1) + n = 29 → 2n = 28 → n = 14
- Kırmızı: 14 adet → 14·120 = 1680 TL
- Mavi: 15 adet → 15·180 = 2700 TL
- Toplam = 1680 + 2700 = 4380 TL
a) Bir mavi flama: 180 TL
b) Toplam maliyet: 4380 TL
Sayfa 64: 13. Sıra Sizde
Şehir Planı – Dörtgen Alan ve Müşteri Dağılımı
13. Sıra Sizde
Birbirini dik kesen doğrular şehrin caddelerini temsil etmektedir. Şirkete ait satış mağazalarının konum noktaları birleştirildiğinde bir dörtgen oluşmaktadır.
Servis hizmeti verilen dörtgen şeklindeki bölgenin toplam alanı 98 000 metrekare'dir. Bölgede servis hizmeti alan toplam müşteri sayısı 7000'dir. Servis hizmetinden yararlanan müşteri sayısı, servisin hizmet verdiği bölgenin alanına göre belirlenmektedir.
Çözüm
1. Şeklin Birim Kareler Üzerindeki İncelemesi:
- Ortak taban (yatay köşegen): 10 birim
- Mavi üçgenin yüksekliği: 3 birim
- Turuncu üçgenin yüksekliği: 4 birim
Birim Kare Cinsinden Alanlar:
- Mavi bölge: \( \dfrac{10 \times 3}{2} = \mathbf{15} \) birimkare
- Turuncu bölge: \( \dfrac{10 \times 4}{2} = \mathbf{20} \) birimkare
- Toplam: 15 + 20 = 35 birimkare
a) Bölgelerin Alanları:
- 1 birimkare = 98.000 / 35 = 2.800 m²
- Mavi bölge: 15 × 2.800 = 42.000 m²
- Turuncu bölge: 20 × 2.800 = 56.000 m²
b) Müşteri Sayıları:
- 1.000 m² başına müşteri: 7.000 / 98.000 = 1/14
- Mavi bölge: 42.000 / 14 = 3.000 kişi
- Turuncu bölge: 56.000 / 14 = 4.000 kişi
a) Mavi bölge: 42.000 m², Turuncu bölge: 56.000 m²
b) Mavi bölge: 3.000 müşteri, Turuncu bölge: 4.000 müşteri
Sayfa 65-66: 17. Uygulama
Paralel Doğrular Arasında Ortak Tabana Sahip Üçgenlerin Alanları
1-3. Adım: Paralel Doğrular Arasında Alan
Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip üçgenlerin alanları.
| Üçgen | Taban (a) | Yükseklik (h) | Alan |
|---|---|---|---|
| Üçgen 1 (ABC₁) | a = 6 | h = 4 | 12 |
| Üçgen 2 (ABC₂) | a = 6 | h = 4 | 12 |
4-5. Genelleme ve Önerme
Genelleme:
Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip olan tüm üçgenlerin alanları birbirine eşittir.
Önerme:
Paralel doğrular arasındaki uzaklık sabit olduğu için, ortak tabana sahip üçgenlerin yükseklikleri eşittir. Bu nedenle alanları da eşittir.
6. Problem: Reklam Panosu
Verilenler:
- Panolar paralel çubuklar arasına asılıyor.
- Taban uzunlukları eşit (ortak taban).
- Yükseklikler, paralel çubuklar arası uzaklık kadar.
Tartışma ve Sonuç:
- Paralel doğrular arasındaki yükseklik sabittir.
- Taban uzunlukları da eşit olduğu için:
- Alan₁ = \( \dfrac{taban \cdot h}{2} \) = Alan₂
- Dolayısıyla iki panonun alanları eşittir.
- Reklamcı ücreti alana göre hesapladığına göre fiyat farkı oluşmaz.
Sayfa 66: 14. Sıra Sizde
Paralel Doğrular Arasında Ortak Tabana Sahip Üçgenler – Günlük Yaşam Problemi
14. Sıra Sizde
Köprü İnşaatı Problemi
Bir mühendislik firması, iki paralel nehir kenarı arasına Şekil 1'deki gibi üçgen şeklinde bir köprü ayağı inşa etmeyi planlamaktadır. Köprü ayağının taban uzunluğu 40 metre, nehir kenarları arasındaki dik uzaklık ise 25 metredir.
Daha sonra firma, aynı iki nehir kenarı arasına Şekil 2'deki gibi farklı bir üçgen şeklinde köprü ayağı tasarlamıştır. Bu tasarımda da taban uzunluğu 40 metre olarak planlanmıştır.
Buna göre:
- a) Şekil 1'deki köprü ayağının alanı kaç metrekaredir?
- b) Şekil 2'deki köprü ayağının alanı kaç metrekaredir?
- c) İki köprü ayağının alanları arasında nasıl bir ilişki vardır? Nedenini açıklayınız.
Köprü Ayakları
Çözüm
Verilenler:
- Taban uzunluğu (ortak) = 40 m
- Paralel doğrular arası yükseklik = 25 m
a) Şekil 1'deki Köprü Ayağının Alanı:
- Alan₁ = \( \dfrac{40 \cdot 25}{2} = \mathbf{500\ m^2} \)
b) Şekil 2'deki Köprü Ayağının Alanı:
- Alan₂ = \( \dfrac{40 \cdot 25}{2} = \mathbf{500\ m^2} \)
c) İki Alan Arasındaki İlişki:
- Alan₁ = Alan₂ = 500 m²
- Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip üçgenlerin alanları eşittir.
- Nedeni: Yükseklik (paralel doğrular arası uzaklık) ve taban uzunluğu her iki üçgende de aynıdır.
Sayfa 67-68: 18. Uygulama
Paralel Doğrular Arasında Ortak Tabana Sahip Üçgenlerin Ortak Olmayan Bölgelerinin Alanları
1-4. Adım: Alan İlişkisi
Paralel doğrular arasında ortak tabanlı üçgenlerin alan ilişkisi.
| Üçgen | Alan | İlişki |
|---|---|---|
| ADF | 4 | ADF = BEF |
| BEF | 4 | |
| ABF | 8 | ABF = ADF + BEF |
5. Önerme
Not: ADF = BEF ve ABF = ADF + BEF ilişkisi daima geçerlidir.
6. Problem: Fayans Süsleme
Verilenler:
- 8 adet eş fayans (her biri 18 cm × 20 cm)
- Turkuaz boyalı üçgenlerin alanları toplamı = 1080 cm²
Çözüm:
- Her fayansın alanı: 18 × 20 = 360 cm²
- 8 fayansın toplam alanı: 8 × 360 = 2880 cm²
- Turkuaz boyalı üçgenler: 4 adet, toplam 1080 cm²
- Turuncu boyalı üçgenler: 4 adet
- Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip üçgenlerde ortak olmayan bölgelerin alanları eşittir.
- Bu nedenle turkuaz ve turuncu alanlar toplamı eşittir.
- Turuncu bölgelerin alanları toplamı = 1080 cm²
Sayfa 69: 15. Sıra Sizde
Yıldız Yoğunluğu Problemi – Alan ve Yoğunluk İlişkisi
15. Sıra Sizde
Evrende belirli bir bölgedeki yıldız yoğunluğunu belirlemek isteyen bir gök bilimci, geliştirmiş olduğu yöntemle yüksek çözünürlükle çekilmiş fotoğraflardan bölgenin yıldız yoğunluğunu yaklaşık olarak saptamaktadır.
Gök bilimci yanda verilen fotoğraf üzerine çizdiği iki paralel doğru üzerinde belirlediği A, B, C, D noktalarını birleştirerek ABC ve ABD üçgenleri oluşturuyor. [AC] ve [BD]'nın kesim noktasını K olarak isimlendiriyor. BKC bölgesinde yaklaşık 80 000 yıldız olduğunu ve kilometrekareye 4 tane yıldız düştüğünü hesaplıyor. ADK bölgesinde yer alan yıldız sayısını yaklaşık 120 000 olarak buluyor.
Buna göre gök bilimcinin ADK bölgesi için hesapladığı kilometrekareye düşen yıldız sayısının yaklaşık değerini bulunuz.
Paralel Doğrular ve Yıldız Bölgeleri
Çözüm
Verilenler:
- BKC bölgesi: 80.000 yıldız, yoğunluk = 4 yıldız/km²
- ADK bölgesi: 120.000 yıldız
- ABC ve ABD üçgenleri paralel doğrular arasında ortak tabana sahip
Çözüm:
- BKC alanı = 80.000 / 4 = 20.000 km²
- Paralel doğrular arasında ADK = BKC (ortak olmayan bölgeler eşit alanlı)
- ADK alanı = BKC alanı = 20.000 km²
- ADK yoğunluğu = 120.000 / 20.000 = 6 yıldız/km²
Sayfa 69-71: 19. Uygulama
Benzer Üçgenlerin Alanları Oranı ile Benzerlik Oranı Arasındaki İlişki
1-2. Adım: Benzer Üçgenlerde Alan-Benzerlik Oranı
ABC ve DEF benzer üçgenleri (benzerlik oranı k).
| k değeri | Üçgen | Taban | Yükseklik | Alan |
|---|---|---|---|---|
| k = 2 | ABC | a₁ = 6 | h₁ = 4 | 12 |
| DEF | a₂ = 12 | h₂ = 8 | 48 | |
| k = 3 | ABC | a₁ = 6 | h₁ = 4 | 12 |
| DEF | a₂ = 18 | h₂ = 12 | 108 | |
| k = 4 | ABC | a₁ = 6 | h₁ = 4 | 12 |
| DEF | a₂ = 24 | h₂ = 16 | 192 |
| k değeri | a₂ / a₁ | h₂ / h₁ | Alan(DEF) / Alan(ABC) |
|---|---|---|---|
| k = 2 | 12/6 = 2 | 8/4 = 2 | 48/12 = 4 = 2² |
| k = 3 | 18/6 = 3 | 12/4 = 3 | 108/12 = 9 = 3² |
| k = 4 | 24/6 = 4 | 16/4 = 4 | 192/12 = 16 = 4² |
3-5. Genelleme ve Önerme
Genelleme:
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
Önerme:
Benzerlik oranı \( k \) olan iki üçgenin alanları oranı \( k^2 \)'dir.
6. Problem: Boya
Verilenler:
- Benzerlik oranı: zemin / model = 20
- Model için kullanılan boya: 300 g
a) Tartışma:
- Model, zemine benzer ve ölçeği 1/20'dir.
- Alan oranı = benzerlik oranının karesi = 20² = 400
- Zeminin alanı, modelin alanının 400 katıdır.
- Dolayısıyla zemini boyamak için modelde kullanılan boyanın 400 katı boya gerekir.
b) Toplam boya miktarı:
- Zemin boyası = 300 g × 400 = 120.000 g = 120 kg
Sayfa 72: 16. Sıra Sizde
Logo Tasarımı – Benzer Üçgenler ve Boya Miktarı
16. Sıra Sizde
Asit Baz Nötr Enstitüsü logosunda her bir üçgen, bir önceki üçgenin kenar uzunlukları \( \frac{1}{3} \) oranında kısaltılarak elde edilmiştir. Tüm renkler için 3 m² alanın boyanmasında 1 litre boya kullanılmaktadır.
Buna göre
- a) Sarı üçgen için 6 litre boya kullanıldığına göre gri üçgenin alanı kaç metrekaredir?
- b) Mavi üçgen için 1 litre boya kullanılmış ise beyaz üçgen için kaç litre boya kullanılacağını bulunuz.
Logo ve Renkler
Çözüm
Bilgiler:
- Benzerlik oranı: her üçgen bir öncekinin 1/3'ü
- 3 m² = 1 litre boya
- Alan oranı = benzerlik oranının karesi = (1/3)² = 1/9
a) Sarı üçgen → Gri üçgen:
- Sarı üçgen: 6 litre → 6 × 3 = 18 m²
- Gri üçgen, sarının 1/3'ü ölçeğinde → alanı 1/9'u
- Gri alan = 18 / 9 = 2 m²
b) Mavi üçgen → Beyaz üçgen:
- Mavi üçgen: 1 litre → 3 m²
- beyaz, mavinin bir önceki üçgeni (beyaz, mavinin 1/3'ü)
- Mavi Boya Miktarı= 1/9 Beyaz Boya Miktarı
- Beyaz boya = 9 litre
a) Gri üçgenin alanı: 2 m²
b) Beyaz üçgen için boya: 9 litre
Sayfa 72-73: 20. Uygulama
Farklı Bir Alan Bağıntısı Oluşturma – Sinüs Alan Formülü
1-3. Adım: Sinüs ile Alan Bağıntısı
ABC üçgeninde BC kenarına ait yükseklik ve sinüs ilişkisi.
1. Yüksekliği sinüs ile ifade etme:
2. Alanı kenar ve yükseklik cinsinden:
3. Sinüs ile alan bağıntısı:
Genelleme: Bir üçgenin alanı, iki kenarının uzunlukları ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
4-5. Genelleme ve Önerme
Önerme: Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
6. Problem: Termal Kamera
Verilenler:
- |AB| = 200 m, |AC| = 200 m
- A açısı = 30°
Çözüm (Sinüs Alan Formülü):
- \( A = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin A \)
- \( A = \dfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot 200 \cdot \sin 30^\circ \)
- \( \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \)
- \( A = \dfrac{1}{2} \cdot 200 \cdot 200 \cdot \dfrac{1}{2} = 100 \cdot 200 \cdot \dfrac{1}{2} = 100 \cdot 100 = 10.000 \, \text{m}^2 \)
Sayfa 74: 17. Sıra Sizde
Sinüs Alan Formülü – Cam Parçaları Problemi
17. Sıra Sizde
Cam Parçaları Problemi
Elif, Şekil 1'de verilen üçgen şeklindeki mavi ve sarı iki cam parçasını güvenli bir şekilde [AB] ve [DE] boyunca çakıştırdığında A ve D noktalarının üst üste geldiğini ve üst üste gelen cam parçalarının döndüğünü görmüştür.
|AB| = 8 cm, |AC| = 3 cm, |DE| = 10 cm olmak üzere Şekil 2'de verilen mavi ve sarı üçgenlerden alınan [AB] ve [DE] arasındaki açı 30° olduğuna göre mavi ve sarı üçgenlerin alanları toplamını bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
- |AB| = 8 cm, |AC| = 3 cm (mavi üçgen)
- |DF| = 10 cm (sarı üçgen)
- A ve D noktaları çakıştırıldığında ∠A = ∠D
- Mavi ve sarı üçgenlerin alanları eşit
1. Mavi Üçgenin Alanı:
- \( A_{\text{mavi}} = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin A \)
- \( A_{\text{mavi}} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin A = \mathbf{12 \cdot \sin A} \)
2. Sarý Üçgenin Alanı:
- \( A_{\text{sarı}} = \dfrac{1}{2} \cdot |DF| \cdot |DE| \cdot \sin D \)
- A ve D noktaları çakıştırıldığından \( \angle A = \angle D \)
- \( A_{\text{sarı}} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot |DE| \cdot \sin A = \mathbf{5 \cdot |DE| \cdot \sin A} \)
3. Alanlar Eşit Olduğundan:
- \( 12 \sin A = 5 \cdot |DE| \cdot \sin A \)
- \( \sin A \neq 0 \) olduğu için sadeleştirilir:
- \( 12 = 5 \cdot |DE| \)
- \( |DE| = \dfrac{12}{5} = \mathbf{2,4\ cm} \)
Sayfa 75: Alıştırmalar
Üçgen Alan Problemleri
Soru 1: Tente
Eni 6 metre olan tente, Şekil 2'deki konuma getirildiğinde mavi dikdörtgenin alanı iki katına çıkmıştır. ABC ve DBE üçgenlerinin alanları eşit olduğuna göre Şekil 2'de D noktasının tenteğin sol kenarına olan en kısa uzaklığını bulunuz.
Soru 1: Tente
Eni 6 metre olan tente, Şekil 2'deki konuma getirildiğinde mavi dikdörtgenin alanı iki katına çıkmıştır. ABC ve DBE üçgenlerinin alanları eşit olduğuna göre Şekil 2'de D noktasının tenteğin sol kenarına olan en kısa uzaklığını bulunuz.
Verilenler:
- Tente eni (genişliği) = 6 m
- Metal mekanizma eş parçalardan: AC = AB = DE = DB
- Şekil 2'de mavi dikdörtgenin alanı iki katına çıkmış → BE = 2a
- Alan(ABC) = Alan(DBE)
Çözüm:
- Şekil 1 (ABC alanı):
- \( A_{\text{ABC}} = \dfrac{|BC| \cdot a}{2} = \dfrac{6 \cdot a}{2} = 3a \)
- Şekil 2 (DBE alanı):
- |BE| = 2a
- D noktasının sol kenara uzaklığı = x
- D'den BE'ye dik uzaklık = 6 - x
- \( A_{\text{DBE}} = \dfrac{|BE| \cdot (6 - x)}{2} = \dfrac{2a \cdot (6 - x)}{2} = a \cdot (6 - x) \)
- Alan eşitliğinden:
- \( 3a = a \cdot (6 - x) \)
- \( 3 = 6 - x \) → \( x = \mathbf{3\ metre} \)
Soru 2: Karton Katlama
Dik kenar uzunlukları 12 ve 15 cm olan dik üçgen şeklindeki karton, bir köşesi diğer kenar üzerine gelecek şekilde katlandığında yeşil üçgenin görünen kısmının alanını bulunuz.
Çözüm:
1. Dik Üçgenin Toplam Alanı:
- \( A_{\text{ABC}} = \dfrac{12 \cdot 15}{2} = \mathbf{90\ cm^2} \)
2. İç Açıortay ile Alan Dağılımı:
- Katlama çizgisi [AD], A açısına ait iç açıortaydır.
- \( \dfrac{\text{Alan(ABD)}}{\text{Alan(ADC)}} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} \)
- Alan(ABD) = 4A, Alan(ADC) = 5A
- \( 4A + 5A = 90 \) → \( 9A = 90 \) → \( A = \mathbf{10\ cm^2} \)
- Alan(ADC) = 5A = 50 cm²
3. Katlama Sonrası Alan Dağılımı:
- |AB| = |AE| = 12 cm, |EC| = 15 - 12 = 3 cm
- \( \dfrac{\text{Alan(ADE)}}{\text{Alan(DEC)}} = \dfrac{|AE|}{|EC|} = \dfrac{12}{3} = 4 \)
- Alan(DEC) = S, Alan(ADE) = 4S
- Alan(ADC) = 4S + S = 5S = 50 → \( S = \mathbf{10\ cm^2} \)
- Yeşil görünen kısım = Alan(DEC) = S = 10 cm²
Soru 3: Uçurtma
Üstteki ikizkenar üçgenin alanı alttakinin 2/5'i olacak şekilde tasarlanan uçurtmada, yatay çıta 80 cm, dikey çıta 105 cm olduğuna göre çıtaların etrafını sarmak için kullanılan ipin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
1. Dikey Çıtanın Bölünmesi:
- Alan oranı = yükseklik oranı = 2/5
- h₁ = 2k, h₂ = 5k, h₁ + h₂ = 105
- 7k = 105 → k = 15
- h₁ = 30 cm, h₂ = 75 cm
2. Kenar Uzunlukları (Pisagor):
- Yarım yatay = 80/2 = 40 cm
- Üst kenar: a = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 cm
- Alt kenar: b = √(75² + 40²) = √(5625 + 1600) = √7225 = 85 cm
3. Çevre (İp Uzunluğu):
- Çevre = 2a + 2b = 2·50 + 2·85 = 100 + 170 = 270 cm
Soru 4: Halı
Birbirine eş eşkenar üçgenlerden oluşan zeminin tamamı 16 m²'dir. Yeşil halının alanını bulunuz.
Çözüm:
1. Birim Üçgen Sayısı:
- Büyük üçgenin tabanında 4 birim kenar var (n = 4)
- Katmanlar: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 birim üçgen
2. Bir Birim Üçgenin Alanı:
- Toplam alan = 16 m²
- Birim alan = 16 / 16 = 1 m²
3. Yeşil Bölgenin Alanı:
- Yeşil bölge, merkezdeki 7 birim üçgenden oluşur.
- Yeşil alan = 7 · 1 = 7 m²