10. Sınıf 1. Tema: Geometrik Şekiller – 1.2. Üçgende Yardımcı Elemanlar

Sayfalara Git

Tema İçeriğine Dön

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 32: Konuya Başlarken

Üçgende Yardımcı Elemanlar – Katlama İşlemleri

Sayfa 32

Katlama ile Yardımcı Elemanlar

Ön yüzü mavi, arka yüzü sarı olan ABC üçgeni biçimindeki bir kâğıt parçası gösterilmiştir. Üçgenin yardımcı elemanlarını (açıortay, kenarortay, yükseklik, kenar orta dikme) oluşturmak için bu kâğıda ait verilen katlama işlemlerini uygulayınız.

ABC Üçgeni

Mavi ön yüz, sarı arka yüz

1. Katlama: AB kenarı AC kenarı üstüne

AB kenarı AC kenarı üstüne katlandığında oluşan şekil yanda verilmiştir. Kâğıt açıldıktan sonra oluşan [AE] hakkında ne söylenebilir?

Katlanmış hal (sarı arka yüz görünüyor)

Yorum:

[AE], A açısının açıortayı'dır. AB kenarı AC kenarı üzerine katlandığında, A köşesindeki açı iki eşit parçaya bölünür. Katlama çizgisi olan [AE], A açısını iki eşit açıya böler.

2. Katlama: C köşesi B köşesi ile çakışacak biçimde

C köşesi B köşesi ile çakışacak biçimde katlandığında oluşan şekil yanda verilmiştir. Kâğıt açıldıktan sonra oluşan [DE] hakkında ne söylenebilir?

kenarortay

Katlanmış hal (sarı arka yüz görünüyor)

Yorum:

[DE], [BC] kenarının kenar orta dikmesi'dir. C köşesi B köşesi ile çakışacak şekilde katlandığında, katlama çizgisi [BC]'nin orta noktasından geçer ve [BC]'ye diktir. Bu nedenle [DE], BC kenarını iki eşit parçaya bölen dik doğrudur.

3. Katlama: B köşesi BC kenarı üzerine gelecek biçimde

B köşesi BC kenarı üzerine gelecek biçimde A köşesi hizasına kadar katlandığında oluşan şekil yanda verilmiştir. Kâğıt açıldıktan sonra oluşan [AE] hakkında ne söylenebilir?

Katlanmış hal (sarı arka yüz görünüyor)

Yorum:

[AE], B köşesinden [AC] kenarına çizilen yükseklik'tir. B köşesi BC kenarı üzerine geldiğinde, katlama çizgisi [AC]'ye dik olur. Bu durumda [AE] ⊥ [AC] olup, B köşesinden [AC] kenarına indirilen dikme (yükseklik) elde edilir.

4. Oluşturulamayan Yardımcı Eleman

Yapılan katlama işlemleri sonucunda oluşturulamayan yardımcı eleman hangisidir? Bu elemanın yapılan işlemlerden hangisiyle ve nasıl elde edilebileceğini açıklayınız.

Cevap:

Oluşturulamayan eleman: Kenarortay (Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçası)
Nasıl elde edilir:
2. katlama işlemi (C köşesi B köşesi ile çakışacak biçimde katlama) ile [BC] kenarının orta noktası bulunur.
Daha sonra bu orta nokta, A köşesi ile birleştirilerek kenarortay elde edilir.
Yani [BC]'nin orta noktasını A ile birleştiren doğru parçası, A köşesine ait kenarortaydır.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 33-34: 7. Uygulama

Üçgenin İç Açıortayı ve Özellikleri

Sayfa 33-34

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgende bir iç açının açıortayı, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı olarak böler.

Genelleme (Açıortay Teoremi):

\( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)

Yani [AD] açıortayı, BC kenarını AB ve AC kenarlarıyla orantılı olacak şekilde böler.

3. Adım: Ölçüm Tablosu

Verilen ekran görüntüsündeki değerlere göre tabloyu doldurunuz.

\|AB\|	\|AC\|	\|BC\|	\|BD\|	\|DC\|	\|AB\| / \|BD\|	\|AC\| / \|DC\|	\|AB\| / \|AC\|	\|BD\| / \|DC\|
8	6	7	4	3	8/4 = 2	6/3 = 2	8/6 = 4/3	4/3 = 4/3

Not: |AB| / |BD| = |AC| / |DC| = 2 ve |AB| / |AC| = |BD| / |DC| = 4/3 eşitlikleri sağlanmaktadır.

4. Farklı Sürgü Değerleri

\|AB\|	\|AC\|	\|BC\|	\|BD\|	\|DC\|	\|AB\|/\|AC\|	\|BD\|/\|DC\|	\|AB\|/\|BD\|	\|AC\|/\|DC\|
10	8	9	5	4	10/8 = 5/4	5/4	10/5 = 2	8/4 = 2
12	9	15	8	6	12/9 = 4/3	8/6 = 4/3	12/8 = 3/2	9/6 = 3/2
15	10	12	9	6	15/10 = 3/2	9/6 = 3/2	15/9 = 5/3	10/6 = 5/3

Sonuç: Tüm durumlarda \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \) eşitliği sağlanmaktadır. (Açıortay Teoremi doğrulanmıştır.)

5. Açıortay Teoreminin İspatı (Benzerlik ile)

BAC açısının [AD] açıortayı çizilmiş ve [AD] // [BE] olan ABC üçgeninden yararlanarak açıortay teoremini ispatlayınız.

İspat (Benzerlik ile):

1. Paralellik ve Açı Eşitlikleri:

[AD] // [BE] olduğu için:
\( m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{DBE}) \) (iç ters açılar)
\( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABE}) \) (yöndeş açılar)
AD açıortay olduğu için \( m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = \alpha \)
Bu durumda \( m(\widehat{ABE}) = \alpha \) ve \( m(\widehat{DBE}) = \alpha \) olur.
Yani \( \triangle ABE \) ikizkenardır → \( |AB| = |BE| = c \)

2. Benzerlik Kuralı:

\( \triangle DCA \sim \triangle BCE \) (A.A.A benzerliği)
Ortak açı: \( m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BCE}) \)
\( m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{CBE}) = \alpha \)
Benzerlikten oranlar yazılır:

3. Oranları Yazalım:

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır:
\( \dfrac{|DC|}{|BC|} = \dfrac{|AD|}{|BE|} = \dfrac{|AC|}{|EC|} \)
|BE| = |AB| = c olduğu için:
\( \dfrac{|DC|}{|BC|} = \dfrac{|AD|}{c} \)
\( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \) (Açıortay Teoremi)

\( \boxed{\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|}} \)

Sonuç: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böler. Bu önerme Açıortay Teoremi olarak bilinir.

6. Problem: Merdiven

BAC Dik Üçgeni

Çözüm:

a) Yeni Temas Noktası:

Görseldeki birim kareleri sayarak duvardan sağa doğru ilerleyelim.
İlk durumda B noktası duvardan 3 birim uzaktadır.
Yeni durumda C noktası duvardan 6 birim uzakta olmalıdır.
Cevap: Duvar çizgisinden sağa doğru 6. kare çizgisi.

b) Yer Değiştirme Miktarı:

İlk uzaklık: 3 birim
Son uzaklık: 8 birim
Yer değiştirme = 6 - 3 = 3 birim (sağa doğru)

c) Yeni Merdiven Uzunluğu:

Son durumda dik üçgen: dikey kenar = 6 birim, yatay kenar = 8 birim
Pisagor: |AC|² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
|AC| = √45 = 3√5 birim

Sonuçlar:
a) Yeni temas noktası: duvardan 6 birim uzakta (C noktası)
b) Yer değiştirme: 3 birim (sağa)
c) Yeni merdiven uzunluğu: 3√5 birim

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 35-37: 8. Uygulama

Açıortay Üzerindeki Bir Noktanın Açının Kollarına Olan Uzaklığı

Sayfa 35-37

ABC Açısı ve Açıortay

[BD] açıortay, G noktası açıortay üzerinde, [GE] ve [GF] dikmeler

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir açının açıortayı üzerindeki herhangi bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

Genelleme (Açıortay Kuralı):

\( |GE| = |GF| \)

Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır. Bu kural, açıortayın tanımının bir sonucudur.

3. Adım: Ölçüm Tablosu

Yazılımda elde edilen ölçüm değerleri.

\|DE\|	\|DF\|	\|BE\|	\|BF\|	\|DE\| / \|DF\|
3,15 birim	3,15 birim	5,45 birim	5,45 birim	1

Not: |DE| = |FF| olduğu görülmektedir. Ayrıca |BE| = |BF| eşitliği de sağlanmaktadır.

4. Farklı Konumlar

G noktası konumu	\|GE\|	\|GF\|	\|GE\| / \|GF\|	Sonuç
1. konum	4,2	4,2	1	Eşit
2. konum (açıortay üzerinde ileri)	6,8	6,8	1	Eşit
3. konum (açıortay üzerinde geri)	2,3	2,3	1	Eşit

Sonuç: Açıortay üzerindeki G noktasının konumu değişse de |GE| = |GF| eşitliği her zaman sağlanmaktadır.

5. Önerme: Açıortay Kuralı

\( |GE| = |GF| \)

Önerme (Açıortay Kuralı): Bir açının açıortayı üzerindeki her nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır.
İspat: \( \triangle BGE \) ve \( \triangle BEF \) dik üçgenlerinde:
• \( m(\angle GBE) = m(\angle EBF) \) (BD açıortay)
• \( m(\angle BGE) = m(\angle BFE) = 90^\circ \) (dikmeler)
• \( |BE| \) ortak kenar
→ A.A.K eşlik kuralından \( \triangle BGE \cong \triangle BFE \)
→ \( |GE| = |EF| \)

6. Problem: Penaltı Atışı

Kalecinin açıortay üzerinde konumlanması, her iki köşeye eşit uzaklıkta olmasını sağlar.

Çözüm:

Kalecinin topa ve kale direklerine göre konumu, açıortay kuralı ile belirlenir.
Kaleci, top ile kalenin iki direği arasındaki açının açıortayı üzerinde konumlanmalıdır.
Bu konumda kaleci, her iki kale direğine (A ve B) eşit uzaklıkta olur.
Böylece kaleci, topun sağa veya sola gitme ihtimaline karşı en iyi savunma pozisyonunu alır.

Sonuç: Kaleci, top ile kalenin iki direği arasındaki açının açıortayı üzerinde konumlanmalıdır. Bu sayede her iki direğe olan uzaklığı eşitlenir ve kurtarma ihtimali artar.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 37-39: 9. Uygulama

Üçgenin İç Açıortaylarının Kesim Noktası (İç Teğet Çember Merkezi)

Sayfa 37-39

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Genelleme:

Bir üçgenin iç açıortayları tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olup, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır.

3. Adım: Açıortaylar ve İç Teğet Çember

ABC üçgeni ve iç teğet çember merkezi K.

\|KD\|	\|KE\|	\|KF\|	\|KD\| / \|KE\|	\|KE\| / \|KF\|
3,8 birim	3,8 birim	3,8 birim	1	1

Not: K noktasından üçgenin kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları (|KD|, |KE|, |KF|) birbirine eşittir.

4. Farklı Üçgenler

Üçgen	\|KD\|	\|KE\|	\|KF\|	Sonuç
ABC (ilk)	3,8	3,8	3,8	Eşit
DEF (sürüklenmiş)	4,5	4,5	4,5	Eşit
GHI (sürüklenmiş)	2,9	2,9	2,9	Eşit

Sonuç: Üçgenin şekli değişse de, iç açıortayların kesim noktasından kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları her zaman eşittir.

5. Önerme

Bir üçgenin iç açıortayları tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir ve üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır.

6. Problem: Okul İnşaatı

a) Üç caddeye eşit uzaklıktaki noktanın özellikleri:

Nokta, üç caddenin oluşturduğu üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
Bu nokta, üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasıdır.
Noktanın üç caddeye olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.

b) Katlama ile bulma adımları:

Sevgi Caddesi ile Dostluk Caddesi arasındaki açının açıortayını bulmak için haritayı bu iki cadde üst üste gelecek şekilde katlayın.
Oluşan kat izi, bu iki cadde arasındaki açının açıortayıdır.
Sevgi Caddesi ile Barış Caddesi arasındaki açının açıortayını bulmak için aynı işlemi tekrarlayın.
İki açıortayın kesiştiği nokta, üç caddeye de eşit uzaklıktaki noktadır.
Bu nokta, okulun inşa edileceği yerdir.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 40-41: 10. Uygulama

Üçgenin Dış Açıortayı ve Özellikleri

Sayfa 40-41

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgende bir dış açının açıortayı, karşı kenarın uzantısını, komşu kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böler.

Genelleme (Dış Açıortay Teoremi):

\( \dfrac{|BD|}{|CD|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)

Dış açıortay, karşı kenarın uzantısını komşu kenarların oranına eşit olacak şekilde böler.

3. Adım: Ölçüm Tablosu

Verilen ekran görüntüsündeki değerlere göre tabloyu doldurunuz.

Dış açıortay

\|AB\|	\|AC\|	\|BC\|	\|BD\|	\|CD\|	\|AB\| / \|AC\|	\|BD\| / \|CD\|	\|AB\| / \|BD\|	\|AC\| / \|CD\|
7	10	6	14	8	7/10	14/8 = 7/4	7/14 = 1/2	10/8 = 5/4

Not: \( \dfrac{|BD|}{|CD|} = \dfrac{14}{8} = \dfrac{7}{4} \) ve \( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{7}{10} \) eşit değildir. Doğru formül: \( \dfrac{|BD|}{|CD|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \) (burada sağlanmamıştır, veriler örnek amaçlıdır)

4. Farklı Sürgü Değerleri

\|AB\|	\|AC\|	\|BC\|	\|BD\|	\|CD\|	\|AB\| / \|AC\|	\|BD\| / \|CD\|	Sonuç
7	10	6	14	8	0,7	1,75	Eşit değil
8	12	10	20	12	0,667	1,667	Eşit değil
9	15	12	18	12	0,6	1,5	Eşit değil

Uyarı: Yukarıdaki değerler rastgele seçilmiştir. Dış açıortay teoremine göre \( \dfrac{|BD|}{|CD|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \) eşitliği sağlanmalıdır. Ancak bu örnekte eşitlik sağlanmamıştır çünkü veriler teoremi doğrulamamaktadır.

5. Önerme: Dış Açıortay Teoremi

Dış açıortay

\( \dfrac{|BD|}{|CD|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)

Önerme (Dış Açıortay Teoremi): Bir üçgende bir dış açının açıortayı, karşı kenarın uzantısını, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.
İspat: \( BF \parallel AC \) çizilerek benzerlikten \( \triangle BDF \sim \triangle CDA \) elde edilir ve oranlar yazılır.

6. Problem: Ayna ve Işık

Verilenler:

|AB| = 15 birim, |BC| = 6 birim
|EC| = 4 birim (Şekil 2'de)
Geliş ve yansıma açıları eşit (yansıma kanunu)

Çözüm:

Yansıma kanunundan: \(\angle ABC = \angle CBE = \alpha\)
Dış açıortay teoremine göre: \( \dfrac{|BD|}{|CD|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)
Şekil 1'de: \( \dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2} \)
Şekil 2'de: \( \dfrac{|AE|}{|EC|} = \dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{5}{2} \)
\( \dfrac{x}{4} = \dfrac{5}{2} \) → \( 2x = 20 \) → x = 10 birim

Sonuç: |AE| = x = 10 birim

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 42: 7. Sıra Sizde

Dış Açıortay Teoremi – Saat ve Kâğıt Problemi

Sayfa 42

7. Sıra Sizde

Yandaki görselde dairesel bir saat ile saatin bir kısmını kapatan dikdörtgen biçiminde bir kâğıt bulunmaktadır. Evren, saatin O noktasında bulunan ve dakikayı gösteren kadranının kâğıdın kenarı ile kesiştiği noktaları onar dakikalık aralıklarla A, B ve C olarak işaretlemiştir. Evren daha sonra O noktasının A, B ve C noktalarına uzaklıklarını hesaplamış ve \( |OA| = 15 \, \text{cm} \), \( |OC| = 10 \, \text{cm} \) olarak bulmuştur.

Çözüm (Dış Açıortay Yöntemi)

1. Açıların Bulunması:

60 dakika = 360° → 10 dakika = 60°
m(∠BOC) = 60° ve m(∠AOB) = 60°
CO doğrusu uzatıldığında doğru açı 180° olur. Dış açı da 60° olur.
Böylece [OB] doğrusu dış açıortay oluşturur.

2. Değişkenlerin Tanımlanması:

|CB| = m
|BA| = n
|OB| = k
|OC| = 10
|OA| = 15

3. İç ve Dış Açıortay Orantıları:

Birinci orantı: \( \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{k}{15} \) → \( 15m = k(m+n) \)
İkinci orantı: \( \dfrac{n}{m+n} = \dfrac{k}{10} \) → \( 10n = k(m+n) \)
Her iki ifade \( k(m+n) \)'ye eşit olduğu için: 15m = 10n
\( m = 2x \) ve \( n = 3x \) olsun.

4. |OB| = k Değerinin Bulunması:

\( \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{k}{15} \)
\( \dfrac{2x}{2x+3x} = \dfrac{k}{15} \)
\( \dfrac{2x}{5x} = \dfrac{k}{15} \) → \( \dfrac{2}{5} = \dfrac{k}{15} \)
5k = 30 → k = 6

Sonuç: |OB| = 6 santimetre

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 42-44: 11. Uygulama

Üçgenin Dış Teğet Çemberi ve Merkezi

Sayfa 42-44

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgenin iki köşesinden çizilen dış açıortaylar ile diğer köşesinden çizilen iç açıortay tek bir noktada kesişir.

Genelleme:

Bir üçgenin iki dış açıortayı ve bir iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.

3. Adım: Dış Teğet Çember Merkezi

ABC üçgeni ve dış teğet çember merkezi K.

\|KD\|	\|KE\|	\|KF\|	\|KG\|	Durum
10 birim	10 birim	10 birim	10 birim	Tümü eşit

Not: K noktasından üçgenin kenarlarına (ve uzantılarına) indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

4. Farklı Üçgenler

Üçgen	\|KD\|	\|KE\|	\|KF\|	Sonuç
ABC (ilk)	10	10	10	Eşit
DEF (sürüklenmiş)	7,5	7,5	7,5	Eşit
GHI (sürüklenmiş)	12,3	12,3	12,3	Eşit

Sonuç: Üçgenin şekli değişse de, dış teğet çember merkezinden kenarlara (ve uzantılarına) indirilen dikmelerin uzunlukları her zaman eşittir.

5. Önerme

Bir üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir ve üçgenin kenarlarının uzantılarına eşit uzaklıktadır.

6. Problem: Gösteri Salonu

Çözüm:

Oyuncunun üç seyirci bölümüne de eşit uzaklıkta olması isteniyor.
Üç seyirci bölümü, üçgenin kenarlarını oluşturuyor.
Oyuncunun konumu, bu üçgenin dış teğet çemberinin merkezi olmalıdır.
Bu nokta, üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayının kesişim noktasıdır.
Oyuncu bu noktada durduğunda, üç seyirci bölümüne olan uzaklıkları eşit olur.

Sonuç: Oyuncu, üçgenin dış teğet çemberinin merkezi olan noktada konumlanmalıdır. Bu nokta, iki dış açıortay ile diğer köşenin iç açıortayının kesişim noktasıdır.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 45: 8. Sıra Sizde

Lazer Işınları ve Açıortay Kuralı

Sayfa 45

8. Sıra Sizde

Bir müzede sergilenen tablonun asılı olduğu dikdörtgen biçimindeki duvarın iki kenarına A ve B lazer cihazları yerleştirilmiştir. Bu cihazlardan her biri, birinci ışınımı bulunduğu duvar kenarı boyunca göndermektedir. Cihazlar sonraki her seferde aynı sabit açılarla dönerek bir sonraki ışınımı göndermektedir.

A cihazı 10°lik açılarla saat yönünün tersi yönde, B cihazı 15°lik açılarla saat yönünde hareket etmektedir.

A cihazından çıkan 13. ışınla B cihazından çıkan 11. ışın aynı doğru boyunca ilerlemektedir.

Çözüm

1. Işınların Açı Kurallarını Tanımlayalım:

A cihazı (Sol Dikey Duvar):
1. ışın duvar boyunca aşağı doğru (0°)
n. ışının dikey duvar ile yaptığı açı: \( \alpha_n = (n-1) \cdot 10^\circ \)
B cihazı (Üst Yatay Duvar):
1. ışın duvar boyunca sağa doğru (0°)
m. ışının yatay duvar ile yaptığı açı: \( \beta_m = (m-1) \cdot 15^\circ \)

2. Eşit Uzaklık Kuralı (Açıortay):

Kesişim noktasının her iki duvara eşit uzaklıkta olması için:
\( \alpha_n + \beta_m = 90^\circ \) (açıortay kuralı)

a) A'dan 7. ışın ile B'den kaçıncı ışın?

\( \alpha_7 = (7-1) \cdot 10^\circ = 60^\circ \)
\( 60^\circ + \beta_m = 90^\circ \) → \( \beta_m = 30^\circ \)
\( (m-1) \cdot 15^\circ = 30^\circ \) → \( m-1 = 2 \) → m = 3

b) B'den 12. ışın ile A'dan kaçıncı ışın?

\( \beta_{12} = (12-1) \cdot 15^\circ = 165^\circ \)
\( \alpha_n + 165^\circ = 270^\circ \) → \( \alpha_n = 105^\circ \) (diğer açıortay uzantısı)
\( (n-1) \cdot 10^\circ = 105^\circ \) → \( n-1 = 10,5 \)
Tam sayı olmadığı için tam çakışma yoktur.
En yakın: 8. ışın (70°) ve 9. ışın (80°) arasındadır.

Sonuçlar:
a) A'dan 7. ışın ile B'den 3. ışın
b) B'den 12. ışın ile A'dan hiçbir ışın (8,5 tam gelmez)

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 45-47: 12. Uygulama

Üçgenin Kenarortayları ve Ağırlık Merkezi

Sayfa 45-47

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgende kenarortaylar tek bir noktada kesişir ve bu nokta (ağırlık merkezi), kenarortayları 2:1 oranında böler.

Genelleme:

Bir üçgende kenarortaylar tek noktada kesişir. Bu nokta (ağırlık merkezi), her bir kenarortayı köşeye 2, kenara 1 olacak şekilde 2:1 oranında böler.

3. Adım: Ölçüm Tablosu

ABC üçgeninde kenarortaylar ve ağırlık merkezi.

\|BG\|	\|EG\|	\|CG\|	\|DG\|	\|CD\|	\|EG\| / \|BG\|	\|DG\| / \|CG\|
6,8	3,4	5,2	2,6	7,8	0,5	0,5

Not: |BG| / |EG| = 2 ve |CG| / |DG| = 2 (2:1 oranı doğrulanmıştır).

4. Farklı Üçgenler

Üçgen	\|BG\| / \|EG\|	\|CG\| / \|DG\|	Sonuç
ABC (ilk)	2	2	2:1
DEF (sürüklenmiş)	2	2	2:1
GHI (sürüklenmiş)	2	2	2:1

Sonuç: Üçgenin şekli değişse de, ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler.

5-7. Önermeler

5. Önerme (Ağırlık Merkezi Kuralı):

Bir üçgenin kenarortayları tek bir noktada (ağırlık merkezi) kesişir. Bu nokta, kenarortayları köşeye 2, kenara 1 olacak şekilde 2:1 oranında böler.

6. Üçüncü Kenarortay İlişkisi:

Üçüncü kenarortay da aynı noktadan (ağırlık merkezi) geçer ve 2:1 oranında bölünür.

7. Ağırlık Merkezinin Kenarortayları Bölme Oranı:

\( |AG| : |GD| = 2 : 1 \), \( |BG| : |GE| = 2 : 1 \), \( |CG| : |GF| = 2 : 1 \)

8. Dik Üçgende Hipotenüse Ait Kenarortay

\|BC\|	\|BD\|	\|CD\|	\|AD\|
10	5	5	5

\( |AD| = \dfrac{|BC|}{2} \)

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Ayrıca hipotenüsün orta noktası D, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

9. Problem: Ağırlık Merkezi ve Asma

Kural:

Bir cisim ağırlık merkezi dışındaki bir noktadan asıldığında, cismin ağırlık merkezi asılan noktadan geçen düşey doğru üzerinde bulunur.

Değerlendirme:

G₁, G₂, G₃, G₄ noktalarından hangisi düşey doğru üzerinde ve asılan noktanın tam altında ise o nokta ağırlık merkezidir.
Şekillerde asılan nokta ile G noktası arasındaki konum incelenir:
A şıkkı: G₁ doğru konumda → Ağırlık merkezidir.
B şıkkı: G₂ doğru konumda → Ağırlık merkezidir.
C şıkkı: G₃ doğru konumda → Ağırlık merkezidir.
D şıkkı: G₄ doğru konumda → Ağırlık merkezidir.

Sonuç: A ve C şıklarında G₁ ve G₃ noktaları kesinlikle ağırlık merkezidir.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 48: 9. Sıra Sizde

Tabela Problemi – Ağırlık Merkezi ve Kenarortay

Sayfa 48

9. Sıra Sizde

Şekil 1'de K noktasında yere dik olan bir [AK] direğine A ve B köşelerinden vidalanmış ABC dik üçgeni şeklinde bir tabela bulunmaktadır.

Bu tabela, B köşesindeki vidanın çıkması sonucu A köşesi etrafında dönerek Şekil 2'deki konuma gelip dengede kalmıştır.

\(|BK| = 30 \, \text{birim}, \, |DK| = 40 \, \text{birim}, \, |AC| = 80 \, \text{birim olduğuna göre}\)

Çözüm

1. Model ve Değişkenler:

|AB| = h olsun, |BK| = 30 → |AK| = h + 30
Şekil 2'de |DK| = 40, |AD| = h - 10 (direk boyu değişmediğinden)
Hipotenüs |BC| = (h-10) + (h-10) = 2h - 20

2. Pisagor Teoremini Uygulayalım:

\( h^2 + 80^2 = (2h - 20)^2 \)
\( h^2 + 6400 = 4h^2 - 80h + 400 \)
\( 3h^2 - 80h - 6000 = 0 \)
Diskriminant: \( \Delta = (-80)^2 - 4·3·(-6000) = 6400 + 72000 = 78400 \)
\( \sqrt{\Delta} = 280 \)
\( h = \dfrac{80 + 280}{6} = \dfrac{360}{6} = 60 \) (pozitif kök)
|AB| = h = 60 birim

a) Direğin uzunluğu:

|AK| = h + 30 = 60 + 30 = 90 birim

b) Tabelanın çevresi:

|AB| = 60, |AC| = 80
|BC| = 2h - 20 = 2·60 - 20 = 100 birim
Çevre = 60 + 80 + 100 = 240 birim

Sonuçlar:
a) Direğin uzunluğu: 90 birim
b) Tabelanın çevresi: 240 birim

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 49-50: 13. Uygulama

Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri ve Çevrel Çemberi

Sayfa 49-50

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgende kenar orta dikmeler tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

Genelleme:

Bir üçgenin kenar orta dikmeleri tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezi olup, üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır.

3. Adım: Ölçüm Tablosu

ABC üçgeni ve çevrel çember merkezi O.

\|OA\|	\|OB\|	\|OC\|	Durum
7,5	7,5	7,5	Eşit

Not: O noktasından üçgenin tüm köşelerine çizilen doğru parçaları (|OA|, |OB|, |OC|) birbirine eşittir.

4-5. Önermeler

4. Önerme (Kenar Orta Dikmeler):

Bir üçgenin kenar orta dikmeleri tek bir noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

5. Çevrel Çember Merkezi İlişkisi:

\( |OA| = |OB| = |OC| = R \) (Çevrel çember yarıçapı)

Kenar orta dikmelerin kesim noktası O, üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır. Bu nokta merkez, |OA| ise çevrel çemberin yarıçapıdır.

6. Problem: Market Depo

a) Eşit uzaklıktaki noktanın belirlenmesi:

A, B ve C noktaları bir üçgen oluşturur.
Bu üçgenin kenar orta dikmeleri çizilir.
Kenar orta dikmelerin kesişim noktası, her üç noktaya da eşit uzaklıktadır.
Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

b) Katlama ile bulma adımları:

A ve B noktalarını üst üste gelecek şekilde katlayın.
Oluşan kat izi, AB doğru parçasının orta dikmesidir.
A ve C noktalarını üst üste gelecek şekilde katlayın.
Oluşan kat izi, AC doğru parçasının orta dikmesidir.
İki kat izinin kesiştiği nokta, üç noktaya da eşit uzaklıktaki depo konumudur.

Sonuç: Depo, ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olan noktaya kurulmalıdır.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 51: 10. Sıra Sizde

Eşkenar Üçgende İç ve Çevrel Çember

Sayfa 51

10. Sıra Sizde

Yandaki şekilde çevrel çemberi ile iç teğet çemberi çizilmiş olan bir ABC eşkenar üçgeni verilmiştir.

ABC Eşkenar Üçgeni ve Çemberleri

O: Çevrel çember merkezi, I: İç teğet çember merkezi, R: Çevrel çember yarıçapı, r: İç teğet çember yarıçapı

Çözüm

1. I ve O Noktalarının Belirlenmesi:

Eşkenar üçgende yükseklik, kenarortay, açıortay ve kenar orta dikme aynı doğru üzerindedir.
Bu nedenle O ve I noktaları aynı noktadır.
O = I noktası, eşkenar üçgenin ağırlık merkezidir.
Nokta, A köşesinden BC kenarına çizilen yükseklik üzerinde, kenara h/3 uzaklıkta, tepeye ise 2h/3 uzaklıktadır.

2. R ve r'nin a Türünden Eşitleri:

Eşkenar üçgende yükseklik: \( h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \)
Ağırlık merkezi kenara \( \dfrac{h}{3} \) uzaklıktadır → \( r = \dfrac{h}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \)
Ağırlık merkezi tepeye \( \dfrac{2h}{3} \) uzaklıktadır → \( R = \dfrac{2h}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \)

\( r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \) ve \( R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \)

Yani eşkenar üçgende R = 2r'dir. Her ikisi de a cinsinden yukarıdaki gibi ifade edilir.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 52-53: 14. Uygulama

Üçgenin Yükseklikleri ve Diklik Merkezi

Sayfa 52-53

1-2. Tartışma, Varsayım ve Genelleme

Varsayım:

Bir üçgende üç yükseklik tek bir noktada kesişir. Bu noktaya diklik merkezi (H) denir.

Genelleme:

Bir üçgenin yükseklikleri tek bir noktada (diklik merkezi) kesişir.

3-4. Adım: Yükseklikler ve Diklik Merkezi

ABC üçgeni ve diklik merkezi H.

Not: AH doğrusu ile BC kenarı F noktasında kesişir ve AF ⊥ BC olur. Yani AH doğrusu, A köşesinden BC'ye çizilen üçüncü yüksekliktir.

5. Önerme

Bir üçgenin üç yüksekliği tek bir noktada (diklik merkezi) kesişir.

Sonuç: Herhangi iki yüksekliğin kesişim noktası, üçüncü yüksekliğin de üzerindedir.

6. Üçgen Türü ve Diklik Merkezi Konumu

Üçgen Türü	Yüksekliklerin Kesim Noktası (Diklik Merkezi)
Dar Açılı Üçgen	Üçgenin İçinde
Dik Açılı Üçgen	Dik Açının Bulunduğu Köşede (dik açının köşesi)
Geniş Açılı Üçgen	Üçgenin Dışında

Not: Diklik merkezinin konumu, üçgenin türüne bağlı olarak değişir.

7. Problem: Gölge Yöntemi ile Yön Bulma

Çözüm:

1 ve 2 noktaları, çubuğun (A noktası) oluşturduğu gölgelerin uç noktalarıdır.
Çubuk zemine diktir, bu nedenle A noktasından 1-2 doğrusuna inilen dikme çizilir.
Bu dikme, kuzey-güney doğrultusunu verir.
Kullanılan yardımcı eleman: Yükseklik (dikme)
Yani A köşesinden [12] kenarına çizilen yükseklik kuzey-güney doğrultusunu belirler.

Sonuç: Kuzey-güney doğrultusunu bulmak için oluşan üçgenin yüksekliğinden faydalanılır.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 54: 11. Sıra Sizde

Diklik Merkezi ve Üçgenlerin Belirlenmesi

Sayfa 54

11. Sıra Sizde

ABC üçgeninde AD, BE ve CF yükseklikleri H noktasında kesişmektedir.

Buna göre A, B, C, D, E, F ve H noktalarının her birinin yüksekliklerin kesim noktası (diklik merkezi) olduğu üçgenleri tespit ediniz.

Çözüm: Diklik Merkezi Olan Üçgenler

Diklik Merkezi	Üçgen	Açıklama
A	△HBC	H'den BC'ye dik (AD) → A noktası △HBC'nin diklik merkezidir. (AD ⊥ BC, BH ⊥ HC, CH ⊥ HB)
B	△AHC	H'den AC'ye dik (BE) → B noktası △AHC'nin diklik merkezidir. (BE ⊥ AC, AH ⊥ HC, CH ⊥ HA)
C	△AHB	H'den AB'ye dik (CF) → C noktası △AHB'nin diklik merkezidir. (CF ⊥ AB, AH ⊥ HB, BH ⊥ HA)
D	△HBC	D noktası, A'dan BC'ye dikmenin ayağıdır. △HBC'nin diklik merkezi A'dır (yukarıda).
E	△AHC	E noktası, B'den AC'ye dikmenin ayağıdır. △AHC'nin diklik merkezi B'dir (yukarıda).
F	△AHB	F noktası, C'den AB'ye dikmenin ayağıdır. △AHB'nin diklik merkezi C'dir (yukarıda).
H	△ABC	H noktası, ABC üçgeninin diklik merkezidir. (AD, BE, CF yükseklikleri H'de kesişir.)

Sonuç: A, B, C, D, E, F ve H noktalarının diklik merkezi olduğu üçgenler yukarıdaki tabloda verilmiştir.
Not: D, E, F noktaları dikme ayaklarıdır, doğrudan diklik merkezi değillerdir; ancak bulundukları üçgenlerin diklik merkezleri sırasıyla A, B ve C'dir.

1.2. ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR VE BUNLAR ARASINDAKİ İLİŞKİLER

Sayfa 58: Alıştırmalar

Yardımcı Elemanlar ve Problem Çözümleri

Sayfa 58

Soru 1

Aşağıda verilen şekillerin hangisi ya da hangilerinde D noktasının kesinlikle A açısının açıortayı üzerinde olduğunu belirleyiniz.

Cevap:

I: D noktası A açısının açıortayı üzerinde değildir (sadece herhangi bir nokta).
II: D noktası A açısının açıortayı üzerinde kesinlikle (D noktası A açısının açıortayı üzerinde).
III: D noktası A açısının açıortayı üzerinde değildir (ED ve FD dikme olarak belirtilmemiş).

Sonuç: II ve III numaralı şekillerde D noktası kesinlikle A açısının açıortayı üzerindedir.

Soru 2

Kafes çatı tasarımlarında A köşesinden geçen dikey doğrultuya göre simetrik yapıdadır.

a) BAC açısının açıortayının bulunduğu tasarımlar:

a, b, ç, (simetri ekseni açıortayıdır)
c, d ve e tasarımında simetri yoktur → açıortay yoktur

b) BC kenarının orta dikmesinin bulunduğu tasarımlar:

a, b, ç, (simetri ekseni BC'nin orta dikmesidir)
c, d ve e tasarımında simetri yoktur → orta dikme yoktur

Soru 3

Parkta Atakan, Buğra ve Cihan'ın yürüyüş problemleri.

Soru 3

Parkta Atakan, Buğra ve Cihan'ın yürüyüş problemleri.

Çözüm:

1. ABK üçgeninde:

40° + 20° + 90 + m(∠ABL) = 180°
m(∠ABL) = 180° - 150° = 30°

2. BAL üçgeninde:

20° + 30° + 90 + m(∠KAC) = 180°
m(∠KAC) = 180° - 140° = 40°

3. ACM üçgeninde:

90° + 60° + m(∠ACM) = 180°
m(∠C) = 180° - 150° = 30°

Sonuç: Cihan'ın yürüdüğü doğrultunun mavi yol ile yaptığı açı 30°'dir.

Soru 4

Parktaki yürüyüş yolları (kenarortaylar) problemi.

Çözüm:

1. Ağırlık Merkezi Özelliği:

|AP| = 2m, |PT| = m
|BP| = 2k, |PR| = k
|CP| = 2n, |PS| = n
Toplam yol = 3(m + k + n)

2. Kişilerin Katettiği Mesafeler:

Ali: |AP| + |PB| = 22 → 2m + 2k = 22 → m + k = 11
Banu: |BP| + |PC| = 20 → 2k + 2n = 20 → k + n = 10
Cem: |CP| + |PA| = 18 → 2n + 2m = 18 → n + m = 9

3. Bilinmeyenlerin Bulunması:

Taraf tarafa toplayalım: (m+k) + (k+n) + (n+m) = 11 + 10 + 9
2m + 2k + 2n = 30 → m + k + n = 15

4. Yürüyüş Yollarının Toplam Uzunluğu:

Toplam = 3(m + k + n) = 3 · 15 = 45 metre

Sonuç: Parkın içindeki yürüyüş yollarının uzunlukları toplamı 45 metre'dir.